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Université Paris Sud - Paris XI (21/12/2001), Temam Roger (Dir.)
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Perturbations singulières pour des EDP linéaires et non linéaires en presence de discontinuités
Makram Hamouda1

Ma thèse porte sur l'étude des couches limites et de perturbations singulières (\textit{i.e.} des problèmes caractérisés par la présence d'un petit paramètre qui tend vers zéro) dans des conditions plus délicates que d'habitude, à savoir lorsque la solution limite n'est pas régulière. Je considère ainsi deux classes de problèmes réguliers associes à un laplacien et à un bilaplacien, et un problème non linéaire dérivé du problème de Plateau (surfaces minimas), pour lequels la fonction limite possède une singularité (discontinuité simple pour les premiers problèmes, dérivée normale infinie sur certaines parties de la frontière pour le second).\\ La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude de deux modèles linéaires singuliers associés à des perturbations singulières pour des EDPs ayant une fonction source singulière. Ce type d'équations fait l'objet de plusieurs applications, par exemple les problèmes de flambement en élasticité, les tourbillons singuliers en mécanique des fluides, le problème de la charge critique pour une poutre ou une plaque élastoplastique, le problème du contrôle automatique de la trajectoire d'un mobile et le problème du bord arrière pour l'écoulement autour d'une aile. De manière classique, la présence d'un petit paramètre dans des équations aux dérivées partielles entraîne, dans certains cas, l'apparition d'une couche limite classique près du bord du domaine pour la solution dite régularisée. Cependant, si on considère en plus une fonction source discontinue (voire une distribution), on constate que de nouvelles couches limites apparaissent à l'intérieur du domaine; l'étude de celles-ci constitue le principal but de cette première partie. Dans la deuxième partie, on s'intéresse à l'étude du problème des surfaces minimales sur une couronne. Pour certaines classes de données au bord, ce problème n'admet pas de solution et sa solution faible dite ``généralisée'' admet une dérivée infinie. On introduit alors une méthode de régularisation elliptique qui entraîne une couche limite près du bord. Le résultat fondamental de cette partie consiste à donner explicitement une approximation pour cette solution régularisée.
1:  Laboratoire d'analyse numérique et EDP
Singular perturbations – asymptotic analysis – numerical simulation – boundary layers.

In my thesis, we study some singular perturbation problems (\textit{i.e} problems which are characterized by the presence of a small parameter) that develop boundary layers in some conditions more delicate than usual, namely when the limit solution is not regular. I consider here two classes of regular problems associated with the Laplacian and bilaplacian, and a nonlinear problem derived from the Plateau problem (minimal surfaces), for which the limit function displays some singularities (namely ordinary discontinuity for the forme and infinite normal derivative on some parts of the boundary of the domain for the later).\\ Th first part of this thesis is concerned with the study of two singular linear models associated with non classical singular perturbations for some PDEs with singular source function. This kind of equations appears in several applications in physics; this occurs for instance with singular vortex structures in fluid mechanics or when folding occurs in elasticity, and in automatic control. Classically, the presence of a small parameter in some partial differential equations may lead to the appearance of classical boundary layers near the boundary for the regularized solution. If we consider moreover a discontinuous source function (even possibly a distribution), we note the appearance of non classical boundary layers in the interior of the domain; the study some of these boundary layers is the main object of this first part.\\ In the second part of my thesis, I am interested in the study of the minimal surface problem on a domain formed by two concentric circles. For some classes of boundary data, this problem does not have a solution and its weak solution called ``the generalized solution'' has an infinite gradient on some parts of the boundary. To solve this difficulty, we introduce an elliptic regularisation which involve boundary layers near the boundary. The main result of this part consists in giving some representation formula of the solutions, and of some approximate solutions, and some estimatesof the order of convergence.

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