Fiche détaillée

Thèses

Liverpool University (1990-06-01), Giblin Peter J. (Dir.)

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Some applications of singularity theory to the geometry of curves and surfaces

Farid Tari1

Dans la première partie de la thèse, nous étudions les projections orthogonales d'un couple de demi-surfaces régulières qui se coupent transversalement le long d'une courbe. Nous prenons comme modèle la variété $X=\{ (x,0,z): x\ge 0\}\cup \{ (0,y,z): y\ge 0\}$ et classifions les germes d' applications $R^3,0\to R^2,0$ sous l'action des germes de difféomorphismes $R^3,0\to R^3,0$ qui préservent la variété $X$, et calquer difféomorphisme de $R^2,0\to R^2,0$. Nous obtenons toutes les singularités de codimension $\le 3$ et étudions leurs géométrie. Nous généralisons ces résultas pour 3 surfaces dans $R^3$ qui se coupent transversalement en un point. Dans la seconde partie, nous étudions quelque propriétés des courbes plane. Une manière de capter la symétrie réflexionnelle locale d'une courbe $\gamma$ est de considérer les centres des cercles bi-tangents à la courbe. L'ensemble de centres de tous ces cercles est appellé l'ensemble de symétrie de $\gamma$. Nous donnons une autre méthode pour écrire la symétrie réflexionnelle locale de $\gamma$. Celle-ci consiste à trouver les droites du plan telle que la réflexion par rapport à ces droites envoie un point de $\gamma$ et sa tangente à un autre point de la courbe et sa tangente. L'ensemble de toutes ces droites forme la courbe duale de l'ensemble de symétrie de $\gamma$. Nous étudions les singularités génériques de cette courbe duale et les bifurcations de ses singularités de co-dimension 1. Nous introduisons aussi dans cette thèse la réflexion rotationnelle locale de courbes planes. Nous définissons l'ensemble symétrique rotationnel d'une courbe $\gamma$ comme l'ensemble des centres de rotation qui envoie un point $\gamma(t_1)$, sa tangente et son centre de courbure à un autre point $\gamma(t_2)$, sa tangente et son centre de courbure. Nous étudions les propriétés génériques de l'ensemble symétrique rotationnel ainsi que les bifurcations de ses singularités de co-dimension 1.

1 :	departement de mathematiques

mots-clés : Singularités – Géométrie.

This thesis consits of two parts. The first part deals with the orthogonal projections of piecewise smooth surfaces and triples of surfaces onto planes. We take as a model of piecewise smooth surfaces the variety $X=\{ (x,0,z): x\ge 0\}\cup \{ (0,y,z): y\ge 0\}$ and classify germs of maps $R^3,0\to R^2,0$ up to origin preserving diffeomorphisms in the source which preserve the variety $X$ and any origin preserving diffeomorphisms in the target. This yields an action of a Mather subgroup $_X{\cal A}$ on $C^{\times 2}_3$, the set of map-germs $R^3,0\to R^2,0$. We list the orbits of low codimensions of such action, and give a detailed description of the geometry of each orbit. We extend these results to triples of surfaces. In the second part of the thesis we analyse the shape of smooth embedded close curves in the plane. A way of piking the local reflexional symmetry of a given curve $\gamma$ is to consider the centres of bitangents circles to the curve. The set of all the centres is a plane curve called the {\it Symmetrey Set} of $\gamma$. We present an equivalent way of tracing the local reflexional symmetry of $\gamma$ by considering the lines with respect to which a point on $\gamma$ and its tangent line are reflected to another point on the curve and its tangent line. The locus of all these lines form the dual curve of the symmetry set of $\gamma$. We study the singularities occurring on the duals of symmetry sets and their generic transitions in 1-parameter families of curves $\gamma$. A first step to define an analogous theory to study the local rotational symmetry in the plane is given. The {\it Rotational Symmetry Set} of a curve $\gamma$ is defined to be the locus of centres taking a point $\gamma(t_1)$ together with its tangent line and its centre of curvature, to $\gamma(t_2)$ together with its tangent line and its centre of curvature. We study the properties of the rotational symmetry set and list the generic transitions of its singularities in 1-parameter families of curves $\gamma$. In the final chapter we investigate the local structure of the midpoint locus of generic smooth surfaces.

tel-00001916, version 1

http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00001916/fr/

oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00001916_v1

Contributeur : Farid Tari <>

Soumis le : Lundi 4 Novembre 2002, 21:53:07

Dernière modification le : Mardi 7 Février 2006, 11:58:50