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Fiche détaillée Thèses
Université Paris Dauphine - Paris IX (15/12/2000), Paul Thierry (Dir.)
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Aspects semi-classiques de la quantification géométrique
Laurent CHARLES1

Dans cette thèse, nous étudions les opérateurs de Berezin-Toeplitz sur les variétés kähleriennes et leur généralisation aux variétés symplectiques compactes. Le premier chapitre porte sur l'intégrale de Feynman : nous exprimons le noyau du propagateur quantique à l'aide d'une intégrale de Wiener en fonction de l'action classique. Dans le second chapitre, nous proposons un ansatz pour le noyau des opérateurs de Berezin-Toeplitz, grâce auquel on donne une preuve directe des résultats connus sur ces opérateurs et l'on décrit le calcul des symboles covariants et contravariants en fonction de la métrique kählerienne. Ceci mène à la définition de plusieurs star-produits sur les variétés kähleriennes par une formule universelle. Dans le troisième chapitre, nous généralisons l'ansatz précédent afin de quantifier les sous-variétés lagrangiennes des variétés kähleriennes. Nous appliquons ceci de diverses manières : construction de quasi-modes, énoncé des conditions de Bohr-Sommerfeld, quantification des symplectomorphismes, réalisation d'équivalence microlocale. En comparaison avec la théorie des opérateurs pseudodifférentiels, les invariants de la géométrie des cotangents sont remplacés par des invariants de la géométrie kählerienne. Dans le dernier chapitre, nous entreprenons la généralisation des résultats précédents aux variétés symplectiques compactes, notamment nous quantifions les sous-variétés lagrangiennes et décrivons le calcul symbolique des opérateurs de Berezin-Toeplitz.
1 :  CEREMADE - CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision
Analyse semi-classique – Analyse microlocale – Géométrie symplectique – Quantification géométrique – Opérateurs de Toeplitz – Quantification par déformations – Star-produits – Quasi-modes – Conditions de Bohr-Sommerfeld – Sous-variétés lagrangiennes – Intégrale de Feynman.

In this thesis we study the Berezin-Toeplitz operators on Kähler manifolds and their generalisation to compact symplectic manifolds. The first chapter is devoted to the Feynman integral: we compute the quantum propagator of a Toeplitz operator as a limit of path integrals in terms of the classical action. In the second chapter, we give an ansatz for the Schwartz kernel of the Berezin-Toeplitz operators. From this, we recover the known results on these operators and we describe the calculus of the covariant and contravariant symbols in terms of the Kähler metric. This leads to the definition of some star-products on the Kähler manifolds by universal formulas. In the third chapter, we generalize the previous ansatz to quantize the Lagrangian submanifolds of Kähler manifolds. We apply this to construct quasi-modes, state the Bohr-Sommerfeld conditions and quantize the symplectomorphims. To compare with the theory of pseudo-differential operators, Kähler invariants replace the invariants of the cotangent spaces. In the last chapter, we generalize the previous results to compact symplectic manifolds.

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