Minorations explicites de formes linéaires en deux logarithmes
Résumé
The lower bounds for linear combinations with integer coefficients of algebraic number of logarithms are important tools in towards the effective resolution of some diophantine equation classes. On this context the particular case of two logarithms is especially useful. To obtain such lower bounds we use here the so-called Schneider's method with multiplicity. The proof is based on the use of interpolation determinants and on a multiplicity estimate. Our multiplicity estimate, whose proof is reminiscent of the original method due to D.W. Masser, appears, in our case, to be more efficient than the general statements previously employed. We use a standard method to obtain a lower and an upper bound for some non zero determinant that enables us to obtain a fondamental inequality containing many arbitrary parameters. We can deduce from this last inequality a list of lower bounds which are totally explicit for linear forms of logarithms.
Les minorations de combinaison linéaire, à coefficients entiers, de logarithmes de nombres algébriques constituent un outil important dans la résolution effective de certaines classes d'équations diophantiennes. Le cas de deux logarithmes est à cet égard particulièrement utile. Nous utilisons ici, pour l'obtention de ces minorations, la méthode dite de Schneider avec multiplicité. La démonstration repose sur l'utilisation des déterminants d'interpolation et d'un lemme de zéros approprié à ce cadre. Le lemme de zéros exploité ici, dont la preuve reprend la construction originelle de D.W. Masser, s'avère dans notre cas plus efficace que les résultats généraux précédemment employés. Nous utilisons ensuite une méthode standard pour encadrer un déterminant non nul, afin d'obtenir une inégalité fondamentale faisant intervenir de nombreux paramètres arbitraires. Nous déduisons de cette dernière une liste de minorations totalement explicites de formes linéaires de logarithmes.
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