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Detailed view PhD thesis
Université des Sciences et Technologie de Lille - Lille I (22/01/2002), Jacob Gérard (Dir.)
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Contribution à l'algorithmique en algèbre différentielle
François Lemaire1, 2

Cette thèse est consacrée à l'étude des systèmes d'équations
différentielles non linéaires aux dérivées partielles. L'approche choisie est celle de l'algèbre différentielle. Étant donné un système d'équations différentielles, nous cherchons à obtenir des renseignements sur ses solutions. Pour ce faire, nous calculons une famille d'ensembles particuliers (appelés chaînes différentielles régulières) dont la réunion des solutions coïncide avec les solutions du système initial.

Les nouveaux résultats relèvent principalement du calcul formel. Le chapitre 2 clarifie le lien entre les chaînes régulières et les chaînes différentielles régulières. Deux nouveaux algorithmes (chapitres 4 et 5) viennent optimiser les algorithmes existants permettant de calculer ces chaînes différentielles régulières. Ces deux algorithmes intègrent des techniques purement algébriques qui permettent de mieux contrôler le grossissement des données et de supprimer des calculs inutiles. Des problèmes jusqu'à présent non résolus ont ainsi pu être traités. Un algorithme de calcul de forme normale d'un polynôme différentiel modulo une chaîne différentielle régulière est exposé dans le chapitre 2.

Les derniers résultats relèvent de l'analyse. Les solutions que nous considérons sont des séries formelles. Le chapitre 3 fournit des conditions suffisantes pour qu'une solution formelle soit analytique. Ce même chapitre présente un contre-exemple à une conjecture portant sur l'analycité des solutions formelles.
1:  LIFL - Laboratoire d'Informatique Fondamentale de Lille
2:  LIFL - CALFOR
symbolic computation – computer science – nonlinear PDE – differential algebra – differential ideal – characteristic sets – differential regular chains – normal forms – analyticity – Riquier-Janet theory – Cauchy-Kovalevskaya theorem
http://www.orcca.on.ca/~lemaire/publications/lemairethesis.ps.gz

This thesis is dedicated to the study of nonlinear partial differential equations systems. The chosen approach is using differential algebra. Given a system of differential equations, we seek information about its solutions. To do so, we first compute particular systems (called differential regular chains) such that the union of their solutions coincide with the solutions of the initial system.

This thesis mainly presents new results in symbolic computation. Chapter 2 clarifies the link between regular chains and differential regular chains. Two new algorithms (given in chapters 4 and 5) improve existing algorithms for computing these differential regular chains. These algorithms involve purely algebraic techniques which help reduce expression swell and help avoid unnecessary computations. Previously intractable problems have been solved using these techniques. An algorithm computing the normal form of a differential polynomial modulo a differential regular chain is described in chapter 2.

The last results deal with analysis. The solutions we consider are formal power series. Chapter 3 gives sufficient conditions for a solution to be analytic. The same chapter presents a counter-example to a conjecture dealing with the analyticity of formal solutions.

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