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Detailed view PhD thesis
Université Joseph-Fourier - Grenoble I (15/04/2003), FUNAR Louis (Dir.)
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Tresses sur les surfaces et invariants d'entrelacs
Paolo BELLINGERI1

Le groupe de tresses à $n$ brins sur une surface $S$ est une généralisation naturelle à la fois du groupe de tresses classique à $n$ brins et du groupe fondamental de $S$. Dans la première partie de cette thèse nous donnons des nouvelles présentations pour les groupes de tresses sur les surfaces, qui améliorent les présentations obtenues auparavant par Scott et González-Meneses. Nous montrons ensuite comment associer à tout graphe à $n$ sommets sur la sphère une présentation pour le groupe de tresses à $n$ brins sur la sphère, ce qui étend le résultat de Sergiescu dans le cas des graphes planaires. Nous calculons aussi le $Out$ des groupes de tresses sur la sphère. Ensuite, nous généralisons au cas des tresses sur les surfaces les résultats de Fenn, Rolfsen et Zhu sur les centralisateurs des tresses. Comme application de ce résultat nous obtenons la résolubilité du problème du mot pour les monoïdes de tresses singulières sur les surfaces. Dans la dernière partie, nous étudions les algèbres de Hecke cubiques et nous démontrons qu'il existe une trace de Markov sur des quotients convenables de ces algèbres, en généralisant l'approche de V. Jones. Nous construisons ainsi deux nouveaux invariants d'entrelacs, différents des invariants HOMFLY et de Kauffman, récursivement calculables et définis d'une manière unique par deux relations d'écheveau explicites, dont une cubique.
1:  IF - Institut Fourier
Groupes de tresses – Groupes de tresses sur les surfaces – Invariants d'entrelacs – Tresses singulières – Mapping class groups
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/THESE/ps/bellingeri.ps.gz

The braid group on $n$ strands on a surface $S$ is a natural extension of both the classical braid group $B_n$ and the fundamental group of $S$. In the first part of this thesis, we give new presentations for surface braid groups, improving presentations earlier obtained by Scott and González-Meneses. Afterwards we show how to associate to any graph with $n$ vertices on the sphere a presentation for the braid group on $n$ strands on the sphere, generalising Sergiescu's result on planar graphs. We determine also the Outer group of braid groups on the sphere. Afterwards we generalise Fenn-Rolfsen-Zhu results on centralisers in classical braid groups to surface braids. As consequence of this result, we prove that the word problem for the monoids of singular surface braids is solvable. In the last part of the thesis we study cubic Hecke algebras. Extending Jones' approach, we prove the existence of a Markov trace on a suitable tower of quotients of these algebras. We obtained in this way two new link invariants that are recursively computable, different from the HOMFLY and Kauffman polynomials, and defined by two explicit skein relations, where one of them is cubic.

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