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Université de la Méditerranée - Aix-Marseille II (26/11/2001), Blanchard François (Dir.)
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Chaos en dynamique topologique, en particulier sur l'intervalle, mesures d'entropie maximale
Sylvie Ruette1

Dans cette thèse on s'intéresse aux propriétés liées au chaos et aux mesures d'entropie maximale (ou mesures maximales) pour certains systèmes, en particulier ceux sur l'intervalle. Pour un système dynamique $(X,T)$, une entropie non nulle est considérée comme une propriété chaotique. On montre qu'une entropie non nulle implique la présence de couples asymptotiques propres, c'est-à-dire des couples de points distincts $(x,y)$ tels que la distance entre $T^n x$ et $T^n y$ tend vers zéro quand $n$ tend vers l'infini. Si $T$ est de plus inversible, de nombreux couples asymptotiques pour $T$ sont des couples de Li-Yorke pour l'inverse de $T$. Les preuves de ces résultats sont ergodiques. Une chaîne de Markov topologique est l'ensemble des chemins sur un graphe orienté ; c'est un outil pour l'étude des mesures maximales. Un graphe connexe est transient, récurrent nul ou récurrent positif. On rappelle les liens entre ces classes et la possibilité d'étendre ou de restreindre le graphe sans changer l'entropie, et on montre qu'un graphe transient admet un surgraphe récurrent de même entropie. On sait qu'une chaîne de Markov transitive a une mesure maximale si et seulement si le graphe est récurrent positif. On donne un nouveau critère impliquant la récurrence positive et on montre l'existence de mesures presque maximales fuyant vers l'infini pour un graphe non récurrent positif. Quand on se restreint aux systèmes sur l'intervalle, les diverses notions de chaos coïncident largement. On présente une synthèse des liens existant entre les différentes propriétés chaotiques. Pour un système sur l'intervalle, la question d'existence d'une mesure maximale se ramène dans certains cas à l'étude d'une chaîne de Markov. Cela permet de donner une condition assurant l'existence d'une mesure maximale pour les transformations $C^1$. Pour tout entier $n$, on construit des exemples de transformations de l'intervalle $C^n$ et mélangeantes mais n'admettant aucune mesure maximale.
1:  IML - Institut de mathématiques de Luminy
systèmes dynamiques topologiques – transformations de l'intervalle – chaînes de Markov topologiques – mesures d'entropie maximale – chaos – entropie – couples asymptotiques.
http://iml.univ-mrs.fr/~ruette/these.ps.gz

In this thesis we are interested in the properties linked to chaos and in the existence of measures of maximal entropy (called maximal measures) for some systems, in particular for systems on the interval. For a topological dynamical system $(X,T)$, having a positive entropy is considered as a chaotic property. We show that a positive topological entropy implies the existence of proper asymptotic pairs, that is, pairs of distinct points $(x,y)$ such that the distance between $T^n x$ and $T^n y$ tends to zero when $n$ goes to infinity. In addition, if $T$ is invertible, many asymptotic pairs for $T$ are Li-Yorke pairs for the inverse of $T$. The proofs of these results rely entirely on ergodic methods. A topological Markov chain is the set of infinite paths on an oriented graph; these systems are a tool for the study of maximal measures. A connected oriented graph is either transient or null recurrent or positive recurrent. We recall the links between this classification and the fact that a graph can be extended or contracted without changing its entropy, and we show that any transient graph is included in a recurrent graph of equal entropy. It is known that a Markov chain on a connected graph $G$ has a maximal measure if and only if $G$ is positive recurrent. We give a new condition implying positive recurrence and we show the existence of almost maximal measures escaping to infinity for non positive recurrent graphs. When one restricts to dynamical systems on the interval, the various notions of chaos mostly coincide. We survey the links between the different chaotic properties. For an interval map, the question of existence of maximal measures reduces in some cases to the study of a Markov chain. This allows us to give a condition that ensures the existence of a maximal measure for $C^1$ maps. For every integer $n$, we build an example of a $C^n$ mixing interval map which has no maximal measure.

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