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Fiche détaillée Thèses
Université Pierre et Marie Curie - Paris VI (11/04/2002), Vaugon Michel (Dir.)
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Meilleures constantes dans les inégalités de Sobolev en présence de Ssmétries
Zoé Faget1

On établit la meilleure constante dans les inégalités de Sobolev sur une variété riemannienne compacte quelconque lorsque les fonctions considérées sont invariantes par un groupe d'isométries quelconque. On éablit également la meilleure constante dans le cas d'exception des inégalités de Sobolev pour des fonctions invariantes par un groupe d'isométries. La connaissance précise de ces constantes permet d'obtenir des résultats d'existence de solutions d'équation aux dérivées partielles. On se pose ensuite la question de l'existence d'une seconde meilleure constante, et on établit un théorème donnant cette existence sous certaines conditions, conditions permettant toutefois de répondre à certains problèmes ouverts, ainsi qu'à tous les cas constructibles. La démonstration de ce théorème oblige à développer des techniques pointues d'analyse, notamment une étude de phénomène de concentration d'une suite de solutions d'une EDP. La démonstration fait également intervenir des résultats portant sur la géométrie des orbites.
1 :  Institut Mathématiques
Inégalités de Sobolev – Variétés riemanniennes – Meilleures constantes – symétries – isométries

We state the precise value of the best constant in Sobolev inequalities on an arbitrary Riemannian manifold when the functions are invariant by an arbitrary isometry group. We also state the precise value of the best constant in the exceptional case of Sobolev inequalities in the presence of symetries. Knowing the precise value of these constants allow us to get results on the existence of solutions of PDE 's of a higher exponant, relatively to the case where there is no symmetry. Then we wonder about the existence of the second best constant, and we state that this constant exists under conditions, which are not very restrictive since they allow us to give an answer to questions left open by different authors, and in fact give answer to any case that we can build. The proof of this theorem leads to the development of very subtle analysis technics, especially the concentration phenomenon of a sequence of solutions of a PDE. We also prove results on the geometry of orbits.

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