Estimations spectrales asymptotiques en géométrie hermitienne
Abstract
The goal of this thesis is to study several differential geometry problems within complex and almost complex frameworks. First, we give some formulas of the Bochner-Kodaira-Nakano-type for Hermitian vector bundles over Hermitian, almost Kähler and respectively almost complex manifolds. Then, by means of one of the previous formulas, we obtain asymptotical estimates of a portion of the spectrum of certain differential operators in the complex case; more precisely, starting from a closed real (not necessarily entire) $(1,1)$-form $\alpha$ on a compact complex manifold of dimension $n$, we construct a sequence of Hermitian line bundles, indexed over $k$, whose curvature forms approximate $k\alpha$. The asymptotic estimates deal with the lower part of the spectrum of the antiholomorphic Laplacians associated with these vector bundles, while the most significant of them involves the integral of $\alpha^n$ over the points of index 0 or 1 in the manifold. This is only significant if the last-mentioned integral is positive.
L'objet de cette thèse est l'étude de quelques problèmes de géométrie différentielle, dans les cadres complexe et presque complexe. Nous donnons d'abord des formules de type Bochner-Kodaira-Nakano pour des fibrés hermitiens au-dessus de variétés respectivement hermitiennes, presque kählériennes et presque complexes. Puis dans un deuxième temps, à l'aide d'une des formules précédentes, nous obtenons dans le cas complexe des estimées asymptotiques d'une partie du spectre de certains opérateurs différentiels : considérant une $(1,1)$-forme réelle fermée $\alpha$ (non nécessairement entière) sur une variété complexe compacte de dimension $n$, nous construisons une suite (indexée par $k$) de fibrés en droites hermitiens dont les formes de courbure approchent $k\alpha$. Les estimées asymptotiques portent sur le bas du spectre des laplaciens antiholomorphes associés aux fibrés, et la plus significative fait intervenir l'intégrale de $\alpha^n$ au-dessus des points d'indice 0 ou 1 de la variété. Elle n'est pertinente que si cette dernière intégrale est strictement positive.