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Fiche détaillée Thèses
Université Jean Monnet - Saint-Etienne (08/12/2001), Diaz Guy (Dir.)
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Mesure d'indépendance linéaire de logarithmes dans un groupe algébrique commutatif
Eric Gaudron1

Cette thèse s'inscrit dans la lignée des travaux relatifs à la théorie des formes linéaires de logarithmes. Elle comporte deux parties ainsi que trois annexes. Dans la première partie, nous nous intéressons au cas général d'un groupe algébrique commutatif quelconque, défini sur la clôture algébrique de Q. Étant donné un tel groupe G, un hyperplan W de l'espace tangent à l'origine de G et $u$ un point complexe de cet espace tangent, dont l'image par l'exponentielle du groupe de Lie complexe G(C) est algébrique, nous obtenons une minoration de la distance de u à W, qui améliore les résultats connus auparavant et qui, en particulier, est optimale en la hauteur de l'hyperplan W. La démonstration repose sur la méthode de Baker ainsi que sur un nouvel argument de nature arithmétique (procédé de changement de variables de Chudnovsky) qui nous permet d'évaluer précisément les normes ultramétriques des nombres algébriques construits au cours de la preuve. Dans la seconde partie, nous étudions plus en détail le < non-homogène>> (dans lequel le groupe G est le produit direct du groupe $\mathbb{G}_{\mathrm{a}}$ et d'une variété abélienne) et nous établissons une nouvelle mesure, comparable à celle donnée dans la première partie mais totalement explicite en les invariants liés à la variété abélienne. La particularité de cette seconde partie est de mettre en oeuvre, pour la première fois dans ce contexte, la méthode des pentes de J.-B. Bost et certains résultats de géométrie d'Arakelov qui lui sont attachés.
1 :  Laral
Formes linéaires de logarithmes – groupe algébrique – méthode de Baker – groupe formel – logarithme formel – méthode des pentes – géométrie d'Arakelov
http://webperso.univ-st-etienne.fr/~gaudron

This thesis falls within the theory of linear forms in logarithms. It comprises two parts as well as three annexes. In the first part, we are interested in the general case of an unspecified algebraic commutative group, defined over the algebraic closure of Q. Given such a group G, an hyperplane W of the tangent space at the origin of G and u a complex point of this tangent space, whose image by the exponential map of the Lie group G(C) is an algebraic point, we obtain a lower bound for the distance between u and W, which improves the results known before and which is, in particular, the best possible for the height of the hyperplane W. The demonstration rests on Baker's method as well as a new arithmetic argument (Chudnovsky's process of variable change) which enables us to give a precise estimate of the ultrametric norms of some algebraic numbers, built during the proof. In the second part, we study in details the ``abelian non-homogeneous case'' (in which the group G is the direct product of $\mathbb{G}_{\mathrm{a}}$ by an abelian variety) and we establish a new measure, comparable with the one given in the first part, but totally explicit in function of the invariants of the abelian variety. An important feature of this second part is the implementation, for the first time in this context, of J.-B. Bost's slopes method and some results of Arakelov geometry naturally associated with it.

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