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Université Pierre et Marie Curie - Paris VI (31/10/2000), André Yves (Dir.)
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Periodes et groupes de Mumford-Tate des 1-motifs
Cristiana Bertolin1

Dans la première partie de cette thèse, on étudie la structure et les dégénérescences du groupe de Mumford-Tate d'un 1-motif $M$ défini sur $\CC$, $MT(M)$. Ce groupe est un $\QQ\,$-groupe algébrique qui agit sur la réalisation de Hodge de $M$ et qui est muni d'une filtration croissante $W_\bullet$. On prouve que le radical unipotent de $MT(M)$, qui est $W_{-1}(MT(M)),$ s'injecte dans un groupe de Heisenberg ``généralisé''. Ensuite on explique comment se réduire à l'étude du groupe de Mumford-Tate d'une somme directe de 1-motifs dont le groupe des caractères du tore et dont le réseau sont de rang 1. Puis on classifie et on étudie les dégénérescences de $MT(M)$, i.e. les phénomènes qui causent la chute de la dimension de $MT(M)$. Dans la deuxième partie, on propose une conjecture de transcendence, qu'on appelle {\it conjecture elliptico-torique} (CET), et notre résultat principal est que (CET) {\it est équivalente à ${\rm (CPG)}_K$, appliquée aux 1-motifs de la forme $M=[ {\Bbb Z}^{r} \, {\buildrel u \over \longrightarrow} \,\prod^n_{j=1} {\cal E}_j \times {\GG}_m^s]$, où les ${\cal E}_j$ sont des courbes elliptiques deux à deux non isogènes}. Notre conjecture (CET) implique des conjectures de transcendance ``classiques'', parmis lesquelles les plus fameuses sont les suivantes~: la conjecture de Schanuel, l'analogue elliptique de la conjecture de Schanuel, une conjecture modulaire qui généralise un théorème de Y. Nesterenko, ... Mais à partir de (CET), on peut aussi construire d'autres conjectures de transcendance, qui, à ma connaissance, ne se trouvent pas dans la littérature. Chacune de ces conjectures, qui peuvent se déduire de (CET), est équivalente à ${\rm (CPG)}_K$ appliquée à un 1-motif bien choisi~: par exemple, la conjecture de Schanuel est équivalentes à ${\rm (CPG)}_K$ appliquée à des 1-motifs de la forme $M=[ {\Bbb Z}^{r} \, {\buildrel u \over \longrightarrow} \, {\GG}_m^s]$.
1:  Laboratoire de Theorie de Nombres
1-motifs – périodes – groupe de Mumford-Tate – biextention de Poincaré – dégénérescencesdégénérescences

In this thesis we study the structure and the degeneracies of the Mumford-Tate group of a 1-motive $M$ defined over $\CC$, $MT(M)$. This group is an algebraic $\QQ\,$-group acting on the Hodge realization of $M$ and endowed with an increasing filtration $W_\bullet$. We prove that the unipotent radical of $MT(M)$, which is $W_{-1}(MT(M)),$ injects into a ``generalized'' Heisenberg group. We then explain how to reduce to the study of the Mumford-Tate group of a direct sum of 1-motives whose torus's character group and whose lattice are both of rank 1. Next we classify and we study the degeneracies of $MT(M)$, i.e. those phenomena which imply the decrement of the dimension of $MT(M)$. The generalized Grothendieck's conjecture of periods ${\rm (CPG)}_K$ predicts that if $M$ is a 1-motive defined over an algebraically closed subfield $K$ of $\CC$, then $ {\rm deg.transc}_{\QQ}\, K ({\rm p\acute eriodes}(M))\geq \dim_{\QQ}MT( M_{\CC}).$ In the second part of this thesi we propose a conjecture of transcendance that we call {\it the elliptico-toric conjecture} (CET). Our main result is that (CET) is equivalent to ${\rm (CPG)}_K$ applied to 1-motives defined over $K$ of the kind $M=[ {\Bbb Z}^{r} \, {\buildrel u \over \longrightarrow} \,\prod^n_{j=1} {\cal E}_j \times {\GG}_m^s]$. (CET) implies some classical conjectures, as the Schanuel's conjecture or its elliptic analogue, but it implies new conjectures as well. All these conjectures following from (CET) are equivalent to ${\rm (CPG)}_K$ applied to well chosed 1-motives: for example the Schanuel's conjecture is equivalent to ${\rm (CPG)}_K$ applied to 1-motives of the kind $M=[ {\Bbb Z}^{r} \, {\buildrel u \over \longrightarrow} \, {\GG}_m^s]$.

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