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FLUCTUATIONS QUANTIQUES DE LA SIGNATURE DE LA METRIQUE A L'ECHELLE DE PLANCK
Résumé
We propose hereafter that the signature of the Space-Time metric (+++-) is not anymore frozen at the Planck scale and presents quantum fluctuations (+++±) untill 0 scale where it becomes Euclidean (++++). (i) At the albraic level we suggest an oscillation path (3,1) (4,0) exluding (2,2). We built the quotient topological space describing the superposition of the Lorentzian and the Riemanian metrics. In terms of quantum groups we evidence a relation between q-deformation and deformation of the signature. We have obtained a new algebraic construction ( a new cocycle bicross products by twisting) which allowed us to unify the Lorentzian and the Euclidean signatures within a unique quantum group structure. Moreover the q-deformation of space-time shows that the natural structures of q-Minkowski and q-Riemanian spaces are linked by semiduality. (ii) Regarding the physical motivations we suggest that at the Planck Scale the Space-Time is in KMS state. Within the limits of the KMS holomorph strip, the ß timelike parameter is complex. We propose an extension of relativistic gravity which begins at the Planck Scale with the Lagrangian R + R2 + RR*. Then, the infrared limit ot the theory is given at the Planck Scale by the Einstein term in R and corresponds to the Lorentzian metric while the ultra violet limit is given at ß=0 scale by the topological term RR* and corresponds to the Euclidean metric ( topological sector). We propose a duality betweens instantons and monopoles in 4 dimensions giving a representation of the superposition of the metrics. (iii) On the cosmological plan we suggest to describe the Initial Singularity of Space Time by a topological invariant I(S) = Tr(-1)S which is analog to the first Donaldson invariant. The initial singularity must be considered as a singular 0-size gravitational Instanton. The physical observables are therefore replaced by cycles of homology in the moduli space of gravitational Instantons. We propose a conjecture regarding the existence of a topological amplitude associated to a " topological expansion phase " which preceeds the classical comoslogical expansion. This topological phase is also able to be described by the flow of weights of the II * hyperfinite factor type corresponding to the ß=0 initial singularity.
Nous proposons de montrer que la signature Lorentzienne de la métrique d'espace-temps (+++-) n'est plus fixe à l'échelle de Planck lp et présente des "oscillations quantiques" entre les formes Lorentzienne et Euclidienne (+++±) jusqu'à l'échelle 0 où elle prend la forme Euclidienne (+ + + +). 1- Au plan algébrique, nous suggérons l'existence d'un "chemin de fluctuation" (3, 1)-(4, 0) excluant la signature ultra-hyperbolique (2, 2). Nous construisons l'espace topologique quotient *top décrivant la superposition des métriques Lorentzienne et Riemannienne. Nous montrons que *top comporte un point singulier S correspondant à l'origine de l'espace de superposition. En termes de groupes quantiques, nous établissons le lien entre q-déformation et "déformation" de la signature, notre principal résultat étant la construction du nouveau produit bicroisé cocyclique Mc(H). Une telle construction nous a permis de réaliser l'unification des signatures Lorentzienne et Euclidienne au sein du produit bicroisé cocyclique entre le groupe quantique Lorentzien Uq(so(3, 1)) et le groupe quantique Euclidien Uq(so(4))op. Nous suggérons aussi que la "semidualisation" de Majid décrit la transition q-Euclidien Æ q-Lorentzien. De même, la q-déformation de l'espace-temps indique que les structures naturelles Rq(4) et Rq(3,1) , covariantes sous Uq(so(4)) et Uq(so(3, 1)) sont reliées par semidualité. 2- Au plan physique, dans le cadre de la supergravité N=2, nous considérons qu'à l'échelle de Planck, le (pré)espace-temps est en état KMS (Kubo-Martin-Schwinger), le paramètre d'échelle ß du système étant complexe. L'algèbre de von Neumann associée à l'état non trivial des mesures sur la métrique à l'échelle de Planck est un facteur sans trace, de type IIIl. Nous étendons alors à l'échelle de supergravité la gravité relativiste et adoptons le Lagrangien L-supergravité = R2 + ßR + RR* incluant des termes de courbure quadratiques en R2, avec une composante physique (le terme d'Einstein ) associée à la signature Lorentzienne et une composante topologique (le terme topologique ) associée à la signature Euclidienne. La limite infrarouge de la théorie de superposition est alors donnée, à l'échelle de Planck, par le terme en R (+++-) tandis que la limite ultraviolette est donnée, à ß = 0, par le terme topologique RR* (++++). Nous proposons une dualité nouvelle entre instantons (secteur topologique) et monopôles (secteur physique) en dimension 4 représentant la superposition des métriques. 3- Au plan cosmologique, nous décrivons la Singularité Initiale de l'espace-temps par l'invariant topologique Is = Tr(-1)S, analogue au premier invariant de Donaldson. La Singularité Initiale, dont nous proposons la solution dans le cadre de la théorie topologique des champs, est ici identifiée à un instanton gravitationel singulier de rayon r = 0. Les observables physiques sont alors remplacées, à l'échelle 0, par des cycles d'homologie dans l'espace des modules des instantons. Nous conjecturons l'existence d'une amplitude topologique associée à une phase "d'expansion topologique" du pré-espace-temps de l'échelle 0 à l'échelle de Planck, précédant la phase d'expansion conventionnelle. L'expansion topologique du pré-espace-temps à partir de l'échelle 0 devrait alors correspondre à une pseudo-dynamique en temps imaginaire, que nous décrivons par le semi-groupe à un paramètre des automorphismes de l'algèbre M0,1 des pseudo-observables du système, M0,1 est un facteur à trace de type II*, associé à l'état ergodique de la mesure au voisinage de la Singularité Initiale.
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