Systemes Integrables en Mecanique Classique et Quantique
Résumé
Our main motivation here is to develop the methods of study of the classical integrable systems which can be directly generalized to the quantum case. For this, we start by using the algebro-geometric tools and the ideas of the method of separation of variables to explicitly construct a matrix model of the Jacobian variety of a spectral curve of any order $N$, thus generalizing a construction previously known only for hyperelliptic case ($N=2$). Using this model we investigate the structure of the singular cohomologies of the affine Jacobian and we find a new formula for its Euler characteristic. By analyzing its behaviour we discover that the cohomologies are much more complicated in general case than in the hyperelliptic one. From the integrable systems point of view our main achievement is the discovery that the entire algebra of observables is generated by the action of some Hamiltonian vector fields from a finite number of the coefficients of the cohomologies of the highest degree. The importance of this observation is especially clear in the quantum case, to which all our results can be generalized in agreement with our initially stated motivation. Indeed, in this case such structure of the algebra implies that calculation of correlation functions of any observable is reduced to computing the correlation functions of only a finite number of the (deformed) highest degree cohomology coefficients. Finally, using the known results of the hyperelliptic case as well as the semi-classical limit considerations, we conjecture a simple formula for the scalar product on the Hilbert space in which the algebra of the quantum observables acts.
Notre motivation principale dans cette thèse est de développer des méthodes d'étude des systèmes intégrables classiques qui se généralisent directement aux systèmes intégrables quantiques. Pour cela nous commençons par construire explicitement, en utilisant des outils de la géométrie algébrique et les idées de la méthode de séparation des variables, un modèle matriciel de la jacobienne affine d'une courbe spectrale d'ordre $N$ quelconque, généralisant ainsi la construction précédemment connue seulement pour le cas hyperelliptique ($N=2$). A l'aide de ce modèle nous étudions ensuite les cohomologies singulières de la jacobienne affine et nous trouvons une formule nouvelle pour sa caractéristique d'Euler. En étudiant son comportement nous montrons que la structure des cohomologies est bien plus compliquée, dans le cas général, que dans le cas hyperelliptique. Du point de vue des systèmes intégrables notre résultat principal est que l'algèbre des observables est engendrée par l'action des certains champs hamiltoniens sur un nombre fini des coefficients des cohomologies supérieures. Cette observation est surtout importante dans le cas quantique auquel touts nos résultats s'appliquent aussi, en accord avec le programme de ce travail . En effet, ceci implique que les fonctions de corrélation de n'importe quelle observable s'expriment en termes des fonctions de corrélations d'un nombre fini de coefficients des cohomologies supérieures (déformés). Finalement, en utilisant les résultats connus pour le cas hyperelliptique et des considérations semi-classiques, nous formulons une conjecture sur la structure du produit scalaire dans l'espace de Hilbert où l'algèbre des observables quantiques est représentée.