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Fiche détaillée Thèses
Université Paris Sud - Paris XI (08/04/2005), Colliot-Thélène Jean-Louis (Dir.)
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Hypersurfaces cubiques : équivalence rationnelle, R-équivalence et approximation faible
David Madore1

Cette thèse présente quelques résultats portant sur l'arithmétique de variétés rationnellement connexes et, plus spécifiquement, des hypersurfaces cubiques, dans trois directions principales : l'équivalence rationnelle, la R-équivalence, et l'approximation faible. Dans la première partie, on décrit de façon explicite la spécialisation de la R-équivalence. La seconde est consacrée à la nullité du groupe de Chow de 0-cycles de degré 0 sur une hypersurface cubique ayant bonne réduction sur les p-adiques. La troisième montre un résultat d'approximation faible aux places de bonne réduction sur les surfaces cubiques sur les corps de fonctions. La quatrième montre la R-trivialité des hypersurfaces cubiques de grande dimension sur les p-adiques. La cinquième partie explicite par un calcul la non-nullité du groupe de Chow de 0-cycles de degré 0 d'une hypersurface cubique de dimension 3 sur un corps de dimension 2. Enfin, on étudie la R-équivalence très libre sur les variétés toriques.
1 :  DMA - Département de Mathématiques et Applications
géométrie arithmétique – hypersurfaces cubiques – équivalence rationnelle – R-équivalence – approximation faible – groupes de Chow – zéro-cycles
http://mahery.math.u-psud.fr/theses-orsay/2005/2659.html

Cubic hypersurfaces: rational equivalence, R-equivalence, and weak approximation
This thesis presents some results concerning the arithmetic of rationally connected varieties and, more specifically, cubic hypersurfaces, in three main directions: rational equivalence, R-equivalence, and weak approximation. In the first part, we describe explicitly the specialization of R-equivalence. The second part deals with the vanishing of the Chow group of 0-cycles of degree 0 on a cubic hypersurface having good reduction over the p-adics. The third shows a result of weak approximation at places of good reduction for cubic surfaces over function fields. The fourth shows the R-triviality of cubic hypersurfaces of large dimension over the p-adics. The fifth part shows, by an explicit computation, the non-vanishing of the Chow group of 0-cycles of degree 0 of a certain cubic hypersurface of dimension 3 over a field of dimension 2. Finally, we study very free R-equivalence on toric varieties.
arithmetic geometry – cubic hypersurfaces – rational equivalence – R-equivalence – weak approximation – Chow groups – zero-cycles

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