Un peu d'optique diffractive non-lineaire a phases courbes
Abstract
We present in this work some new results concerning nonlinear diffractive optics. First, we give three scales asymptotics of smooth oscillating solutions of hyperbolic systems. This is a WKB multiphase method, with nonplanar phases: the faster scale describes oscillations, the intermediate one describes diffractive effects, transversally to the propagation. This propagation, corresponding to the slower scale, follows the rays of geometric optics. We use nonplanar phases so as to treat the case of variable coefficients systems ; coherence assumptions and small divisors properties are needed, and we show their genericity. We give examples of interactions of diffracted waves, especially for nonlinear acoustics. Moreover, we consider several functional cases where diffraction takes place: periodic, weakly decreasing, or shock profiles, with respect to the ``intermediate variable''. These different behaviours allow us to study perturbations of the oscillating phases, as well as separation of light and shadow. In each case, we look at the influence of rectification effects. Finally, we describe oscillations reflecting near a diffractive point (where rays meet the boundary tangently), for a semilinear dissipative Klein-Gordon equation. Interactions and the ``shadow zone'' are emphasized via a $H^1$-asymptotics.
On présente dans cette thèse quelques résultats nouveaux concernant l'optique non-linéaire diffractive. Tout d'abord, des solutions oscillantes régulières de systèmes hyperboliques sont analysées grâce à des développements asymptotiques (BKW) 3 échelles multiphases, à phases courbes : l'échelle la plus rapide est celle des oscillations, l'échelle intermédiaire décrit des phénomènes transverses à la propagation, cette dernière suivant les rayons de l'optique géométrique, à l'échelle la plus lente. L'utilisation des phases non planes permet de traiter le cas des systèmes à coefficients variables, et nécessite des hypothèses de cohérence et de petits diviseurs, dont on montre la généricité. On donne des exemples d'interactions d'ondes diffractées, en particulier en acoustique non linéaire. De plus, la diffraction transverse est considérée dans des cadres fonctionnels différents : périodique, faiblement décroissant, et pour des profils de chocs. Ces comportements sont appliqués à l'étude de la perturbation des phases oscillantes, ainsi qu'au problème des frontières ombre/lumière. On analyse dans chaque cas l'influence des effets de rectification (interaction entre moyenne et oscillations). Enfin, on décrit les oscillations se réfléchissant près d'un point diffractif (où la réflexion est tangentielle), pour une équation de Klein-Gordon semi-linéaire dissipative : une asymptotique $H^1$ met en évidence les interactions et la formation d'une \begin{guillemets}zone d'ombre\end{guillemets}.