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\def\contentsname{\large Table des matières}

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  \medskip
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\def\qed{\leavevmode\unskip~\ensuremath{\lhd}}
\def\qedhere{\qed\skipqed}

\def\application#1#2#3#4{\left\{\begin{array}{rcl}
  \displaystyle#1&\longrightarrow&\displaystyle #2\\%
  \displaystyle#3&↦&\displaystyle#4\\\end{array}\right.}

\def\axiomes{\list{(\arabic{enumi})}%
  {\usecounter{enumi}\leftmargin 3.5em \def\makelabel##1{\hss\llap{##1}}}}
\let\endaxiomes\endlist

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\def\Mdieud{\mathbf{M}}
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% notations « mobiles »
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\def\trans{{}^t\!}

\let\ro\mathscr
\let\gras\mathbb

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\begin{document}
% \begin{verbatim}
% $Id: banachcolmez.tex,v 1.25 2009-09-08 20:12:11 plut Exp $
% \end{verbatim}
\begingroup
\centering
\fontfamily{fop}\bfseries
\thispagestyle{empty}

\includegraphics[width=4cm]{logo-ups}\hfill
\includegraphics[width=4cm]{logo-fac}

% {\Large Université de Paris-Sud\\}
% {\large Centre d'Orsay\\}
% 
\vfil
{\huge Thèse\par}
\vfil

{\large présentée par\par}
\bigskip

{\huge Jérôme \scshape Plût\par}
\bigskip

{\large pour obtenir le grade de docteur en Sciences\\
de l'université de Paris-XI (Orsay)\\}

\vfil
\vfil

\hrule width \textwidth height .5pt
\vskip 5mm
{\huge \vrule width 0pt depth 7mm
Espaces de Banach analytiques~$p$-adiques\\
 et espaces de~Banach-Colmez}

\vskip 5mm
\hrule width \textwidth height .5pt

\vfil\vfil

{\large Soutenue le 29 septembre 2009 devant le jury composé de}

\bigskip

\mdseries\large
\begin{tabular}{p{8cm}p{4cm}}
Pierre {\scshape Colmez} (École Polytechnique), & rapporteur \\
Philippe {\scshape Elbaz-Vincent} (Grenoble I) & \\
Laurent {\scshape Fargues} (Paris XI) & \\
J.-M. {\scshape Fontaine} (Paris XI), & directeur de thèse\\
Emmanuel {\scshape Ullmo} (Paris XI) & \\
Jean-Pierre {\scshape Wintenberger} (Strasbourg), & rapporteur \\
\end{tabular}
\vfil
{\normalsize Numéro d'ordre : 9524\par}

\endgroup

\cleardoublepage

\setcounter{tocdepth}{2}

\pagestyle{empty}
\tableofcontents
\vfill

\cleardoublepage
\pagestyle{fancy}

%>>>1
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\section*{Remerciements}

Je tiens d'abord à exprimer toute ma reconnaissance à mon directeur de thèse
Jean-Marc Fontaine pour son aide scientifique qui m'a été précieuse.
Je remercie également toute l'équipe du laboratoire
de mathématiques d'Orsay, ainsi que de l'école doctorale de
mathématiques, plus particulièrement son directeur Pierre Pansu pour sa
patience, ainsi que sa secrétaire Valérie Blandin-Lavigne pour son
efficacité.

Mes remerciements vont également à Pierre Colmez et Jean-Pierre
Wintenberger qui ont accepté d'être mes rapporteurs, ainsi qu'aux autres
membres du jury Philippe Elbaz-Vincent, Laurent Fargues et Emmanuel
Ullmo.

Enfin, merci à ma famille, à ma compagne Marie, ainsi qu'à Rachel,
Angela, Anne-Laure, Boris, Claire, Clarisse, Clément, David, Emmanuel,
F.-X., François, Gaëtan, Irène, Joël, Luca, Lucas, et Quentin.

\newpage

\section*{Introduction}

Soit~$C$ un corps algébriquement clos de caractéristique nulle, complet
pour une valeur absolue ultramétrique~$\abs{⋅}$ et dont le corps résiduel
est de caractéristique~$p > 0$. On note~$\O_C$ l'anneau de valuation
de~$C$.

Pour toute $C$-algèbre topologique~$A$, on note~$\Spm A$ l'espace
topologique des morphismes continus de $C$-algèbres de~$A$ vers~$C$, muni
de la topologie de la convergence simple. Une partie~$Ω$ de~$\Spm_C A$
est dite \emph{bornée} s'il existe un ouvert non vide~$U$ de~$A$ tel que
l'ensemble des~$\abs{s(a)}$ pour~$s ∈ Ω$ et~$a ∈ U$ soit borné. Pour
toute partie bornée~$Ω$ de~$\Spm A$, l'application~$\norme{⋅}_Ω$ définie
par~$\norme{a}_{Ω} = \sup \acco {\abs{s(a)}, s ∈ Ω}$ est une semi-norme
sur~$A$. On dit que~$A$ est \emph{pro-spectrale} si l'application
naturelle de~$A$ dans sa séparée complétée pour la famille des
semi-normes~$\norme{⋅}_Ω$ est un homéomorphisme.


La catégorie des \emph{variétés spectrales} sur~$C$ est la catégorie
opposée à celle des $C$-algèbres spectrales. Il est commode de voir une
variété spectrale comme un espace topologique~$S$ muni d'une
\emph{structure spectrale}, celle-ci consistant en la donnée d'une
algèbre pro-spectrale~$A$ et d'un homéomorphisme de~$\Spm A$ sur~$S$. On
appelle alors~$A$ l'\emph{algèbre des fonctions analytiques} sur la
variété spectrale~$S$ ; les \emph{fonctions analytiques} entre deux
variétés spectrales~$S = \Spm A$ et~$T = \Spm B$ sont les morphismes de
variétés spectrales, c'est-à-dire les morphismes continus de~$C$-algèbres
de~$B$ vers~$A$. Par exemple, $C$~est une variété spectrale et son
algèbre de fonctions analytiques est l'algèbre des séries formelles de
rayon de convergence infini (on voit ainsi que les fonctions analytiques
sur une variété spectrale~$S$ sont bien les fonctions analytiques de~$S$
vers la variété spectrale~$C$).

Un \emph{espace de~Banach spectral effectif} sur~$C$ est un objet en
espaces de~Banach $p$-adiques dans la catégorie des variétés spectrales
sur~$C$. Par exemple :
\begin{itemize}
\item tout $\Qp$-espace vectoriel de dimension finie~$V$ a une structure
naturelle d'espace de~Banach spectral effectif, l'algèbre spectrale étant
l'algèbre des fonctions continues sur~$V$ ;
\item tout $C$-espace vectoriel de dimension finie~$W$ a une stucture
naturelle d'espace de~Banach spectral effectif : pour tout
sous-$\O_C$-module libre~$\ro W$ de~$W$ contenant une base de~$W$,
l'algèbre des fonctions analytiques sur~$W$ est la complétée de~$\Sym_C
W^{⋆}$ pour la famille de semi-normes~$\norme{a}_{n} = \sup \acco{
\abs{a(x)}, x ∈ p^{-n} \ro W}$ ;
\item soit~$\go m_C$ l'idéal maximal de~$C$ et~$U$ l'ensemble des
suites~$(u^{(n)})_{n ∈ ℕ}$ d'éléments de~$1+\go m_C$
vérifiant~$(u^{(n+1)})^p = u^{(n)}$ pour tout~$n ∈ ℕ$. C'est, de façon
naturelle, un espace de~Banach $p$-adique et~$\ro U = \acco { u ∈ U,
u^{(0)} ∈ 1 + p \O_C}$ est un réseau de~$U$. Il a aussi une structure
d'espace de~Banach spectral effectif : soit~$A_0$ la limite inductive des
algèbres~$C[X_n]$ pour les morphismes~$X_n ↦ X_{n+1}^p$. Tout élément
de~$U$ définit de façon évidente une fonction continue sur~$A_0$ à
valeurs dans~$C$, et l'algèbre des fonctions analytiques sur~$U$ est la
séparée complétée de~$A_0$ pour la famille de semi-normes $\norme{a}_n =
\sup \acco { \abs{a(x)}, x ∈ p^{-n} \ro U}$.
\end{itemize}

La catégorie des espaces de~Banach spectraux effectifs est une catégorie
exacte : une suite exacte est une suite~$0 → E' →^f E →^g E'' → 0$, où
$f$~et~$g$ sont des applications $\Qp$-linéaires analytiques, qui est
exacte dans la catégorie des $\Qp$-espaces vectoriels.

Par exemple, la suite~$0 → \Qp(1) → U → C → 0$, où~$\Qp(1)$ est le
sous-$\Qp$-espace vectoriel de~$U$ formé des~$(u^{(n)})_{n ∈ ℕ}$ tels
que~$u^{(0)}$ soit une racine de l'unité, et~$U → C$~est le
morphisme~$(u^{(n)})_{n ∈ ℕ} ↦ \log (u^{(0)})$, est une suite exacte
d'espaces de~Banach spectraux effectifs.

Un \emph{espace de~Banach-Colmez effectif} sur~$C$ est un espace
de~Banach spectral effectif qui est extension d'un $C$-espace vectoriel
de dimension finie~$W$ par un $\Qp$-espace vectoriel de dimension
finie~$V$. Un \emph{espace de~Banach-Colmez} est le quotient d'un espace
de~Banach-Colmez effectif par un $\Qp$-espace vectoriel de dimension
finie : de façon plus précise, la catégorie des espaces de~Banach-Colmez
est la localisée de la catégorie des paires~$(V ⊂ E)$ (où~$V$~est un
$\Qp$-espace vectoriel de dimension finie et~$E$ un espace
de~Banach-Colmez effectif) par les quasi-isomorphismes, c'est-à-dire les
morphismes~$(V ⊂ E) → (V' ⊂ E')$ qui induisent une bijection~$E/V →
E'/V'$.

La catégorie des espaces de~Banach-Colmez est abélienne et le foncteur
d'oubli de cette catégorie vers celle des espaces de~Banach $p$-adiques
est exact et fidèle. On peut donc voir un espace de~Banach-Colmez comme
un espace de~Banach $p$-adique muni d'une structure supplémentaire ; on
appelle \emph{applications $\Qp$-linéaires analytiques} les morphismes de
la catégorie des espaces de~Banach-Colmez. Le foncteur naturel de la
catégorie~$\BC^+_C$ des espaces de~Banach-Colmez effectifs vers la
catégorie~$\BC_C$ des espaces de~Banach-Colmez est exact et pleinement
fidèle, ce qui identifie~$\BC_C$ à l'abélianisation de~$\BC^+_C$
(c'est-à-dire que tout foncteur exact de~$\BC^+_C$ vers une catégorie
abélienne se factorise uniquement (à un isomorphisme de foncteurs près)
par~$\BC_C$). 

\bigskip

Comme la terminologie le suggère, il existe une équivalence naturelle de
catégories entre~$\BC_C$ et la catégorie introduite dans~\cite{Colmez}
sous le nom d'\emph{Espaces de~Banach de dimension finie}. Outre le fait
de donner une nouvelle approche de la catégorie introduite par Colmez, le
but de ce travail est d'étudier en détail cette catégorie, qui est liée
d'assez près, comme l'avait remarqué Colmez, aux anneaux de
périodes~$B\cris$ et~$B\dR$. En particulier, nous redémontrons certains
résultats de~Colmez et mettons également en évidence une filtration
de~Harder-Narasimhan sur une sous-catégorie intéressante de~$\BC_C$.

\bigskip

Ce travail prouve en particulier les résultats suivants :

\begin{enumerate}
\item Soit~$X$ un espace de~Banach-Colmez ; alors on peut représenter~$X$
par les deux suites exactes
\[ 0 → V_- → E → X → 0 \quad\text{et}\quad 0 → V_+ → E → W → 0 \],
où~$W$~est un $C$-espace vectoriel de dimension finie et~$V_+$, $V_-$
deux $\Qp$-espaces vectoriels de dimension finie. Alors les entiers
\[ \dim(X) = \dim_C W \quad\text{et}\quad
 \haut(X) = \dim_\Qp V_+ - \dim_\Qp V_- \]
ne dépendent pas des choix effectués pour~$V_+$, $V_-$ et~$W$. On les
appelle respectivement~\emph{dimension} et~\emph{hauteur} de~$X$. De
plus, ces fonctions sont additives sur la catégorie~$\BC_C$.

\item Tout~$B^+\dR$-module de longueur finie peut naturellement être muni
d'une structure d'espace de~Banach-Colmez ; sa dimension est alors égale
à sa longueur comme $B^+\dR$-module et sa hauteur est nulle. Le
foncteur ainsi défini de la catégorie des $B^+\dR$-modules de longueur
finie vers celle des espaces de~Banach-Colmez est exact et pleinement
fidèle.

\item Soient~$k$ un sous-corps parfait du corps résiduel de~$C$, $K_0 =
\Frac W(k)$, et~$σ$ le Frobenius absolu sur~$K_0$. Un
\emph{$φ$-isocristal effectif} sur~$k$ est un $K_0$-espace vectoriel de
dimension finie~$D$, muni d'une application $σ$-linéaire~$φ: D → D$
bijective et telle qu'il existe un réseau de~$D$ stable par~$φ$. Pour
tout $φ$-isocristal effectif~$D$, le $\Qp$-espace vectoriel~$E(D)$ des
applications $\Qp$-linéaires $φ$-équivariantes~$D → B^+\cris$ a une
structure naturelle d'espace de~Banach-Colmez ; de plus, la dimension
de~$E(D)$ est égale au nombre de~Newton~$\tN(D)$ (c'est-à-dire à la
valuation $p$-adique du déterminant de~$φ$) et la hauteur de~$E(D)$ est
égale à~$\dim_{K_0} D$. Si les pentes de~$D$ sont~$≤ 1$ (i.e. s'il existe
un réseau~$\ro D$ tel que~$p \ro D ⊂ φ(\ro D)$), alors~$E(D)$ est
effectif.

Cette construction est fonctorielle et le foncteur ainsi défini de la
catégorie des~$φ$-isocristaux vers celle des espaces de~Banach-Colmez est
exact et fidèle.

\item Pour tout~$m ∈ ℕ$, soit~$B_m = B^+\dR / \Fil^m B^+\dR$ ; on note
encore~$\BtdR$ le $B^+\dR$-module~$B\dR / B^+\dR = \limi_{m ∈ ℕ}
B_m(-m)$. Pour tout espace de~Banach-Colmez~$X$, on note
\[\begin{split}
X^⋆\dR = \Hom (X, \BtdR) = \limi_{n ∈ ℕ} \Hom_{\BC_C} (X, B_m(-m)), \\
X^+\dR = \Hom_{B^+\dR} (X^⋆\dR, \BtdR)\quad\text{et}\quad
X\dR = X^+\dR ⊗_{B^+\dR} B\dR.
\end{split}\]\relax
Alors~$X^+\dR$ est un $B^+\dR$-module de type fini, et donc~$X\dR$~est un
$B\dR$-espace vectoriel de dimension finie. On dit que~$X$~est
\emph{constructible} si l'application naturelle~$X → X^+\dR$ est
injective et que~$X$ est \emph{à pentes finies} si~$X → X\dR$ est
injective, ce qui revient à dire que~$X$ est constructible et que le
$B^+\dR$-module~$X^+\dR$ est sans $B^+\dR$-torsion. Si $X$~est
constructible alors $\dim_{B\dR} X\dR = \haut(X)$ ; en particulier, la
hauteur de~$X$ est positive.

Un espace de~Banach-Colmez~$X$ est constructible \ssi il admet une
\emph{pseudo-présentation}, c'est-à-dire une suite exacte d'espaces
de~Banach-Colmez
\[ 0 → V → X → M → 0 \]
où $V$~est un $\Qp$-espace vectoriel de dimension finie, et~$M$ un
$B^+\dR$-module de longueur finie. En particulier, tout espace
de~Banach-Colmez effectif est constructible.

Lorsque~$X$ est constructible, on identifie l'espace de~Banach $p$-adique
sous-jacent à son image dans~$X^+\dR$ et on note~$F^{∞} X$ le
sous-$B^+\dR$-module de torsion de~$X$ ; alors le quotient~$X/F^{∞} X$
est à pentes finies (et c'est le plus grand quotient à pentes finies
de~$X$).

\item La catégorie des espaces de~Banach-Colmez constructibles est exacte
et le foncteur~$X ↦ X^+\dR$ vers la catégorie des $B^+\dR$-modules est
exact et fidèle. Pour tous espaces de~Banach-Colmez constructibles~$X$
et~$Y$, le $\Qp$-espace vectoriel des applications $\Qp$-linéaires
analytiques de~$X$ dans~$Y$ s'identifie à l'ensemble des applications
$B^+\dR$-linéaires~$f: X^+\dR → Y^+\dR$ telles que~$f(X) ⊂ Y$.

La catégorie des $B^+\dR$-modules de longueur finie s'identifie à la
sous-catégorie pleine des espaces de~Banach-Colmez constructibles qui
sont de hauteur nulle.

\item La catégorie des espaces de~Banach-Colmez à pentes finies est une
catégorie exacte et le foncteur~$X ↦ X\dR$ vers la catégorie des
$B\dR$-espaces vectoriels est exact et fidèle. Soient~$X$ un espace
de~Banach-Colmez à pentes finies et~$Y$ un sous-objet de~$X$ ; alors~$Y$
est à pentes finies et~$Y\dR$ est un sous-$B\dR$-espace vectoriel
de~$X\dR$. L'\emph{adhérence} de~$Y$ dans~$X$ est~$\overline{Y} = X ∩
Y\dR$ ; c'est un sous-objet strict de~$X$ (c'est-à-dire que le
quotient~$X / \overline{Y}$ est à pentes finies) et~$\dim Y ⊂
\dim \overline{Y}$ avec égalité \ssi $Y = \overline{Y}$.

Ces propriétés permettent de munir la catégorie des espaces
de~Banach-Colmez à pentes finies d'une \emph{structure
de~Harder-Narasimhan} : cette catégorie a des propriétés formelles
analogues à celle des fibrés vectoriels sur une courbe projective lisse,
la hauteur jouant le rôle du rang, et la dimension celui du degré. Plus
précisément, la \emph{pente} d'un objet~$X$ est le nombre rationnel
positif~$μ(X) = \dim X / \haut X$ ; on dit que~$X$ est \emph{semi-stable}
si pour tout sous-objet strict~$Y$ de~$X$, on a~$μ(Y) ≤ μ(X)$. Alors tout
objet non nul~$X$ admet une unique filtration par des sous-objets stricts
\[ 0 = X_0 \supsetneq X_1 … \supsetneq X_{m}  = X \],
telle que chaque quotient~$X_i/X_{i-1}$ soit semi-stable et que la suite
des pentes~$μ(X_i/X_{i-1})$ soit strictement décroissante.

Il est commode de renuméroter cette filtration et d'introduire la
filtration décroissante~$(\Fil^{α} X)$ indexée par les réels positifs, en
notant~$\Fil^{α} X = X_i$, où~$i$ est le plus petit entier tel
que~$μ(X_i/X_{i-1}) ≤ α$ (et~$\Fil^{α} X = 0$ pour~$α ≥ μ(X_{1})$). Les
gradués de cette filtration sont les~$\Gr^{α} X = \Fil^{α} X /
\limi_{β > α} \Fil^{β} X$. Cette filtration est exhaustive et séparée,
les sauts (i.e. les~$α$ tels que~$\Gr^α X ≠ 0$) sont des nombres
rationnels et sont en nombre fini.

\item Soit~$X$ un espace de~Banach-Colmez constructible. On munit~$X$
d'une filtration décroissante indexée par~$[0,+∞]$ en notant~$\Fil^α X$
l'image inverse dans~$X$ de~$\Fil^α(X/F^{∞} X)$ et~$\Fil^{∞} X = F^{∞}X$. 
Tout morphisme d'espace de~Banach-Colmez constructibles~$X → Y$ est
compatible avec les filtrations sur~$X$ et~$Y$.

\item Pour tout~$α ∈ [0,+∞[ ∩ ℚ$, soit~$α = d/h$ l'écriture irréductible
de~$α$ ; on pose alors~$E_α = \acco {x ∈ B^+\cris, φ^h(x) = p^d⋅x}$.
Alors tout espace de~Banach-Colmez semi-stable de pente~$α$ est isomorphe
à une somme directe d'un nombre fini de copies de~$E_α$.

Pour tout espace de~Banach-Colmez
à pentes finies~$X$ et pour tout~$α ∈ [0,+∞[$, il existe un entier~$n_X(α)$
tel que~$\Gr^α X$ soit isomorphe à~$(E_α)^{n_X(α)}$, et la
filtration~$(\Fil^{α} X)$ est (non canoniquement) scindée. Autrement dit,
il existe une (unique) fonction~$n_X: ℚ_+ → ℕ$, presque
partout nulle, et telle que
\[ X \; ≃ \; \bigoplus_{α} E_α^{n_X(α)} \].
Pour tout réel~$α$, le sous-objet~$\Fil^α X$ s'identifie alors
à~$\bigoplus E_β^{n_X(β)}$ pour~$β ≥ α$.
\end{enumerate}

Signalons enfin que la définition des espaces de~Banach-Colmez sur~$C$ se
généralise en une définition des espaces de~Banach-Colmez sur tout
sous-corps fermé~$K$ de~$C$ dont la clôture algébrique est dense
dans~$C$. Les propriétés de ces espaces permettent alors de retrouver le
théorème de~\cite{CF} qui dit que lorsque la valuation sur~$K$ est
discrète, alors tout $φ$-module filtré sur~$K$ qui est faiblement
admissible est admissible.

\bigskip

Décrivons à présent l'organisation de ce travail ; il est divisé en trois
parties. La première se compose des chapitres~1 à~3 et construit le cadre
général des groupes spectraux dans lequel se situe toute la suite. La
deuxième partie (chapitres~4~à~6) donne la définition des espaces
de~Banach-Colmez ainsi que leur propriété principale, le lemme
fondamental~\ref{thm:LF}. Enfin, la troisième partie (chapitres~7~à~10)
tire les conséquences de ce résultat sur la structure de la catégorie des
espaces de~Banach-Colmez.

\bigskip

Le chapitre~1 donne le cadre des variétés spectrales. Soient~$K$ un corps
$p$-adique et~$C$ la complétion de la clôture algébrique de~$K$. À toute
$K$-algèbre de~Fréchet~$A$ (ceci incluant les algèbres de~Banach) on
associe son \emph{spectre}~$\Spm A$, qui est l'espace topologique des
morphismes continus de~$K$-algèbres de~$A$ vers~$C$. Par la
transformation de Gelfand, $A$~est une sous-algèbre des fonctions
continues de~$\Spm A$ vers~$C$ ; on dit que~$A$ est \emph{spectrale} si
sa topologie est celle de la convergence uniforme sur tout borné de~$\Spm
A$ et \emph{pro-spectrale} si c'est une limite projective dénombrable
d'algèbres spectrales. La catégorie des \emph{variétés spectrales}
sur~$K$ est la catégorie opposée à celle des $K$-algèbres pro-spectrales.

Le chapitre~2 considère le cas particulier des algèbres affinoïdes,
c'est-à-dire des algèbres de~Banach topologiquement de type fini sur~$K$.
Les \emph{variétés spectrales rigides} sont celles qui sont associées à
des algèbres affinoïdes.

Le troisième chapitre est consacré aux groupes spectraux affines,
c'est-à-dire aux objets en groupes dans la catégorie des variétés
spectrales affines, et aux espaces de~Banach spectraux effectifs.

\bigskip

Le chapitre~4 élargit la gamme des espaces de~Banach spectraux effectifs
à notre disposition en étudiant les structures analytiques obtenues à
partir des objets classiques de la théorie des périodes $p$-adiques. En
particulier, l'anneau~$R = \limp (… → \O_C →^{x ↦ x^p} \O_C)$ est muni
d'une structure spectrale, ainsi que son anneau de vecteurs
de~Witt~$W(R)$ ; il en est de même du $W(R)$-module~$BW(R)$
des~\emph{bivecteurs de~Witt} à coefficients dans~$R$, c'est-à-dire des
vecteurs~$(x_n)_{n ∈ ℤ}$ indexés par~$ℤ$ tels que~$\lim\sup_{n → -∞}
\abs{x_n} < 1$.

Le cinquième chapitre introduit les espaces de~Banach-Colmez effectifs,
et en donne plusieurs constructions (à partir de groupes $p$-divisibles
sur le corps résiduel de~$k$ ou à partir de sous-objets de~$BW(R)$).
Enfin, ce chapitre montre que~$E_1 = \acco {x ∈ B^+\cris, φ(x) = p
x}$~est l'extension universelle de~$C$ par~$\Qp$ dans la catégorie des
espaces de~Banach spectraux ; ceci permet de classifier les extensions
spectrales d'un $C$-espace vectoriel de dimension finie par un
$\Qp$-espace vectoriel de dimension finie.

Le sixième chapitre établit le lemme fondamental (analogue à ceux
présents dans~\cite{CF,Colmez}) : soit $E$ un espace de~Banach-Colmez
effectif admettant une présentation de dimension un (c'est-à-dire qui
s'écrit comme extension de~$C$ par un $\Qp$-espace vectoriel~$V$ de
dimension finie~$h$). Alors tout morphisme analytique~$u$ de~$E$ vers~$C$
vérifie l'une des deux conditions suivantes :
%
\begin{enumerate}
\item l'image de~$u$ est un $\Qp$-espace vectoriel de dimension finie ;
\item $u$~est surjectif, et son noyau est un $\Qp$-espace vectoriel de
dimension~$h$.
\end{enumerate}
Ce résultat est établi en deux étapes. La première partie le montre pour
l'espace de~Banach-Colmez élémentaire~$E_{1,h} = \acco {x ∈ B^+\cris,
φ^h(x) = px}$, à l'aide de la structure analytique explicite de~$E_{1,h}$
établie au paragraphe 5.2. La deuxième partie ramène le cas général à
celui-ci en utilisant l'extension universelle du chapitre précédent.

\bigskip

Le chapitre~7 construit la catégorie des espaces de~Banach spectraux.
C'est une catégorie localisée de morphismes d'espaces de~Banach spectraux
effectifs ; elle contient comme sous-catégorie pleine celle des espaces
de~Banach spectraux effectifs étudiée jusque-là, et tout morphisme dont
la source est un espace de~Banach spectral étale a un conoyau par
construction.

En localisant de la même façon la catégorie des espaces de~Banach-Colmez
effectifs, on obtient la catégorie des espaces de~Banach-Colmez, qui est
une sous-catégorie pleine de celle des espaces de~Banach spectraux. Le
chapitre~8, à partir du lemme fondamental~\ref{thm:LF}, montre que la
catégorie des espaces de~Banach-Colmez est abélienne et qu'il existe
d'uniques fonctions de dimension et de hauteur (notées~$\dim$
et~$\haut$), additives sur les suites exactes courtes et telles que~$\dim
C = 1$, $\haut C = 0$, $\dim\Qp = 0$ et~$\haut\Qp = 1$. Le chapitre~8
montre également que la catégorie des espaces de~Banach-Colmez est
équivalente à celle des Espaces de~Banach de~\cite{Colmez}, pour lesquels
ce résultat est déjà connu.

Le chapitre~9 est consacré aux homomorphismes et aux extensions d'espaces
de~Banach-Colmez. On commence par construire un foncteur pleinement
fidèle de la catégorie des $B^+\dR$-modules de longueur finie vers celle
des espaces de~Banach-Colmez, qui prolonge la structure spectrale
naturelle sur les $C$-espaces vectoriels (qui sont les $B^+\dR$-modules
annulés par $tB^+\dR$). Soient~$\Be = \acco {x ∈ B^+\cris, φ(x) = x}$
et~$\BtdR = B\dR/ B^+\dR$ ; alors la suite exacte fondamentale~$0 → \Qp →
\Be → \BtdR → 0$~est naturellement munie d'une structure analytique, est
c'est même l'extension universelle de~$\BtdR$ par~$\Qp$.

Enfin, le chapitre~10 classifie les espaces de~Banach-Colmez à pentes
finies. Il établit la structure de Harder-Narasimhan de cette catégorie
et donne la nature des gradués de la filtration.

\chapter{Espaces de~Banach spectraux effectifs}
%<<<1
\section{Variétés spectrales affines}
%<<<2 Introduction
Dans tout ce qui suit, $p$ est un nombre premier, et $K$ est un corps
complet pour une valuation $p$-adique $v_K$, normalisée par $v_K(p) = 1$.
On note également~$\abs{⋅}$ la valeur absolue associée, définie
par~$\abs{x} = p^{-v_K(x)}$.
L'anneau des entiers de~$K$ est noté~$\O_K$ et son idéal maximal~$\go
m_K$.
%
On note~$\overline K$ une clôture algébrique de~$K$, $\GK$~le groupe
de Galois de~$\overline K$ sur~$K$, et $C$ la complétion
de~$\overline K$ ; c'est un corps algébriquement clos, et l'action
de~$\GK$ sur~$\overline K$ se prolonge de façon unique en une action
continue sur~$C$.

\medskip

Tous les anneaux et algèbres considérés sont, sauf mention explicite du
contraire, supposés unitaires et commutatifs.

%<<<2
\subsection{Espaces de~Banach}

\begin{df}
Soit~$V$ un $K$-espace vectoriel. On appelle \emph{réseau} de~$V$ tout
sous-$\O_K$-module~$\ro V$ de~$V$ séparé pour la topologie $p$-adique et
tel que l'application canonique~$\ro V\otimes_{\Zp}\Qp → V$ soit
bijective. Deux réseaux~$\ro V_1$ et~$\ro V_2$ sont dits
\emph{commensurables} s'il existe un entier~$n$ tel que~$p^n\ro V_1⊂\ro
V_2$ et~$p^n\ro V_2⊂V_1$.
\end{df}

Pour tout réseau~$\ro V$ de~$V$, l'application~$\norme{⋅}_{\ro V}$
définie sur~$V$ par~$\norme{x}_{\ro V} = \inf\acco{\abs{λ}, x ∈ λ V}$ est une
norme sur~$V$. Inversement, si~$N$ est une norme sur~$V$, alors sa boule
unité~$\ro B$ est un réseau de~$V$, et~$\norme{⋅}_{\ro B}$ est une norme
équivalente à~$N$. Deux normes sont équivalentes \ssi les réseaux
correspondants sont commensurables ; un réseau est commensurable au
réseau définissant la norme \ssi il est ouvert est borné pour cette
norme.

Par conséquent, il revient au même de munir un~$K$-espace vectoriel d'une
classe d'équivalence de normes, ou d'une famille de réseaux
commensurables. Ceci définit de façon unique une topologie sur~$V$.

\begin{df}
La catégorie des \emph{$K$-espaces de~Banach} est la catégorie dont les
objets sont les $K$-espaces vectoriels
topologiques complets dont la topologie provient d'une norme, et dont
les morphismes sont les applications $K$-linéaires continues.
\end{df}

Dire qu'un $K$-espace vectoriel normé~$V$ est un $K$-espace de~Banach
revient donc à dire que sa boule unité~$\ro V$ est séparée et complète
pour la topologie $p$-adique.

Un produit direct de deux $K$-espaces de~Banach, muni de la topologie produit,
est encore un $K$-espace de~Banach ; si ces espaces sont munis de normes,
cette topologie est aussi donnée par la norme~$\norme{(v,w)} = \max\acco{
\norme{v}, \norme{w} }$. Par conséquent, tout $K$-espace vectoriel de
dimension finie est un $K$-espace de~Banach.

Tout sous-$K$-espace vectoriel fermé d'un $K$-espace de~Banach est un $K$-espace
de~Banach. De plus, si~$W$~est un sous-$K$-espace vectoriel fermé d'un
espace de~Banach~$V$, alors le quotient~$V/W$, muni de la
norme~$\norme{⋅}_{V/W}$ définie par~$\norme{v}_{V/W}=\inf
\acco{\norme{\widehat{v}}_V,\widehat{v}↦v} = d(v, W)$ est un $K$-espace de~Banach.

Soient~$V, W$ deux $K$-espaces de~Banach dont la topologie est donnée par
des réseaux respectifs sont~$\ro V$ et~$\ro W$, et notons~$\ro V \hotimes
\ro W$ le séparé complété pour la topologie $p$-adique du
$\O_C$-module~$\ro V ⊗ \ro W$ ; alors~$(\ro V \hotimes \ro W) ⊗_{\O_C}
C$~est un $K$-espace de~Banach, qui ne dépend pas du choix des
réseaux~$\ro V$ et~$\ro W$, et que l'on note~$V \hotimes W$.
%
De plus, le $K$-espace
vectoriel~$\Hom_K(V,W)$ des applications $K$-linéaires continues de~$V$
vers~$W$ est un $K$-espace de~Banach, dont une norme est donnée
par~$\norme{f}_{\Hom_K(V,W)} = \sup \acco{\norme{f(v)}_W,
\norme{v}_V ≤ 1}$.

\medbreak

La proposition suivante est un théorème classique d'analyse fonctionnelle
réelle, qui s'applique tel quel en analyse fonctionnelle $p$-adique.

\begin{prop}\label{prop:df Fréchet}\cite[1.25,1.36,1.37]{Rudin}
Soit~$V$ un $K$-espace vectoriel. Alors les trois conditions suivantes
sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item $V$~est la limite projective d'une famille dénombrable d'espaces
de~Banach ;
\item la topologie de~$V$ est donnée par une famille dénombrable de
semi-normes pour laquelle $V$~est séparé et complet ;
\item la topologie de~$V$ est donnée par une distance invariante par
translation pour laquelle $V$~est complet.
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{proof}
Il est clair que les conditions (i)~et~(ii) sont équivalentes.

Supposons que $(p_n)_{n∈ℕ}$~soit une famille de semi-normes définissant
la topologie sur~$V$. Soit~$h$ une fonction continue, définie
sur~$[0,+∞[$ et à valeurs dans~$[0,1[$, bornée, strictement croissante, telle
que~$f(0)=0$ ; par exemple~$h(x)=\frac x{x+1}$. On pose alors,
pour~$x,y∈V$ :
\[ d(x,y) = ∑_{n∈ℕ} 2^{-n} h(p_n(x-y)) \];
alors $d$~est invariante par translation, et puisque~$d(x,y)=0$ \ssi
$p_n(x-y)=0$ pour tout~$n$, c'est une distance sur~$V$. Enfin, puisque
$V$~est complet pour la famille~$(p_n)$, il l'est pour la distance~$d$.

Réciproquement, supposons que~$V$ soit muni d'une distance~$d$ invariante
par translation ; soit~$(Ω_n)_{n∈ℕ}$ une base dénombrable de
voisinages de zéro. Pour tout~$n$ et pour tout~$x∈V$, puisque la fonction
de~$K$ dans~$V$ qui à~$λ$ associe~$λ x$ est continue, $λ x$~appartient
à~$Ω_n$ pour~$λ $ assez proche de zéro. Pour tout~$n∈ℕ$, on pose donc
\[ p_n(x) = \inf \acco{ \abs{λ},\; λ ∈ V, λ^{-1} x ∈ Ω_n} \];
$p_n$~est une semi-norme sur~$V$, et puisque la famille~$(Ω_n)_{n∈ℕ}$ est
une base de voisinages de zéro, la topologie de~$V$~est bien celle donnée
par les semi-normes~$(p_n)_{n∈ℕ}$.
\end{proof}


\begin{df}
Un \emph{$K$-espace de Fréchet}~$V$ (\textit{« F-space »} au sens
de~\cite{Rudin}) est un $K$-espace vectoriel
topologique satisfaisant les trois conditions équivalentes de la
proposition~\ref{prop:df Fréchet}.
\end{df}

En particulier, tout $K$-espace de~Banach est un $K$-espace de~Fréchet.

Un sous-espace fermé d'un espace de~Fréchet, un quotient d'un espace
de~Fréchet par un sous-espace fermé, ou le produit tensoriel complété de
deux espaces de~Fréchet sont encore des espaces de~Fréchet. Cependant,
l'espace des morphismes entre deux espaces de~Fréchet n'est en général
pas un espace de~Fréchet.

\medskip

Puisque les $K$-espaces de~Fréchet sont complets, ils
vérifient le théorème de~Baire et ses conséquences (\cite[2.8.1]{BGR}) :

\begin{mytheorem}{Théorème de Baire}\cite[2.2]{Rudin}
L'intersection d'une famille dénombrable d'ouverts denses d'un $K$-espace
de~Fréchet~$V$ est dense.
\end{mytheorem}

Ceci revient bien sûr au même que de dire que la réunion d'une
famille dénombrable de fermés d'intérieur vide d'un $K$-espace
de~Fréchet~$V$ est d'intérieur vide. En particulier, si $V$~est réunion
dénombrable de fermés, alors l'un au moins de ces fermés est d'intérieur
non vide.

\begin{mytheorem}{Théorème de l'application ouverte}\cite[2.11]{Rudin}
Soient $V$, $W$ deux $K$-espaces de~Fréchet, et soit~$f:V→W$ une
application linéaire continue. Si $f$~est surjective, alors $f$~est une
application ouverte.
\end{mytheorem}

En particulier, si $f$~est bijective et continue, alors l'application
linéaire réciproque~$f^{-1}$~est continue.

\begin{mytheorem}{Théorème du graphe fermé}\cite[2.15]{Rudin}
Soient~$V$, $W$ deux $K$-espaces de~Fréchet, et soit~$f:V→W$ une
application linéaire. Alors $f$~est continue \ssi son graphe est fermé
dans~$V×W$.
\end{mytheorem}

\begin{df}\cite[2.3]{Rudin}
Un ensemble~$Λ$ d'applications linéaires~$V→W$ est dit
\emph{collectivement borné} si pour toute partie bornée~$A$ de~$V$,
$Λ(A)$~est bornée dans~$W$.
\end{df}

\begin{mytheorem}{Théorème de Banach-Steinhaus}\cite[2.5]{Rudin}
Soient~$V$, $W$ deux $K$-espaces de~Fréchet, et soit~$Λ$ un ensemble
d'applications linéaires continues~$f:V→W$. Si pour tout~$v ∈ V$,
l'ensemble~$\acco {f(v), f ∈ Λ}$ est borné, alors $Λ$~est collectivement
borné.
\end{mytheorem}


\begin{prop}
Soient~$V$ un $K$-espace de~Banach et~$\ro V$ un réseau munissant~$V$
de sa topologie. Alors un réseau~$\ro W$ de~$V$ est commensurable à~$\ro
V$ \ssi il est fermé dans~$V$.
\end{prop}

\begin{proof}
Supposons d'abord $\ro W$ commensurable à~$\ro V$. Alors $\ro W$~est en
particulier ouvert, et donc fermé puisque c'est un sous-groupe de~$V$.

Réciproquement, supposons  que $\ro W$~est un réseau fermé. Puisque $\ro
W$~est un réseau, on peut alors écrire $V=\bigcup_{n≥0}p^{-n}\ro W$ ;
puisque $V$~est un $K$-espace de~Banach et~$\ro W$ est fermé, d'après le
théorème de~Baire, il existe un entier~$n$ tel que~$p^{-n}\ro W$ soit
d'intérieur non vide ; autrement dit, $\ro W$~est d'intérieur non vide.
Comme c'est un sous-groupe de~$V$, ceci implique qu'il est ouvert
dans~$V$.

Puisque $\ro W$~est un réseau fermé de~$V$, il est séparé et complet pour
la topologie $p$-adique, et donc~$V$, muni de la topologie donnée
par~$\ro W$, est un $K$-espace de~Banach, que nous noterons~$W$ ; puisque
$\ro W$~est ouvert, l'application identité est continue de~$V$ vers~$W$,
et surjective. Par le théorème de l'application ouverte, elle est donc
ouverte, c'est-à-dire qu'il existe un entier~$m$ tel que~$p^m\ro W⊂V$ ;
par conséquent, $\ro W$~est borné dans~$V$.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:surjective-reseaux}
Soient~$V$, $W$ deux espaces de~Banach, $f:W → V$ une application linéaire
continue et surjective, et~$\ro V$ un réseau fermé de~$V$.
Il existe un réseau fermé~$\ro W$ de~$W$ tel que~$f(\ro W)=\ro V$.
\end{prop}

\begin{proof}
Soit~$\ro W'$ un réseau fermé de~$W$. Son image~$f(\ro W')$~est un
sous-groupe borné de~$V$ ; puisque~$V$ et~$W$ sont des espaces de~Banach
et~$f$ est surjective, d'après le théorème de l'application ouverte,
$f(\ro W')$~est ouvert. Par conséquent, $f(\ro W')$ est un réseau de~$V$
commensurable à~$\ro V$, et il existe donc un entier~$n$ tel que~$V ⊂
f(p^{-n}\ro W')$. Il suffit alors de prendre~$\ro W = p^{-n}\ro W' ∩
f^{-1}(\ro V)$.
\end{proof}


\begin{prop}\cite[2.8.2/2]{BGR}~; \cite[1.2.1(3)]{FP}\label{prop:c0}
Soit $V$ un espace de~Banach engendré topologiquement par une famille
dénombrable de vecteurs. Alors $V$~est soit de dimension finie, soit
isomorphe à l'espace de~Banach~$c_0(K)$ des suites d'éléments de~$K$
convergeant vers zéro.
\end{prop}

% \begin{proof}
% \cite{BGR}, 2.8.2/2
% \end{proof}

%<<<2
\subsection{Algèbres de~Banach}
\begin{df}
La catégorie des \emph{$K$-algèbres de~Banach} est la catégorie dont les
objets sont les $K$-algèbres commutatives topologiques
complètes dont la topologie provient d'une norme d'algèbre (c'est-à-dire
vérifiant~$\norme{ab}≤\norme{a}\norme{b}$ et~$\norme{1}≤1$), et dont les
morphismes sont les morphismes continus de~$K$-algèbres.
\end{df}

Soit~$\ro A$ la boule unité pour la norme d'algèbre sur~$A$. Alors
$\ro A$~est une sous-$\O_K$-algèbre fermée de~$A$, séparée
et complète pour la topologie $p$-adique, et l'application naturelle~$\ro
A[\frac 1p]→A$ est un homéomorphisme. Inversement, si~$\ro B$ est une
$\O_K$-algèbre séparée et complète pour la topologie $p$-adique,
alors $B=\ro B[\frac 1p]$~est une $K$-algèbre de~Banach.

Le produit direct de deux algèbres de~Banach, muni de la
norme~$\norme{(a,b)}=\max\acco{\norme{a},\norme{b}}$, est encore une
algèbre de~Banach.

Soit~$A$ une $K$-algèbre de~Banach. Alors puisque~$\norme{1}≤1$
et~$\norme{1}≤\norme{1}^2$, on a nécessairement~$\norme{1}=1$
ou~$\norme{1}=0$. Le cas où~$\norme{1}=0$ correspond à l'algèbre nulle.

Soit~$a$ un élément inversible de~$A$. Pour tout élément~$x$ tel
que~$\norme{xa^{-1}} < 1$, la série géométrique~$∑(\frac xa)^n$ est
normalement convergente, donc convergente dans~$A$ ; par conséquent,
$A^×$ est un ouvert de~$A$.

Soit~$\go m$ un idéal maximal de~$A$. Puisque $\go m$~est un idéal strict
de~$A$, il est inclus dans le complémentaire de~$A^×$, qui est fermé
d'après ce qui précède ; son adhérence est donc aussi incluse dans cet
ensemble, et est donc un idéal strict. Par conséquent, $\go m$~est fermé.

\begin{df}
La catégorie des \emph{$K$-algèbres de~Fréchet} est la catégorie dont les
objets sont les $K$-algèbres commutatives topologiques complètes dont la
topologie provient d'une famille dénombrable de semi-normes d'algèbre
(c'est-à-dire vérifiant~$p_n(ab)≤p_n(a)⋅p_n(b)$), et
dont les morphismes sont les morphismes continus de $K$-algèbres.
\end{df}

De même que pour une algèbre de~Banach, pour toute algèbre
de~Fréchet~$A$, $A^×$ est un ouvert de~$A$, et tout idéal maximal de~$A$
est fermé.

%<<<2
\subsection{Algèbres pro-spectrales et variétés spectrales affines}

Soient~$A$ une $K$-algèbre topologique et~$S = \Hom_{K,\cont}(A, C)$
l'ensemble des homomorphismes continus de~$K$-algèbres de~$A$ vers~$C$.

À un élément~$a∈A$, on peut associer par la transformation de Gelfand une
fonction, que l'on notera encore~$a$, définie sur~$S$ et à valeurs
dans~$C$, en notant pour tout~$s∈S$ : $a(s) = s(a)∈C$.
%
L'ensemble~$S$ peut ainsi être muni de la topologie faible : c'est par
définition la topologie la moins fine qui rend continues toutes les
images des éléments de~$A$ par la transformation de Gelfand.
%
L'espace topologique ainsi obtenu ne dépend pas de la clôture algébrique
de~$K$ choisie.
%
De plus, $S$ est naturellement muni d'une action à gauche de~$\GK$,
et cette action est continue pour la topologie faible.

Tout morphisme continu~$f:A→A'$ induit une application~$σ:S'→S$ (où $S' =
\Hom_{K,\cont} (A', C)$) ; cette application est continue
et~$\GK$-équivariante.

\begin{df}
Un ouvert~$Ω$ de~$S$ est dit~\emph{borné} s'il existe un ouvert~$\ro A$
de~$A$ tel que $\acco{a(ω),\,a∈\ro A, ω∈Ω}$~soit une partie bornée
de~$C$.
\end{df}

Ceci revient à dire que la restriction à~$Ω$ définit un morphisme continu
de $K$-algèbres de~$A$ vers l'algèbre~$\ro C(Ω)$ des fonctions continues
sur~$Ω$, qui est une algèbre de~Banach pour la norme de la convergence
uniforme.

% Soit~$\ro A$ un ouvert borné de~$\ro A$ ; alors un ouvert~$Ω$ de~$S$ est
% borné \ssi $\acco{a(ω),\, a ∈ \ro A, ω ∈ Ω}$ est une partie bornée
% de~$C$.
Il est clair que, si~$Ω$ est un ouvert borné de~$S$, alors tout
ouvert~$Ω'⊂Ω$ est borné ; il est également vrai que, si~$Ω$ et~$Ω'$ sont
deux ouverts bornés de~$S$, alors~$Ω∪Ω'$ est un ouvert borné de~$S$.

Pour tout ouvert borné~$Ω$ de~$S$ et pour tout~$a ∈ A$, $\norme{a}_{Ω}
= \sup \acco{\abs{a(ω)},\, ω∈Ω} < ∞$,
%
et l'application $\norme{⋅}_{Ω}$ ainsi définie vérifie~$\norme{a+b}_{Ω} ≤
\max(\norme{a}_{Ω}, \norme{b}_{Ω}), \norme{ab}_{Ω} ≤ \norme{a}_{Ω} ⋅
\norme{b}_{Ω}$, et~$\norme{λa}_{Ω} = \abs{λ}_K \norme{a}_{Ω}$ pour
tous~$a, b ∈ A$ et~$λ ∈ K$ ; autrement dit, c'est une semi-norme
sur la $K$-algèbre~$A$.
%
Notons~$\widehat{A}_Ω$ le séparé complété de~$A$ pour la
semi-norme~$\norme{⋅}_Ω$. C'est une $K$-algèbre de~Banach.

Soient~$Ω⊂Ω'$ deux ouverts bornés de~$S$, alors pour tout~$a∈A$,
$\norme{a}_{Ω} ≤ \norme{a}_{Ω'}$ ; par conséquent, le morphisme de
restriction~$A→\widehat{A}_Ω$ se prolonge en un morphisme d'algèbres
continu~$\widehat{A}_{Ω'} → \widehat{A}_Ω$.
%
Par conséquent, et puisque les ouverts bornés de~$S$ forment un système
inductif filtrant, les~$\widehat{A}_Ω$ forment un système projectif
filtrant de $K$-algèbres de~Banach et de morphismes continus de
$K$-algèbres.

\begin{df}\label{df:pro-spectrale}
L'algèbre~$A$ est dite~\emph{pro-spectrale} si~$S$ est la réunion de ses
ouverts bornés et si le morphisme canonique
\[ A → \limp\widehat{A}_Ω \],
la limite projective étant prise sur tous les ouverts bornés~$Ω$ de~$A$,
est un homéomorphisme.

L'algèbre~$A$ est dite~\emph{spectrale} si~$S$ est un ouvert borné de~$A$
et si l'application canonique~$A→\widehat{A}_S$ est un homéomorphisme.
\end{df}

Il est en particulier clair que, si $A$~est pro-spectrale, alors la
transformation de Gelfand réalise une injection de~$A$ dans les fonctions
continues sur~$\Spm A$.

Si~$S$ est lui-même un ouvert borné de~$A$, alors $S$~est bien sûr la
réunion de ses ouverts bornés ; en outre, on a alors~$\limp \widehat{A}_Ω
= \widehat A_S$.
%
Par conséquent, l'algèbre~$A$ est spectrale \ssi elle est pro-spectrale
et si $S$~est borné.

\begin{df}
On note en particulier~$\norme{⋅}\sp = \norme{⋅}_{\Hom(A, C)}$,
c'est-à-dire pour tout~$a ∈ A$ :
% Soit~$A$ une~$K$-algèbre topologique. On définit une
% application~$\norme{⋅}_{\sp}: A → [0,+∞]$ par
% sur~$A$ est l'application~$\norme{.}\sp$ définie par
\[ \norme{a}\sp = \sup \acco{\abs{s(a)}, s∈\Hom_{K,\cont}(A, C)} \].
L'application~$\norme{⋅}\sp: A → [ 0, +∞ ] $ s'appelle la \emph{semi-norme spectrale}
sur~$A$.
\end{df}

Il est clair que la semi-norme spectrale est bien une semi-norme
d'algèbre sur~$A$.
% Il est clair que l'application~$\norme{⋅}\sp$ vérifie
% $\norme{a+b}\sp≤\norme{a}\sp+\norme{b}\sp$,
% $\norme{ab}\sp≤\norme{a}\sp⋅\norme{b}\sp$,
% et~$\norme{λa}\sp=\abs{λ}⋅\norme{a}\sp$ pour~$λ∈K$ et~$a,b∈A$. En
% particulier, pour tout entier naturel~$n$, $\norme{a^n}=\norme{a}^n$.

De plus, l'algèbre~$A$ est spectrale \ssi la semi-norme spectrale est à
valeurs dans~$[0,+∞[$, est une norme sur~$A$ et définit la
topologie de~$A$. On notera dans ce cas~$\norme{⋅}$ la norme spectrale
sur~$A$.

\smallbreak

Soit~$A$ une algèbre spectrale. Alors $\norme{a}≤1$ \ssi la suite~$(a^n)$
est bornée dans~$A$. Par conséquent, l'ensemble~$A^∘$ des éléments~$a∈A$
dont les puissances sont bornées est le sous-anneau de~$A$ qui définit la
norme. De plus, le sous-ensemble~$A^{∘∘}$ des éléments topologiquement
nilpotents est un idéal de~$A^∘$.


\begin{df}
Une \emph{variété spectrale affine} sur~$K$ est un triplet~$X=(S, A, i)$,
où~$S$ est un $\GK$-espace topologique (c'est-à-dire un espace
topologique muni d'une action continue de~$\GK$), $A$ est une~$K$-algèbre
pro-spectrale, et~$i:\Hom_{K,\cont}(A, C)→S$ est un homéomorphisme
$\GK$-équivariant. L'algèbre pro-spectrale $A$~est \emph{l'algèbre
affine} de la variété spectrale~$X$, et le $\GK$-espace topologique~$S$
est \emph{le support} de~$X$ ; on notera encore~$A=\O(X)$,
$S=\abs{X}$.

Un \emph{morphisme de variétés spectrales affines} sur~$K$ de~$(S, A, i)$
vers~$(S', A', i')$ est une paire~$(f, ρ)$, où~$f:S→S'$ est une
application continue et $ρ:A'→A$ est un morphisme d'algèbres continu,
tels que le diagramme
\[ \xymatrix{
  S\ar[r]^{f} & S' \\
  \Hom_{K,\cont}(A, C)\ar[u]^i\ar[r]^{ρ}
  & \Hom_{K,\cont}(A',C)\ar[u]^{i'}\\} \]
commute.

Pour toute $K$-algèbre pro-spectrale~$A$, on note~$\Spm A$, et on
appelle~\emph{spectre de~$A$}, la variété spectrale
affine~$(\Hom_{K,\cont}(A, C), A, \id)$.

Soient~$X=(S, A, i)$~une variété spectrale affine sur~$K$ et~$B$ une
$K$-algèbre topologique; on note~$X(B)$ l'espace
topologique~$\Hom_{K,\cont} (A, B)$, muni de la topologie de la
convergence simple. En particulier, $X(C)=S=\abs{X}$~est
l'espace topologique sous-jacent à~$X$. Les éléments de~$X(B)$ sont
appelés les~\emph{points} de~$X$ à valeurs dans~$B$.
\end{df}

La catégorie des variétés spectrales affines est naturellement
anti-équivalente à la catégorie des algèbres pro-spectrales et des
morphismes d'algèbres continus.
La catégorie des algèbres spectrales correspond par cette
anti-équivalence à la catégorie des variétés spectrales affines bornées.

Soit~$S$ un espace topologique muni d'une action de~$\GK$ ; une
\emph{structure spectrale} sur~$S$ est une variété spectrale affine dont
l'espace topologique sous-jacent est~$S$. Soient~$S$, $T$ deux variétés
spectrales affines ; alors une application
continue~$f:T→S$ est dite \emph{spectrale}, ou %, ce qui revient au même,
\emph{analytique}, si elle est issue d'un morphisme de variétés
spectrales affines~$T→S$. Si deux applications analytiques~$f,g:T→S$
coïncident sur les espaces topologiques, alors elles sont égales ;
autrement dit, le foncteur d'oubli de la catégorie des variétés
spectrales affines vers celle des espaces topologiques est fidèle.

\begin{prop}\label{prop:limp-spectrale}
Soit~$(A_n,ρ_n)_{n∈ℕ}$ un système projectif indexé par~$ℕ$  d'algèbres
spectrales et de morphismes continus surjectifs. Alors la limite
projective~$A=\limp A_n$ est prospectrale, et $\Spm A$~est la réunion
des~$\Spm A_n$.
\end{prop}

\begin{proof}
Notons~$π_n$ la projection~$A→A_n$. Soit~$s:A→C$ un morphisme continu
de~$K$-algèbres. Il suffit de montrer que $s$~se factorise par l'une des
projections~$(π_n)$.

Soit~$(a_n)_{n∈ℕ}$ une suite d'éléments de~$A$ telle que~$π_n(a_n)=0$
pour tout~$n$ ; montrons que~$s(a_n)$ tend vers zéro dans~$C$. Par
construction, $A$~est un espace de~Fréchet, et sa topologie est donc
donnée par la distance
\[ d(a,b) = ∑_{n∈ℕ} 2^{-n} \pa{1-\frac 1{1+\norme{π_n(a-b)}_{A_n}}} \];
on en déduit que~$d(a_n,0)≤2^{-n}$, et donc que~$a_n→0$ dans~$A$. Par
conséquent, puisque $s$~est continu, $s(a_n)$~tend vers zéro dans~$C$.

Pour toute suite~$(λ_n)_{n∈ℕ}$ d'éléments de~$K$, on a
encore~$π_n(λ_na_n)=0$, et donc le résultat précédent s'applique à la
suite~$(λ_na_n)_{n∈ℕ}$ ; par conséquent, $λ_ns(a_n)→0$ dans~$C$. Puisque
ceci est vrai pour toute suite~$(λ_n)_{n∈ℕ}$, la suite~$(s(a_n))_{n∈ℕ}$
est nécessairement stationnaire en zéro.

Ceci signifie que l'application~$s: A → C$~est continue pour la topologie
discrète sur~$C$ et pour la topologie de la limite projective~$A = \limp
A_n$ (où chaque quotient est muni de la topologie discrète). Par
conséquent, son noyau est ouvert dans~$A$ pour cette topologie, et il
contient donc l'un des~$\Ker π_n$.
% On voit ainsi que l'application~$s:A→C$ a son graphe fermé dans~$A×C$,
% où~$A$~est muni de la topologie pour laquelle une base de voisinages de
% zéro est la famille des~$(\Ker π_n)_{n∈ℕ}$ et $C$~est muni de la
% topologie discrète. Puisque $A=\limp A_n$, il est complet pour cette
% topologie, et donc par le théorème du graphe fermé, $s:A→C$~est continu
% pour ces topologies ; par conséquent, son noyau est ouvert et contient
% donc l'un des~$\Ker π_n$.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:bornes denombrables}
Soit~$S$ une variété spectrale affine. Alors $S$~admet une famille
exhaustive dénombrable de bornés.
\end{prop}

\begin{proof}
Soient~$A$ l'algèbre affine de~$S$ et~$d$ une distance donnant la
topologie de l'algèbre de~Fréchet~$A$ ; pour tout entier~$n ≥ 1$, soit~$B_n$
la boule ouverte de centre~$0$ et de rayon~$1/n$. 

Alors tout élément~$s$ de~$S$ est continu et il existe donc~$n ≥ 1$ tel
que~$s(B_n) ⊂ \O_C$ ; par conséquent, $S$~est la réunion des bornés~$Ω_n
= \acco {s ∈ S, s(B_n) ⊂ \O_C }$.
\end{proof}

\begin{cor}\label{prop:prospectrale=limp}
Les algèbres pro-spectrales sont exactement les limites projectives
dénombrables d'algèbres spectrales.
\end{cor}

Remarquons également que toute algèbre topologique qui est à la fois
pro-spectrale et une algèbre de~Banach est une algèbre spectrale.

\begin{cor}\label{prop:limp-prospectrale}
La limite projective d'une famille dénombrable d'algèbres pro-spectrales
est encore pro-spectrale.
\end{cor}

% \begin{prop}
% Soit~$A$ une algèbre pro-spectrale qui est une algèbre de~Banach. Alors
% $A$~est spectrale.
% \end{prop}
% 
% \begin{proof}
% Il suffit de montrer que~$\Spm A$~est borné ; or tout élément~$s$
% de~$\Spm A$~est un morphisme continu~$A → C$ et donc borné sur une boule
% unité de~$A$.
% \end{proof}

\medskip

\begin{df}
Soient~$(S, A, i)$ une variété spectrale affine, et~$T$ une partie
de~$S$. On dit que $T$~est une \emph{sous-variété spectrale affine}
de~$S$ si, en notant~$\go a$ l'idéal fermé de~$A$ des fonctions
s'annulant sur~$T$, $A/\go a$ est une algèbre pro-spectrale et le morphisme
quotient~$j:\Hom(A/\go a, C)→T$ fait de~$(T, A/\go a, j)$ une variété spectrale
affine.
\end{df}

Puisque $\Spm A/\go a$~est l'intersection des lieux des zéros de~$f$
pour~$f∈ \go a$, c'est un fermé de l'espace topologique sous-jacent à~$\Spm
A$ ; par conséquent, toute sous-variété spectrale affine de~$\Spm A$ est
fermée. De même, toute sous-variété spectrale affine de~$\Spm A$ est
stable par l'action de~$\GK$.


\begin{prop}\label{prop:adh-analytique-2def}
Soient~$S = \Spm A$ une variété spectrale affine et~$T$ une partie de~$S$.
Alors les deux ensembles ci-dessous coïncident :
\begin{align*}
 \widetilde{T} &= \acco {x ∈ \Spm A, (∀ a ∈ A)\; \abs{a(x)} ≤ \norme{a}_T},\\
  \overline{T} &= \acco {x ∈ \Spm A, (∀ a ∈ A)\; a|_T = 0 ⇒ a(x) = 0 }.
\end{align*}
\end{prop}

\begin{proof}
Les éléments de~$\overline{T}$ sont exactement les~$x ∈ \Spm A$ tels que
$\abs{a(x)} = 0$ dès que~$\norme{a}_T = 0$ ; par conséquent,
$\widetilde{T} ⊂ \overline{T}$. Il suffit donc de démontrer
que~$\overline{T} ⊂ \widetilde{T}$.

Soit~$ρ: A → \widehat{A}_T$ le morphisme canonique ; alors dire que~$x ∈
\overline{T}$ signifie que le noyau de~$x: A → C$ contient celui de~$ρ$.
Par conséquent, il existe une application $K$-linéaire~$y: \widehat{A}_T
→ C$ telle que~$x = y ∘ ρ$. Puisque~$ρ$~est surjective, c'est une
application ouverte, et donc~$y$~est continue. Soit à présent~$a ∈ A$ tel
que~$\norme{a}_T ≤ 1$ ; ceci signifie que~$\norme{ρ(a)} ≤ 1$,
c'est-à-dire que~$(ρ(a^n))_{n ∈ ℕ}$ est une suite bornée. Puisque~$y$~est
continue, il s'ensuit que~$(x(a^n))_{n ∈ ℕ}$~est une suite bornée,
c'est-à-dire que~$\abs{x(a)} ≤ 1$ et donc~$x ∈ \widetilde{T}$.
\end{proof}


\begin{prop}\label{prop:adh-analytique}
Soit~$T$ une partie d'une variété spectrale affine~$S = \Spm A$ et
soit~$\go a$ l'idéal de~$A$ constitué des éléments~$a$ tels que~$a(x) =
0$ pour tout~$x ∈ T$. Alors~$A/\go a$~est une algèbre spectrale ;
l'espace topologique sous-jacent à son spectre est
l'espace~$\overline{T}$ défini à la
proposition~\ref{prop:adh-analytique-2def}.

De plus, $\overline{T}$, muni de cette structure de variété spectrale,
est la plus petite sous-variété spectrale de~$S$ dont le support
contient~$T$.
\end{prop}

\begin{proof}
Il est évident que $\Hom_{K,\cont}(A/\go a) = \overline{T}$ ; de plus,
d'après la proposition~\ref{prop:adh-analytique-2def}, pour tout~$f ∈ A$,
$\norme{f}_{T} = \norme{f}_{\overline{T}}$.

Soit~$Ω ⊂ S$ un ouvert borné et soit~$f ∈ A$ tel que~$\norme{f}_{Ω} ≤
1$ ; supposons que~$\norme{f}_{Ω ∩ T} < 1$. Alors (quitte à choisir un
supplémentaire fermé~$V$ de~$\go a$) on voit
que~$\norme{f}_{(\widehat{A}_Ω/\go a)} = d(f, \go a) < 1$ ; ceci entraîne
que, pour tout~$f ∈ A$, $\norme{f}_T = \norme{f}_{\widehat{A}_{Ω}/\go
a}$. Par conséquent, $\widehat{A}_{Ω}/\go a$~est spectrale, et
donc~$A/\go a = \limp \widehat A_{Ω}/\go a$~est pro-spectrale.
\end{proof}


\begin{df}
L'\emph{adhérence analytique} de~$T$ est la sous-variété analytique
affine~$\overline{T}$ définie à la proposition~\ref{prop:adh-analytique}.
\end{df}

Il est clair que~$\overline{T}$~est la plus petite sous-variété spectrale
affine de~$S$ contenant~$T$. De plus, la
proposition~\ref{prop:adh-analytique} démontre que, pour tout~$a ∈ A$,
$\norme{a}_T = \norme{a}_{\overline{T}}$ ; en outre, $\overline{T}$~est
la plus grande partie de~$S$ contenant~$T$ qui satisfait cette propriété.


\bigbreak

Soit~$A$ une algèbre pro-spectrale sur~$C$. Une \emph{action par
automorphismes semi-linéaires} de~$\GK$ sur~$A$ est une action par
automorphismes continus de~$K$-algèbre de~$\GK$ sur~$A$, telle que, pour
tous~$γ ∈ \GK$, $a ∈ A$ et~$c ∈ C$, $γ(c a) = γ(c) γ(a)$. Soit alors~$s ∈
\Spm A$ : alors~$γ ∘ s ∘ γ^{-1}$~est encore un élément de~$\Spm A$, et
l'action de~$\GK$ ainsi définie sur~$\Spm A$ est continue. 

La catégorie des \emph{variétés potentiellement spectrales sur~$K$} est
la catégorie opposée à celle des $C$-algèbres pro-spectrales munies d'une
action de~$\GK$ par automorphismes semi-linéaires et des morphismes
de~$C$-algèbres continus et~$\GK$-équivariants. Autrement dit, se donner
une variété potentiellement spectrale~$S$ sur~$K$ revient à se donner une
variété spectrale sur~$C$ munie d'une action de~$\GK$ provenant d'une action
de~$\GK$ par automorphismes semi-linéaires, et une flèche de cette
catégorie est une application analytique $\GK$-équivariante.

Soit~$S = \Spm A$ une variété spectrale affine sur~$K$. Alors~$A
\hotimes_K C$~est naturellement munie d'une action de~$\GK$ par
automorphismes semi-linéaires, et~$\Spm (A \hotimes_K C)$~est donc une
variété potentiellement spectrale sur~$K$. Ceci définit un foncteur de la
catégorie des variétés spectrales affines sur~$K$ vers celle des variétés
potentiellement spectrales. Ce foncteur n'est en général pas
essentiellement surjectif : supposons par exemple que $K$~soit de
valuation discrète, soit~$χ$ le caractère cyclotomique de~$K$, et soit~$A
= C\tate{X}$ muni de l'action donnée par~$γ⋅X = χ(γ)⋅X$. Un élément
de~$A$ s'écrit donc de façon unique sous la forme~$a = ∑_{n ∈ ℕ} a_n
X^n$, et pour tout~$g ∈ \GK$, $g(a) = ∑ χ(g)^n g(a_n) X^n$. Un tel
élément est donc invariant par l'action de~$\GK$ \ssi $a_0 ∈ K$ et~$a_n =
0$ pour tout~$n ≥ 1$~(\cite[§4]{Tate}), c'est-à-dire que~$A^{\GK} = K$. De
plus, $\Spm A$ est isomorphe à~$C(1)$, donc~$\Spm A$~est une variété
potentiellement spectrale sur~$K$, mais pas spectrale.

% Nous verrons à la proposition~\ref{prop:potentiel pf} une
% condition suffisante de pleine fidélité.
% 
\begin{prop}\label{prop:potentiel-pf}
Le foncteur naturel de la catégorie des variétés spectrales sur~$K$ vers
la catégorie des variétés potentiellement spectrales sur~$K$ est
pleinement fidèle.
\end{prop}

\begin{proof}
Soit~$V$ un $K$-espace de~Banach ; alors l'application naturelle~$V → (V
\hotimes_K C)^{\GK}$ est un isomorphisme.

Soient~$S = \Spm A$, $T = \Spm B$ deux variétés spectrales sur~$K$. Alors
un morphisme~$f: T → S$ dans la catégorie des variétés potentiellement
spectrales sur~$K$ est donné par un morphisme d'algèbres~$ρ: A \hotimes_K
C → B \hotimes_K C$ continu et~$\GK$-équivariant. On voit alors
que~$ρ((A\hotimes_K C)^{\GK}) ⊂ (B \hotimes_K C)^{\GK})$ ; d'après ce qui
précède, ceci signifie que~$ρ(A) ⊂ B$, et donc que~$f$ provient bien d'un
morphisme de variétés spectrales~$T → S$.
\end{proof}

%<<<2
\subsection{Variétés spectrales étales}

Un espace topologique~$S$ est dit~\emph{localement profini} s'il est
réunion de ses ouverts profinis ; un \emph{$\GK$-espace localement
profini} est un espace topologique localement profini, muni d'une action
continue de~$\GK$.
%
Soit~$S$ un $\GK$-espace localement profini. Un~\emph{$\GK$-ouvert} de~$S$ est un ouvert compact de~$S$ stable par l'action
de~$\GK$.
%
Puisque~$\GK$ est profini, $S$~est réunion de ses~$\GK$-ouverts.
En particulier, puisque la réunion de deux~$\GK$-ouverts est
un~$\GK$-ouvert, il existe une suite exhaustive de~$\GK$-ouverts de~$S$.

\begin{prop}\label{prop:var-etale}
Soit~$S$ un $\GK$-espace localement profini.
Notons~$A=\ro C(S, C)^{\GK}$ l'algèbre des fonctions continues
et~$\GK$-équivariantes sur~$S$ et à valeurs dans~$C$, munie de la
topologie de la convergence sur tout~$\GK$-ouvert.

Alors $A$~est une algèbre pro-spectrale, et le morphisme d'évaluation
fournit un homéomorphisme entre~$S$ et~$\Spm A$.
\end{prop}

\begin{proof}
L'évaluation fournit une application continue~$i:S→\Spm
A$. Montrons que $i$~est un homéomorphisme.

Puisque~$S$~est localement profini, les fonctions de~$A$ séparent les
points de~$S$, donc~$i$~est injectif. De plus, $S$ étant localement
compact, si $i$~est une bijection continue, c'est un homéomorphisme. Il
suffit donc de prouver que $i$~est surjectif.

Supposons d'abord que~$S$ est compact. Alors la sous-algèbre~$A'$ des
fonctions localement constantes est dense dans~$S$. Par conséquent, un
morphisme continu~$s: A → C$~est défini par sa restriction à~$A'$, et il
existe donc un point~$j(s) ∈ S$ tel que~$s(f) = f(j(s))$ pour tout~$f ∈
A$. Ceci signifie que~$i(j(s)) = s$ et donc que~$i$~est surjectif.

Dans le cas général, soit~$\go a$ l'idéal de~$A$ formé des fonctions à
support compact. Soit~$(Ω_n)_{n ∈ ℕ}$ une suite exhaustive
de~$\GK$-ouverts de~$S$ ; alors la suite~$(1_{Ω_n})_{n ∈ ℕ}$ converge
vers~$1$ dans l'algèbre de~Fréchet~$A$. Par conséquent, pour tout~$a ∈
A$, la suite~$(a⋅1_{Ω_n})_{n ∈ ℕ}$ converge vers~$a$, donc~$\go a$~est
dense dans~$A$. Il s'ensuit que tout morphisme continu~$A → C$~est
déterminé par sa restriction à~$\go a = \limi \ro C^0 (Ω_n, C)^{\GK}$.
D'après ce qui précède, un tel morphisme provient donc d'un élément
de~$A$, donc l'application~$i: S → \Spm A$~est surjective dans tous les
cas.
%
Soit~$Ω$ un~$\GK$-ouvert de~$A$. Alors, $Ω$~étant compact, c'est un
ouvert borné de~$S$. De plus, la norme~$\norme{⋅}_Ω$ est la norme
uniforme sur~$Ω$, et donc le séparé complété de~$A$ pour cette norme
est~$\ro C(Ω, C)^{\GK}$.

Finalement, puisque~$S$ est réunion de ses~$\GK$-ouverts, une fonction
est continue sur~$S$ \ssi elle l'est sur tout~$\GK$-ouvert~$Ω$, et
donc l'application naturelle~$j:A→\limp \ro C(Ω, C)^{\GK}$ est un
homéomorphisme. Par conséquent, $A$~est pro-spectrale.
\end{proof}

Par conséquent, $(A, S, i)$~est une variété spectrale affine sur~$K$.
En particulier, toute variété potentiellement spectrale étale sur~$K$ est
spectrale.

\begin{prop}\label{prop:profini spectral}
La correspondance qui à un $\GK$-espace localement profini associe
une variété spectrale affine sur~$K$ est fonctorielle et
pleinement fidèle.
\end{prop}

\begin{proof}
Soient~$S$, $S'$ deux espaces topologiques localement profinis munis
d'actions continues de~$\GK$ ; leur structure de variété spectrale est
donnée par les algèbres~$A = \ro C(S, C)^{\GK}$ et~$A' = \ro C(S',
C)^{\GK}$. Pour toute application continue $\GK$-équivariante~$f: S → S'$
et pour tout~$a' ∈ A'$, l'application~$a = a' ∘ f: S → C$ est continue
et~$\GK$-équivariante ; l'application~$F: A' → A, a' ↦ a$ ainsi définie
est un morphisme d'algèbres spectrales, dont le spectre s'identifie
à~$f$. Par conséquent, toute application continue $\GK$-équivariante $f:S
→ S'$ est analytique.
% Soient~$S, S'$ deux espaces topologiques localement profinis
% munis d'une action continue de~$\GK$ ; posons~$A=\O(S)$,
% $A'=\O(S')$. Il existe alors deux applications naturelles
% \begin{align*}
% F:&\application{\Hom_{\GK,\cont}(S,S')}{\Hom_{K,\cont}(A',A)}{f}{(a'↦a'∘f)},\\
% G:&\application{\Hom_{K,\cont}(A',A)}{\Hom_{K,\cont}(S,S')}{ρ}{(s↦s∘ρ)}.
% \end{align*}
% Ces deux applications sont inverses l'une de l'autre.
\end{proof}

\begin{df}
Une \emph{variété spectrale étale} est l'image par ce foncteur d'un
espace topologique localement profini et muni d'une action
continue de~$\GK$. Une \emph{variété spectrale constante} est l'image
d'un tel espace muni de l'action triviale de~$\GK$. Une \emph{variété
spectrale finie étale} est une variété spectrale étale dont l'espace
topologique sous-jacent est fini.
\end{df}

Remarquons qu'une variété spectrale étale est finie \ssi son algèbre
affine est une algèbre finie.

Tout sous-module ouvert d'un $\Qp$-espace vectoriel de dimension finie
est localement profini et définit donc canoniquement une variété
spectrale constante. Par abus de notation, on notera en
particulier~$\Zp$, $\Qp$, etc. les variétés spectrales constantes
associées à ces espaces topologiques.


\begin{prop}\label{prop:morphisme etale -}
Le foncteur qui à un $\GK$-espace localement profini associe une
variété spectrale étale est adjoint à gauche au foncteur d'oubli qui à
une variété spectrale associe le $\GK$-espace topologique
sous-jacent.
% Soient~$T$ une variété spectrale étale, et~$S$ une variété spectrale
% affine. Alors~$\Hom(T, S)$~coïncide avec l'ensemble des fonctions
% continues entre les espaces topologiques sous-jacents.
\end{prop}

\begin{proof}
Soient~$T$ une variété spectrale étale et~$S=\Spm A$ une variété
spectrale. Puisque tout morphisme spectral définit une application
continue et $\GK$-équivariante sur les supports, on dispose d'une
flèche naturelle~$ι:\Hom(S, T) → \ro C(S, T)^{\GK}$. Soit~$B=\Spm \ro
C(T, C)^{\go G_K}$ l'algèbre affine de~$T$. Pour toute application
continue $\GK$-équivariante $f:T→S$ et pour tout~$a∈A$, $a∘f$~est une
application continue et $\GK$-équivariante définie sur~$T$ et à valeurs
dans~$C$, c'est-à-dire que $a∘f∈B$. De plus, l'application~$θ(f):a↦a∘f$
est un morphisme d'anneaux de~$A$ vers~$B$. Son spectre est alors
l'inverse de l'application~$ι$ ci-dessus, qui est donc bijective. Enfin,
la construction de~$ι$ et de~$θ$ est fonctorielle par rapport à~$S$
et~$T$.
% 
% Puisque tout morphisme spectral est une application continue, on dispose
% d'une flèche naturelle~$\Hom(T, S)→\ro C(T, S)$. Notons~$S=\Spm A$,
% $T=\Spm \ro C(T, C)^{\GK}$, et soit~$f:T→S$ une application continue.
% Alors, pour tout~$a∈A$, notons~$ρ(a)$ la fonction sur~$T$ définie
% par~$ρ(a)(t)=(f(t))(a)$ ; c'est une fonction continue sur~$T$, $\ro
% G_K$-équivariante, et $ρ$~est un morphisme d'algèbres de~$A$ vers $\ro
% C(T, C)^{\GK}$, dont le spectre est~$f$.
\end{proof}

Soit~$T = \Spm B$ une variété spectrale étale. Alors les
sous-$K$-algèbres de~$B$ correspondent bijectivement aux quotients du
$\GK$-espace topologique~$T$. Soit à présent~$f: T → S$ un morphisme de
variétés spectrales bornées, correspondant au morphisme~$ρ: A → B$
d'algèbres spectrales. Alors l'image de~$ρ$ correspond à
l'application~$f: T → f(T)$, et donc~$ρ$~est surjective \ssi $f$~est
injective.

% Supposons d'abord que le groupe de~Galois~$\GK$ agisse transitivement
% sur~$T$ ; puisque cette action est continue, il existe une extension
% finie~$L$ de~$K$ et un point~$t∈T$ tels que l'application~$Γ=\Gal(L/K)→T$,
% $γ↦γ⋅s$ soit bijective. L'application~$B→C, b↦b(t)$~est alors un
% isomorphisme entre~$B$ et~$L$.
% 
% Puisque $f$~est injective, pour tout~$γ≠1∈Γ$, il existe~$a∈A$ tel
% que~$ρ(a)(γ⋅t)≠ρ(a)(t)$, c'est-à-dire tel que~$γ⋅(ρ(a)(t))≠ρ(a)(t)$ ;
% ceci signifie que l'image de~$ρ$ n'est invariante par aucun sous-groupe
% de~$Γ$, et est donc le corps~$L$ tout entier.
% 
% Dans le cas général, soit~$I=T/\GK$. Toute orbite~$i$ de~$I$ est une
% sous-variété spectrale de~$T$, dont l'algèbre affine est une extension
% finie~$L_{i}$ de~$K$. Le morphisme~$ρ:A→∏_{i∈I}L_i$ se décompose alors en
% produit de morphismes~$ρ_{i}:A→L_{i}$. Puisque $f$~est injectif, il
% sépare les points de~$T$, et donc, si~$i≠j$, il existe un
% élément~$a_{i,j}$ de~$A$ tel que~$ρ_i(a_{i,j}) = 1$ et~$ρ_j(a_{i,j}) =
% 0$. Notons~$a_i$ le produit (fini) des~$a_{i,j}$ pour~$j≠i$. 
% 
% Soit~$b=(b_i)$ un élément de~$B=∏_{i∈I}L_i$. Pour tout~$i$, il existe
% d'après ce qui précède un élément~$x_i∈A$ tel que~$ρ_i(x_i)=b_i$. On
% vérifie alors que~$ρ(∑a_ix_i)=b$, ce qui montre que~$ρ$~est surjective.
% \end{proof}


%<<<2
\subsection{Disques de~$C$}
Notons~$K\tate X$ la complétée de l'algèbre de polynômes~$K[X]$ pour la
norme définie par~$\norme{∑ a_i X^i} = \sup \acco {a_i, i ∈ ℕ}$.

\begin{prop}\label{prop:OC-spectral}
$K\tate X$ est une algèbre spectrale, et l'application
naturelle
\[ \application{\O_C}{\Spm K\tate X}{x}{\pa{f↦f(x)}} \]
est un homéomorphisme.
\end{prop}

\begin{proof}
Il suffit de démontrer que, pour tout polynôme~$f$ à coefficients
dans~$K$, $\sup\acco{\abs{f(x)},x∈\O_C} = \norme{f}$ ; quitte à
diviser~$f$ par son coefficient de plus grande norme, on peut en outre
supposer~$\norme{f}=1$. Dans ce cas, la réduction modulo~$\go m_K$ de~$f$
est un élément non nul de~$k[X]$ ; puisque~$\overline k$ est infini, il
existe donc un élément~$s$ de~$\overline k$ sur lequel il ne s'annule
pas. Par conséquent, pour tout relèvement~$x$ de~$s$ dans~$\O_C$,
$\norme{f(x)} = 1$.
\end{proof}



\begin{prop}\label{prop:disques C}
Pour tout intervalle réel de la forme~$I=[0,r[$ ou~$I=[0,r]$ où~$r ∈
]0,+∞]$,
notons $\ro B^I$ le sous-$\O_C$-module de~$C$ formé des~$x$ tels
que~$\abs{x} ∈ I$, et
\[ K\tate{X}^I = \acco{∑_{n≥0} a_n X^n, a_n∈ K \text{ et }ρ^n\abs{a_n}→0
    \text{ pour tout~$ρ∈I$}}
\].
(En particulier, pour tout~$r ∈ \abs{C^{×}}$, $\ro B^{[0,r]}$~est la boule
fermée de centre zéro et de rayon~$r$).
\begin{enumerate}
\item Pour tout~$r∈\abs{C^{×}}$, $K\tate{X}^{[0,r]}$,
munie de la norme $\norme{∑a_nX^n}=\sup \acco{\norme{a_n}r^n, n∈ℕ}$, est
une algèbre spectrale dont le spectre est canoniquement homéomorphe
à~$\ro B^{[0,r]}$ ;
\item pour tout~$r∈[0,+∞]$, $K\tate{X}^{[0,r[}$ est une algèbre
pro-spectrale dont le spectre est canoniquement homéomorphe
à~$\ro B^{[0,r[}$ ;
\item si~$r>0$ n'appartient pas à~$\abs{C^{×}}$, alors
$K\tate{X}^{[0,r]}$ n'est pas une algèbre pro-spectrale (au sens de la
définition~\ref{df:pro-spectrale}).
\end{enumerate}
En particulier, $\ro B^{[0,1[} = \go m_C$, $\ro B^{[0,+∞[}=C$~sont des
variétés spectrales affines, et $\ro B^{[0,1]} = \O_C$~est une variété
spectrale affine bornée.
\end{prop}


\begin{proof}
(i) Puisque~$r∈\abs{C^{×}}$, il existe~$a∈\O_C$ tel que~$\abs{a}=r$.
Alors l'application
\[ \application{K\tate Y}{K\tate X^{[0,r]}}{Y}{aX} \]
est un isomorphisme ; son spectre est l'homéomorphisme $\ro
B^{[0,r]}→\O_C$, $x↦x/a$.

(ii) Pour tout~$ρ<r$ tel que~$ρ∈\abs{C^{×}}$, $\ro B^{[0,ρ]}$~est un
ouvert borné de~$\ro B^{[0,r[}$, dont l'algèbre affine s'identifie
à~$K\tate X^{[0,r]}$ d'après~(i), et la réunion de ces ouverts est~$\ro
B^{[0,ρ]}$. Or, $K\tate X^{[0,ρ[}$~est l'intersection dans~$K\bcro X$ des
algèbres~$K\tate X^{[0,ρ]}$, pour~$ρ<r$. Par conséquent, c'est bien une
algèbre pro-spectrale.

(iii) Dire que $K\tate X^{[0,r]}$~est spectrale reviendrait à dire que
l'application canonique~$f:K\tate X^{[0,r]} → ⋂ K\tate X^{[0,ρ]}$ est un
isomorphisme, l'intersection étant prise sur les~$ρ<r$ tels
que~$ρ∈\abs{C^{×}}$. Or, il existe des éléments~$a_n∈C$ tels
que~$\abs{a_n}∈[\frac 12r^n, r^n]$ ; en posant~$b_n=a_nX^n$, on voit
que~$\norme{b_n}_{[0,r]} ≥ \frac 12$, et pour tout~$ρ<r$,
$\norme{b_n}_{[0,ρ]}≤(\frac{ρ}r)^n$ et tend donc vers zéro. Par
conséquent, l'application~$f$~n'est pas un homéomorphisme.
\end{proof}

La démonstration du point~(i) permet de poser, pour~$a∈C^{×}$,
$K\tate{X/a} = K\tate{X}^{[0,\abs{a}]}$. Cette notation est compatible
avec la multiplication : si~$b∈C^{×}$, alors~$K\tate{X/(ab)} =
K\tate{(X/a)/b}$.

La proposition~\ref{prop:disques C} munit~$C$, ainsi que tous ses
sous-$\O_C$-modules ouverts non nuls, d'une structure canonique de
variété spectrale affine ; en outre, pour tout~$a ∈ C$ non nul, la
variété spectrale affine associée au $\O_C$-module~$a\O_C$ est
bornée, et son algèbre affine s'identifie canoniquement à~$K\tate{X/a}$.

%<<<2
\subsection{Propriétés des algèbres spectrales}

Soit~$A$ une algèbre spectrale, alors on voit immédiatement que son
radical de~Jacobson est nul ; en particulier, $A$ est réduite. Il existe
une réciproque partielle : si~$A$ est une algèbre de~Banach
topologiquement de type fini sur~$K$ et réduite, alors elle est spectrale
(\cite[3.4.9]{FP}).

Il n'est en général pas vrai que tout quotient (même réduit) d'une
algèbre de~Banach spectrale soit spectral. Soit en
effet~$A=C\tate{X_n}_{n∈ℕ}$, et notons~$I$ l'idéal de~$A$ engendré par
les~$(pX_{n+1}-X_n)$. Alors : $\Spm A$ est la somme directe d'une
infinité dénombrable de copies de~$\O_C$ ; $A/I$ est réduit, et~$\Spm
A/I$ est l'ensemble des éléments~$p$-divisibles de~$\O_C$, et donc nul.
Par conséquent, la semi-norme spectrale sur~$A/I$ est nulle.
% Une caractérisation des idéaux~$\go a$ de~$A$ tels que le quotient~$A/\go
% a$ soit spectral est fournie par la proposition~\ref{prop:image
% spectrale}.

Soit $ρ:A→B$~un morphisme continu d'algèbres spectrales, alors
pour tout~$a∈A$ :
\begin{eqnarray*}
\norme{ρ(a)} & = & \sup \acco{\abs{ρ(a)(t)}, t∈\Spm B } \\
 & = & \sup \acco{\abs{a((\Spm ρ)(t))}, t∈\Spm B} \\
 & ≤ & \sup \acco{\abs{a(s)}, s∈\Spm A }
\end{eqnarray*}
% \[ \norme{ρ(a)} \;=\; \sup \acco{\abs{ρ(a)(t)}, t∈\Spm B }
%  \;=\; \sup \acco{\abs{a((\Spm ρ)(t))}, t∈\Spm B}
%  \;≤ \sup \acco{\abs{a(s)}, s∈\Spm A } \];
autrement dit, $\norme{ρ(a)}≤\norme{a}$, c'est-à-dire que $ρ$~est
$1$-lipschitzienne.

\begin{prop}\label{prop:epi-strict}
Soient~$A$ et~$B$ deux algèbres spectrales, et~$ρ:A→B$ un morphisme
continu.Si $f=\Spm ρ:\Spm A→\Spm B$ est surjective, alors~$ρ$ est une
isométrie.
% \item si~$ρ$~est une isométrie, alors~$f$~est un épimorphisme strict ;
% \item si~$B$ est topologiquement de type fini sur~$A$ et si~$f$~est un
% épimorphisme strict, alors~$f$~est surjective.
% \end{enumerate}
\end{prop}

\begin{proof}
Soit~$a∈A$. Puisque~$A$ est spectrale, $\norme{a}_A=\sup\acco{
\abs{s(a)}, s∈\Spm A}$ ; donc, $\Spm ρ$ étant surjective,
$\norme{a}_A=\sup\acco{ \abs{t(ρ(a))}, t∈\Spm B}$. Par conséquent, on a
bien~$\norme{a}_A=\norme{a}_B$.
% 
% (ii) 
% On rappelle (\cite{Milne}, 2.17) que $f$~est un épimorphisme strict \ssi,
% pour toute variété spectrale affine~$X = \Spm R$, la suite
% \[ 0 → \Hom(\Spm A, X) → \Hom(\Spm B, X) \rightrightarrows \Hom(\Spm B
%  ×_{\Spm A} \Spm B, X) \]
% est exacte. Ceci revient donc à dire que~$ρ: A → B$ est une isométrie
% surjective entre~$A$ et le sous-anneau~$A'$ des éléments~$b ∈ B$ tels
% que~$b ⊗ 1 = 1 ⊗ b$ dans~$B \hotimes_A B$. Or, il est clair qu'un élément
% de~$A'$ définit une fonction constante sur~$A$, et appartient donc à
% l'image de~$ρ$ par construction ; puisque~$ρ$~est une isométrie, on en
% déduit que~$A$ et~$A'$ sont homéomorphes, et donc que~$f$~est un
% épimorphisme strict.
% 
% (iii) 
% Il suffit de le montrer dans le cas où~$B$ est une algèbre
% topologiquement monogène~$A\tate{X}/(P)$, où~$P ∈ A \tate{X}$.
% Si~$P = 0$, alors~$B = A\tate{X}$ et on peut écrire~$\Spm B = (\Spm A) ×
% \O_C$ ; il est alors clair que~$f$ est surjective. On peut donc supposer
% que~$P$ est non nul, et donc (quitte à multiplier~$P$ par une unité
% de~$A\tate{X}$) que~$f$ est un polynôme unitaire.
% Se donner un morphisme~$t:B→C$ revient alors à se donner un
% morphisme~$s:A→C$, ainsi qu'un élément~$x$ de~$\O_C$ tel que~$s(P)(x)=0$.
% Puisque~$f$ est un polynôme unitaire de~$A[X]$, $s(f)$~est un polynôme
% unitaire de~$C[X]$ ; puisque~$C$ est algébriquement clos, on voit donc
% qu'il est toujours possible de trouver un tel~$x$ pour tout
% morphisme~$t$.
\end{proof}

\begin{prop}
Soient~$A, B$ deux algèbres de~Banach et~$ρ:A→B$ un morphisme de
$k$-algèbres. On suppose que $B$~est spectrale. Alors $ρ$~est continu.
\end{prop}

\begin{proof}
Puisque $A$, $B$~sont deux algèbres de~Banach, il suffit de montrer
que le graphe de~$ρ$ est fermé dans~$A×B$, c'est-à-dire que, si~$(a_n)$
est une suite d'éléments de~$A$ tendant vers zéro telle que la suite
des~$(ρ(a_n))$ a une limite~$b∈B$, alors~$b=0$.

Soit~$t∈\Spm B$. Alors l'application composée~$t∘ρ$ est le quotient
de~$A$ par un idéal maximal, et donc continue. Donc, puisque les~$a_n$
tendent vers zéro, la limite des~$t(ρ(a_n))$~est nulle ; par conséquent,
puisque $t$~est continue, on a~$t(b) = 0$. Puisque ceci est vrai pour
tout~$t$, on en déduit que~$\norme{b} = 0$, et donc que~$b=0$.
\end{proof}

\begin{cor}
Soit $A$ une algèbre spectrale. Alors toutes les normes d'algèbre
de~Banach sur~$A$ sont équivalentes.
\end{cor}

\begin{proof}
Notons~$\norme{⋅}$ la norme spectrale sur~$A$, et soit~$N$ une autre
norme d'algèbre de~Banach. Alors l'identité de~$A$ est continue pour les
normes~$N$ sur la source et~$\norme{⋅}$ sur le but ; puisque c'est une
bijection, et puisque les deux normes rendent $A$~complète, il découle
du théorème du graphe fermé que son inverse est également continu.
\end{proof}


\begin{prop}\label{prop:image spectrale}
Soit~$ρ:A→B$ un morphisme d'algèbres spectrales, de noyau~$\go
a⊂A$. Alors~$A'=A/\go a$~est une algèbre spectrale, et le morphisme
induit~$A'→B$~est une isométrie.
\end{prop}

\begin{proof}
Prouvons d'abord la deuxième partie : il suffit de montrer que la norme
d'algèbre~$\norme{⋅}_{A'}$ sur~$A'$ est équivalente à la
norme~$\norme{⋅}_B$ provenant de~$B$. Puisque~$ρ$~est continue,
$\norme{⋅}_B$~est dominée par~$\norme{.}_{A'}$ ; il reste à montrer
l'autre inégalité, c'est-à-dire qu'il existe un réel~$C>0$ tel que pour
tout~$a∈A$, il existe~$b∈\go a$ avec~$\norme{a+b\/}≤C\,\norme{ρ(a)}$.

Pour tout entier~$n$, notons~$F_n=\acco{a∈A, (∃b∈\go a)\;
\norme{a+b}≤n\norme{ρ(a)}}$. Puisque~$ρ$~est continue, $F_n$ est l'image
inverse dans~$A$ d'un fermé de~$A'$ (pour la norme~$\norme{⋅}_{A'}$, et
donc un fermé de~$A$. Soit~$a∈A$. Si~$a∈\go a$, alors~$ρ(a)=0$ et
il suffit de poser~$b=-a$ pour voir que~$a∈F_n$ pour tout~$n$ ; si~$a∉\go
a$, alors~$\norme{ρ(a)}>0$ et donc pour~$n$ assez grand, $a∈F_n$.

Par conséquent, $A$~est la réunion des fermés~$F_n$ ; puisque $A$~est
complet, d'après le théorème de~Baire, il s'ensuit qu'il existe~$n$ tel
que $F_n$~soit d'intérieur non vide, et donc que pour tout~$a∈A$, il
existe~$m$ tel que~$p^ma∈F_n$. Par conséquent, $\norme{⋅}_{A'}$ est bien
dominée par~$\norme{⋅}_B$, et donc ces deux normes sont équivalentes.

Montrons à présent que $A'$~est spectrale. Soit~$a∈A'$ :
alors~$\norme{a}\sp ≤ \norme{a}_{A'}$, il reste à montrer l'autre
inégalité ; or $\norme{a}_{A'}=\norme{a}_{B}$ est la norme spectrale
de~$A$ sur l'image de~$\Spm B$ dans~$\Spm A'$, et donc inférieure
à~$\norme{a}\sp$.
\end{proof}


Par conséquent, le morphisme~$T=\Spm B→S=\Spm A$ de variétés spectrales
bornées correspondant à~$A→B$ admet une image~$S'=\Spm A'$. 


\begin{prop}\label{prop:limite-inductive-spectrale}
Soit~$(A_n, ρ_n)_{n ∈ ℕ}$ une famille d'algèbres spectrales et de
morphismes d'algèbres spectrales~$ρ_n:A_n→A_{n+1}$ tels que~$\Spm
ρ_n:\Spm A_{n+1} → \Spm A_n$ soit surjectif ; alors le complété de la
réunion des~$A_n$ est une algèbre spectrale, et c'est la limite inductive
des~$(A_n)$ dans la catégorie des algèbres de Banach.
\end{prop}

\begin{proof}
Observons d'abord que, en vertu de la proposition~\ref{prop:epi-strict},
les applications~$ρ_n$ sont des isométries, et donc en
particulier injectives. Notons~$A'$ la réunion des~$A_n$, et
soit~$a∈A_n⊂A'$. Alors, pour tout~$m≥n$, $\norme{a}_{A_m} =
\norme{a}_{A_n}$ ; on pose alors~$\norme{a}_{A'} = \lim_m
\norme{a}_{A_m}$. Notons~$A$ le complété de~$A'$ pour cette norme ; par
construction, $\Spm A$ est la limite projective des~$\Spm A_n$, et les
applications~$\Spm A→\Spm A_n$ sont surjectives.

Soit~$a∈A$ ; pour tout réel~$ε>0$, il existe un entier~$n$ et~$b∈A_n$
tels que~$\norme{a-b}≤ε$. Soit alors~$s∈\Spm A_n$ tel
que~$\abs{b(s)}≥\norme{b}-ε$ ; puisque $\Spm A→\Spm A_n$~est surjective,
$s$~se relève en un élément~$t$ de~$\Spm A$. On a
alors~$\abs{a(t)}≥\norme{a}-2ε$ et donc~$\norme{a}\sp≥ \norme{a}-2ε$.
Puisque ceci est vrai pour tout~$ε>0$, on en déduit que~$\norme{a}\sp
= \norme{a}$ ; par conséquent, $A$~est bien une algèbre spectrale.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:tensoriel pro-spectral}
Soient~$ρ':A→B'$, $ρ'':A→B''$ deux morphismes de~$K$-algèbres
pro-spectrales. Alors le produit tensoriel complété~$B=B'\hotimes_A B''$
est une $K$-algèbre pro-spectrale. De plus, si~$B'$, $B''$ sont
spectrales, alors~$B$ est spectrale.
\end{prop}

\begin{proof}
Notons~$S=\Spm A$, $T'=\Spm B'$, $T''=\Spm B''$, et~$T=\Spm B$, et
aussi~$f'=\Spm ρ':T'→S$ et~$f''=\Spm ρ'':T''→S$.
Alors, par définition du produit tensoriel complété, $T=T'×_ST''$.

Soit~$t=(t',t'')$ un point de~$T$. Puisque~$B'$ et~$B''$ sont
pro-spectrales, il existe des ouverts bornés~$Ω', Ω''$ de~$T'$ et~$T''$
tels que~$t'∈Ω'$ et~$t''∈Ω''$. Posons~$Ω=Ω'×_SΩ''$ ;
alors~$Ω=(Ω'×_ST'')∩(T'×_SΩ'')$, et donc~$Ω$ est un ouvert de~$T$.
%
Pour tous~$b'∈B'$, $b''∈B''$, $ω'∈Ω'$, $ω''∈Ω''$, on
a~$\abs{(b'⊗b'')(ω',ω'')} = \abs{b'(ω')}⋅\abs{b''(ω')}$, et donc~$b'⊗b''$
est bornée sur~$Ω$. Il en est donc de même d'une somme de
termes~$b'_i⊗b''_i$, et donc, par complétion, de tout élément de~$B$ ;
par conséquent, $Ω$ est un ouvert borné de~$T$.

On voit donc que~$T$ est la réunion de ses ouverts bornés, et que la
famille des~$Ω'×_SΩ''$ est cofinale dans les ouverts bornés de~$T$.

De plus, pour tout~$b'∈B'$, $\norme{b'\hotimes 1}_Ω ≤ \norme{b'}_{Ω'}$ ;
par conséquent, le morphisme~$B'→B$ est continue pour les
normes~$\norme{⋅}_{Ω'}$ et~$\norme{⋅}_{Ω}$, et se prolonge donc en un
morphisme continu~$\widehat {B'}_{Ω'}→\widehat{B}_Ω$.
%
On a de même une morphisme continu
de~$A$-algèbres~$\widehat{B''}_{Ω''}→\widehat{B}_Ω$, et donc une
flèche~$\widehat{B'}_{Ω'} \hotimes_A \widehat{B''}_{Ω''} →
\widehat{B}_Ω$.
%
Puisque par ailleurs $B'⊗_AB''$ est dense dans~$B$, et que la topologie
de~$B$ est plus fine que celle de~$\norme{⋅}_Ω$, $B'⊗_AB''$ est dense
dans~$\widehat{B}_Ω$ ; par conséquent, $\widehat{B'}_{Ω'} \hotimes_A
\widehat{B''}_{Ω''} → \widehat{B}_{Ω'×_SΩ''}$ est un isomorphisme.

\begingroup\def\s{_\mathrm{s}}%
%
Soit~$j$~la flèche naturelle~$B=\limp (\widehat{B'}_{Ω'}) \hotimes \limp
(\widehat{B''}_{Ω''}) → B\s=\limp (\widehat{B'}_{Ω'} \hotimes
\widehat{B''}_{Ω''})$.
%
Soient~$f_n∈B'⊗_AB''$ tels que~$j(f_n)→0$ dans~$B\s$ ; alors
pour tous ouverts bornés~$Ω'$, $Ω''$, $\norme{f_n}_{Ω'×_SΩ''}→0$.
%
Pour tout~$ω''∈ Ω''$, on a donc~$\norme{ω''(f_n)}_{Ω'} → 0$
dans~$\widehat{B'}_{Ω'}$, et donc dans~$B'$ ; puisque les~$Ω''$ sont
exhaustifs dans~$T''$, il s'ensuit que, pour tout~$t''∈T''$, $t''(f_n)→0$
dans~$B'$. De même, pour tout~$t'∈T'$, $t'(f_n)→0$ dans~$B''$.
%
Par conséquent, on a bien~$f_n→0$ dans~$B$, et donc $j$~est injective.

De plus, $j$~se restreint en une flèche~$B'⊗_AB''$, qui est la composée
\[ B'⊗_AB''→B'⊗_A\limp(\widehat{B''}_{Ω''})
 →\limp(\widehat{B'}_{Ω'}⊗\widehat{B''}_{Ω''}) ⊂B\s \];
%
les deux premières de ces flèches sont continues et dominantes par
hypothèse sur~$B'$ et~$B''$, et la troisième l'est par construction
de~$B\s$.
%
Par conséquent, $j$~est continue et surjective ; c'est donc bien un
homéomorphisme entre~$B$ et~$B\s$, et~$B$ est bien une algèbre
pro-spectrale. \endgroup

Enfin, si~$B'$, $B''$ sont spectrales, alors~$T'$, $T''$ sont des ouverts
bornés, et donc~$T=T'×_ST''$ est un ouvert borné ; par conséquent,
$B$~est spectrale.
\end{proof}

\begin{cor}\label{cor:produit fibre spectral}
La catégorie des variétés spectrales affines admet des produits fibrés
finis. De plus, le support d'un produit fibré fini est le produit fibré
des supports.
\end{cor}

\begin{prop}\label{prop:pro-spectrale Galois}
Soit~$L$ une extension algébrique (éventuellement infinie) de~$K$ ; on
note~$\widehat{L}$ son adhérence dans~$C$.
\begin{enumerate}
\item
$\widehat{L}$ est une~$K$-algèbre spectrale.
\item
Pour toute $\widehat{L}$-algèbre de~Banach~$B$, $B$ est
une~$\widehat{L}$-algèbre pro-spectrale \ssi elle est une~$K$-algèbre
pro-spectrale, et une~$\widehat{L}$-algèbre spectrale \ssi elle est
une~$K$-algèbre spectrale.
\item
Pour toute~$K$-algèbre pro-spectrale~$A$, $A\hotimes_K \widehat{L}$ est
une $\widehat{L}$-algèbre pro-spectrale ; si~$A$ est une $K$-algèbre
spectrale, alors~$A\hotimes_K \widehat{L}$ est une $\widehat{L}$-algèbre
spectrale.
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{proof}
(i) Puisque~$K$ est complet et~$L/K$ algébrique, la valeur absolue de~$K$
se prolonge de manière unique en une valeur absolue sur~$\widehat{L}$ ;
celle-ci fait de~$\widehat{L}$ une $K$-algèbre spectrale.

(ii) Soit~$Σ$ l'ensemble des $K$-plongements continus de~$L$ dans$C$.
Tout~$σ ∈ Σ$ s'étend par continuité en un plongement de~$\widehat{L}$
dans~$C$. Le choix d'un élément~$σ_0 ∈ Σ$ fédinit une bijection~$\Hom_K
(B, C) → Σ × \Hom_L (B, C)$, et un ouvert~$Ω$ de~$\Hom_K (B, C)$~est
borné \ssi $Ω_L = Ω ∩ \Hom_L (B, C)$~l'est.
% Fixons un plongement continu~$σ:L→C$. Alors on dispose d'un
% homéomorphisme canonique~$\Hom_K(B,C) = \Hom_L(B,C)×\Gal(L/K)$ ; de plus,
% pour tout ouvert borné~$Ω$ de~$\Hom_K(B,C)$, pour tous~$b∈B$
% et~$γ∈\Gal(L/K)$, $\norme{γb}_{Ω} = \norme{b}_Ω$. Par conséquent,
% $Ω_L=Ω∩\Hom_L(B, C)$ est un ouvert borné de~$\Hom_L(B, C)$,
% et~$\norme{⋅}_{Ω_L} = \norme{⋅}_Ω$.

(iii) D'après la proposition~\ref{prop:tensoriel pro-spectral},
$A\hotimes_K \widehat{L}$ est une~$K$-algèbre spectrale ; d'après~(ii),
c'est donc une~$\widehat{L}$-algèbre spectrale.
\end{proof}

On parlera donc parfois d'algèbre spectrale ou pro-spectrale en
omettant le corps de base considéré.


\begin{df}
Soit~$S = \Spm_K A$ une variété spectrale affine sur~$K$.
\begin{enumerate}
\item $S$~est dite \emph{connexe} si~$A \hotimes_K C$ n'a pas
d'idempotents autres que~$0$ et~$1$.
\item $S$~est dite \emph{irréductible} si~$A$~est intègre.
\end{enumerate}
\end{df}

De même, une variété potentiellement spectrale sur~$K$ est dite connexe
si la variété spectrale sur~$C$ obtenue par oubli de l'action de~$\GK$
est connexe.

\begin{prop}\label{prop:variete connexe etale}
Soient~$S$ une variété spectrale affine connexe et~$T$ une variété
spectrale étale. Alors tout morphisme analytique~$S→T$ est
constant.
\end{prop}

\begin{proof}
Notons~$S=\Spm A$, $T=\Spm B$, et~$ρ:B→A$ le morphisme continu d'où est
issue l'application~$f:S→T$. 

Pour tout ouvert fermé~$Ω$ de~$T$ stable par~$\GK$, notons~$χ_Ω$ la
fonction caractéristique de~$S$. Puisque $Ω$~est ouvert et fermé, $χ_Ω$
est un élément idempotent de~$B$ ; donc~$ρ(χ_Ω)$~est un idempotent de~$A$
et vaut donc~$0$ ou~$1$. Notons~$F$ l'intersection de tous les~$Ω$ tels
que~$ρ(χ_Ω)=1$. Par construction, $\ro F$ est un compact de~$T$, stable
par~$\GK$, et pour tout~$Ω$, $ρ(χ_Ω)$~vaut~$1$ si~$F⊂Ω$ et~$0$ sinon.

Si~$F$ contient strictement plus d'un point de~$T$, alors il existe un
ouvert fermé~$Ω$ stable par~$\GK$ et contenant~$F$, tel que l'on
puisse écrire~$Ω=Ω'\amalg Ω''$ et tel que~$F$ ne soit inclus ni dans~$Ω'$
ni dans~$Ω''$ ; par conséquent, $1=ρ(χ_{Ω})=ρ(χ_{Ω'})+ρ(χ_{Ω''}) = 0+0$.
C'est absurde, donc~$F$ est réduit à un point~$t∈T$, et~$f$ est
l'application constante égale à~$t$.
\end{proof}

%<<<1
\section{Algèbres affinoïdes}

%<<<2 Introduction

Soit~$d$ un entier naturel. Rappelons que \emph{l'algèbre de~Tate} en~$d$
variables~$X_1,…,X_d$ sur~$K$ est l'algèbre~$K\tate{X_1,…,X_d}$ des
séries formelles à coefficients dans~$K$ en~$X_1,…,X_d$ dont les
coefficients tendent vers zéro selon le complémentaire des parties finies
de~$ℕ^d$. Cette algèbre est complète et séparée pour la norme
de~Gauss~$\norme{⋅}$ définie par
\[ \norme{∑_{n=(n_1,…,n_d) ∈ ℕ^d} a_n X_1^{n_1}…X_d^{n_d}} =
  \sup \acco {\abs{a_n}, n ∈ ℕ^d} \].
C'est aussi une algèbre spectrale et la norme de~Gauss est la norme
spectrale~(\cite[3.3.2]{FP}). De plus, tout idéal~$\go a$
de~$K\tate{X_1,…,X_d}$ est fermé et la norme de~Gauss induit
sur~$A=K\tate{X_1,…,X_d}/\go a$ une norme qui en fait une $K$-algèbre
de~Banach.

%<<<2
\subsection{Propriétés}
\begin{df}
Une $K$-algèbre de~Banach est dite \emph{affinoïde} si elle est
topologiquement de type fini sur~$K$.
\end{df}

Il revient bien sûr au même de dire que $A$~est affinoïde et qu'elle est
un quotient d'une algèbre~$K\tate{X_1,…,X_n}$ par un idéal fermé.

\begin{prop}\label{prop:sorites-affinoide}
Une algèbre affinoïde~$A$ vérifie les propriétés
suivantes~(\cite[3.2.1]{FP}) :
\begin{enumerate}
\item Toutes les normes de~Banach sur~$A$ sont équivalentes.
\item $A$~est un anneau noethérien.
\item Tout idéal de~$A$ est fermé.
\item Soit $d$~la dimension de~Krull de~$A$, alors il existe un
morphisme injectif et fini~$K\tate{X_1,…,X_d}→A$.
\item Pour tout idéal maximal~$\go m$ de~$A$, $A/\go m$~est une extension
finie de~$K$.
\item Si~$A$~est réduite, alors c'est une algèbre
spectrale~(\cite[3.4.9]{FP} ; \cite[6.2.1/4]{BGR}).
\end{enumerate}
\end{prop}

En particulier, tout idéal maximal~$\go m$ de~$A$ donne un
morphisme~$A→A/\go m→C$. Par conséquent, si~$a∈A$~est un élément dont la
transformée de Gelfand ne s'annule pas sur~$X=\Spm A$, alors
$a$~n'appartient à aucun idéal maximal de~$A$, et est donc inversible
sur~$A$.

De plus, il revient au même de dire que~$A$~est une $K$-algèbre affinoïde
et que c'est une algèbre finie sur une algèbre
de~Tate~$K\tate{X_1,…,X_d}$.

\begin{df}
Une variété spectrale bornée~$S$ est dite \emph{rigide} si son algèbre
spectrale est une algèbre affinoïde sur~$K$.
\end{df}

On dispose donc d'une antiéquivalence de catégories entre la catégorie
des $K$-algèbres affinoïdes réduites et celle des variétés spectrales
affinoïdes sur~$K$.

Un quotient d'une algèbre affinoïde par un idéal (nécessairement fermé)
ou le produit tensoriel complété sur~$K$ de deux algèbres affinoïdes sont
encore des algèbres affinoïdes. Par conséquent, une sous-variété
analytique d'une variété analytique rigide, ou l'image d'un morphisme de
variétés spectrales dont le but est une variété spectrale rigide, sont
des variétés analytiques rigides.

\medskip

On rappelle que~$A^∘$~est la sous-$\O_K$-algèbre~$\acco {a ∈ A, \norme{a}
≤ 1}$, $A^{∘∘}$~est l'idéal~$\acco {a ∈ A, \norme{a} < 1}$,
et~$\reduit{A}$ est la $k$-algèbre quotient~$A^∘ / A^{∘∘}$.

\begin{prop}\cite[3.5.3]{FP} ; \cite[6.3.5]{BGR}\label{prop:rho fini}
Soit~$ρ:A→B$ un morphisme d'algèbres affinoïdes. Alors les conditions
suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item $ρ$~est fini ;
\item $ρ$~est entier ;
\item $ρ^∘:A^∘→B^∘$ est entier ;
\item $\reduit{ρ}:\reduit A→\reduit B$~est entier ;
\item $\reduit{ρ}:\reduit A→\reduit B$~est fini.
\end{enumerate}
\end{prop}

Soit~$A$ une algèbre affinoïde. Alors~$A$ est un anneau noethérien ; par
conséquent, la dimension (comme $K$-espace vectoriel) de toute
sous-$K$-algèbre finie de~$A$ est majorée par le nombre (fini) d'idéaux
premiers minimaux de~$A$. La réunion des sous-algèbres finies de~$A$ est
donc une sous-algèbre finie, qui est maximale dans~$A$ ; on note~$π_0(A)$
cette sous-algèbre, et~$π_0(\Spm A)=\Spm(π_0(A))$~la variété spectrale
étale associée. La variété spectrale~$π_0(\Spm A)$ est équipée d'un
morphisme~$\Spm A → π_0(\Spm A)$ qui est universel pour les morphismes
analytiques de~$A$ vers une variété spectrale étale.

\bigskip

\begin{df}
Une variété spectrale est dite \emph{prorigide} si c'est une limite
projective de variétés spectrales rigides et de morphismes spectraux
surjectifs.
\end{df}

En particulier, une variété spectrale prorigide est bornée.

% D'après la proposition~\ref{prop:epi-strict}, pour toutes variétés
% spectrales rigides~$T = \Spm B$, $S = \Spm A$ et pour tout morphisme~$f =
% \Spm ρ: T → S$, les conditions suivantes sont équivalentes :
% \begin{enumerate}
% \item $f$~est surjective sur les espaces topologiques sous-jacents ;
% \item $ρ$~est une isométrie pour les normes spectrales ;
% \item $f$~est un épimorphisme strict.
% \end{enumerate}



% \bigbreak
% 
% Soient~$K ⊂ L ⊂ C$ des sous-corps fermés de~$C$. On note~$Γ$ le
% groupe des automorphismes continus de~$L$ dont la restriction à~$K$ est
% triviale. Alors d'après le théorème d'Ax-Sen-Tate~\cite{Ax}, l'algèbre
% des invariants~$L^{Γ}$ est~$K$
% 
% YY Non. C'est vrai si $L$ est l'adh\'erence d'une extension galoisienne $L^a$ 
% de $K$, auquel cas $\Gamma={\rm Gal}(L^a/K)$.  Relisez les deux propositions 
% qui suivent e tleurs preuves pour corriger quelques incoh\'erences ($\Gamma$, 
% ${\rm Gal}(L/K)$, $\ro G_K$) yy
% 
% Soit~$A$ une $K$-algèbre affinoïde. Alors~$A_L = A \hotimes_K L$~est
% une $L$-algèbre affinoïde, topologiquement engendrée sur~$L$ par des
% générateurs topologiques de~$A$ sur~$K$.
% 
% \begin{prop}\label{prop:invariants Gk aff}
% Pour toute $K$-algèbre affinoïde~$A$, l'application naturelle~$A → (A
% \hotimes_K L)^{Γ}$ est un isomorphisme.
% \end{prop}
% 
% \begin{proof}
% Remarquons d'abord que le résultat est évident si~$A$ est une algèbre
% de~Tate de la forme~$A = K\tate{X_1,…,X_d}$ : en effet, on aura alors~$A
% \hotimes_K L = L\tate{X_1,…,X_d}$, et le groupe~$Γ$ agit sur une
% série par son action sur ses coefficients, donc~$(A_L)^{Γ} = A$
% d'après le théorème d'Ax-Sen-Tate~(\cite{Ax}).
% 
% Soit à présent~$A$ une algèbre affinoïde quelconque. D'après la
% proposition~\ref{prop:sorites affinoide}~(iv), il existe un morphisme
% fini~$A_0 → A$, où~$A_0$~est une algèbre de~Tate ; d'après ce qui
% précède, $A_0$ vérifie la propriété voulue. Il suffit donc de
% démontrer le résultat pour un morphisme~$ρ: A_0 → A$ monogène.
% 
% Puisque~$ρ$~est entier, $A$~est engendrée sur~$A_0$ par un élément~$x$
% entier, de degré~$n$ sur~$A_0$ ; $A$~est donc un $A_0$-module libre de
% rang~$n$, dont une base est~$(1, x, …, x^{n-1})$. Par conséquent, $A
% \hotimes_K L$ est un $(A_0 \hotimes_K L)$-module libre de rang~$n$, et on
% a donc bien~$(A \hotimes_K L)^{Γ} = A$.
% \end{proof}
% 
% Soient~$\O_K$ et~$\O_L$ les anneaux d'entiers respectifs de~$K$ et~$L$.
% Alors $\O_L$~est stable par l'action de~$Γ$. De plus,
% d'après~\cite{CL}, X.1, $H^n(Γ, L) = 0$ ; par conséquent, pour
% tout~$r ∈ ℕ$, $H^1 (Γ, \O_L) = 0$ et~$H^1 (Γ, \O_L/p^r\O_L) = 0$.
% 
% \begin{prop}\label{prop:invariants Gk indaff}
% Soit~$A$ une $K$-algèbre limite inductive d'algèbres affinoïdes et
% d'isométries. Alors~$(A \hotimes_K L)^{Γ} = A$.
% \end{prop}
% 
% \begin{proof}
% Soit~$(A_n)$ une famille de sous-algèbres affinoïdes de~$A$ telles
% que~$A_n → A$~soit une isométrie et telles que~$A$ soit la complétion de
% la réunion des~$A_n$. Alors $A ⊗_K L$~est la complétion de $\limi (A_n
% ⊗_K L)$.
% 
% Soit~$a$~un élément de~$(A \hotimes_K L)^{Γ}$ ; quitte à
% multiplier~$a$ par un élément de~$K^⋆$, on peut supposer~$\norme{a} ≤ 1$.
% Alors~$a$ est limite d'éléments~$x_n$ de~$A_n \hotimes_K L$, et pour
% tout~$γ ∈ Γ$, la suite~$(γ - 1) x_n$ tend vers zéro dans~$A
% \hotimes_K L$. De plus, puisque~$Γ$~est compact, cette
% convergence est uniforme en~$γ$.
% 
% Soient~$n$, $r$ deux entiers tel que~$\norme{(γ - 1)x_n} ≤ p^{-r}$ pour
% tout~$γ ∈ Γ$. D'après ce qui précède, $H^1 (Γ,
% \O_L/p^r\O_L) = 0$, et par conséquent (puisque~$Γ$ agit
% trivialement sur~$A_n$) $H^1 (Γ, (A_n \hotimes_K L)^∘ / p^r (A_n
% \hotimes_K L)^∘) = 0$. Par conséquent, il existe un élément~$y_n$ de~$p^r
% (A_n\hotimes_K L)^∘$ tel que~$(γ - 1) X_n = (γ - 1) y_n$ pour tout~$γ$ ;
% autrement dit, $x_n$~est congru à un élément~$x'_n$ de~$A_n$ modulo~$p^r$.
% 
% Enfin, puisque~$(x_n - x'_n)$~tend vers zéro, la suite~$x'_n$~converge
% vers~$a$, et on voit donc que~$a ∈ A$.
% \end{proof}
% 
% Pour toute $K$-algèbre pro-spectrale~$A$, $A \hotimes_K C$~est une
% $C$-algèbre pro-spectrale ; de plus, elle est naturellement munie d'une
% action de~$\GK$ par automorphismes continus. De plus, pour tout morphisme
% de $K$-algèbres spectrales~$ρ:A → B$, $ρ ⊗ C$~est un morphisme
% de~$C$-algèbres commutant à l'action de~Galois. Ceci définit un foncteur
% de la catégorie des variétés spectrales sur~$K$ vers
% celle des variétés potentiellement spectrales sur~$K$.
% 
% \begin{prop}\label{prop:potentiel pf}
% Le foncteur naturel de la catégorie des variétés spectrales prorigides
% sur~$K$ vers la catégorie des variétés potentiellement spectrales sur~$C$
% est pleinement fidèle.
% \end{prop}
% 
% \begin{proof}
% Soient~$S = \Spm A$, $T = \Spm B$ deux variétés spectrales prorigides,
% et~$ρ: A \hotimes_K C → B \hotimes_K C$ un morphisme de~$C$-algèbres
% continu et $\ro G_K$-équivariant. Alors~$ρ((A \hotimes_K C)^{\GK}) ⊂ (B
% \hotimes_K C)^{\GK}$, et donc d'après la proposition~\ref{prop:invariants
% Gk indaff}, $ρ$~provient d'un morphisme $K$-analytique $A → B$.
% \end{proof}


%<<<2
\subsection{Formes différentielles}

Soit~$A$ une $K$-algèbre pro-spectrale. Un \emph{$A$-module de~Banach}
est un $K$-espace de~Banach~$M$, muni d'une structure de~$A$-module telle
que la multiplication~$A × M → M$ soit une application continue.

\begin{df}
Soit~$M$ un $A$-module de~Banach. Une \emph{$K$-dérivation continue}
de~$A$ dans~$M$ est une application $K$-linéaire continue~$d:A→M$ telle
que~$d(ab) = a⋅d(b) + b⋅d(a)$ pour tous~$a,b∈A$.
\end{df}

Supposons que~$A$ soit le quotient de $K\tate{X_1,…,X_n}$ par l'idéal
(automatiquement fermé) engendré par~$F_1(X_1,…,X_n), …, F_m(X_1,…,X_n)$.
Alors le $A$-module $Ω_A$, quotient de~$A\,dX_1⊕…⊕A\,dX_n$ par le
sous-module (automatiquement fermé) engendré par les différentielles
des~$F_i$, est muni d'une $K$-dérivation continue $d:A→Ω_A$.

\begin{prop}\cite[3.6.2]{FP}
Pour toute $K$-dérivation continue~$D:A→M$, il existe une unique
application $A$-linéaire (automatiquement continue) $f:Ω_A→M$ telle
que~$D=f∘d$.
\end{prop}

En particulier, le module~$Ω_A$ ainsi construit ne dépend pas du choix
des générateurs affinoïdes~$X_i$ ni des relations~$F_j$. Il est également
isomorphe au quotient~$\go a/\go a^2$, où~$\go a$ est le noyau du
morphisme de multiplication de~$A\hotimes A$ vers~$A$.

\begin{prop}\cite[3.6.3]{FP}
Soit $A$ une algèbre affinoïde intègre, de dimension~$d$.
\begin{enumerate}
\item $Ω_A⊗_A(\Frac A)$ est un $(\Frac A)$-espace vectoriel de
dimension~$d$.
\item Pour tout idéal maximal~$\go m$ de~$A$, sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item $A_{\go m}$ est un anneau local régulier ;
\item $(Ω_A)_{\go m}$ est un $A_{\go m}$-module libre (de rang~$d$) ;
\item $Ω_A⊗_A(A/\go m)$ est un $(A/\go m)$-espace vectoriel de
dimension~$d$ ;
\item la matrice des~$(∂F_i/∂X_j) \pmod{\go m}$ est de rang au moins~$d$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{prop}

Si les conditions sont vérifiées, on dit que l'idéal~$\go m$ de~$A$ est
\emph{régulier}. Un point~$x:A→C$ est dit \emph{régulier} si son noyau
l'est ; il est dit \emph{singulier} s'il n'est pas régulier.
%
Il résulte de la proposition que l'ensemble des points singuliers est un
fermé de~$\Spm A$ pour la topologie de~Zariski. La variété analytique
affine~$\Spm A$ est dite \emph{lisse} si tous ses points sont réguliers.

%<<<2
\subsection{Théorèmes d'inversion locale et globale}

Soient~$A$ une algèbre affinoïde, et soient~$f∈A$ et~$c∈K$ non nul. On
note~$A\tate{\nicefrac fc}$ l'algèbre affinoïde
\( A\tate{Y}/(cY-f) \). Cette notation est compatible avec la
notation~$K\tate{X/a}$ introduite en~\ref{prop:disques C}.
Pour tous~$a_1,…,a_r∈A$ et~$c_1,…,c_r∈K$ non nuls, on note
encore~$A\tate{\nicefrac{a_1}{c_1},…,\nicefrac{a_r}{c_r}} =
A\tate{\nicefrac{a_1}{c_1}}…\tate{\nicefrac{a_r}{c_r}}$. Soit~$X=\Spm A$,
alors~$\Spm A\tate{\nicefrac {a_1}{c_1}, …, \nicefrac{a_r}{c_r}}$
s'identifie au sous-ensemble de~$X$ formé des~$x$ tels que $\abs{a_i(x)}≤
\abs{c_i}$ pour tout~$i$.

\begin{df}
Soit~$\go a$ un idéal d'une algèbre affinoïde~$A$ (de type fini puisque
$A$~est noethérienne). Un \emph{voisinage (analytique) tubulaire}
de~$Y=\Spm (A/\go a)$ dans~$X=\Spm A$ est une variété spectrale
affine~$Y'$ de la forme
\[ \Spm A\tate{\frac{a_1}c,…, \frac{a_n}c} \],
où $(a_1,…,a_n)$~est une famille de générateurs de~$\go a$ et où~$c∈K$
est non nul.
\end{df}

Autrement dit, si~$Y$ est défini par les équations~$a_i(x) = 0$ dans~$X$,
alors~$Y'$ est défini par les inéquations~$\abs{a_i(x)} ≤ \abs{c}$.
En particulier, $Y'$~est naturellement équipée de morphismes~$Y→Y'$
et~$Y'→X$, dont la composition est le morphisme naturel~$Y→X$. Il est
clair qu'un voisinage tubulaire~$Y''$ de~$Y$ dans~$Y'$ est encore un
voisinage tubulaire de~$Y$ dans~$X$.


\begin{prop}\cite[1.8,1.9]{Kiehl}
\label{prop:immersion fermee voisinage}
Soient~$ρ:A→B$ un morphisme d'algèbres affinoïdes et~$\go a=(a_1,…,a_r)$
un idéal de~$A$.
\begin{enumerate}
\item
Supposons que~$ρ$ fasse de~$B/\go a B$ une algèbre finie
sur~$A/\go a$. Alors il existe un élément~$c$ de~$K$ tel
que~$A'=A\tate{a_1/c,…,a_r/c}→B'=B\tate{a_1/c,…,a_r/c}$ soit finie.
\item
Suppposons que~$A/\go a→B/\go a B$ soit surjective. Alors il existe un
élément~$c$ de~$K$ tel que~$A'→B'$ soit surjective.
\end{enumerate}
% Autrement dit, si~$f:Y→X$ est un morphisme de variétés analytiques rigides,
% et si~$V⊂X$ est une sous-variété de~$X$ telle que le morphisme~$f^{-1}(V)
% → V$ soit fini (ou une immersion fermée), alors cette propriété s'étend à
% un voisinage de~$V$ dans~$X$.
\end{prop}

\begin{proof}
(i)
Il suffit de le démontrer si~$\go a$ est l'idéal principal~$(a)$.
Soient~$f_1,…,f_n$ des générateurs topologiques de~$B$. Choisissons une
norme d'algèbre~$\norme{⋅}$ sur~$A$ et~$B$ telle que~$ρ(A^∘)⊂ B^∘$ ;
alors, puisque~$A/a→B/a$ est fini, $A^∘/(aA^∘) → B^∘ / (aB^∘)$ est fini.
Il existe par conséquent des polynômes unitaires~$P_1,…,P_s$ à
coefficients dans~$A^∘$ tels que~$P(f_i)$~s'annule dans~$B^∘/a$,
c'est-à-dire qu'il existe~$u_i∈B^∘$ tel que~$P(f_i) = au_i$.

Soit à présent~$c∈K$ tel que~$\abs{cu_i} < 1$ pour tout~$i$ ;
notons~$B'=B\tate{a/c}$ et~$A'=A\tate{a/c}$. Alors les images des~$f_i$
dans~$\reduit{B'}$ sont entières sur~$\reduit{A'}$.
Puisque~$\reduit{B'}$~est engendré sur~$\reduit{A'}$ par les~$f_i$ et par
l'image de~$a/c$, et puisque cette dernière appartient à~$\reduit{A'}$,
il s'ensuit que~$\reduit{B'}$~est entier sur~$\reduit{A'}$. Par
conséquent, $B'$~est fini sur~$A'$.

(ii) Quitte à se restreindre à un voisinage tubulaire de~$\Spm(A/\go a)$, on peut
supposer d'après~(i) que~$B$~est fini sur~$A$. Alors, puisque~$\go a(B/A)
= B/A$, d'après le lemme de~Nakayama, il existe un élément~$u$ de~$1+\go
a$ tel que~$u(B/A) = 0$, c'est-à-dire~$uB = uA$. Par conséquent,
l'application~$A[1/u] → B[1/u]$ est surjective. Puisque $u∈1+\go a$,
si~$a_1,…,a_r$~sont des générateurs de~$A$, on peut écrire~$u=1+g_1a_1 +
… + g_r a_r$ pour~$g_1,…,g_r∈A$. Soit alors~$c∈K$ tel que~$\abs{cg_i} <
1$ pour tout~$i=1,…,r$. Alors~$u$~est inversible dans~$A'=A\tate{a_1/c,
…, a_r/c}$, et donc~$A[1/u]⊂A'$ ; de même, $B[1/u]⊂B'$. Puisque $B'$~est
engendré par~$B[1/u]$ et par les~$a_i/c$, il est engendré par~$A'$ ;
donc~$A'→B'$~est surjective.
\end{proof}


\begin{prop} \label{prop:regulier equations}
Soient~$A$ une algèbre affinoïde de dimension~$d$, $S=\Spm A$, et~$s∈S$
un point régulier. Il existe alors un voisinage tubulaire~$T=\Spm B$
de~$s$ dans~$S$ tel que, si $t:B→C$~est le prolongement de~$s$, alors
l'idéal maximal~$\Ker t$ de~$B$ est engendré par~$d$ éléments
de~$B$.
\end{prop}


\begin{proof}
Soient~$(f_1,…,f_n)$ des générateurs de~$\go m = \Ker s$. Puisque $\go
m$~est un idéal maximal régulier, on peut supposer, quitte à étendre la
famille~$(f_1,…,f_n)$, que~$(f_1,…,f_d)$~est une base de~$\go m/\go m^2$.
Notons~$A_s$ le localisé en~$\go m$ de~$A$, et~$μ:A→A_s$
l'application de localisation.
Puisque $A_s$~est régulier, $(f_1,…,f_d)$~est une
famille de générateurs de son idéal maximal~$\go m A_s$. Il existe
donc des éléments~$g$ et~$a_{i,j}$ de~$A$, pour~$i=d+1,…,n$ et~$j=1,…,d$,
tels que~$g(s)≠0$ et, pour tout~$i=d+1,…,n$,
\[ μ(f_{i}) = \frac{a_{i,1}f_1 + … + a_{i,d} f_d} {μ(g)} \].
Ceci signifie encore que $gf_i - (a_{i,1}f_1 + … + a_{i,d}f_d) ∈ \Ker μ$.

Soient~$\go p_1,…,\go p_r$ les idéaux premiers minimaux de~$A$.
Puisque $A_s$~est régulier, il est intègre et a donc un unique idéal
premier minimal ; par conséquent, $\Ker s$~contient un unique idéal
premier minimal de~$A$, par exemple~$\go p_1$. Pour tout~$a∈\Kerμ$, il
existe~$b∈A∖\Ker s$ tel que~$ab=0$ ; on a alors~$ab∈\go p_1$ et~$b∉\go
p_1$, donc~$a∈\go p_1$. On a donc~$\Kerμ = \go p_1$. En outre, puisque
aucun des idéaux~$\go p_2,…,\go p_r$~n'est inclus dans~$\Ker s$, leur
intersection ne l'est pas non plus, et il existe donc un élément~$h$
de~$(\go p_2∩ … ∩ \go p_r)$ tel que~$h(s)≠0$.

On munit l'algèbre~$A$ de la norme image de la norme canonique
sur~$K\tate{X_1,…,X_n}$ par la surjection~$K\tate{X_1,…,X_n}→A$ qui
à~$X_i$ associe~$f_i$. Soit~$c∈K$ un élément non nul et tel que~$\abs{c}
< \min \acco{\frac{\abs{g(s)}} {\norme{g}}, \frac{\abs{h(x)}}
{\norme{h}}}$. Notons~$T$ le voisinage tubulaire de~$s$ dans~$S$
défini par l'algèbre affine
\[ B = A \tate{\frac {f_1}{c}, …, \frac {f_n}{c} } \],
et~$ρ:A→B$ l'application canonique. Par construction de la norme sur~$A$,
il existe une écriture~$h=∑ h_{i_1,…,i_n} f_1^{i_1}…f_n^{i_n}$ telle
que~$h_{0,…,0} = h(s)$ et~$\abs{a_{i_1,…,i_n}} < \abs{c^{-1}h(s)}$ ; on
en déduit que, pour tout~$t∈T$, $h(t)≠0$. Par conséquent, $ρ(h)$~est
inversible dans~$B$ ; de même, $ρ(g)$~est inversible dans~$B$.

Soit~$a∈\go p_1$. Puisque~$h∈\go p_2∩ … ∩\go p_r$, $ha$~appartient à~$\go
p_1 ∩ \go p_2 ∩ … ∩ \go p_r = 0$, et donc~$ρ(ha) = 0$. Par conséquent,
$ρ(a) = 0$, c'est-à-dire que~$\Ker μ = \go p_1 ⊂ \Ker ρ$. Puisque,
pour~$i≥d+1$, $gf_i ∈ (f_1,…,f_d) + \Ker μ$, on a donc~$ρ(g)ρ(f_i) ∈
(ρ(f_1),…,ρ(f_d))$ ; puisque~$ρ(g)∈B^{×}$, ceci implique que~$ρ(\Ker s) =
\Ker t$ est engendré par~$ρ(f_1),…,ρ(f_d)$.
\end{proof}

\begin{prop}\cite[2.6]{Bosch}
\label{prop:inversion-locale}
Soient~$A$ une algèbre affinoïde de dimension~$d$, $S=\Spm A$, et~$s∈S$
un point régulier. Il existe alors un voisinage tubulaire de~$s$
dans~$S$ qui est isomorphe comme variété analytique à~$\O_C^d$.
\end{prop}

\begin{proof}
% Notons~$\go m$ le noyau de~$x$ ; c'est par hypothèse un idéal maximal
% régulier de~$A$. Soit encore~$σ:A→A_{\go m}$ l'application de
% localisation.
% 
% Soient~$(f_1,…,f_n)$ des générateurs topologiques de~$\go m$ ; ce sont
% aussi des générateurs topologiques de~$A$. Quitte à augmenter et permuter
% la famille des~$f_i$, on peut supposer que~$(f_1,…,f_d)$ est une base du
% quotient~$\go m/\go m^2$ ; par conséquent, l'idéal maximal~$\go mA_{\go
% m}$ de~$A_{\go m}$ est engendré par les images des~$f_i$, et il existe
% donc des éléments~$g∈A∖\go m$ et~$g_{i,j}∈A$ pour~$i≥d+1$ et~$j≤d$ tels
% que
% \[ σ(f_i) = \frac {g_{i,1}f_1 + … + g_{i,d} f_d}{σ(g)} \].
% Ceci signifie encore que
% \( g f_i - g_{i,1}f_1 - … g_{i,d} f_d ∈ \Ker σ \).
% Soient~$\go p_1,…,\go p_s$ les idéaux premiers minimaux de~$A$ ; quitte à
% les permuter, on peut supposer qu'il existe un entier~$m$ tel que~$\go
% p_i ⊂ \go m$ \ssi $i≤m$. Alors $\go p_1⋅A_{\go m}, …, \go p_m⋅A_{\go m}$
% sont les idéaux premiers minimaux de~$A_{\go m}$ ; or, $A_{\go m}$ est
% intègre, et donc son unique idéal premier minimal est l'idéal nul. Par
% conséquent, $m=1$ et~$\go p_1⋅A_{\go m} = 0$, c'est-à-dire que~$\go p_1 =
% \Ker σ$ ; de surcroît, $\go m$ ne contient pas l'intersection de~$\go
% p_2, …, \go p_s$. Soit donc~$h∈(\go p_2∩…∩ \go p_s) ∖ \go m$ ; alors
% $x(h)≠0$. 
% 
% L'application~$K\tate{X_1,…,X_n}→A$ qui à~$X_i$ associe~$f_i$ est une
% surjection d'algèbres affinoïdes ; elle munit~$A$ d'une norme~$\norme{⋅}$
% qui est l'image de la norme canonique sur~$K\tate{X_1,…,X_n}$. Soit~$ε_1$
% un élément non nul de~$K$ tel que $\abs{ε_1}$~soit strictement inférieur
% à~$\abs{g(x)}/\norme{g}$ et~$\abs{h(x)}/\norme{h}$.
% 
% Notons~$X_1$ l'ouvert de~$X$ défini par~$\norme{f_i}≤ε_1$ pour
% tout~$i=1,…,n$ ; c'est une variété analytique affine pour
% l'algèbre~$A_1=A\tate{Y_1,…,Y_n}/(ε_1Y_i-f_i)$, et il existe un morphisme
% naturel~$φ_1:A→A_1$. Par construction, puisque~$\abs{h(x)} >
% ε_1\norme{h}$, $h$ ne s'annule pas sur~$X_1$, et donc $φ_1(h)$~est une
% unité de~$A_1$. Soit~$a∈\Ker σ$. Puisque $h$~appartient à~$\go p_2∩…∩\go
% p_s$, $ha$~appartient à~$\go p_1∩…∩\go p_s$, c'est-à-dire $ha=0$. Ceci
% entraîne $φ_1(a) = 0$, c'est-à-dire que~$\Ker σ⊂\Ker φ_1$. De plus, $\go
% m_1 = φ(\go m)$~est un idéal maximal de~$A_1$, et il est engendré
% par~$φ_1(f_1), …, φ_1(f_d)$.
D'après la proposition~\ref{prop:regulier equations}, on peut supposer,
quitte à se restreindre à un voisinage tubulaire de~$s$, que le noyau
de~$s$ est engendré par~$d$ fonctions~$f_1,…,f_d$. Alors l'application
de~$K\tate{X_1,…,X_d}$ vers~$A$ qui à~$X_i$ associe~$f_i$ induit un
isomorphisme entre~$K\tate{X_1,…,X_d}/(X_1,…,X_d)$ et~$A/(\Ker s)$. Par
conséquent, d'après la proposition~\ref{prop:immersion fermee voisinage},
il existe un élément non nul~$c$ de~$K$ tel que
\[ K \tate{ \frac{X_1}{c}, …, \frac{X_d}{c} } →
  A' = A \tate{ \frac{f_1}{c}, …, \frac{f_d}{c} } \]
soit encore surjective. Puisque ces deux algèbres sont par construction
de même dimension~$d$, cette application est un
isomorphisme ; autrement dit, $A'$~est isomorphe à une algèbre affinoïde
libre en~$d$ indéterminées.
%  
% L'application~$K\tate{X_1,…,X_d}→A_1$ qui à~$X_i$ associe~$f_i$ induit un
% isomorphisme de~$K\tate{X_1,…,X_d}/(X_1,…,X_d)$ vers~$A_1/\go m_1$. Par
% conséquent, il existe un élément non nul~$ε_2$ de~$K$, de valeur absolue
% inférieure à~$\abs{ε_1}$, tel que l'application induite
% \[ K\tate{\frac{X_1}{ε_2},…,\frac{X_d}{ε_2}} →
%   A_2 = A_1 \tate{\frac{φ_1(f_1)}{ε_2}, …, \frac{φ_1(f_d)}{ε_2}} \]
% soit surjective. Puisque ces deux algèbres affinoïdes sont en outre de
% même dimension, il s'ensuit que c'est un isomorphisme, c'est-à-dire que
% $A_2$~est isomorphe à~$K\tate{X_1,…,X_d}$ ; de plus, $φ_1$ induit une
% application canonique~$A→A_2$.
\end{proof}

\begin{prop}
\label{prop:inversion-globale}
Soit~$ρ:A→B$ un morphisme d'algèbres affinoïdes réduites. On suppose
que~$S = \Spm A$ et~$T=\Spm B$ sont lisses, et que~$f=\Spm ρ:T→S$ est une
bijection. Alors~$ρ:A→B$ est un isomorphisme.
\end{prop}

\begin{proof}
Remarquons d'abord que, puisque~$f:T → S$ est surjective, $ρ:A→B$~est une
isométrie.
Soient~$\go q_1,…,\go q_r$ les idéaux premiers minimaux de~$B$.
Alors~$\go p_i=\go q_i∩A$ est encore un idéal premier de~$A$ ; de plus,
l'application~$ρ:A→B→(B/\go q_1)×…×(B/\go q_r)$ se factorise par~$(A/\go
p_1)×…×(A/\go p_r)$. Puisque $\Spm B$~est lisse, $\Spm (B/\go q_i)$~est
lisse. En outre, $f$~étant bijective, sa restriction en
une application~$\Spm (B/\go q_i)→\Spm (A/\go p_i)$ est encore
bijective. Par conséquent, on peut supposer que $B$~est un anneau
intègre. Dans ce cas, $A$~est également intègre.

Notons~$d$, $d'$ les dimensions respectives de~$A$ et~$B$. Puisque~$S$
et~$T$ sont lisses, tout point~$s∈S$ a un voisinage tubulaire isomorphe
à~$\O_C^d$ ; de même, tout point~$t ∈ T$ a un voisinage tubulaire isomorphe
à~$\O_C^{d'}$. En composant ces isomorphismes et l'application~$T→S$, et
quitte à se restreindre à un produit de boules dans~$\O_C^d$, on obtient
une application analytique entre~$\O_C^{d'}$ et~$\O_C^d$, qui induit une
bijection sur les points. Par conséquent, cette application est un
isomorphisme analytique, ce qui implique que~$d=d'$.

Puisque~$ρ$ est une isométrie, $\reduit{ρ}$~est injectif ; puisque~$A$
et~$B$ sont de même dimension, $\reduit{A}$~et~$\reduit{B}$ le sont
aussi. Par conséquent, d'après~\cite[3.8]{Bosch}, il existe des
éléments non nuls~$a∈\reduit{A}$, $b∈\reduit{B}$ tels
que~$\reduit{A}[a^{-1}] → \reduit{B}[b^{-1}]$ soit un morphisme fini.
Soient~$a'∈A$, $b'∈B$ des relèvements respectifs de~$a$, $b$ ; alors
$A[(a')^{-1}]→B[(b')^{-1}]$~est fini.

Notons~$L$ et~$M$ les corps de fractions respectifs de~$A$ et~$B$. Alors
$M$ est une extension séparable de~$L$, et donc engendrée par un
élément~$b∈M$ ; quitte à multiplier~$b$ par un élément de~$L$, on peut
supposer que~$b$ est entier sur~$A$. Soit~$P(X)=X^n+c_1X^{n-1}+…+c_n$ le
polynôme minimal de~$b$ sur~$A$ ; alors~$M=L[X]/(P(X))$. Un élément~$T$
de~$T=\Hom(B, C)=\Hom(M, C)$ est donc déterminé par~$s=f(t)∈X$ et par la
donnée d'une racine~$ξ$ de~$s(P)$ dans~$C$. Puisque~$C$~est
algébriquement clos, ceci signifie que chaque élément~$s$ a
$n$~antécédents ; $f$~étant bijective, ceci implique que~$n=1$,
c'est-à-dire que~$M=L$.

Par conséquent, $B⊂L$. Puisque $B$~est topologiquement de type fini, il
existe un élément~$a∈A$ tel que~$B=A[\nicefrac 1a]$. Alors $\Spm B=\Spm
A$~entraîne que~$s(a)≠0$ pour tout~$s∈\Spm A$, c'est-à-dire que~$a$~est
inversible dans~$A$ ; par conséquent, $B=A$.
\end{proof}


%<<<2
\subsection{Complétude}

\begin{lem}\label{lem:prorigide uc}
Soit~$S$ une variété spectrale bornée rigide. Alors tout élément de
l'algèbre affine~$A$ de~$S$ est une fonction uniformément continue sur~$S$.
\end{lem}

\begin{proof}
Puisque $S$~est rigide, $A$~est topologiquement engendrée par des
éléments $X_1,…,X_n$, et (puisque la norme est ultramétrique) il suffit
de montrer que ces éléments induisent des fonctions uniformément
continues sur~$S$. Puisque $A$~est un quotient de~$K\tate{X_1,…,X_n}$,
alors $S$~est un sous-espace de l'espace affine $\O_C^n$, et on peut donc
supposer que~$A=K\tate{X_1,…,X_n}$. Enfin, il est clair que les fonctions
$X_1,…,X_n$ sont uniformément continues sur l'espace affine.
\end{proof}

Puisque le passage à la limite projective de variétés spectrales bornées
correspond à la réunion complétée des algèbres affines, le résultat du
lemme reste vrai sur une variété spectrale prorigide.

\begin{prop}\label{prop:complet}
Soient~$T$ et~$S$ deux variétés spectrales bornées ; on suppose que
$S$~est prorigide. Alors l'espace des fonctions analytiques définies
sur~$T$ et à valeurs dans~$S$ est complet pour la topologie de la
convergence uniforme sur tout ouvert borné.
\end{prop}

\begin{proof}
Soit~$(f_n:X→Y)$ une suite de~Cauchy. Soient~$A$ et~$B$ les algèbres
spectrales respectives de~$T$ et~$S$, et~$ρ_n:A→B$ le morphisme
correspondant à~$f_n$ ; notons encore~$\ro A$ et~$\ro B$ les boules unité
de~$A$ et~$B$. Soit~$a∈A$. Alors, si~$m,n≥0$,
\[ \begin{split}
\norme{ρ_m-ρ_n}& ≤ \sup \acco{ \norme{ρ_m(a)-ρ_n(a)},\;a∈\ro A}\\ &≤\sup
 \acco{\abs{ρ_m(a)(t) - ρ_n(a)(t)},\;a∈\ro A, y∈Y}\\ &≤\sup
 \acco{\abs{a(f_m(t))-a(f_n(t))},\;a∈\ro A, y∈Y}.
\end{split}\]
Or, puisque $S$~est prorigide, d'après le lemme~\ref{lem:prorigide uc},
$a$~est une fonction uniformément continue sur~$S$ ; puisque la
suite~$(f_n)$ est de~Cauchy, ceci entraîne que la suite~$(ρ_n)$ est
de~Cauchy. Par conséquent, puisque $B$~est une algèbre de~Banach, elle
converge, et sa limite~$ρ$ munit la limite des~$f_n$ d'une structure
spectrale.
\end{proof}


%<<<1
\section{Groupes spectraux affines}
%<<<2
\subsection{Groupes spectraux}

\begin{df}
La catégorie~$\GS_K$ des \emph{groupes spectraux affines (sous-entendu :
commutatifs)} est la catégorie dont les objets sont les objets en groupes
(commutatifs) de la catégorie des variétés spectrales affines et dont les
morphismes sont les morphismes de variétés spectrales affines qui sont
des morphismes de groupes.
\end{df}

Tous les groupes spectraux affines considérés seront commutatifs.

Un groupe spectral affine est donc isomorphe à~$\Spm A$, où~$A$~est une
algèbre pro-spectrale munie d'un morphisme continu~$Δ:A→A\hotimes_K A$,
satisfaisant les axiomes habituels d'une comultiplication cocommutative.
Un tel objet est appelé~\emph{bigèbre pro-spectrale}.

Une \emph{structure $K$-spectrale} sur un groupe topologique~$G$ muni
d'une action continue de~$\GK$ est un groupe spectral affine dont le
groupe topologique sous-jacent s'identifie à~$G$.

Soit~$G=\Spm A$ un groupe spectral. Alors, pour tout élément~$g$ de~$G$,
l'application~$(g⊗\id)∘Δ:A→A$ est un morphisme d'algèbres spectrales,
appelé \emph{translation par~$g$}. Le morphisme de variétés spectrales
associé est la translation~$G→G,x↦x+g$.

Soient~$G'→H$, $G''→H$ des morphismes de groupes spectraux affines,
alors d'après la proposition~\ref{prop:tensoriel pro-spectral},
$G=G'×_HG''$ est une variété spectrale affine ;
puisque~$G×G=(G'×_HG'')×(G'×_HG'')=(G'×G')×_{(H×H)}(G''×G'')$, les
morphismes de multiplication~$G'×G'→G'$ et~$G''×G''→G''$ donnent bien un
morphisme spectral~$G×G→G$, qui coïncide avec la loi de groupe de~$G$.
Par conséquent, $G$~est un groupe spectral affine, et c'est le produit
fibré de~$G'→H$ et~$G''→H$ dans la catégorie des groupes spectraux
affines.

En particulier, la catégorie des groupes spectraux affines admet des
noyaux et des produits finis.

On dit qu'un groupe spectral est \emph{borné} si la variété spectrale
sous-jacente l'est. Le caractère borné est conservé par les opérations de
produit fibré, limite projective et de noyau.

\smallbreak

Enfin, d'après la proposition~\ref{prop:image spectrale}, tout morphisme
de groupes spectraux~$f:G →G'$ admet une image dans la catégorie des
variétés spectrales ; on voit alors que cette image est naturellement
munie d'une structure de groupe spectral par la multiplication de~$G'$,
et que c'est encore l'image de~$f$ dans la catégorie des groupes
spectraux.

% Un groupe spectral affine est dit~\emph{divisible} si le groupe
% topologique sous-jacent est divisible par~$p$ et si l'application de
% division par~$p$ est analytique.



% \begin{prop}
% Soit~$f:H→G$ un morphisme de groupes spectraux affines bornés, associé
% au morphisme d'algèbres spectrales~$ρ:A→B$. On suppose que~$B$ est
% topologiquement de type fini sur~$A$. Alors~$f$~est surjectif \ssi
% $ρ$~est fidèlement plat.
% \end{prop}
% XX: il manque une hypothèse de finitude!
% 
% \begin{proof}
% Puisque~$ρ$~est fidèlement plat \ssi~$ρ⊗_KC$ l'est, on peut supposer
% que~$K=C$.
% 
% Supposons d'abord~$f$~surjectif. Alors d'après la
% proposition~\ref{prop:rho spectral surjectif etc.}, $ρ$~est une
% isométrie, et en particulier injectif ; puisque~$A$~est une sous-algèbre
% de~Hopf de~$B$, d'après~\cite{Demazure}, III.3.7.2, ceci entraîne que ce
% morphisme est fidèlement plat.
% 
% Réciproquement, supposons~$ρ$~fidèlement plat, et soit~$x:A→C$.
% Le noyau de~$x$ est un idéal maximal~$\go m$ de~$A$ ; puisque~$ρ$~est
% fidèlement plat, la suite exacte de~$A$-modules $0→\go m→A→C→0$ donne une
% suite exacte $0→\go m⊗_AB→B→C⊗_AB→0$, et l'idéal~$\go mB$ est un idéal
% propre de~$B$. Par conséquent, il est inclus dans un idéal maximal~$\go
% n$ de~$B$. Enfin, puisque~$B$ est topologiquement de type fini
% sur~$A$, $B⊗_CA$~est une algèbre topologiquement de type fini sur~$C$,
% et donc le corps résiduel~$B/\go n$~est isomorphe à~$\go C$ ; le
% morphisme~$y:B→C$ ainsi construit est un relèvement de~$x$ à~$H$.
% \end{proof}
% 
% \begin{cor}
% Soit~$G'→G→G''$ une suite de morphismes de groupes spectraux affines
% bornés ; on suppose que~$G'$~est un groupe étale. Alors la suite
% $0→G'(C)→G(C)→G''(C)→0$ est exacte \ssi $G→G''$ provient d'un morphisme
% d'algèbres fidèlement plat et si $G'→G$ est son noyau.
% \end{cor}
% 
% \begin{proof}
% D'après la proposition précédente, il suffit de montrer
% que~$G→G''$~provient d'un morphisme d'algèbres topologiquement de type
% fini. Ceci est une conséquence du fait que~$G'$ est profini.
% \end{proof}

%<<<2
\subsection{Groupes spectraux étales}

Soit~$G$ un groupe topologique (abélien) localement profini,
muni d'une action continue de~$\GK$ par automorphismes de
groupe. Alors la variété spectrale étale~$G$ est un groupe spectral
affine ; en notant~$A=\ro C(G, C)^{\GK}$, la comultiplication sur~$A$
est donnée par~$(Δf)(s,s') = f(s+s')$ pour~$s,s' ∈S$.

On déduit immédiatement de la proposition~\ref{prop:profini spectral} le
résultat suivant.

\begin{prop}
La correspondance entre groupes topologiques localement profinis munis
d'une action de~$\GK$ et groupes spectraux affines est fonctorielle
et pleinement fidèle.
\end{prop}

\begin{df}
Les \emph{groupes spectraux étales} sont les
objets de son image essentielle. Les \emph{groupes spectraux constants}
sont les groupes spectraux étales dont l'action de~$\GK$ associée est
triviale.
\end{df}

Par exemple, tout $\Zp$-module de type fini a une structure naturelle de
groupe spectral constant borné, et tout $\Qp$-espace vectoriel de
dimension finie définit un groupe spectral constant ; toute
$\Qp$-représentation de~$\GK$ de dimension finie a une structure
naturelle de groupe spectral étale, et tout réseau stable d'une telle
représentation définit un groupe spectral étale borné.

Pour tout groupe topologique localement profini~$G$ muni d'une action
continue de~$\GK$, on notera encore~$G$ le groupe spectral étale
associé à~$G$.

\medbreak

La proposition~\ref{prop:variete connexe etale} entraîne que tout
morphisme entre un groupe spectral connexe et un groupe spectral étale
est nul ; la proposition~\ref{prop:morphisme etale -} entraîne que les
morphismes d'un groupe spectral étale vers un groupe spectral quelconque
sont les morphismes de groupes topologiques.


%<<<2
\subsection{Groupes spectraux vectoriels}

On appelle \emph{$C$-représentation de~$\GK$} (\cite[1.3]{PresqueCp}) un
$C$-espace vectoriel~$W$ de dimension finie muni d'une action continue et
semi-linéaire de~$\GK$. Un morphisme de $C$-représentations de~$\GK$ est
une application $C$-linéaire et~$\GK$-équivariante.

Un \emph{$\GK$-sous-module} d'une $C$-représentation~$W$ est un
sous-$\O_C$-module stable par $\GK$. Un \emph{$\GK$-réseau} de~$W$ est un
$\GK$-sous-module qui est un $\O_C$-module libre de rang égal à la
dimension de~$W$. Tout $\GK$-sous-module ouvert de~$W$ est la réunion des
$\GK$-réseaux qu'il contient.

Soit~$W$ une $C$-représentation de~$\GK$. On note~$A_0$ l'algèbre
symétrique sur~$C$ du dual~$W^⋆$ de~$W$ ; $A_0$~est munie d'une action de~$\GK$
définie par~$g(c⋅η)=g(c)⋅(η∘g)$ pour tous~$g∈\GK$, $c∈C$
et~$η∈W^⋆$. Cette action est semi-linéaire.

Soit~$A_∞$ la complétion de~$A_0$ pour la topologie $I$-adique, où~$I$
est l'idéal engendré par le dual de~$W$.
% Pour tout sous-$\O_C$-module
% ouvert~$Ω$ de~$W$, on note~$A_{Ω}$ la sous-algèbre de~$A_∞$ formée des
% séries convergeant sur~$Ω$ ; $A_{Ω}$, munie de la topologie de la
% convergence uniforme sur tout $\O_C$-module de type fini de~$W$ inclus
% dans~$Ω$, est une algèbre de~Fréchet, et une algèbre de~Banach \ssi
% $Ω$~est un réseau.
Le choix d'une base de~$W$ sur~$C$ identifie
$A_0$~à~$C\cro{X_1,…,X_d}$, et~$A_∞$ à~$C\bcro{X_1,…,X_d}$.

Pour tout $\GK$-sous-module ouvert~$Ω$ de~$W$, notons~$A_Ω$ la
sous-$K$-algèbre de~$A_∞$ formée des séries convergentes sur~$Ω$.

\begin{prop}\label{prop:df-W}
Soit~$Ω$ un $\GK$-sous-module ouvert de~$W$. Alors l'algèbre~$A_Ω$ est
une $K$-algèbre pro-spectrale et munit~$Ω$ d'une structure naturelle de
groupe spectral affine sur~$K$. Si de plus $Ω$~est un $\GK$-réseau
de~$W$, alors~$A_Ω$~est spectrale.
\end{prop}

\begin{proof}
Soit d'abord~$Λ$ un $\GK$-réseau de~$W$. Alors toute série~$a ∈ A_Λ$ est
bornée sur~$Λ$ ; soit
\[ \norme{a}_{Λ} = \sup \acco {\abs{a(x)}, x ∈ Λ} \].
Il est clair par construction de~$A_Λ$ que les flèches d'évaluation
fournissent une application continue~$Λ → \Spm A_Λ$ ; puisque~$A_0$~est
dense dans~$A_Λ$, tout morphisme continu~$A_Λ → C$ est déterminé par sa
restriction à~$A_0$ et provient donc d'un élément de~$Λ$. Par conséquent,
$A_Λ$~est une algèbre spectrale et $\Spm A_Λ$~est homéomorphe à~$Λ$. De
plus, la loi de groupe sur~$Λ$ munit~$A_Λ$ d'une structure de bigèbre
spectrale, qui fait de~$Λ$ un groupe potentiellement spectral.

Soit à présent~$Ω$ un $\GK$-sous-module ouvert quelconque de~$W$.
Alors~$Ω$~est la réunion des $\GK$-réseaux~$Λ$ de~$W$ tels que~$Λ ⊂ Ω$ ;
par conséquent, $A_Ω$~est l'intersection des~$A_Λ$, et donc une algèbre
pro-spectrale.
\end{proof}

On voit en particulier que pour tout $\GK$-réseau~$Λ$ de~$W$, le choix
d'une base du $\O_C$-module libre~$Λ$ identifie~$A_Λ$ à l'algèbre
affinoïde~$C\tate{X_1,…,X_d}$, et donc que~$Λ$~est un groupe spectral
rigide.

\begin{df}
La catégorie des \emph{groupes potentiellement spectraux vectoriels} est
la sous-catégorie pleine de celle des groupes potentiellement spectraux
dont les objets sont les $C$-représentations de~$\GK$.
\end{df}

\begin{prop}\label{prop:W pf}
Le foncteur naturel de la catégorie des~$C$-représentations de dimension
finie de~$\GK$ vers celle des groupes potentiellement spectraux
vectoriels est pleinement fidèle.
\end{prop}

\begin{proof}
Quitte à choisir des bases, il suffit de montrer que tout endomorphisme
du groupe potentiellement spectral vectoriel~$C$
est~$K$-linéaire. Or, un tel morphisme provient d'un endomorphisme
de~$C\tate X$, et donc d'un élément~$f∈K\tate X$
vérifiant~$Δ(f)=f\hotimes 1+1\hotimes f$. Un tel élément est bien de la
forme~$f=aX$ pour un~$a∈C$ ; comme de plus~$a$~est $\GK$-invariant,
on a bien~$a∈K$.
\end{proof}

On dit que la $C$-représentation~$W$ est \emph{triviale} si la flèche
naturelle~$W^{\GK} \hotimes_K C → W$~est un isomorphisme. Ceci revient à
dire qu'il existe un entier~$d ≥ 0$ tel que~$W$ soit isomorphe à la
$C$-représentation~$C^d$. Si $W$~est triviale, alors le groupe
potentiellement spectral vectoriel associé est en fait un groupe
spectral. Les représentations triviales forment la sous-catégorie pleine
des \emph{groupes spectraux vectoriels sur~$K$} de celle des groupes
potentiellement spectraux vectoriels ; cette catégorie est équivalente à
celle des~$K$-espaces vectoriels de dimension finie, l'équivalence de
catégorie associant à une représentation~$W$ le sous-$K$-espace vectoriel
des vecteurs invariants par~$\GK$.

En particulier, si~$K=C$, alors les groupes potentiellement spectraux
vectoriels sont spectraux.

%<<<2
\subsection{Groupes spectraux rigides et prorigides}

Un groupe spectral borné~$G$ est dit~\emph{rigide} si la variété
spectrale sous-jacente est rigide (c'est-à-dire est le spectre d'une
algèbre affinoïde).

% Soient~$H$, $G$ deux groupes spectraux rigides. Alors un morphisme~$f: H
% → G$ est un épimorphisme strict \ssi il est surjectif sur les groupes
% topologiques sous-jacents.

Soient~$(G_n, f_n: G_{n+1} → G_n)$ une famille indexée par~$ℕ$ de groupes
spectraux rigides et de morphismes surjectifs de groupes spectraux.
Alors, d'après la proposition~\ref{prop:limite-inductive-spectrale}, leur
limite projective~$G$ existe dans la catégorie des variétés spectrales
affines ; de plus, puisque~$G × G = \limp (G_n × G_n)$, $G$~est
naturellement muni d'une structure de groupe spectral.

\begin{df}
Un groupe spectral est dit \emph{prorigide} s'il est isomorphe à une
limite projective de groupes spectraux rigides et de morphismes
surjectrifs de groupes spectraux.
\end{df}

% \begin{prop}\label{prop:epi-strict-pro}
% Soit~$f: H → G$ un morphisme de groupes spectraux prorigides.
% Alors~$f$~est un épimorphisme strict \ssi il est surjectif sur les
% groupes topologiques sous-jacents.
% \end{prop}
% 
% \begin{proof}
% Soient~$A$, $B$ les algèbres affines respectives de~$G$, $H$, et~$ρ: A →
% B$ le morphisme d'algèbres tel que~$f = \Spm ρ$. Il suffit de montrer
% que, si~$ρ$~est une isométrie, alors~$f$~est surjectif. Puisque~$H$~est
% prorigide, il existe des sous-algèbres~$B_n$ de~$B$ telles que~$B$ soit
% la complétion de la réunion des~$B_n$. Soit~$A_n = B_n ∩ A$ ; alors~$A_n
% → B_n$~est encore une isométrie, et donc~$H_n = \Spm B_n → \Spm A_n =
% G_n$~est surjectif par la proposition~\ref{prop:epi-strict}. Puisque de
% plus $G$, $H$ sont la limite projective des~$G_n$, $H_n$ comme groupes
% topologiques, on en déduit que~$H → G$~est surjectif.
% \end{proof}
% 
% En particulier, si~$G=\limp G_n$ est un groupe spectral prorigide, alors
% tous les morphismes~$G → G_n$ sont des épimorphismes stricts.

\begin{df}\label{df:exacte GS}
Une suite $0 → G' → G → G'' → 0$ de groupes spectraux affines et de
morphismes de groupes spectraux affines est dite \emph{exacte} si la
suite de groupes topologiques sous-jacente est exacte.
\end{df}

% Ceci revient à dire que~$G → G''$~est un épimorphisme strict, dont~$G' →
% G$~est le noyau.


% \begin{df}
% Un groupe spectral borné~$G$ est dit~\emph{rigide} si la variété
% spectrale sous-jacente est rigide ; il est dit~\emph{prorigide} s'il est
% une limite projective de groupes spectraux rigides et d'épimorphismes
% stricts de groupes spectraux.
% \end{df}
% 
\begin{prop}\cite[5.1,5.3]{Bosch}
\label{prop:groupe rigide lisse}
Soit~$G=\Spm A$ un groupe spectral rigide. Alors $G$~est lisse.
\end{prop}

On déduit de la proposition~\ref{prop:groupe rigide lisse} et de la
proposition~\ref{prop:inversion-globale} le théorème suivant.

\begin{prop}\label{prop:inversion-groupes-rigides}
Soit~$f:G→H$ un morphisme de groupes spectraux rigides. Si~$f$ est
bijectif sur les groupes topologiques sous-jacents, alors $f$~est un
isomorphisme.
\end{prop}

\begin{proof}
Soit~$H'$ un quotient rigide de~$H$ ; alors~$f^{-1}(H')$ est un quotient
de~$G$, et il est rigide en tant qu'image réciproque d'un groupe rigide.
De même, si $G'$~est un quotient rigide de~$G$, alors~$f^(G')$ est
rigide. En outre, puisque~$f$ est bijectif et puisque les groupes rigides
sont lisses, il résulte de la proposition~\ref{prop:inversion-globale}
que chaque quotient rigide de~$H$ est isomorphe à un quotient rigide
de~$G$. Par conséquent, $G$~et~$H$ sont isomorphes.
\end{proof}



La proposition suivante se démontre exactement de la même façon
que dans le cas des groupes algébriques.

\begin{prop}\label{prop:fact pi0 rigide}
Soit~$G$~un groupe spectral rigide. Alors~$π_0(G)$~est un groupe fini
étale, et tout morphisme de groupes~$G→H$ où $H$~est un groupe
étale se factorise de façon unique en~$G→π_0(G)→H$.
\end{prop}


\begin{prop}
Soit~$G$ un groupe spectral prorigide connexe. Alors $G$~est une limite
projective de groupes spectraux rigides connexes et de morphismes de
groupes spectraux.
\end{prop}

\begin{proof}
Soient~$G_n=\Spm A_n$ des groupes spectraux rigides tels que~$G=\limp
G_n$, et soit~$A$ l'algèbre affine de~$G$. Alors $A$~est le complété de
la réunion des~$A_n$. Puisque $G$~est connexe, $A \hotimes_K C$~n'a pas
d'idempotent, et puisque~$A_n ⊂ A$, $A_n \hotimes_K C$ n'a pas
d'idempotent. Par conséquent, $G_n$~est bien un groupe connexe.
\end{proof}


\begin{prop}\label{prop:connexe irreductible}
Soit~$G$ un groupe spectral prorigide connexe, d'algèbre affine~$A$.
Alors~$A$ est un anneau intègre.
\end{prop}

\begin{proof}
Prouvons d'abord le résultat dans le cas où $G$~est rigide. Soit~$A$
l'algèbre affine de~$G$. Puisque $A$~est un anneau noethérien, il a un
nombre fini d'idéaux premiers minimaux~$\go p_1, …, \go p_r$ ; en outre,
l'intersection des~$\go p_i$ est le nilradical de~$A$, c'est-à-dire
l'idéal nul puisque $A$~est spectral. Par conséquent, il suffit de
montrer que $A$~admet un unique idéal premier minimal.

Puisque les~$\go p_i$~sont minimaux, on a, pour tout~$i=2,…,r$, $\go
p_i\not⊂ \go p_1$ ; puisque $\go p_1$~est premier, $\go
p_2…\go p_r\not⊂\go p_1$. Par conséquent, il existe un point~$g∈\Spm A$
tel que~$\go p_1⊂\Ker g$ et~$\go p_2…\go p_r\not⊂\Ker g$ ; on a donc pour
tout~$i=2,…,r$, $\go p_i\not⊂\Ker g$. Par conséquent, $\go p_1$~est
l'unique idéal premier minimal inclus dans~$\Ker g$. Puisque~$G=\Spm
A$~est un groupe, on en déduit par translation que tout idéal maximal
de~$A$ contient un unique idéal premier minimal. Puisque~$G$~est connexe,
on en déduit que~$A$ contient un unique idéal premier minimal, et donc
que~$A$~est intègre.

\smallskip

Prouvons enfin le cas général. Si~$G=\Spm A = \limp G_n$~est connexe,
nous savons que~$G_n$~est un groupe connexe, et donc son algèbre
affine~$A_n$ est un anneau intègre. Soit~$L_n$ le corps des fractions
de~$A_n$, et soit~$L$ le complété de la réunion des~$A_n$. Alors toute
suite d'éléments~$a_n$ de~$A_n$ convergente dans~$A$ converge dans~$L$,
ce qui définit un morphisme injectif~$A → L$ ; par conséquent, $A$~est un
anneau intègre.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:pi0 prorigide}
Soient~$G$ un groupe spectral prorigide, et~$(G_n)_{n ∈ ℕ}$ des groupes
spectraux rigides tels que~$G=\limp G_n$. Alors $\limp π_0(G_n)$~ne
dépend pas du choix des~$(G_n)_{n ∈ ℕ}$.
\end{prop}

\begin{proof}
Montrons qu'il existe une unique sous-algèbre de l'algèbre affine de~$G$,
engendrée topologiquement par des éléments idempotents, et maximale pour
cette propriété. Notons~$A_n$ l'algèbre affine de~$G_n$ ; alors l'algèbre
affine de~$G$ est la limite inductive complétée~$A$ des~$A_n$. Soit~$B$
la sous-algèbre de~$A$ qui est la limite inductive complétée
des~$π_0(A_n)$ ; alors, puisque~$π_0(A_n)$~est engendrée par des éléments
idempotents, $B$~est topologiquement engendrée par des éléments
idempotents.

Soit à présent~$e$ un élément idempotent de~$A$ ; alors~$e$ définit une
partition de~$\Spm A$ en deux ouverts fermés~$Ω$ et~$Ω'$ pour la
topologie de~Zariski. Puisque~$\Spm A$ est affine, il est quasi-compact
pour cette topologie ; par conséquent, $Ω$ et~$Ω'$ sont quasi-compacts.
Notons~$f_n:\Spm A→\Spm A_n$ ; alors, puisque $\Spm A$~est la limite
projective des~$f_n$, les ouverts de sa topologie de~Zariski sont
engendrés par les~$f_n^{-1}(Ω_n)$, où~$Ω_n$ est un ouvert de~$\Spm A_n$.
Puisque $Ω$~est quasi-compact, c'est une réunion finie de tels ouverts.
Par conséquent, il existe des entiers~$n$ et~$r$ et des
ouverts~$Ω_1,…,Ω_r$ de~$\Spm A_n$ tels que~$Ω =
f_n^{-1}(Ω_1)∪ … ∪f_n^{-1}(Ω_r)$ ; autrement dit, en posant~$Ω_0=Ω_1 ∪ …
∪ Ω_r$, on a~$Ω=f_n^{-1} (Ω_0)$. De même, quitte à augmenter~$n$, il
existe un ouvert~$Ω'_0$ tel que~$Ω=f_n^{-1}(Ω'_0)$. Puisque~$f_n$~est
surjective, on a~$Ω_0∪Ω'_0=\Spm A_n$ ; puisque~$Ω$ et~$Ω'$ sont
disjoints, $Ω_0$ et~$Ω'_0$ le sont aussi. Par conséquent, il existe un
idempotent~$e_0$ de~$A_n$ dont l'image dans~$A$ est~$e$ ;
puisque~$A_n→A$~est injective, ceci signifie que~$e∈A_n$.
\end{proof}

Par conséquent, $π_0(A)$~est la sous-algèbre de~$A$ engendrée
topologiquement par les éléments idempotents. En particulier, $π_0(A)=K$
\ssi $\Spm A$~est connexe, et $G=\limp G_n$~est connexe \ssi tous
les~$G_n$ le sont.

\begin{prop}
Soit~$G$ un groupe spectral prorigide borné sur~$K$.
On note~$π_0(G)$ la limite projective des~$π_0(G_n)$, et~$G^0$ le noyau
du morphisme de groupes spectraux~$G → π_0(G)$.
\begin{enumerate}
\item $π_0(G)$~est un groupe spectral étale.
\item $G^0$~est un groupe spectral connexe.
\item Le morphisme~$G → π_0(G)$ est surjectif, et il
représente les morphismes de~$G$ vers un groupe spectral étale.
\item La suite
\begin{equation}\label{eq:conn etale} 0 → G^0 → G → π_0(G) → 0 \end{equation}
est une suite exacte courte de groupes spectraux bornés.
\end{enumerate}
\end{prop}

Autrement dit, il existe une unique (à isomorphisme près) suite exacte
courte~$0 → G' → G → G'' → 0$, où~$G''$~est étale et~$G'$~est connexe.

\begin{proof}
(i) Par construction, $π_0(G)$~est une limite projective de groupes
spectraux finis étale et de morphismes surjectifs, et est donc étale.

(ii) On sait d'après la proposition~\ref{prop:pi0 prorigide}
que~$π_0(A)$~est topologiquement engendrée par les idempotents de~$A$, et
donc l'algèbre affine de~$G^0$, qui est le quotient de~$A$ par l'idéal
engendré par l'idéal d'augmentation de~$π_0(A)$, n'a pas d'idempotents.

(iii) Soit~$f: G → H$ un morphisme vers un groupe étale. Quitte à
remplacer~$H$ par l'image de~$f$, on peut supposer que~$f$ est surjectif,
et provient donc d'une isométrie~$ρ: B → A$. Alors~$ρ(B)$~est
topologiquement engendrée par des éléments idempotents, et donc inclus
dans~$π_0(A)$ ; par conséquent, $f$~se factorise par~$π_0(A)$.

(iv) D'après~(iii), $G → π_0(G)$~est surjectif, ce qui
montre l'exactitude de la suite~\ref{eq:conn etale}.
\end{proof}


%<<<2
\subsection{Espaces de~Banach spectraux effectifs}


\begin{df}
La catégorie~$\BS^+_K$ des \emph{espaces de~Banach spectraux
effectifs sur~$K$} est la sous-catégorie pleine des groupes spectraux
affines sur~$K$ dont le groupe topologique sous-jacent~$E$ est un
$\Qp$-espace de~Banach et tels que l'application de multiplication
par~$\frac 1p$ dans~$E$ soit analytique.
\end{df}

En particulier, si $E$~est un groupe spectral prorigide dont le groupe
topologique sous-jacent est un espace de~Banach, d'après la
proposition~\ref{prop:inversion-globale}, la condition d'analyticité de
la la multiplication par~$\frac 1p$ est automatiquement satisfaite ; par
conséquent, $E$~est un espace de~Banach spectral effectif. Un tel objet
est un \emph{espace de~Banach spectral effectif prorigide}.


De même, la catégorie~$\BS^+_{K,C}$ des \emph{espaces de~Banach
potentiellement spectraux effectifs sur~$K$} est la sous-catégorie pleine
des groupes potentiellement spectraux sur~$K$ dont le groupe spectral
sur~$C$ associé est un espace de~Banach spectral effectif sur~$C$.

% XX: on est dans une algèbre de~Fréchet $⇒$ pas besoin de cette
% hypothèse ? ou alors un théorème qui dit que $×\frac 1p$ analytique
% \ssi réseaux fermés = ouverts spectral-bornés.

Par exemple, le groupe spectral étale associé à toute
$\Qp$-représentation de dimension finie de~$\GK$ est un espace de~Banach
spectral effectif et le foncteur ainsi défini de la catégorie des
$\Qp$-espaces vectoriels de dimension finie vers celle des espaces
de~Banach spectraux effectifs est pleinement fidèle.
Réciproquement, tout espace de~Banach spectral effectif étale est
localement profini et donc topologiquement engendré par un nombre
dénombrable d'éléments. En vertu de la proposition~\ref{prop:c0}, il est
donc soit de dimension finie sur~$\Qp$, soit isomorphe à~$c_0(\Qp)$.

De même, tout groupe potentiellement spectral vectoriel est encore un
espace de~Banach potentiellement spectral effectif, et tout groupe
spectral vectoriel est un espace de~Banach spectral effectif.


De même que pour les variétés prorigides
(proposition~\ref{prop:potentiel-pf}), le foncteur naturel de la
catégorie des espaces de~Banach spectraux effectifs prorigides sur~$K$
vers celle des espaces de~Banach potentiellement spectraux effectifs est
pleinement fidèle.

\medbreak

Soient~$E'→F, E''→F$~des morphismes d'espaces de~Banach spectraux
effectifs, alors le produit fibré dans la catégorie des groupes
spectraux~$E=E'×_F E''$~est encore un espace de~Banach spectral effectif.
En particulier, la catégorie des espaces de~Banach spectraux effectifs
admet des noyaux et des produits finis, et ces opérations sont
compatibles avec les opérations correspondantes dans la catégorie des
$\Qp$-représentations de~$\GK$. De plus, tout morphisme d'espaces
de~Banach spectraux effectifs admet une image.

% \begin{df}\label{df:potentiellement spectral}
% La catégorie~$\BS^+_{K,C}$ des \emph{espaces de~Banach potentiellement
% spectraux effectifs sur~$K$} est la catégorie dont les objets sont les
% espaces de~Banach spectraux effectifs~$E = \Spm A$ sur~$C$, munis d'une
% action de~$\GK$ par automorphismes continus, provenant d'une action par
% automorphismes semi-linéaires sur~$A$, et dont les morphismes sont les
% morphismes analytiques commutant à cette action de~$\GK$.
% \end{df}


\begin{prop}\label{prop:reseau-ferme}
Soit~$E=\Spm A$ un espace de~Banach spectral effectif. Alors tout réseau
fermé~$\ro E$ de~$E$ est un ouvert borné de~$E$.
\end{prop}

\begin{proof}
Puisque la topologie spectrale sur~$E$ coïncide avec la topologie
d'espace de~Banach, $\ro E$ est ouvert pour la topologie spectrale.

Montrons que $\ro E$~est borné. D'après le théorème de~Banach-Steinhaus,
il suffit de montrer que tout élément de~$A$ est borné sur~$\ro E$ ;
puisque pour tout~$f ∈ A$ et pour tout~$c ∈ K$, $f+c$~est borné sur~$\ro
E$ \ssi $f$~l'est, on peut en outre se limiter aux éléments~$f$ de
l'idéal d'augmentation~$A^+$ de~$A$.
% Puisque le caractère borné d'un élément
% de~$A$ ne change pas par addition d'un scalaire, on peut se limiter
% aux éléments de l'idéal d'augmentation~$A^+$ de~$A$, c'est-à-dire aux
% fonctions analytiques~$E→C$ telles que~$f(0)=0$.

Pour tout entier~$n$, notons~$F_n$ l'ensemble des~$a∈A^+$ telles
que~$p^n\ro E ⊂ a^{-1}(\O_C)$. Pour tout~$a∈A^+$, puisque $a$~est
continue et~$a(0)=0$, il existe~$n$ tel que~$a∈F_n$ ; par ailleurs, $F_n$
est un fermé de~$A^+$.

Par conséquent, puisque $A^+$~est complet, d'après le théorème de~Baire,
il existe un entier~$n$ tel que~$F_n$ soit d'intérieur non vide ; ceci
revient à dire que, pour toute~$a∈A^+$, il existe un entier~$r$ tel
que~$p^ra∈F_n$, c'est-à-dire~$a(p^n\ro E)⊂p^{-r}\O_C$. Par conséquent,
tout élément de~$A^+$, et donc tout élément de~$A$, est borné sur~$p^n\ro
E$.

Notons~$π:A→A$ l'endomorphisme associé à la multiplication par~$\frac 1p$
dans~$E$. Soit~$f∈A$. Pour tout~$x∈E$, on a alors~$f(x)=(π^nf)(p^nx)$ ;
or, d'après ce qui précède, $π^nf$~est bornée sur~$p^n\ro E$. Par
conséquent, $f$~est bornée sur~$\ro E$, et~$\ro E$~est bien un
ouvert borné de~$E$.
\end{proof}

Par conséquent, les ouverts bornés de~$E$ au sens spectral sont
exactement ses ouverts bornés au sens de l'espace de~Banach, c'est-à-dire
ceux qui sont inclus dans un réseau.

On appellera~\emph{réseaux spectraux} les réseaux fermés des espaces
de~Banach spectraux effectifs. Tout réseau spectral~$\ro E$ de~$E$, est
naturellement muni d'une structure de groupe spectral affine borné, et la
catégorie des espaces de~Banach spectraux effectifs est équivalente à
celle des réseaux spectraux à isogénie près.

\begin{df}\label{df:exacte BS+}
Une suite courte d'espaces de~Banach spectraux effectifs est
dite~\emph{exacte} si la suite de groupes spectraux sous-jacente est
exacte (définition~\ref{df:exacte GS}).
\end{df}


D'après les propositions~\ref{prop:surjective-reseaux}
et~\ref{prop:limite-inductive-spectrale}, si~$(E_n,ρ_n)$~est une suite
d'espaces de~Banach spectraux et de morphismes
surjectifs~$ρ_n:E_{n+1}→E_n$, alors la limite projective des~$E_n$ existe
dans la catégorie des espaces de~Banach spectraux effectifs.

\begin{df}
Un espace de~Banach spectral effectif~$E$ est dit~\emph{prorigide} s'il
existe un réseau spectral~$\ro E$ qui est un groupe spectral prorigide.
\end{df}

Cette notion est indépendante du choix du réseau~$\ro E$ : en effet,
si~$\ro E'$ est un autre réseau spectral de~$E$, qu'on peut supposer
inclus dans~$\ro E$, et si~$\ro E=\limp \ro E_n$, alors~$\ro E'_n=\ro
E_n ∩ \ro E'$ est un groupe spectral borné rigide, et~$\ro E' = \limp
E'_n$ ; par conséquent, $\ro E'$~est bien un groupe spectral prorigide.

Remarquons que pour tout réseau spectral~$\ro E$ d'un espace de~Banach
spectral effectif, $E$~est connexe \ssi $\ro E$~l'est ; de même, $E$~est
étale \ssi $\ro E$~l'est.

\begin{prop}\label{prop:Banach-etale-connexe}
Soit $E$~un espace de~Banach spectral effectif prorigide.
Alors il existe une unique suite exacte
\[ 0 → E^0 → E → π_0(E) → 0 \],
où $E^0$~est un espace de~Banach spectral connexe et~$π_0(E)$~est un
espace de~Banach spectral étale.

De plus, cette suite exacte est scindée (de façon non canonique).
\end{prop}

\begin{proof}
Soit $\ro E$~un réseau de~$E$. Montrons d'abord que $π_0(\ro E)$~est un
réseau d'un espace de~Banach spectral effectif. Puisque c'est un groupe
étale, il suffit pour cela d'établir qu'il n'a pas de $p$-torsion.
% , ce qui revient à dire que $\ro E^0$~est saturé dans~$\ro E$ ; soit
% encore, puisque $\ro E$~n'a pas de $p$-torsion, $p\ro E ∩ \ro E^0 ⊂
% p\ro E^0$. Or, puisque $E$~est un espace de~Banach spectral, la
% multiplication par~$p$ est un isomorphisme spectral entre~$\ro E$
% et~$p\ro E$ ; par conséquent, $p(\ro E^0) = (p\ro E)^0$.
Or, puisque $E$~est un espace de~Banach spectral effectif, la
multiplication par~$p$ est un isomorphisme spectral entre~$\ro E$
et~$p\ro E$ ; par conséquent la multiplication par~$p$ réalise un
isomorphisme spectral de $π_0(p\ro E)$ sur~$π_0(\ro E)$. Ceci signifie
que~$π_0(\ro E)$ n'a pas de $p$-torsion. Notons~$π_0(E) = π_0(\ro
E)[1/p]$ ; alors $π_0(E)$~est un espace de~Banach spectral effectif
étale, et la flèche~$\ro E → π_0(\ro E)$ donne un morphisme analytique
surjectif~$E → π_0(E)$ dont le noyau~$E^0$ s'identifie à~$\ro E^0[1/p]$
et est par conséquent connexe. Puisque tout morphisme spectral d'un
espace de~Banach spectral effectif connexe vers un espace de~Banach
spectral effectif étale est nul, la suite $0 → E^0 → E → π_0(E) → 0$ ne
dépend pas du choix du réseau~$\ro E$ et est fonctorielle.

Il reste à établir que la suite exacte \( 0 → E^0 → E → π_0( E) → 0 \)
est scindée. Puisque~$π_0(E)$ est étale, toute section continue de cette
suite est analytique. Or nous savons que~$π_0(E)$~est étale et donc soit
de dimension finie sur~$\Qp$, soit isomorphe à l'espace~$c_0(\Qp)$ des
suites convergeant vers zéro. Dans le premier cas, toute section de~$E →
π_0(E)$ est continue. Dans le second cas, soit~$u_m = (u_{m,n})_{m,n ∈
ℕ}$ l'élément de~$c_0(\Qp)$ défini par~$u_{m,n} = 1$ si~$m = n$
et~$u_{m,n} = 0$ sinon. Alors se donner une section continue~$s$ de~$E →
π_0(E)$ revient à se donner la famille bornée des~$s(u_m) ∈ E$, ce qui
est toujours possible.

Enfin, toute application linéaire continue de~$π_0(E)$ vers~$E^0$ est
analytique, ce qui montre que le scindage de la suite n'est pas
canonique.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:inv Banach}
Soit~$f:F→E$ un morphisme d'espaces de~Banach spectraux effectifs
prorigides. Si $f$~est bijective, alors c'est un isomorphisme.
\end{prop}

\begin{proof}
Il suffit de choisir un scindage de la suite exacte de la
proposition~\ref{prop:Banach-etale-connexe}, ce qui permet d'écrire~$E =
E^0 ⊕ π_0(E)$, et d'appliquer la
proposition~\ref{prop:inversion-groupes-rigides} à~$E_0$.
\end{proof}


\begin{cor}\label{cor:id isomorphisme}
Soit~$V$ un espace de~Banach $p$-adique, et soient~$E$, $E'$ deux
structures d'espaces de~Banach spectral $p$-adique effectif prorigide
sur~$V$. Si l'identité de~$V$ est un morphisme analytique de~$E$
vers~$E'$, alors c'est un isomorphisme entre les deux structures
analytiques.
\end{cor}


%>>>1
%<<<1
% \section{Opérations sur les espaces de Banach spectraux effectifs}
% %<<<2
% \subsection{Produit de composition algébrique}
% 
% Ce qui suit est tiré de~\cite{TallWraith}.
% 
% Soient~$k$ et~$L$ deux anneaux commutatifs. On appelle \emph{$L$-anneau}
% une $L$-algèbre associative, commutative et unitaire~$A$, et
% \emph{$k$-schéma affine en $L$-anneaux} un objet en $L$-anneaux de la
% catégorie des $k$-schémas affines.
% 
% Se donner un $k$-schéma affine en $L$-anneaux revient à se donner une
% $k$-algèbre~$B$ de spectre~$R$, une addition et une multiplication~$R ×
% R → R$, des éléments neutres pour la multiplication et l'addition~$\Spec k
% → R$, et un antipodisme~$R → R$, satisfaisant les axiomes habituels
% d'un anneau, ainsi qu'un morphisme du schéma constant~$L$ vers~$R$ qui
% est un morphisme d'anneaux.
% 
% Par exemple, le $k$-schéma affine~$\Spec_k k[X]$ a une structure
% naturelle de $k$-schéma affine en $k$-anneaux ; pour toute
% $k$-algèbre~$R$, $\Hom_k (k[X], R)$ est canoniquement isomorphe à~$R$ en
% tant que $k$-algèbre. De plus, il est clair que le produit direct de deux
% $k$-schémas affines en $L$-anneaux est encore un $k$-schéma affine en
% $L$-anneaux. Enfin, pour tout $k$-schéma affine en $L$-anneaux~$R$ et
% pour tout $k$-schéma~$S$, $R(S)$~est naturellement muni d'une structure
% de $L$-anneau.
% 
% % \begin{df}
% % Soit $k$ un anneau. Un \emph{$k$-bianneau} est une $k$-algèbre dont
% % le spectre est un $k$-schéma affine en anneaux (commutatifs),
% % c'est-à-dire une $k$-algèbre $B$ munie de morphismes de $k$-algèbres
% % \begin{enumerate}
% % \item[] $α:B→B⊗_k B$ (coaddition),
% % \item[] $μ:B→B⊗_k B$ (comultiplication),
% % \item[] $ω:B→k$ (co-zéro),
% % \item[] $υ:B→k$ (co-unité),
% % \item[] $ι:B→B$ (co-opposition),
% % \end{enumerate}
% % satisfaisant les axiomes duaux de ceux d'un anneau. Pour tout anneau~$L$,
% % un \emph{$(k,L)$-bianneau}~$B$ est un $k$-bianneau dont le spectre est
% % une $L$-algèbre, c'est-à-dire que $B$~est également muni d'un morphisme
% % d'anneaux $λ:L→\Hom_k(B,k)$ satisfaisant les axiomes duaux de ceux d'une
% % $L$-algèbre.
% % \end{df}
% % 
% % Par exemple, le foncteur identique sur les $k$-algèbres est représentable
% % par le $k$-bianneau~$k[X]$, muni des opérations~$α(X) = X⊗1+1⊗X$, $μ(X) =
% % X⊗X$, $ω(X) = 0$, $υ(X) = 1$, $ι(X)=-X$.
% % 
% % \begin{prop}
% % Soient $B'$, $B''$ deux $(k,L)$-bianneaux ; on note $τ:B'⊗_kB''→B''⊗_kB'$
% % l'isomorphisme d'échange, et $α'$, $α''$, $μ'$, $μ''$, $ω'$, $ω''$, $υ'$,
% % $υ''$, $ι'$, $ι''$, $λ'$, $λ''$ les morphismes de structure de~$B'$, $B''$.
% % 
% % Alors $B=B'⊗_kB''$, muni des morphismes
% % \[\begin{split}
% % α=(1'⊗τ⊗1'')(α'⊗α''), \qquad μ=(1'⊗τ⊗1'')(μ'⊗μ'')\\
% % ω=ω'⊗ω'',\qquad υ=υ'⊗υ'',\qquad ι=ι'⊗ι'', \qquad λ=(λ',λ'')
% % \end{split}\]
% % est un $(k,L)$-bianneau ; de plus, c'est la somme directe des
% % $(k,L)$-bianneaux~$B'$ et~$B''$.
% % \end{prop}
% 
% 
% Soit~$F$ un foncteur covariant de la catégorie des $L$-anneaux vers la
% catégorie des ensembles. Alors, pour tout $k$-schéma affine en
% $L$-anneaux~$R$, on peut former le
% $k$-foncteur~$F_k(R)$ défini par~$F_k(R)(S) = F(R(S))$ pour tout
% $k$-schéma affine~$S$.
% 
% \begin{prop}[\cite{TallWraith}, 2.1]\label{prop:composition}
% Soit~$F$ un foncteur de la catégorie des $L$-anneaux vers la catégorie
% des ensembles. On suppose que~$F$ est représentable par un
% $L$-anneau~$A$. Alors, pour tout~$k$-schéma affine en $L$-anneaux~$R$,
% $F_k(R)$~est représentable par un $k$-schéma affine.
% \end{prop}
% 
% \begin{proof}
% Soit~$R = \Spec_k B$ un $k$-schéma affine en $L$-anneaux ; autrement dit,
% $B$~est une $k$-algèbre munie de morphismes de coaddition~$α: B → B ⊗_k
% B$, de comultiplication~$μ: B → B ⊗_k B$, de co-neutre (augmentation
% pour~$α$)~$ω: B → k$, de co-unité~$B → k$, de co-opposition (antipodisme
% pour~$α$)~$ι: B → B$, et de cohomothétie~$λ: L → \Hom_k(B, k)$. Notons
% enfin~$m: B ⊗_k B → B$ l'application de multiplication dans~$B$.
% 
% Soit~$B ⊙_L A$ la $k$-algèbre dont les
% générateurs sont les~$b⊙a$ pour~$a∈A$ et~$b∈B$, et dont les relations
% sont :
% \begin{enumerate}
% \item pour tout~$a∈A$, $b↦b⊙a$ est un morphisme de $k$-algèbres ;
% \item pour tous~$a, a' ∈ A$, $b ∈ B$, $c ∈ L$,
% \[ \begin{split}
%   b⊙(a+a') &= m\pa{ α(b)\,⊙\,(a⊗a') },\\
%   b⊙(a⋅a') &= m\pa{ μ(b)\,⊙\,(a⊗a') },\\
%   b⊙c &= λ(c)(b).
% \end{split}\]
% \end{enumerate}
% Par construction, pour tout $k$-schéma affine~$X = \Spec_k C$, on
% a~$F_k(R)(X) = \Hom_L (A, \Hom_k (B, C))$. Pour tout~$f ∈ F_k(R)(X)$, il
% existe un unique homomorphisme d'anneaux~$f': B ⊙_L A → C$ tel
% que~$f'(b ⊙ a) = f(a)(b)$. Ceci définit une correspondance bijective et
% fonctorielle entre~$\Hom_L (A, \Hom_k (B, C))$ et~$\Hom_k (B ⊙_L A, C)$ ;
% par conséquent, $T = \Spec_k (B ⊙_L A)$ représente le foncteur~$F_k(R)$.
% \end{proof}
% 
% % \begin{df}\label{df:produit composition}
% % Soient~$B$ un $(k,L)$-bianneau, $α$, $μ$, $ω$, $υ$, $ι$, $λ$ les
% % morphismes de structure de~$B$, et~$A$ une $L$-algèbre. Le \emph{produit
% % de composition} de~$A$ et~$B$ est la $k$-algèbre $B⊙_L A$ dont les
% % générateurs sont les~$b⊙a$ pour~$a∈A$ et~$b∈B$, et dont les relations
% % sont :
% % \begin{enumerate}
% % \item pour tout~$a∈A$, $b↦b⊙a$ est un morphisme de $k$-algèbres ;
% % \item notons également~$m:B⊗_kB→B$ l'application définie
% % par~$m(x⊗y) = xy$, alors
% % \[ \begin{split}
% %   b⊙(a+a') &= m\pa{ α(b)\,⊙\,(a⊗a') },\\
% %   b⊙(a⋅a') &= m\pa{ μ(b)\,⊙\,(a⊗a') },\\
% %   b⊙c &= λ(c)(b) \qquad \text{pour~$c∈L$.}
% % \end{split}\]
% % \end{enumerate}
% % \end{df}
% % 
% % Par exemple, $B⊙_LL[X]$ s'identifie à l'algèbre engendrée par les~$b⊙f$,
% % où~$b∈B$ et~$f∈L[X]$ ; puisque~$f$ et un polynôme à coefficients
% % dans~$L$, $b⊙f$ peut s'écrire, en utilisant~$α$ et~$μ$, comme combinaison
% % linéaire de termes de la forme~$b_i⊙X$ où~$b_i∈B$. On a donc
% % finalement~$B⊙_LL[X] = B$.
% % 
% % \begin{prop}[\cite{TallWraith}, 2.1]\label{prop:composition adjoint}
% % Le foncteur $B⊙_L-$ est adjoint à gauche au foncteur~$\Hom_k(B,-)$.
% % % plus, l'isomorphisme d'adjonction
% % % \[ \Hom_K (B⊙_LA, S) = \Hom_L (A, \Hom_K (B, S))\]
% % % est fonctoriel par rapport au $K$-bianneau spectral~$B$, à la
% % % $L$-algèbre~$A$, et à la $K$-algèbre~$S$.
% % \end{prop}
% % 
% % \begin{proof}
% % Soit~$S$ une $k$-algèbre. À un morphisme~$f∈\Hom_L(A, \Hom_k(B, S))$, on
% % fait correspondre l'application~$f':B⊙_LA$ définie par~$f'(b⊙a) =
% % f(a)(b)$. Alors, les opérations d'anneau sur~$\Hom_k(B, S)$ étant
% % définies par la coaddition et la comultiplication de~$B$, on voit que
% % $f'$~est un morphisme d'anneaux \ssi $f$~l'est ; en outre, cette
% % correspondance est bijective.
% % \end{proof}
% 
% % \begin{prop}\label{prop:sorites composition}
% % Le produit de composition vérifie les propriétés suivantes :
% % \begin{enumerate}
% % \item si $A, A'$ sont deux $L$-algèbres, alors
% % \[ B⊙_L(A⊗_LA') = (B⊙_LA)⊗_k(B⊙_LA') \];
% % \item si $B, B'$ sont deux $(k, L)$-bianneaux, alors
% % \[ (B⊗_kB')⊙_LA = (B⊙_LA)⊗_k(B⊙_LA') \];
% % \item pour tout entier~$d ≥ 0$, $B⊙_LL[X_1,…,X_d]$~s'identifie au produit
% % tensoriel sur~$k$ de $d$~copies de~$B$, et son spectre est muni
% % de la structure d'anneau diagonale sur~$(\Spec B)^d$ ;
% % \item pour toute $k$-algèbre~$k'$, $(B⊗_kk')⊙_L A = (B⊙_LA)⊗_kk'$ ;
% % \item si $A=A'/\go a$, alors le morphisme~$A'→A$ induit un
% % morphisme~$B⊙_LA'→B⊙_LA$, qui est surjectif et dont le noyau est l'idéal
% % engendré par les~$b⊙a$ pour~$a∈\go a$ ;
% % \item pour tout système inductif~$A_{α}$ de~$L$-algèbres, $\limi
% % (B⊙_LA_α) = B⊙_L(\limi A_α)$.
% % \end{enumerate}
% % \end{prop}
% % \begin{proof}
% % (i) D'après la proposition~\ref{prop:composition adjoint}, pour toute
% % $k$-algèbre~$S$, $\Hom(B⊙_L(A⊗_LA'), S) = \Hom_L(A, \Hom_k(B,
% % S)) × \Hom_L(A', \Hom_k(B, S)) = \Hom_k((B⊙_LA)⊗_k(B⊙_LA'), S)$.
% % 
% % (ii) D'après la proposition~\ref{prop:composition adjoint}, pour toute
% % $k$-algèbre~$S$, $\Hom_k((B⊗_kB')⊙_LA, S) =
% % \Hom_L(A,\Hom_k(B, S))× \Hom_L(A, \Hom_k(B', S)) =
% % \Hom_k((B⊙_LA)⊗_k (B'⊙_LA), S)$.
% % 
% % (iii) Le cas où~$d=0$ correspond à~$B⊙_LL$, qui est égal à~$L$ par
% % construction du produit de composition. Si $d=1$, l'application~$b↦b⊙X$
% % définit un morphisme de~$K$-algèbres de~$B$ sur~$B⊙_LL[X]$, et puisque
% % pour tout polynôme~$f∈L[X]$, $b⊙f$ peut se décomposer en éléments~$b_i⊙X$
% % via la coaddition et la comultiplication de~$B$, ce morphisme est
% % bijectif ; par conséquent, $B⊙_LL[X] = B$. Enfin, il suffit
% % d'appliquer~(i) pour en déduire le cas général.
% % 
% % (iv) et~(v) sont des conséquences immédiates de~(ii).
% % 
% % (vi) Pour toute $k$-algèbre~$S$, on peut écrire~$\Hom_k(B⊙_L\limi A_α,S) =
% % \Hom_L(\limi A_α,\Hom_k(B, S)) =
% % \limp \Hom_L(A_α,\Hom_k(B, S)) =
% % \limp \Hom_k(B⊙_LA_α, S) = \Hom_k(\limi B⊙_LA_α,S)$.
% % \end{proof}
% % \begin{prop}\label{prop:foncteur composition}
% % Soit~$F$ un foncteur covariant de la catégorie des $L$-algèbres vers
% % celle des ensembles, représentable par une $k$-algèbre. Alors $F$~se
% % relève de façon naturelle en un foncteur covariant~$F_k$ de la catégorie des
% % $k$-schémas affines en $L$-algèbres vers celle des $k$-schémas affines.
% % \end{prop}
% 
% De plus, la construction de~$F_k(S)$ est elle-même fonctorielle par
% rapport à~$S$, ce qui signifie que le foncteur~$F$ de la catégorie
% des~$L$-anneaux vers celle des ensembles se relève en un foncteur~$F_k$
% de la catégorie des $k$-schémas affines en $L$-anneaux vers celle des
% $k$-schémas affines.
% 
% Enfin, si~$F$~est muni d'une structure supplémentaire de groupe ou
% d'anneau, alors cette structure s'étend en une structure de $k$-schéma
% affine en groupes ou en anneaux sur~$F_k(S)$ pour tout $k$-schéma~$S$.
% 
%  
% % \begin{proof}
% % Soit $A$~une $L$-algèbre représentant~$F$ ; alors pour toute
% % $L$-algèbre~$R$, $F(R) = \Hom_L(A, R)$. Soit~$S=\Spec_k B$ un $k$-schéma
% % affine en $L$-algèbres. Alors $B$~est un $(k, L)$-bianneau, et on peut
% % donc former le produit de composition~$B⊙_LA$. Notons~$F_k(S) =
% % \Spec_k(B⊙_LA)$. Cette construction est fonctorielle par rapport à~$S$,
% % et d'après la proposition~\ref{prop:composition adjoint},  pour tout
% % $k$-schéma affine~$X$, $F_k(S)(X) = F(S(X))$.
% % \end{proof}
% %>>>2
% %<<<2
% \subsection{Produit de composition spectral}
% % \bigskip
% 
% Soit~$K$ un corps complet pour une valuation $p$-adique.
% Une \emph{variété $K$-spectrale en $L$-anneaux} est un objet en
% $L$-anneaux dans la catégorie des variétés spectrales sur~$K$.
% 
% Par exemple, la structure d'anneau sur les points de la variété
% spectrale~$\O_C = \Spm K\tate{X}$ est donnée par des applications
% analytiques ; par conséquent, $\O_C$~est une variété $K$-spectrale en
% $K$-anneaux anneaux. De même, $\Zp$~est une variété
% $K$-spectrale constante en anneaux.
% 
% % De même, $\Zp$~est un anneau spectral constant muni de la
% % comultiplication~$\ro C^0(\Zp, C)→C^0(\Zp×\Zp, C)$ définie
% % par~$(μ(f))(x,y) = f(xy)$, et pour tout entier~$n$, $ℤ/p^nℤ$~est un
% % $\Zp$-anneau spectral constant ; de plus, puisque le groupe topologique
% % sous-jacent à~$ℤ/pℤ$~est discret, tout anneau spectral de
% % caractéristique~$p$ est un~$(ℤ/pℤ)$-anneau spectral.
% 
% % Si $B$~est un $(K,L)$-bianneau spectral de boule unité~$\ro B$ pour la
% % norme spectrale, alors les morphismes de structure de~$B$ font de~$\ro B$
% % un $(\O_K,L)$-bianneau spectral ; de même, $\ro B/p^n\ro B$ est un
% % $(\O_K/p^n\O_K,L)$-bianneau spectral.
% 
% \begin{df}
% Une $L$-algèbre~$A$ est dite \emph{de type dénombrable} si elle est
% engendrée comme $L$-algèbre par un ensemble dénombrable d'éléments.
% \end{df}
% 
% Autrement dit, une $L$-algèbre~$A$ de type dénombrable est la limite
% inductive d'un système dénombrable d'algèbres de type fini ; il s'ensuit
% qu'on peut l'écrire sous la forme~$A=K[X_0,X_1,…,X_n,…]/\go a$, où~$\go
% a$~est un idéal engendré par un ensemble dénombrable de polynômes.
% 
% Remarquons enfin que, pour toute $K$-algèbre spectrale~$B$, la
% famille des~$B^{\hotimes n}$ forme un système inductif d'algèbres
% spectrales, les flèches de transition étant définies par~$x ↦ x ⊗ 1$, et que le système projectif de variétés spectrales
% correspondant est~$(\Spm B)^n$, dont la flèche de projection~$(\Spm
% B)^{n+1} → (\Spm B)^n$ est la projection sur les~$n$ premières
% composantes ; les morphismes de transition sont
% surjectifs sur ce système, et par conséquent sa limite projective est
% encore une variété spectrale, qui s'identifie à~$(\Spm B)^{ℕ}$. On note
% encore~$B^{\hotimes ℕ}$ son algèbre affine.
% 
% Soit~$F$ un foncteur (covariant) de la catégorie des~$L$-anneaux vers
% celle des ensembles. Alors, pour toute variété $K$-spectrale
% en~$L$-anneaux~$R$, on peut encore former le foncteur~$F_K(R)$ défini
% par~$F_K(R)(S) = F(R(S))$ pour toute variété $K$-spectrale~$S$.
% 
% \begin{prop}\label{prop:composition-spectrale}
% Soit~$F$ un foncteur de la catégorie des~$L$-anneaux vers celle des
% ensembles. Si~$F$~est représentable par une $L$-algèbre de type
% dénombrable, alors pour toute variété $K$-spectrale en~$L$-anneaux~$R$,
% $F_K(R)$~est représentable par une variété $K$-spectrale.
% \end{prop}
% 
% \begin{proof}
% Soient~$A$ une $L$-algèbre de type dénombrable représentant~$L$ et~$R =
% \Spm R$ une variété $K$-spectrale en $L$-anneaux.
% Alors~$A$~admet une présentation de la forme~$A = L[X_i]_{i ∈ ℕ} /
% (f_j)_{j ∈ ℕ}$. Alors, pour tout~$j ∈ ℕ$, puisque $f_j$~est un polynôme à
% coefficients dans~$L$ en les~$X_i$, il définit une application
% analytique~$f_j:(\Spm B)^{ℕ}→(\Spm B)$ ; par conséquent, le produit
% fibré~$S$ du diagramme
% \[ \xymatrix{
%   R^{ℕ} \ar[r]^{(f_j)_{j∈ℕ}} & R^{ℕ} \\
%    & \acco{(0,…,0)}\ar[u]
% }\]
% est bien une variété spectrale affine. D'après le
% corollaire~\ref{cor:produit fibre spectral}, son support est
% bien~$\Hom_L(A,\Spm B)$. Par conséquent, $S$~représente~$F_K(R)$.
% \end{proof}
% 
% On note~$B ⊙_LA$, et on appelle \emph{produit de composition} de~$B$
% et~$A$, l'algèbre affine de la variété spectrale~$F_K(R)$.
% De même que dans le paragraphe précédent, toute structure de groupe ou
% d'anneau sur le foncteur~$F$ se traduit par une structure analytique de
% groupe ou d'anneau sur~$F_K$.
% 
% \begin{prop}\label{prop:composition-limp}
% Soit~$ … → R_{n+1} → R_n → … → R_0$ une famille indexée par~$ℕ$ de
% variétés $K$-spectrales en~$L$-anneaux et d'épimorphismes stricts. Alors
% le morphisme canonique~$\limp F_K(R_n) → F_K(\limp R_n)$ est un
% isomorphisme.
% \end{prop}
% 
% \begin{proof}
% D'après la proposition~\ref{prop:limite-inductive-spectrale}, on sait que
% la limite projective~$R$ des~$(R_n)$ existe dans la catégorie des variétés
% spectrales affines sur~$K$. De plus, par construction de~$F_K$, pour
% toute variété $K$-spectrale~$S$, on peut écrire~$\Hom_K(S, F_K(R)) =
% F(\Hom_K (S, R)) = F(\limp \Hom_K (S, R_n))$. Or, puisque~$F$~est
% représentable, il est exact à gauche, et par conséquent~$\Hom_K (S,
% F_K(R)) = \limp F(\Hom_K (S, R_n)) = \limp \Hom_K (S, F_K(R_n))$. D'après
% le lemme de Yoneda, on a donc~$F_K (R) = \limp F_K(R_n)$.
% \end{proof}
% 
% 
% % \begin{prop}\label{prop:composition elements}
% % Soient $B$~un $(K,L)$-bianneau spectral et~$A$ une $L$-algèbre de type
% % dénombrable.
% % \begin{enumerate}
% % \item Pour tous~$a∈A$, $b∈B$, la fonction~$b⊙a:\Spm(B⊙_LA)→C$ définie
% % par~$(b⊙a)(x) = x(a)(b)$ provient d'un élément de~$B⊙_LA$, que l'on note
% % encore~$b⊙a$ ;
% % \item l'algèbre~$B⊙_LA$ est topologiquement engendrée sur~$K$ par les
% % éléments~$b⊙_La$, et de plus ces éléments vérifient les relations
% % analogues de celles de la définition~\ref{df:produit composition} ;
% % \item pour toute $K$-algèbre spectrale~$S$, l'application
% % naturelle
% % \[ F:\application{\Hom(B⊙_LA,S)}{\Hom(A,\Hom_{\mathrm{cont}}(B,S))}
% %   {f}{a↦(b↦f(b⊙a))} \]
% % est une bijection.
% % \end{enumerate}
% % \end{prop}
% % 
% % 
% % \begin{proof}
% % (i) Soit~$A=L[X_i]_{i∈ℕ}/(f_j)_{j∈ℕ}$ une présentation de~$A$ ; alors,
% % par construction, $B⊙_LA$~est le produit tensoriel complété
% % de~$B^{\hotimes ℕ}$ et de~$K$ au-dessus de~$B^{\hotimes ℕ}$. Pour
% % tout~$i∈ℕ$, notons~$α_i:B→B^{\hotimes ℕ}$ l'injection du $i$-ème facteur ;
% % son spectre est la $i$-ème projection~$π_i:(\Spm B)^{ℕ}→\Spm B$.
% % Soit~$a∈A$, et soit~$P(X_i)_{i∈ℕ}$ un polynôme relevant~$a$
% % dans~$L[X_i]_{i∈ℕ}$ ; notons~$f$ l'élément de~$B⊙_LA$ défini
% % par~$f=P(α_i(b))_{i∈ℕ}⊗1$. Alors, pour tout~$x∈\Hom(A,\Spm B)$, on
% % a~$f(x) = P(π_i(b))_{i∈ℕ}$, et donc~$f(x)=x(a)(b)$ ; par conséquent,
% % $f$~est bien l'élément~$b⊙a$ voulu. De plus, remarquons que cette
% % propriété définit~$f$ de façon unique dans~$B⊙_LA$.
% % 
% % (iii) Puisque $B⊙_LA=(B^{\hotimes ℕ})\hotimes_{B^{\hotimes ℕ}} K$, cette
% % algèbre est topologiquement engendrée par les éléments de la
% % forme~$α_i(b)⊗1$ pour~$b∈B$, c'est-à-dire par les
% % éléments~$b⊙X_i$ ; elle est donc \emph{a fortiori} engendrée
% % topologiquement par les~$b⊙a$. De plus, puisque les éléments
% % de~$\Spm(B⊙_LA)$ sont des morphismes d'anneaux de~$A$ vers~$\Spm B$, les
% % éléments~$b⊙a$ vérifient les relations de la définition~\ref{df:produit
% % composition}.
% % 
% % (iii) L'application~$F$ est bijective lorsque~$S=C$ par construction
% % de~$b⊙a$, et elle l'est encore dans le cas général par construction
% % de~$B⊙_LA$ comme produit tensoriel.
% % \end{proof}
% % 
% % \begin{cor}\label{cor:sorites composition spectrale}
% % Le produit de composition sur les $(K,L)$-bianneaux spectraux vérifie les
% % propriétés~(i) à~(v) de la proposition~\ref{prop:sorites composition}.
% % \end{cor}
% % 
% % \begin{cor}\label{cor:norme composition spectrale}
% % Pour toute $L$-algèbre de type dénombrable~$A$, la norme spectrale sur~$B⊙_LA$
% % vérifie : pour tout élément~$f$,
% % \[ \norme{f} = \inf\acco{ \sup\acco{\norme{b_i}}, f=∑_{i∈ℕ} b_i⊙a_i} \].
% % \end{cor}
% % 
% % \begin{proof}
% % En effet, la classe des algèbres~$A$ vérifiant cette propriété contient
% % l'algèbre~$L[X_i]_{i∈ℕ}$ car~$B⊙_LL[X_i]_{i∈ℕ}=B^{\hotimes ℕ}$ ; elle est
% % en outre close par passage au quotient en vertu de~\ref{prop:sorites
% % composition}~(v) et de la définition de la norme sur le quotient d'une
% % algèbre spectrale par un idéal fermé.
% % \end{proof}
% % 
% % De même qu'à la proposition~\ref{prop:sorites composition}, tout foncteur
% % covariant~$F$ de la catégorie des $L$-algèbres vers celle des ensembles qui
% % est représentable par une $L$-algèbre de type dénombrable se relève en un
% % foncteur covariant de la catégorie des $L$-anneaux spectraux sur~$K$ vers
% % celle des variétés spectrales sur~$K$. De plus, puisqu'il s'agit d'une
% % transformation naturelle, toute structure supplémentaire de groupe ou
% % d'anneau sur~$F$ se traduit par une structure d'anneau ou de groupe sur
% % son relèvement.
% %>>>2
% %<<<2
% \subsection{Produit de composition spectral pour les morphismes
% continus}
% % \bigskip
% 
% Soit~$R$ une variété $K$-spectrale en $L$-anneaux. Une \emph{variété
% $K$-spectrale en $R$-modules} est un groupe spectral~$M$ muni d'une
% aplication analytique de multiplication~$R × M → M$ qui fait de~$M$ un
% $R$-module. Un \emph{idéal $K$-spectral}~$\go r$ de~$R$ est un
% sous-$R$-module spectral de~$R$. La variété~$R$ est dite \emph{$\go
% r$-adique} si sa topologie de spectre coïncide avec la topologie $\go
% r$-adique et si elle est séparée et complète pour cette topologie.
% 
% Par exemple, $\go p = p\Zp$~est un idéal $K$-spectral de la variété
% $K$-spectrale constante en anneaux~$\Zp$ ; de plus, $\Zp$~est $\go
% p$-adique.
% 
% 
% Soit~$R$~une variété $K$-spectrale en anneaux $\go r$-adique, alors pour
% tout entier naturel~$n$, $R_n=R/\go r^n$ est un $R$-anneau $K$-spectral ;
% soit~$B_n$ son algèbre affine. Alors $R$~s'identifie à la limite
% projective des épimorphismes stricts~$R_{n+1} → R_n$ dans la catégorie
% des variétés $K$-spectrales en anneaux, et donc $B$~est le complété de la
% réunion des~$B_n$.
% 
% Soit~$F$ un foncteur (covariant) de la catégorie des $L$-anneaux adiques
% vers celle des ensembles. Alors, pour toute variété
% $K$-spectrale~$R$ en $L$-anneaux $\go r$-adique, on peut définir le
% foncteur~$F_K(R)$ par~$F_K(R)(S) = F(R(S))$ pour toute variété
% $K$-spectrale~$S$.
% 
% \begin{prop}\label{prop:composition-continue}
% Si le foncteur~$F$ est représentable par une $L$-algèbre~$A$, séparée et
% complète pour la topologie~$\go a$-adique, et telle que~$A/\go a^m$ soit
% de type dénombrable pour tout~$m$, alors pour tout variété $K$-spectrale
% en $L$-anneaux $\go r$-adiques~$R$, $F_K(R)$~est représentable par une
% variété spectrale sur~$K$.
% \end{prop}
% 
% \begin{proof}
% Soit~$R = \Spm B$ une variété $K$-spectrale en~$L$-anneaux $\go
% r$-adique, et notons~$R_n = R / \go r^n$ et~$B_n$ l'algèbre affine
% de~$R_n$.  Soit encore~$F_m$ le foncteur représenté par~$A/\go a^m$.
% Un morphisme de $L$-anneaux~$ρ:A → R_n$ est continu \ssi son noyau est
% ouvert, c'est-à-dire s'il se factorise par l'un des idéaux~$\go a^m$ ;
% par conséquent, on peut écrire
% \[ F_K(R) = \limp_n F_K(R_n) = \limp_n \limi_m (F_m)_K (R_n) \].
% Or, par la
% proposition~\ref{prop:composition-spectrale}, $(F_m)_K (R_n)$~est une
% variété spectrale bornée sur~$K$ ; en outre, $(F_m)_K (R_n) → (F_{m+1})_K
% (R_n)$~est un morphisme analytique injectif, et donc d'après la
% proposition~\ref{prop:prospectrale = limp}, $F_K(R_n) = \limi (F_m)_K
% (R_n)$~est une variété spectrale affine sur~$K$.
% Enfin, on déduit de la proposition~\ref{prop:composition-limp} que~$\limp
% F_K(R_n)$~est une variété spectrale affine sur~$K$.
% \end{proof}
% 
% De même que dans les deux paragraphes précédents, par fonctorialité de la
% construction de~$F_K(R)$, toute structure de groupe ou d'anneau sur~$F$
% fournit une structure analytique de groupe ou d'anneau sur~$F_K(R)$.
% % %>>>2
%>>>1
\chapter{Espaces de Banach-Colmez effectifs}
%<<<1
\section{Structures analytiques dans $B^+\cris$}
%<<<2
\subsection{Un lemme de calcul de valuation}
Le lemme~\ref{lem:valuation-binome} ci-dessous est utilisé dans la preuve
de plusieurs propositions ultérieures.

\begin{lem}\label{lem:valuation binomial}
Pour tous entiers~$j,i$ avec~$1 ≤ i ≤ j$, $v_p(\binom{p^j}{i}) =
v_p(\frac{p^j}{i}) = j - v_p(i)$.
\end{lem}

\begin{proof}
Pour tout~$r ≥ 1$, $v_p(p^j-r)=v_p(r)$, donc dans le produit
définissant~$\binom{p^j}{i}$, toutes les valuations se compensent, sauf
celle des facteurs~$p^j$ et~$\frac 1i$.
\end{proof}


\begin{lem}\label{lem:valuation-binome}
Soient~$L$ un corps muni d'une valuation~$v$ telle que~$v(p) =
1$, $x, y$ deux éléments de~$A$ tels que~$v(x) = v(y) = λ$ et~$v(y-x) =
λ+μ$ avec~$μ ≥ 0$. Alors, pour tout entier~$j$, $v(y^{p^j} - x^{p^j}) ≥
p^nλ + j + \min \acco{ p^r μ-r, r=0,…, j}$.
\end{lem}

\begin{proof}
Soit~$z = y/x-1$. Alors~$v(z) = μ$ et~$y^{p^j} - x^{p^j} = x^{p^j}
(z^{p^j} - 1)$, donc il suffit de démontrer le résultat lorsque~$x =
1$ (et donc $λ=0$).

On peut alors écrire
\[ (1+z)^{p^j} - 1 = ∑_{i=1}^{p^j} \binom{p^j}{i} z^i \];
puisque~$v\pa{\binom{p^j}{i}} = v\pa{\frac{p^j}{i}} = j-v(i)$, le terme
de plus petite valuation de la somme est atteint lorsque $i$~est une
puissance de~$p$, soit~$i=p^r$ pour un entier~$r=0,…,j$.. On a donc
$v((1+y)^{p^j} - 1)= \min \acco{ j - r + p^r μ, r=0,…, j}$.
\end{proof}

\begin{lem}\label{lem:valuation-xi}
Soit~$A$ une $\Qp$-algèbre de~Banach et~$(x_i)_{i ∈ ℕ}$ une suite
d'éléments de~$A$ telle que~$\norme{x_i} ≤ 1$ et~$\norme{x_{i+1}^p - x_i}
≤ \abs{p}$. Alors pour tout entier~$i$, la suite~$x_{i+j}^{p^j}$ converge
dans~$A$.
\end{lem}

\begin{proof}
Il suffit de le prouver pour~$i = 0$.
Notons~$y_j = x_j^{p^{j}}$ et~$z_j
= x_{j+1}^p - x_j$ ; on peut alors écrire
\[ y_{j+1} - y_j \;=\; (x_j + z_j)^{p^j} - x_j^{p^j} \]
et donc~$\norme{y_{j+1} - y_j} ≤ \abs{p^{n}}$ d'après le
lemme~\ref{lem:valuation-binome}. Par conséquent, la suite~$(y_j)_{j ∈
ℕ}$ est de~Cauchy dans~$A$, et donc convergente.
\end{proof}


%>>>2
%<<<2
\subsection{Structures analytiques dans~$R$}
\label{subs:R}

On reprend ici la construction de~\cite[1.2.2]{Periodes}.

Notons~$R$ et~$\overline{R}$ les limites projectives respectives
\begin{align*}
  R &= \limp (… → \O_C → … → \O_C → \O_C),\\
 \overline{R} &= \limp (… → \O_C/p\O_C → … → \O_C/p\O_C → \O_C/p\O_C),
\end{align*}\relax
l'application de transition étant l'élévation à la puissance $p$-ième.
Puisque~$\O_C / p \O_C$ est un anneau de caractéristique~$p$,
l'application de transition~$\O_C/p\O_C → \O_C/p\O_C$ est un morphisme
d'anneaux et donc~$\overline{R}$~est
naturellement muni d'une structure d'anneau.

La réduction modulo~$p$ dans~$\O_C$ définit une application~$R →
\overline{R}$. Puisque le morphisme de~Frobenius est surjectif sur~$\O_C
/ p \O_C$, cette application est une bijection ; la bijection réciproque
associe à un élément~$(x_{i})_{i ∈ ℕ}$ de~$\overline{R}$ la
suite~$(y^{(i)})_{i ∈ ℕ}$ de~$R$ définie par~$y^{(i)} = \lim_{j ∈ ℕ}
(\widehat{x_{i+j}})^{p^j}$, où~$\widehat{x_{i+j}}$~est un relèvement
quelconque dans~$\O_C$ de~$x_{i+j}$ (cette limite existe en vertu du
lemme~\ref{lem:valuation-xi}). Cette bijection transporte donc la
structure d'anneau sur~$\overline{R}$ en une structure d'anneau sur~$R$.
Pour tous~$x, y ∈ R$, on a alors~$(xy)^{(i)} =x^{(i)} y^{(i)}$
et~$(x+y)^{(i)} = \lim_{j ∈ ℕ} (x^{(i+j)}+y^{(i+j)})^{p^j}$.

\medskip

L'anneau~$R$ est par construction un anneau
parfait de caractéristique~$p$ ; de plus, il est séparé et complet pour
la valuation~$v_{R}(x) = v_{C}(x^{(0)})$. Notons~$\abs{⋅}_{R}$ la
norme correspondante, définie par~$\abs{x}_{R}=p^{-v_{R}(x)}$. On
note~$\go m_{R}$ l'idéal maximal de~${R}$ pour la
valuation~$v_{R}$, et, pour tout intervalle réel~$I$, $\ro
B_{R}^I$~l'idéal fractionnaire des éléments~$x∈\Frac {R}$ tels
que~$\abs{x}_{R}∈I$ ; on a ainsi~$R^{[0,1]} = {R}$,
$\ro B_{R}^{[0,1[} = \go m_{R}$, et~$R^{[0,+∞[} =
\Frac {R}$.

% En particulier, on note~$R = \ro R(\O_C)$.

La proposition suivante est
l'analogue pour~$R$ de la proposition~\ref{prop:disques C}.

\begin{prop}\label{prop:an-R}
Posons~$K[X]_R=K\cro{X^{(i)}}_{i ∈ ℕ}/((X^{(i+1)})^p-X^{(i)}, …)$. Pour
tout réel strictement positif~$r$, il existe une unique
norme~$\norme{⋅}_{r}$ sur~$K[X]_R$ telle que~$\norme{X^{(i)}}=r^{p^{-i}}$
pour tout~$i ∈ ℕ$. Pour tout intervalle réel~$I$, notons~$K\tate{X}_R^I$
la limite projective des complétées de~$K[X]_R$ pour la norme
$\norme{⋅}_r$ pour~$r ∈ I$.
% Soient~$K\tate{X}_R^{[0,ρ]}$ la complétée de~$K[X]_R$ pour la
% norme~$\norme{⋅}_{ρ}$ et~$K\tate{X}_R^{[0,r[}$ la limite projective
% des~$K\tate{X}_R^{[0,ρ]}$ pour~$ρ<r$.
Alors :
\begin{enumerate}
\item Pour tout $r∈\abs{C^{×}}$, $K\tate{X}_R^{[0,r]}$~est spectrale, la
norme~$\norme{⋅}_r$ est la norme spectrale, et
son spectre s'identifie à~$R^{[0,r]}$ ; en particulier,
$K\tate{X}_R^{[0,1]}$~est spectrale, et son spectre s'identifie à~$R =
R^{[0,1]}$.
\item Pour tout $r∈[0,+∞]$, $K\tate{X}_R^{[0,r[}$~est pro-spectrale et
son spectre s'identifie à~$R^{[0,r[}$.
\item La structure d'anneau sur~$R$ est spectrale.
\item Le morphisme~$φ^{-1}: R → R$~est spectral.
% \item Pour tout~$r∈\abs{C^{×}}$, $\go r = \ro R^{[0,r]}$~est un idéal
% spectral de~$\ro R$, et~$\ro R$ est $\go r$-adique.
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{proof}
(i) Il est clair que le morphisme canonique de~$K\tate{X}_R^{[0,r]}$ dans
la complétée de~$K[X]_R$ pour la norme~$\norme{⋅}_r$ est un isomorphisme.
Par construction, $K[X]_R$~est la limite inductive des
algèbres~$K[X^{(i)}]$ pour~$i ∈ ℕ$, et est une sous-algèbre dense
de~$K\tate{X}_R^{[0,r]}$ ; par conséquent, tout morphisme continu~$s:
K\tate{X}_R^{[0,r]} → C$~est déterminé par sa restriction à~$K[X]_R$, et
donc par la suite~$(u_i)_{i ∈ ℕ}  = (s(X^{(i)}))_{i ∈ ℕ}$. Cette suite
vérifie~$u_{i+1}^p = u_i$ et~$\abs{u_0} ≤ r$ et définit donc un
élément~$u$ de~$R^{[0,r]}$.

Réciproquement, soit~$u = (u_i)$ un élément de~$R^{[0,r]}$. Il existe
alors un unique morphisme de $K$-algèbres~$s: K[X]_R → C$ tel
que~$s(X^{(i)}) = u_i$ pour tout~$i ∈ ℕ$. Par construction, $s$~est
continu pour~$\norme{⋅}_{r}$ ; par conséquent, $\Spm
K\tate{X}_R^{[0,r]}$~s'identifie à~$R^{[0,r]}$.

Enfin, soit~$f ∈ K\tate{X}_R^{[0,r]}$ telle que~$\norme{f}_r = 1$. Pour
tout~$ε > 0$, il existe~$i ∈ ℕ$ et~$g ∈ K[X^{(i)}]$ tels que~$\norme{g}_r
≥ 1 - ε$ ; puisque~$C\tate{X}$~est une algèbre spectrale, il existe
donc~$v_i ∈ C$ tel que~$\abs{v_i} ≤ r^{p^{-i}}$ et~$\abs{g(v_i)} ≥ 1 -
2ε$. Il existe un élément~$u = (u_i)_{i ∈ ℕ}$ de~$R^{[0,r]}$ tel que~$u_i
= v_i$ ; alors par construction, $\abs{f(u)} ≥ 1 - 3 ε$. On voit donc
que~$\norme{f}\sp = 1$, ce qui signifie que~$K\tate{X}_R^{[0,r]}$~est une
$K$-algèbre spectrale.

\smallskip (ii) Puisque~$\abs{C^{×}}$~est dense dans~$[0,+∞]$,
$K\tate{X}_R^{[0,r[}$~est la limite projective des~$K\tate{X}_R^{[0,s]}$
pour~$s ∈ \abs{C^{×}}$, $s < r$. Puisque~$R^{[0,r[}$~est la réunion
des~$R^{[0,ρ]}$ pour~$ρ<r$, $K\tate{X}_R^{[0,r[}$~est pro-spectrale.

\smallskip (iii) D'après le lemme~\ref{lem:valuation-xi}, pour tout~$i$,
la suite des~$\pa{(X^{(i+j)} ⊗ 1 + 1 ⊗ X^{(i+j)})^{p^j}}_{j ∈ ℕ}$
converge.

La structure d'anneau spectral sur~$K\tate{X}_R^{[0,1]}$ est donnée par
les morphismes de coaddition~$α$ et de comultiplication~$μ:
K\tate{X}_R^{[0,1]} → K\tate{X}_R^{[0,1]} \hotimes K\tate{X}_R^{[0,1]}$
définis par $α(X^{(i)}) = \lim (X^{(i+j)}⊗1+1⊗X^{(i+j)})^{p^j}$ et
$μ(X^{(i)})=X^{(i)}⊗X^{(i)}$.

\smallskip (iv) L'inverse du morphisme de~Frobenius sur~$R$ provient de
l'endomorphisme de~$K[X^{(i)}]_{i ∈ ℕ} / \pa{(X^{(i+1)})^p - X^{(i)}}$
défini par~$X_r ↦ X_{r+1}$.
\end{proof}

De plus, la variété spectrale sous-jacente à~$R$ est connexe et
prorigide.
% Ainsi, puisque $\O_C$~est un anneau spectral, $R=\ro R(\O_C)$~est
% naturellement muni d'une structure de $\Fp$-anneau spectral par le
% produit de composition~$K\tate{X}\hodot K\tate{X}_R^{[0,1]}$. La variété
% spectrale sous-jacente à~$R$~est connexe. En outre, tout idéal fermé de
% valuation~$\go r$ est un idéal spectral de~$R$ ; finalement, si $\go
% r$~est propre, alors $R$~est un $\Fp$-anneau spectral $\go r$-adique.
Enfin, remarquons que~(ii) entraîne que~$\Frac R$ et~$\go m_R$ sont deux
variétés spectrales.

Pour simplifier, et puisque~$R=R^{[0,1]}$, l'intervalle~$I$ sera
omis des notations lorsqu'il est égal à~$[0,1]$. Pour tout entier~$n$, on
notera~$K\tate{X_1,…,X_n}^I_R$ le produit tensoriel complété sur~$K$
de~$n$ copies de~$K\tate{X}^I_R$. Enfin, si~$a∈R∖\acco 0$, on
note~$K\tate{X/a}^I_R = K\tate{X}^{\abs{a}_RI}_R$. Cette notation est
compatible avec le produit au sens où~$K\tate{X/(ab)}^I_R =
K\tate{(X/a)/b}^I_R$.

Les éléments de~$K\tate{X}_R$ sont les séries de la
forme~$∑_{n∈ℕ[p^{-1}]}a_nX^n$, où~$ℕ[p^{-1}]$ désigne l'ensemble des
éléments positifs de~$ℤ[p^{-1}]$, et où $a_n$ tend vers zéro selon le
complémentaire des parties finies de~$ℕ[p^{-1}]$.

%<<<2
\subsection{Vecteurs et covecteurs de~Witt}

\def\unip{^\mathrm{u}}
On note~$W_n(R)$ l'anneau des vecteurs de~Witt de longueur~$n$ à
coefficients dans~$R$, et~$W(R)$ l'anneau des vecteurs
de~Witt à coefficients dans~$R$, limite projective des~$W_n(R)$.

\begin{df*}
Le groupe~$CW\unip(R)$ des \emph{covecteurs de~Witt unipotents} à
coefficients dans~$R$ est la limite inductive $\limi_{n ∈ ℕ} W_n(R)$,
l'application de transition étant le Verschiebung~$V: (a_0, a_1, …,
a_{n-1}) ↦ (0, a_0, a_1, …, a_{n-1})$.

Le groupe~$BW\unip(R)$ des \emph{bivecteurs de~Witt
unipotents} à coefficients dans~$R$ est la limite inductive des
morphismes~$V:W(R) → W(R)$.
\end{df*}

Autrement dit, un covecteur unipotent à coefficients dans~$R$ peut
s'écrire~$(x_{n})_{n ≤0}$, où les~$x_n$ sont une suite d'éléments de~$R$
qui sont presque tous nuls ; on notera~$(…, 0, x_{-n}, x_{-n+1}, …,
x_{-1}, x_0)$ un tel covecteur. De même, un bivecteur unipotent peut
s'écrire~$(x_{n})_{n ∈ℤ}$, où les~$x_n$ sont nuls pour $n$~assez petit ;
on notera~$(…, 0, x_{-n}, x_{-n+1}, …, x_{-1}; x_0, x_1, …)$ un tel
bivecteur.

Pour tout~$n$, $W_n(R)$, ainsi que~$W(R)$, sont de façon naturelle des
$W(R)$-modules. Pour tout~$λ ∈ W(R)$ et pour tout~$w ∈ W(R)$ ou~$W_n(R)$,
on a~$V(φ(λ) w) = λ V(w)$. Puisque~$R$~est parfait, on peut
munir~$W_n(R)$ ou~$W(R)$ de la structure de~$W(R)$-module donnée
par~$(λ,w) ↦ φ^{-n}(λ) w$ ; les applications de transition~$V$ sont
alors~$W(R)$-linéaires, et~$CW^u(R)$ et~$BW^u(R)$ sont donc naturellement
munis de structures de~$W(R)$-modules.


\medskip


\begin{prop}\label{prop:BWr}
Pour tout réel~$r < 1$ et pour tout~$m ∈ ℤ$, soit
\[ BW_{r,m}(R) = \acco {(x_{n})_{n ∈ ℤ}, \; (∀ n ≤ m)\; \abs{x_{n}}_R ≤ r} \].
\begin{enumerate}
\item Pour tout~$r < 1$ tel que~$r ∈ \abs{C^{×}}$, $BW_{r,m}$ est une
variété spectrale affine sur~$\Qp$.
\item Il existe une $\Fp$-algèbre topologique complète~$\widehat B_{r,m}$
telle que~$BW_{r,m} = \Hom_{\Fp,\cont} (\widehat B_{r,m}, R)$.
\item Pour tout entier~$s$, toute application $f: BW_{r,m}(R)^s →
BW_{r,m}(R)$ provenant d'un morphisme continu d'anneaux~$\widehat B_{r,m}
→ \widehat B_{r,m} ^{\hotimes s}$ est analytique.
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{proof}
(i) Soit~$A$ l'algèbre
\[ A = \Qp \cro{X_{n}^{(i)}}_{n ∈ ℤ, i ∈ ℕ} \big/ \pa{(X_{n}^{(i+1)})^p -
X_{n}^{(i)}} \];
pour~$r < 1$ et~$m ∈ ℤ$, soit~$\norme{⋅}_{r,m}$ l'unique norme sur~$A$
prolongeant celle de~$\Qp$ et telle que
\[ \norme{X_{n}^{(0)}} =
  \begin{cases} 1 & \text{si $n ≥ m+1$,}\\r&\text{si $n ≤ m$.}
\end{cases}\]
Soit~$\widehat A_{r,m}$ le complété de~$A$ pour la
norme~$\norme{⋅}_{r,m}$.
% Il s'identifie à l'ensemble des séries de la forme~$∑ a_n X^n$,
% où~$n$~décrit l'ensemble des fonctions presque partout nulles de~$ℤ×ℕ$
% vers~$ℕ$, et où~$X^n = ∏_{(i,n)∈ℕ^2} (φ^{-n}(X_{i}))^{n(i,n)}$, et telles
% que~$w_{λ,m}(a_n) + w_{λ,m}(X^n) = v_p(a_n)+λ∑_{(i,n)∈ℕ^2} p^{-n}n(i,n)$
% tende vers~$+∞$ selon le complémentaire des parties finies. 
Alors~$A_{r,m}$~est une $\Qp$-algèbre spectrale, et son
spectre s'identifie à~$BW_{r,m}(R)$.

\bigskip
(ii) Notons~$B$ l'algèbre~$\Fp[X_n]_{n ∈ ℤ}$.
Pour tout~$r ∈ [0,1[$ et pour
tout~$m ∈ ℤ$, $B$~peut être munie d'une
norme, que l'on note~$\norme{⋅}_{r,m}$, définie par
\[\norme{X_n}_{r,m} = \begin{cases} 1 & \text{si $n ≥ m+1$,}\\
  r & \text{si $n ≤ m$.}\end{cases}\]
Se donner un morphisme~$ρ: B → R$ revient à se donner les~$x_n = ρ(X_n)
∈ R$ ; dire que~$ρ$ est continu pour~$\norme{⋅}_{r,m}$ revient à dire que
$\abs{x_n}_R ≤ r$ pour~$n ≤ m$, c'est-à-dire que~$x = (x_n)_{n ∈ ℤ} ∈
BW_{r,m}(R)$.

\bigskip

(iii) Il suffit de traiter le cas où~$s = 1$. Soit~$f: BW_{r,m}(R) →
BW_{r,m}(R)$ une application provenant du morphisme continu~$ρ: \widehat
B_{r,m} → \widehat B_{r,m}$. Soit
\[ B' = \Fp[X_n^{(i)}]_{n ∈ ℤ, i ∈ ℕ} \];
puisque~$\Fp$ est parfait, le morphisme~$ρ: B → B$ se prolonge en un
unique morphisme~$ρ': B' → B'$. Pour tous~$n ∈ ℤ$, $i ∈ ℕ$,
soit~$\widehat{a}_{n,i}$ un relèvement dans~$A$ de~$ρ'(X_n^{(i)})$.
Alors~$\norme{\widehat{a}_{n,i+1}^p - \widehat{a}_i}_{r,m} ≤ \abs{p}$ et
donc d'après le lemme~\ref{lem:valuation-xi}, pour tous~$n,i$, la
suite~$(\widehat{a}_{n,i+j}^{p^j})_{j ∈ ℕ}$ converge vers un
élément~$a_{n,i}$ de~$\widehat A_{r,m}$. De plus, on a par
construction~$a_{n,i+1}^p = a_{n,i}$, et il existe donc un unique
morphisme d'algèbres~$π: A → \widehat A_{r,m}$ tel que~$π(X_n^{(i)}) =
a_{n,i}$.

Puisque~$ρ$ est continu pour~$\norme{⋅}_{r,m}$, on a~$\norme{ρ(X_n)} ≤ r$
pour~$n ≤ m$, et donc~$\norme{a_{n,0}}_{r,m} ≤ r$ pour~$n ≤ m$. Par
conséquent, $π$ se prolonge en un morphisme continu~$\widehat{π}: \widehat
A_{r,m} → \widehat A_{r,m}$. Enfin, la réduction de~$π: A → A$ modulo
l'idéal engendré par~$p$ et les~$X_n^{(i)}$ pour~$(n,i) ∈ ℤ × ℕ$ coïncide
avec~$ρ'$, et donc l'application analytique~$BW_{r,m}(R) → BW_{r,m}(R)$
associée à~$π$ est~$f$.
\end{proof}

% Supposons que~$ρ$ soit la valeur
% absolue d'un élément~$x$ de~$R$ ; alors la multiplication par~$x$
% identifie~$BW_{ρ,m}(R)$ à~$R^{ℕ}$. Puisque l'addition et la
% multiplication de~$R$ sont des morphismes analytiques~$R × R → R$, tout
% éléments de~$k[X_1,…,X_n]$ définit un morphisme analytique~$R^n → R$, et
% donc tout élément de~$B$ définit un morphisme analytique~$BW_{ρ,m}(R) →
% R$. De même, tout élément de~$B ⊗_{k} B$ définit un morphisme
% analytique~$BW_{ρ,m}(R) × BW_{ρ,m}(R) → R$.
% 
% Pour tout~$ρ ∈ [0,1[$ et pour
% tout~$m ∈ ℤ$, $B$~peut être munie d'une
% norme, que l'on note~$\norme{⋅}_{ρ,m}$, définie par
% \[\norme{X_n}_{ρ,m} = \begin{cases} 1 & \text{si $n ≥ m+1$,}\\
%   ρ & \text{si $n ≤ m$.}\end{cases}\]
% Alors un morphisme~$f: B → B ⊗_k B$ continu pour~$\norme{⋅}_{ρ,m}$ est
% défini par la donnée des~$f(X_n)$ pour~$n ∈ ℤ$,
% vérifiant~$\norme{f(X_n)}_{ρ,m} ≤ ρ$ pour~$n ≤ m$. Par conséquent,
% $f$~définit un morphisme analytique~$BW_{ρ,m}(R) × BW_{ρ,m}(R) →
% BW_{ρ,m}(R)$.
% 
% Soit~$\widehat B_{ρ,m}$ le séparé complété de~$B$ pour la
% norme~$\norme{⋅}_{ρ,m}$. Les morphismes continus~$f: \widehat B_{ρ,m} →
% \widehat B_{ρ,m} ⊗_k \widehat B_{ρ,m}$ sont alors les limites des
% suites~$(f_i)_{i ∈ ℕ}$ de morphismes~$f_i: B → B ⊗_{k} B$, continus
% pour~$\norme{⋅}_{ρ,m}$, tels que pour tout~$n$, $(f_i(X_n))_{n ∈ ℕ}$ soit une
% suite de~Cauchy pour~$\norme{⋅}_{ρ,m}$ ; pour tout~$n$, $f(X_n)$~est
% la limite pour~$\norme{⋅}_{ρ,m}$ des~$f_i(X_n)$.
% 
% Puisque~$R$ et~$\go r = \acco {x ∈ R, v_R (x) ≥ λ}$ sont des variétés
% spectrales prorigides, il résulte de la proposition~\ref{prop:complet}
% que le groupe des morphismes spectraux définis sur~$BW_{λ,m}(R) ×
% BW_{λ,m}(R)$ et à valeurs dans~$R$ (ou $\go r$) est complet pour la
% topologie bornée-ouverte. D'après la proposition~\ref{prop:reseau-ferme},
% la topologie définie sur~$R$ (ou $\go r$) par la valuation~$v_R$ coïncide
% avec la topologie de variété spectrale ; par conséquent, pour tout~$n$,
% la suite des~$f_i(X_n)$ converge vers un morphisme analytique à valeurs
% dans~$R$ si~$n ≥ m + 1$ et dans~$\go r$ si~$n ≤ m$. Finalement,
% $f$~définit un morphisme analytique~$BW_{λ,m}(R) × BW_{λ,m}(R) →
% BW_{λ,m}(R)$.

Soient~$(x_{n})_{n ∈ ℤ}$ et~$(y_{n})_{n ∈ ℤ}$ deux éléments
de~$BW\unip(R)$ ; notons~$(s_{n})_{n ∈ ℤ}$ leur somme dans le
groupe~$BW\unip(R)$. Alors les coordonnées~$s_n ∈ R$ s'expriment de façon
polynomiale à partir des~$x_n$ et des~$y_n$. De façon précise, soit~$τ$
l'endomorphisme de~$B$ tel que~$τ(X_{n}) = X_{n-1}$ pour tout~$n ∈ ℤ$.
Alors il existe une suite d'éléments~$(S_{-n})_{n ∈ ℕ}$ de~$B ⊗_{ℤ} B$
telle que
\[ s_{-n} = S_{-m} (x_{-n-m}, …, x_{-n}; y_{-n-m}, …, y_{-n}) = (τ
⊗ τ)^{n} S_{-m}(x; y) \] pour tout entier~$m$ assez grand.

Notons abusivement~$X = X ⊗ 1$ et~$Y = 1 ⊗ X$.
Les polynômes~$S_{-n}(X,Y)$ sont définis par la relation de récurrence :
\begin{equation}\label{eq:def Sn}
∑_{j=0}^n p^{-j} (τ⊗τ)^j(S_{-(n-j)}^{p^j}) \;=\;
  ∑_{j=0}^n p^{-j} X_{-j}^{p^j} \;+\; ∑_{j=0}^n p^{-j} Y_{-j}^{p^j}.
\end{equation}
c'est-à-dire
\begin{align*} S_0(X_0, Y_0) &= X_0 + Y_0,\\
  S_0(X_{-1}; Y_{-1}) + \frac 1p S_{-1}(X_{-1}, X_{0}; Y_{-1}, Y_{0})^p 
  &= X_0 + Y_0 + \frac 1p X_{-1}^p + \frac 1p Y_{-1}^p, …
\end{align*}

% \[\begin{split}
%   S_n(X_0,…X_{-n};Y_0,…,Y_{-n}) \quad& \\
%   + p^{-1} S_{n-1}(X_{-1},…,X_{-n}; Y_{-1}h,…, Y_{-n})^p \quad &\\
%   + … + p^{-n} S_0 (X_{-n}, Y_{-n})^{p^n} \;=\;
%   & X_0 + p^{-1} X_{-1}^p + … + p^{-n} X_{-n}^{p^n} \\
%   & + Y_0 + p^{-1} Y_{-1}^p + … + p^{-n} Y_{-n}^{p^n}.\\
% \end{split}\]

\begin{prop}\label{prop:Sn-Cauchy}
Pour tout~$r < 1$ et pour tout~$m ∈ ℕ$, la suite~$(S_{-n})_{n ∈ ℕ}$ est
de Cauchy pour la norme~$\norme{⋅}_{r, m}$ dans~$B ⊗_{\Fp} B$.
\end{prop}

\begin{proof}
Ceci revient à démontrer que, pour tout~$m ≥ 0$, la suite~$(τ ⊗ τ)^{-m}
(S_{-n})_{n ∈ ℕ}$ est de~Cauchy pour la norme~$\norme{⋅}_{r,0}$.

Prouvons d'abord le cas où~$m = 0$, c'est-à-dire que la
suite~$(S_{-n})_{n ∈ ℕ}$~est de~Cauchy. Puisque~$\norme{a}_{r^t, 0} ≤
\norme{a}_{r,m}^t$ pour tout~$a ∈ A$ et pour tout~$t > 0$, il suffit de
démontrer le résultat lorsque $r$~est assez petit ; on peut donc supposer
que~$r = p^{-λ}$ avec~$λ ≥ \frac 1{p-1}$. Soit~$v$ la valuation associée à
la norme~$\norme{a}_{r,0}$.

La différence de l'équation~(\ref{eq:def Sn}) appliquée respectivement
à~$S_{-n}$ et~$S_{-(n-1)}$ s'écrit
\[ ∑_{j=0}^{n-1} p^{-j} (τ⊗τ)^j
  \pa{S_{-(n-j)}^{\;p^j} - S_{-(n-1-j)}^{\;p^j}}
  + p^{-n} (τ⊗τ)^n(S_0^{p^n}) = p^{-n} X_{-n}^{p^n} + p^{-n} Y_{-n}^{p^n}
\],
soit, puisque~$S_0 = X_0 + Y_0$,
\[\begin{split}
S_{-n} - S_{-(n-1)} =& -∑_{j=1}^{n-1} p^{-j} (τ⊗τ)^j
  \pa{S_{-(n-j)}^{\;p^j} - S_{-(n-j-1)}^{\;p^j}}\\
  &\quad - p^{-n} \pa{(X_{-n}+Y_{-n})^{p^n}
 - X_{-n}^{p^n} - Y_{-n}^{p^n}}. \end{split}\]\relax
Remarquons d'abord que~$τ$ est $1$-lipschitzienne pour la
norme~$\norme{⋅}_{r,0}$ ; de plus, $v(S_{-n}) = λ$. Soit~$μ_n =
v(S_{-n} - S_{-(n-1)}) - λ$ ; alors le lemme~\ref{lem:valuation-binome}
entraîne que
\[ v(S_{-(n-j)}^{p^j} - S_{-(n-j-1)}^{p^j}) ≥ 
  p^jλ + \min \acco{ j-i+p^i μ_{n-j}, i=0,…,j} \].
De même, la valuation de~$(X_{-n}+Y_{-n})^{p^i} -
X_{-n}^{p^n} - Y_{-n}^{p^n}$ est~$p^nλ+1$. On en déduit que
\[ μ_n + λ ≥ \min \acco{p^nλ-(n-1)\;,\; p^jλ+p^iμ_{n-j}-i,
  \quad j=1,…,n-1, i=0,…, j}. \]

\smallskip

Montrons par récurrence que pour tout~$n≥1$, $μ_n ≥ n(p-1)λ$. La formule
ci-dessus démontre le cas où~$n=1$. Supposons à présent~$n ≥ 2$. Alors,
pour tout~$j ≤ n-1$, puisque~$μ_{n-j} ≥ (n-j)(p-1)λ≥ λ ≥ \frac 1{p-1}$, le
minimum des~$p^i μ_{n-j} - i$ est atteint pour~$i=0$ et vaut
donc~$μ_{n-j}$ ; il s'ensuit que
\[ μ_n ≥ \min \acco{(p^n-1)λ-(n-1),\; ((p^j-1)+(n-j)(p-1))λ,\; j=1,…,n-1} \].
Puisque la suite des~$p^j-j(p-1)$ est croissante, la valeur minimale ne
peut être atteinte que pour~$j=1$, ce qui signifie que
$μ_n ≥ \min \acco{(p^n-1)λ-(n-1),\; n(p-1)λ} = n(p-1)λ$.
Par conséquent, on a~$v(S_{-n}-S_{-(n-1)})≥(n(p-1)+1)λ$, et donc la
suite~$(S_{-n})_{n∈ℕ}$ est de~Cauchy.

\medskip

Montrons à présent par récurrence sur~$m$ que, pour tout~$m$, la suite
$(S_{-n,m})_{n ∈ ℕ} = (τ ⊗ τ)^{-m} (S_{-n})_{n ∈ ℕ}$ est de~Cauchy
pour~$\norme{⋅}_{r,0}$. Nous venons d'établir le résultat pour~$m = 0$ ;
supposons-le connu pour~$m$ et démontrons-le pour~$m + 1$. Par
construction des~$S_{-n}$, $S_{-(n+1), m+1}$~est défini par la relation
\[ S_{-(n+1), m+1} = - ∑_{j=0}^n \frac 1{p^{j+1}} S_{-(n-j), m-j}^{p^{j+1}}
 + ∑_{j=-1}^n \frac 1{p^{j+1}} \pa{X_{m-j}^{p^{j+1}} + Y_{m-j}^{p^{j+1}}}
\].
Par conséquent, puisque toutes les suites~$S_{-(n-j),-j}$ sont de~Cauchy
pour~$\norme{⋅}_{r,0}$, il en est de même de~$S_{-(n+1), m+1}$, et
donc~$(S_{-n,m+1})_{n ∈ ℕ}$ est une suite de~Cauchy.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:BW-spectral}
Soient
\[\begin{split}
  BW(R) &= \acco { (x_{n})_{n∈ℤ},\; \limsup_{n→-∞}\: \abs{x_{n}}_R <1 },\\
  CW(R) &= \acco{ (x_{n})_{n∈-ℕ},\; \limsup_{n→-∞}\: \abs{x_{n}}_R <1 }.\\
\end{split}\]
\begin{enumerate}
\item $BW(R)$ et~$CW(R)$ sont des variétés spectrales affines.
\item $BW(R)$ est un espace de~Banach spectral effectif et~$CW(R)$ est un
groupe spectral affine ; les inclusions naturelles~$BW\unip(R) → BW(R)$,
$CW\unip(R) → CW(R)$ sont des morphismes de groupes.
\item Le morphisme de~Frobenius~$φ: BW(R) → BW(R)$ est analytique ainsi
que son inverse.
\item On dispose d'une suite exacte de groupes spectraux effectifs
\[ 0 → W(R) → BW(R) → CW(R) → 0 \].
\item $BW(R)$ et~$CW(R)$ sont munis de structures naturelles de
$W(R)$-modules spectraux.
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{proof}
On conserve les notations des propositions~\ref{prop:BWr}
et~\ref{prop:Sn-Cauchy}.

(i) Par construction, $BW(R)$~est la réunion pour~$r < 1$ et~$m ∈ ℤ$
des~$BW_{r,m}(R)$.

Soient~$r ≤ r' < 1$ et~$m' ≤ m$. Alors, pour tout~$a ∈ A$,
$\norme{a}_{r,m} ≤ \norme{a}_{r',m'}$, et donc l'application identique
de~$A$ définit un morphisme continu et injectif~$\widehat A_{r',m'} →
\widehat A_{r,m}$. Soit~$\widehat{A}$ la limite projective (c'est-à-dire
l'intersection) du système projectif des~$\widehat A_{r,m}$. C'est une
algèbre pro-spectrale, et puisque~$A$ est dense dans chacun des~$\widehat
A_{r,m}$, elle est dense dans~$\widehat{A}$. De plus, en vertu de la
proposition~\ref{prop:limp-spectrale}, $\Spm \widehat A$~s'identifie à la
réunion des~$\Spm \widehat A_{r,m}$, c'est-à-dire à~$BW(R)$. Enfin, la
multiplication par~$1/p$ dans~$BW(R)$ s'écrit~$V^{-1} φ^{-1}$ et est donc
analytique.

Une construction analogue fournit l'algèbre affine de~$CW(R)$ ; on peut
également la définir comme le quotient de~$\widehat{A}$ par l'idéal fermé
engendré par les~$X_n^{(i)}$ pour~$n ≥ 0$.

(ii) Soient~$S_{-n} ∈ B ⊗_{\Fp} B$ les polynômes donnant l'addition
sur~$BW\unip(R)$. Pour tous~$r < 1$, $m ∈ ℤ$, $(S_{-n})$ est une suite
de~Cauchy pour~$\norme{⋅}_{r,m}$ et converge donc vers un
élément~$S_{-∞}$ de~$\widehat B_{r,m}$ ; la famille des~$τ^i S_{-∞}$
définit donc un morphisme~$α: \widehat B_{r,m} → \widehat B_{r,m}
\hotimes_{\Fp} \widehat B_{r,m}$, qui prolonge par construction
l'addition de~$BW\unip(R)$. Puisque~$BW_{r,m}$, muni de cette loi, est un
groupe abélien, c'est encore le cas de~$BW(R)$ ; et
d'après~\ref{prop:BWr}(iii), l'addition ainsi définie sur~$BW(R)$ est
analytique.

(iii), (iv) sont évidents.

(v) Pour tout~$n ∈ ℕ$, $φ^{-n}: R → R$~est analytique, donc la flèche
de multiplication~$W(R) × BW_{r,m}(R) → BW_{r,m}(R)$ est analytique.
Puisque~$BW(R) = \limi BW_{r,m}(R)$ dans la catégorie des groupes
spectraux, la flèche de multiplication~$W(R) × BW(R) → BW(R)$ est encore
analytique.
\end{proof}

\begin{df}\label{def:covecteurs}
Les éléments de~$CW(R)$, $BW(R)$ sont appelés respectivement
\emph{covecteurs de~Witt} et \emph{bivecteurs de~Witt} à coefficients
dans~$R$.
\end{df}

En particulier, pour tout entier naturel~$e≥1$, on a les égalités
$W(\F_{p^e}) = ℤ_{p^e}$, $BW(\F_{p^e}) = ℚ_{p^e}$, et~$CW(\F_{p^e}) =
ℚ_{p^e}/ℤ_{p^e}$.

Il existe un unique morphisme d'anneaux~$θ: W(R) → \O_C$ dont la
réduction modulo~$p$ est l'application identique de~$\O_C$ ; ce morphisme
est surjectif et se prolonge en~$θ: W(R)[1/p] → \O_C$. On
note~\cite{Periodes} $B^+\dR$ le complété séparé de~$W(R)[1/p]$ pour la
topologie~$(\Ker θ)$-adique ; c'est un anneau de valuation discrète
complet dont le corps résiduel est~$C$. Soit
également~$W(R)^{\mathrm{dp}}$ l'enveloppe à puissances divisées
de~$W(R)$ relativement aux puissances divisées canoniques sur~$\Ker θ$ ;
on note~$A\cris$ le complété séparé $p$-adique de~$W(R)^{\mathrm{dp}}$
et~$B^+\cris = A\cris[1/p]$. Il existe un plongement canonique
de~$B^+\cris$ dans~$B^+\dR$, ce qui permet de définir~$θ: B^+\cris → C$.

\medskip
Soit~$(a_n)_{n ∈ ℤ}$ un élément de~$BW(R)$. alors la série~$∑_{n ∈ ℤ}
p^{-n} [a_n]^{p^n}$ converge vers un élément~$η(a)$ de~$b^+\cris$ ;
l'application~$η$ ainsi définie est une injection $W(R)$-linéaire
de~$BW(R)$ dans~$B^+\cris$. On considèrera donc toujours~$BW(R)$ comme un
sous-$W(R)$-module de~$B^+\cris$. Par composition, l'application~$θ:
B^+\cris → C$ donne donc un morphisme de groupes analytiques~$θ: BW(R) →
C$, qui est défini par
\[ θ((a_n)_{n ∈ ℤ}) \;=\; ∑_{n ≥ 0} p^{-n} (a_n^{(0)})^{p^{n}}
  + ∑_{n ≤ -1} p^{-n} a_n^{(n)} \].

\begin{prop}\label{prop:theta-analytique}
Soient~$\widetilde{p}$ un élément de~$R$ tel que~$\widetilde{p}^{(0)} =
p$, et $ξ = [\widetilde{p}]-p ∈ W(R)$. Alors $θ$~définit une suite exacte
courte d'espaces de~Banach spectraux
\[ 0 → BW(R) →^{×ξ} BW(R) →^{θ} C → 0 \],
\end{prop}

\begin{proof}
L'algèbre affine de~$C$ est~$K\tate{T}^{[0,+∞[}$, et~$θ$ provient du
morphisme
\[\application{K\tate{T}^{[0,+∞[}}{\widehat A}
  {T}{∑_{n ≥ 0} p^{-n} X_{0,n}^{p^n}+∑_{n≤-1} p^{-n} X_{n,n}}
\].
Ceci démontre que $θ$~est analytique. Il est évident qu'elle est
surjective. La flèche~$BW(R) →^{× ξ} BW(R)$ est analytique d'après~la
proposition\ref{prop:BW-spectral} et clairement injective ; il reste à
montrer que la suite est exacte au centre.

Soit~$x ∈ W(R)[1/p]$. Alors $\norme{[\widetilde{p}]x} =
\norme{[\widetilde{p}]} ⋅ \norme{x} = \norme{x}$, et~$\norme{px} =
\abs{p} ⋅ \norme{x} < \norme{x}$, donc~$\norme{ξ x} = \norme{x}$, ce qui
signifie que la multiplication par~$ξ$ est une isométrie de~$W(R)[1/p]$.

On sait (\cite[2.3.3]{Periodes}) que~$ξ$~est un générateur du noyau
de~$θ: W(R) → \O_C$, et donc du noyau de~$θ: W(R)[1/p] → C$. Soit~$y$ un
élément du noyau de~$θ: BW(R) → C$. Alors $y$~est limite d'une
suite~$(y_n)_{n ∈ ℕ}$ d'éléments de~$W(R)[1/p]$ ; en outre, puisque~$θ(y)
= 0$, $θ(y_n)$~tend vers zéro, et il existe donc une suite~$(x_n)_{n ∈
ℕ}$ d'éléments de~$W(R)[1/p]$ et une suite~$(z_n)_{n ∈ ℕ}$ d'éléments
de~$W(R)[1/p]$ tendant vers zéro telles que~$y_n = ξ x_n + z_n$. Par
conséquent, puisque la suite des~$ξ x_n$~est de~Cauchy et puisque la
multiplication par~$ξ$ est une isométrie, la suite des~$x_n$ est
de~Cauchy et a donc une limite~$x$ dans~$BW(R)$. Puisque~$z_n$ tend vers
zéro, on peut alors écrire~$y = ξ x$ comme voulu.
\end{proof}

%<<<2
% \begin{prop}\label{prop:BW spectral}
% $BW(R)$~est un espace de~Banach spectral ; le morphisme de Frobenius et
% le décalage sont des morphismes spectraux~$BW(R)→BW(R)$, et
% l'application~$θ:BW(R)→C$~est un morphisme spectral.
% \end{prop}
% 
% \begin{proof}
% D'après la proposition~\ref{prop:BW}, $BW$~est représentable par une
% $\Fp$-algèbre topologique~$\widehat A$ qui est toplogiquement de type
% dénombrable. Par conséquent, par la
% proposition~\ref{prop:compostiion-spectrale}, $BW(R)$~est une variété
% spectrale affine sur~$K$ ; son algèbre spectrale contient comme
% sous-algèbre dense l'algèbre~$K\tate{(X_n)_{n ∈ ℤ}}_R$.
% De plus, puisque les morphismes de décalage et de
% Frobenius sont analytiques sur~$BW$, par la fonctorialité du produit de
% composition, ils le sont encore sur~$BW(R)$.
% Enfin, le morphisme~$θ: BW(R) → \O_C$ correspond à l'élément~$f = ∑_{n ∈
% ℤ} p^{-n} X_n^{p^n}$ de~$BW(R)$, où~$X^{p^{-n}}$ pour~$n ∈ ℕ$ est défini
% par la convention ci-dessus.
% \end{proof}

% On déduit immédiatement de cette proposition le résultat suivant :
% 
% \begin{prop}\label{prop:suite exacte Bm}
% Pour tout entier~$m$, on a une suite exacte courte d'espaces de~Banach
% spectraux
% \[ 0 → BW(R) →^{× ξ^m} BW(R) → B_m → 0 \].
% \end{prop}


%<<<2
\subsection{Sous-espaces de pentes de~$B^+\cris$}
\label{sub:Edh}

Soient~$d ≥ 1$, $h ≥ 1$ deux entiers. On note~$E_{d,h}$ le
sous-ensemble de~$B^+\cris$ défini par~:
\[ E_{d,h} \;=\; \acco{b∈ B^+\cris, φ^h(b) \,=\, p^d\, b } \];
c'est par construction un sous-$\Qph$-espace vectoriel de~$B^+\cris$.
\bigskip

Soit~$α∈ ]0,1]∩\Q$ ; notons alors~$d/h$ la forme irréductible
de~$α$. Alors on pose~$E_α = E_{d,h}$, et on note~$L_{α}$ l'algèbre à
division sur~$\Qp$ d'invariant~$α$, c'est-à-dire l'algèbre
non-commutative $\Qph[F]/[F^h-p^d]$ ; $F$ est semi-linéaire,
c'est-à-dire que pour~$a∈\Qph$, $Fa=φ(a)F$.


\begin{prop}\label{prop:E-nd-nh}
Soit~$n≥ 1$ un entier. Alors la multiplication dans~$B^+\cris$
induit un isomorphisme de~$\Q_{p^{nh}}$-espaces vectoriels
de~$\Q_{p^{nh}} ⊗_{\Qph} E_{d,h}$ sur~$E_{nd, nh}$.
\end{prop}
\begin{proof}
Notons~$q = p^d$, et soit~$Φ = φ^h$ le Frobenius relatif de l'extension de
corps~$\Q_{p^{nh}}/\Q_{p^h}$. D'après le théorème de la base normale, il
existe un élément~$x$ de~$\Q_{p^{nh}}$ tel que~$(x, Φ x, …, 
Φ^{n-1} x)$ soit une~$\Q_{p^h}$-base de~$\Q_{p^{nh}}$ ; en outre, $Φ^n x
= x$. Soit~$a∈ \Q_{p^{nh}}⊗_{\Qph}E_{d,h}$ ; alors il existe~$a_0, …,
a_{n-1} ∈ E_{d,h}$ tels que
\[ a \;=\;∑_{i=0}^{n-1} Φ^i(x) ⊗ a_i \].
Si l'image de~$a$ dans~$E_{nd, nh}$ est nulle, alors ses images
successives par l'application de~$q^{-1}Φ$ le sont aussi, et
par conséquent
\[ \begin{pmatrix}
x         &Φ  x& ⋯ & Φ^{n-1} x \\
Φx        &Φ^2x&   & x \\
⋮         &    & ⋱ & ⋮ \\ 
Φ^{n-1} x &x   & ⋯ & Φ^{n-2} x
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ ⋮ \\ a_{n-1} \end{pmatrix} = 0 \].
Or le déterminant de la première matrice est
\[ ± ∏_{i=0}^{n-1} (∑_{j=0}^{n-1} ζ^{ij} Φ^j x) \],
où~$ζ$ est une racine primitive~$n$-ième de l'unité ; le choix de~$x$
assure que ce déterminant ne s'annule pas. Ceci démontre donc
l'injectivité.

Réciproquement, si~$b∈ E_{nd, nh}$, alors soit
\[ a = ∑_{i=0}^{n-1} \pa{q^{-1}Φ}^i (x b) \].
On vérifie que~$a∈ E_{d, h}$ ; l'inversibilité de la matrice ci-dessus
permet alors d'écrire~$b$ comme combinaison~$\Q_{p^{nh}}$-linéaire
des~$Φ^i(a)$. Ceci démontre la surjectivité de l'application.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:Edh-dans-BW}
Pour tous entiers~$d, h$ tels que~$d ≤ h$, $E_{d,h}$ est l'image par
l'injection canonique~$BW(R)→B^+\cris$ de l'ensemble des bivecteurs de la
forme~$(x_n)_{n∈ℤ}$ avec~$x_{n-d}=x_n^{p^{h-d}}$.
\end{prop}

\begin{proof}
Soit~$E'_{d,h}$ l'ensemble des bivecteurs~$(x_n)_{n ∈ ℤ}$ tels
que~$x_{n-d} = x_n^{p^{h-d}}$. Par construction, tout élément~$b$
de~$E'_{d,h}$ vérifie~$V^d(b) = φ^{h-d}(b)$, où~$V$ est le décalage ; par
conséquent, puisque~$V φ = φ V = p$, on en déduit que~$p^db = φ^h(b)$.
Il suffit donc de montrer que tout élément de~$E_{d,h}$ peut s'écrire
comme un bivecteur.

Soit~$b$ un élément de~$E_{d,h}$. Quitte à multiplier~$b$ par une
puissance de~$p$, on peut supposer que~$b ∈ A\cris$.
Par définition de~$B^+\cris$, $b$~est
la limite d'une suite convergente d'éléments~$(b_m)$ de~$W(R)[1/p]$ de la
forme
\[ b_m = ∑_{i ≥ -md} p^i [x_{m,i}^{p^{-i}}] \].
De plus, puisque~$φ^h(b) = p^d b$, la suite~$(φ^h(b_m) - p^d b_m)_{m ∈
ℕ}$ tend vers zéro. Pour tous entiers~$m, n$ tels que~$m ≥ 0$ et~$n ≥
-m$, notons
\[ b_{m,n} = ∑_{i = -md}^{-md+(d-1)} [x_{m,i}^{p^{-i}}] \];
on peut alors écrire
\[ b_m = ∑_{n ≥ -m} p^{nd} b_{m,n} \].
Notons enfin~$\overline{b_{m,n}}$ l'image de~$b_{m,n}$ dans~$W_d(R) =
W(R) / p^d W(R)$.
Puisque la suite~$(b_m)_{m ∈ ℕ}$ est de~Cauchy, $b_m - b_{m-1}$ tend vers
zéro, ce qui signifie que~$\overline{b_{m,-m}}$ tend vers zéro, ainsi de
proche en proche que toutes les suites~$\overline{b_{m,n}} -
\overline{b_{m-1,n}}$ pour~$n ≥ -m+1$. Par conséquent, pour tout~$n ∈ ℕ$,
la suite~$(\overline{b_{m,n}})_{m ∈ ℕ}$ a une limite~$a_n$ dans~$W_d(R)$.
Puisque~$φ^h(b_n) - p^d b_n$~tend vers zéro, on voit que pour tout~$n$,
$a_n = φ^{h-d}(a_{n+1})$. Soit
\( a_n = (a_{n,0}, …, a_{n,d-1}) \)
l'écriture de~$a_n$ comme vecteur de~Witt.
Tout~$n ∈ ℤ$ s'écrit de façon unique~$n = jd + i$ avec~$j ∈ ℤ$ et~$0 ≤ i
≤ d-1$ ; posons alors~$c_n = a_{j,i} = φ^{-j(h-d)}(a_{0,i})$. On voit
alors que~$\liminf_{n → -∞} v_R(c_n) > 0$, et donc~$c = (c_n)_{n ∈ ℤ}$
est bien un élément de~$BW(R)$ ; de plus, l'image de~$c$ dans~$B^+\cris$
est~$b$ par construction.
% 
% Par définition de~$B^+\cris$, tout élément~$b$ de~$B^+\cris$ est la
% limite d'une suite convergente d'éléments~$b_n$ de l'enveloppe à
% puissances divisées de~$W(R)$ ; autrement dit, on peut écrire~$b_n$ sous
% la forme
% \[ b_n = ∑_{j≥-nd} p^{j} [x_{n,j}^{p^{-j}}] \].
% Soit~$b_{n,i}$ l'élément de~$W(R)$ défini par~$b_{n,i} = [x_{n,id}] +
% p[x_{n,id+1}^{p^{-1}}] + … + p^{d-1} [x_{n,id+(d-1)}^{p^{-(d-1)}}]$ et
% notons~$\overline b_{n,i}$ son image dans~$W_d(R)$. On peut
% alors encore écrire
% \[ b_n = ∑_{i ≥ -n} p^{id} φ^{-id}(b_{n,i}) \].
% Si~$b ∈ E_{d,h}$, alors~$φ^h(b) = p^d b$, et donc~$φ^h(b_n) - p^d b_n →
% 0$ dans~$B^+\cris$. Puisque la suite des~$b_n$ est convergente, en
% effectuant la différence des vecteurs de~Witt~$b_{n+1}$ et~$b_n$, on voit
% qu'on doit avoir~$\overline b_{n+1,-(n+1)}→0$, $\overline
% b_{n+1,-n}-\overline b_{n,-n}→0$, puis de proche en proche~$\overline
% b_{n+1,i}-\overline b_{n,i}→0$ pour tout~$i≥-n$. Par conséquent, pour
% tout~$i$, la suite des~$\overline b_{n,i}$ a
% une limite dans~$W_d(R)$ ; soit~$a_i$ cette limite.
% De~$φ^hb_n-p^db_n→0$, on déduit que~$a_i=a_{i+1}^{p^{h-d}}$ ; par
% conséquent, le bivecteur de~Witt~$a$ formé par concaténation des
% écritures comme vecteurs de~Witt des~$(a_i)$ est de la forme voulue. Enfin,
% par construction des~$a_i$, $a$~est la limite des~$b_n$ ; par conséquent,
% $a = b$, et donc~$b$~est un élément de~$BW(R)$.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:Edh analytique}
Soient~$d$, $h$ deux entiers tels que~$d ≤ h$.
\begin{enumerate}
\item $E_{d,h}$~est un sous-espace de~Banach spectral effectif
de~$BW(R)$.
\item Le morphisme de~Frobenius~$φ: E_{d,h} → E_{d,h}$ est analytique.
\item L'application~$θ: E_{d,h} → C$~est analytique.
\item Pour tout élément~$c$ de~$\Qph$, l'endomorphisme de multiplication
par~$c$ dans~$E_{d,h}$~est analytique.
\item Pour tout entier~$d'$ tel que~$d + d' ≤ h$ et pour tout élément~$c$
de~$E_{d',h}$, l'application de multiplication par~$c$ $m_c: E_{d,h} →
E_{d+d',h}$~est analytique.
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{proof}
(i) D'après la proposition~\ref{prop:Edh-dans-BW}, on sait que~$E_{d,h} =
\acco{b∈BW(R), φ^h(b)=p^db}$ ; or, d'après la
proposition~\ref{prop:BW-spectral}, $BW(R)$~est un groupe spectral
et~$φ$~est un endomorphisme spectral de~$BW(R)$. Par conséquent, il en
est de même de~$φ^h-p^d$, et donc son noyau est un sous-groupe spectral
de~$BW(R)$.

(ii), (iii), (iv) sont alors évidents.

(v) Remarquons d'abord que, pour tout~$x ∈ E_{d,h}$, $φ^h(cx) = p^{d+d'}
(cx)$, et on a donc bien~$cx ∈ E_{d+d',h}$. Par conséquent, d'après la
proposition~\ref{prop:Edh-dans-BW}, $cx ∈ BW(R)$.

Puisque~$x ∈ BW(R)$, on peut écrire~$x$ comme la limite des~$p^{-n}φ^n
x_n$, où~$x_n ∈ W(R)$ ; de même, on peut écrire~$c = \lim p^{-n} φ^n
c_n$. Alors~$cx$~est la limite des~$p^{-2n} φ^{-2n} (c_n x_n)$ ; puisque
la multiplication par~$c_n$~est analytique dans~$W_n$, il s'ensuit que la
multiplication par~$c$~est analytique.
\end{proof}

%<<<2
\subsection{L'espace de~Banach spectral d'un isocristal de~Dieudonné}
Soient~$k$ un corps parfait de caractéristique~$p$ et~$K_0 = W(k)[1/p]$.
On note~$σ: k → k$ le Frobenius absolu de~$k$ ainsi, par fonctorialité,
que ceux de~$W(k)$ et~$K_0$.

Un \emph{$φ$-isocristal sur~$k$} est un $K_0$-espace vectoriel de
dimension finie~$D$ muni d'une bijection~$φ: D → D$ semi-linéaire
relativement au morphisme de~Frobenius absolu sur~$K_0$. Les
$φ$-isocristaux forment de manière évidente une catégorie abélienne et
tout $φ$-isocristal est muni~\cite{CF} d'une graduation canonique indexée
par~$ℚ$, la \emph{graduation par les pentes}.

On dit que~$D$ est \emph{effectif} si toutes ses pentes sont positives,
ce qui revient à dire qu'il existe un réseau~$\ro D$ de~$D$ tel
que~$φ(\ro D) ⊂ \ro D$. Un \emph{isocristal de~Dieudonné} est un
$φ$-isocristal~$D$ dont toutes les pentes appartiennent à~$[0,1]$, ce qui
signifie qu'il existe un réseau~$\ro D$ de~$D$ tel que~$p \ro D ⊂ φ(\ro
D) ⊂ \ro D$.

Pour tout $φ$-isocristal~$D$, on note~$E(D)$ le $\Qp$-espace
vectoriel des applications $\Qp$-linéaires de~$D$ dans~$B^+\cris$ qui
commutent à l'action de~$φ$.

\medskip

Par exemple, pour~$d,h ≥ 0$, soit~$D_{d,h}$ un $K_0$-espace vectoriel de
dimension~$h$, muni d'une base~$(e_0,…,e_{h-1})$ et d'une application
semi-linéaire~$φ$ définie par~$φ(e_i) = e_{i+1}$ si~$i ≤ h-2$
et~$φ(e_{h-1}) = p^d e_0$. Alors $M$~est un $φ$-isocristal effectif dont
l'unique pente est~$d/h$, et~$E(M)$ s'identifie au sous-espace~$E_{d,h}$
de~$B^+\cris$. En particulier, si~$d ≤ h$, alors~$E(D_{d,h}) ⊂ BW(R)$.

\bigskip

\begin{prop}\label{prop:Dieud-BW}
Soit~$M$ un isocristal de~Dieudonné. Alors pour tout~$x ∈ E(M)$, l'image
de~$x$ est incluse dans~$BW(R)$.
\end{prop}

\begin{proof}
Soit~$\overline{k}$ la clôture algébrique de~$k$ ; alors il existe une
unique extension semi-linéaire de~$φ$ à~$M' = M ⊗_{W(k)}
W(\overline{k})$, qui devient ainsi un $φ$-isocristal sur~$\overline{k}$.
Les pentes de~$M'$ sont les mêmes que celles de~$M$ et~$E(M') = E(M)
⊗_{W(k)} W(\overline{k})$, on peut donc supposer que~$k$ est
algébriquement clos.

Dans ce cas, d'après la classification des $φ$-isocristaux, $M$~est
isomorphe à une somme directe d'isocristaux de la forme~$D_{d,h}$,
où~$d/h$ est une pente de~$M$ ; puisque~$M$~est un isocristal
de~Dieudonné, on a toujours~$0 ≤ d ≤ h$ et le résultat découle alors de
la proposition~\ref{prop:Edh-dans-BW}.
\end{proof}

Soit~$M$ un isocristal de~Dieudonné sur~$k$ ; alors~$V = \Hom_{\Qp} (M,
BW(R))$ est naturellement muni d'une structure d'espace de~Banach
spectral vectoriel. De plus, l'endomorphisme~$f$ de~$V$ défini par~$f(x) =
x ∘ φ - φ ∘ x$~est analytique, et donc son noyau, qui s'identifie
à~$E(M)$, est un espace de~Banach spectral prorigide.

On peut donc considérer~$E$ comme un foncteur contravariant additif de la
catégorie des isocristaux de~Dieudonné vers celle des espaces de~Banach
spectraux prorigides.

%<<<1
\section{Espaces de Banach-Colmez effectifs}
%<<<2
\subsection{Construction de groupes spectraux à partir de
groupes $p$-divisibles}

% Dans toute cette partie, $k$ est le corps résiduel de~$K$ ; on
% note~$W(k)$ l'anneau des vecteurs de~Witt à coefficients dans~$k$.

Soit~$(Γ(p^n))_{n ∈ ℕ}$ un groupe~$p$-divisible connexe sur~$k$, de
hauteur~$h$ et de dimension~$d$, et soit~$Γ = \limi Γ(p^n)$ le groupe
formel correspondant. Par construction, l'algèbre affine~$B$ de~$Γ$,
limite projective des algèbres affines des~$Γ(p^n)$, est une algèbre de
séries formelles en~$d$~variables à coefficients dans~$k$. Pour toute
$k$-algèbre topologique~$S$, $Γ(S)$~est le groupe des morphismes continus
de~$k$-algèbres de~$B$ vers~$S$.

On note encore~$F:Γ→Γ$ et~$V:Γ→Γ$ les morphismes de~Frobenius et de
décalage de~$Γ$, et~$φ$ l'endomorphisme de~Frobenius de l'algèbre affine
de~$Γ$.

Pour toute~$k$-algèbre topologique~$S$, notons respectivement
\begin{align*}
 U(Γ)(S) &= \Hom (\Qp, Γ(S)), \\ T(Γ)(S) &= \Hom(\Qp/\Zp, Γ(S)), \\
  U_0(Γ)(S) &= \Hom(\Qp, Γ(S)\tor).
\end{align*}
Puisque $\Qp$~est la limite inductive des groupes
topologiques~$p^{-n}\Zp$, un élément du $\Qp$-espace
vectoriel~$U(Γ)(S)$~peut être vu comme une suite~$(f_n)$ d'éléments
de~$Γ(S)$ tels que~$pf_{n+1}=f_n$. Alors $T(Γ)(S)$~est le
sous-$\Zp$-module des suites~$f$ telles que~$f_0 = 0$ tandis
que~$U_0(Γ)(S)$~est le sous-espace vectoriel des suites~$f$ telles
que~$f_n = 0$ pour~$n$ assez grand.

Par conséquent, le foncteur~$U(Γ)$ ne dépend que de la classe d'isogénie
de~$Γ$ et est représenté par l'algèbre~$\limp (… → B → … → B)$,
l'application de transition étant la multiplication par~$p$ du groupe
$p$-divisible~$Γ$.

\begin{prop}\label{prop:affine-UGamma}
Soit~$Γ$ un groupe $p$-divisible connexe sur~$k$, d'algèbre affine~$B$.
On note encore~$B^{\mathrm{rad}}$ la clôture radicielle de~$B$, $\go b$
l'idéal de~$B^{\mathrm{rad}}$ engendré par l'idéal maximal de~$B$,
et~$B'$ le complété séparé de~$B^{\mathrm{rad}}$ pour la topologie $\go
b$-adique.

Alors $B'$~représente le foncteur~$U(Γ)$.
\end{prop}

Le coproduit~$B → B \hotimes_k B$ s'étend en un
morphisme~$B^{\mathrm{rad}} → ( B \hotimes_k B)^{\mathrm{rad}} =
B^{\mathrm{rad}} \hotimes_k B^{\mathrm{rad}}$, et donc en un
morphisme~$B' → B' \hotimes_k B'$, d'où provient l'addition sur~$U(Γ)$.

\begin{proof}
Puisque $Γ$~est connexe, le morphisme de~Frobenius~$φ$ est
topologiquement nilpotent sur~$Γ$, c'est-à-dire qu'il existe~$r$ tel
que~$F^r(Γ)⊂pΓ$. Ceci entraîne que les familles des~$p^nΓ$ et des~$F^nΓ$
sont cofinales, c'est-à-dire qu'un élément~$f$ de~$U(G)(S)$ peut encore
s'écrire comme limite de morphismes~$g_n∈Γ(S)$ tels que~$F∘g_{n+1}=g_n$.
Se donner un élément~$f$ de~$U(G)(S)$ revient donc à se donner des
morphismes continus~$g_n:B → S$ tels que~$g_{n+1}∘φ=g_n$, et donc un
morphisme~$g: B^{\mathrm{rad}} → S$, continu pour la topologie $\go
b$-adique.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:affine-UG}
Soient~$Γ$ un groupe $p$-divisible connexe sur~$k$, $B$ son algèbre
affine, et~$B'$ l'algèbre topologique représentant le foncteur~$U(Γ)$.

Soit~$G$ un groupe formel lisse sur~$W(k)$ relevant~$Γ$, et soit~$A$
l'algèbre affine de~$G$ ; on note~$A' = \limp ( … → A → … → A)$,
l'application de transition étant la multiplication par~$p$. Alors~$A' =
W(B')$.
\end{prop}

\begin{proof}
Par définition, $B$~est la réduction modulo~$p$ de~$A$. Puisque~$[p]_Γ: B
→ B$~est la réduction modulo~$p$ de~$[p]_G: A → A$, l'application de
réduction modulo~$p$ de~$A$ vers~$B$ donne par passage à la limite
projective une application~$π: A' → B'$ ; cette application est la
réduction modulo~$p$. Puisque~$A'$~est séparé et complet pour la
topologie $p$-adique et sans $p$-torsion et puisque~$B'$~est parfait, $A'
= W(B')$.
\end{proof}

% \begin{proof}
% Puisque~$Γ$ est lisse de dimension~$d$, son algèbre affine $B$ est une
% algèbre de séries formelles, et on peut donc
% écrire~$B=k\bcro{y_1,…,y_d}$. D'après la
% proposition~\ref{prop:affine-UGamma}, $B'$~est engendrée topologiquement
% par des éléments~$y_{i,m}$ vérifiant~$y_{i,0}=y_i$
% et~$[p]_Γ(y_{i,m+1})=y_{i,m}$ ; en outre, pour tous~$i,m$,
% $φ^{-1}(y_{i,m})$~est une série formelle en un nombre fini des~$y_{j,n}$.
% 
% Notons~$A$ l'algèbre affine de~$G$. Soit, pour~$i=1,…,d$, $x_i$~un
% relèvement de~$y_i$ dans~$A$~; alors $A$~est l'algèbre de séries
% formelles~$W(k)\bcro{x_1,…,x_d}$.
% Soient~$A'_0$ la limite inductive~$\limi( … → A →^{[p]_G} → A … )$
% et~$A'_0$ le complété $p$-adique de~$A'_0$ ; alors~$A'$~est
% engendrée topologiquement par des éléments~$x_{i,m}$ tels
% que~$x_{i,0}=x_i$ et~$[p]_G(x_{i,m+1})=x_{i,m}$ pour tout~$i=1,…,d$,
% et~$A'$ représente le foncteur~$U(G)$.
% 
% Il existe un endomorphisme~$f$ de~$A'$ relevant~$φ^{-1}$ et tel
% que~$f(x_{i,m})$ soit encore une série formelle en un nombre fini
% des~$x_{j,n}$. Notons~$f^{\chev r}$ sa $r$-ième itérée et, pour
% tous~$i=1,…,d$, $m,r∈ℕ$, posons
% \[ ξ_{i,m,r} = (f^{\chev r} (x_{i,m}))^{p^r} \].
% Par construction de~$f$, nous savons que, pour tout~$a∈A'$, $f(a)^p≡a
% \pmod{pA}$ ; en particulier, si $i,m,r$~sont fixés, il existe~$b∈A'$ tel
% que~$f^{\chev{r+1}}(x_{i,m})^p=f^{\chev{r}}(x_{i,m})+pb$.
% Notons~$δ=ξ_{i,m,r+1}-ξ_{i,m,r}$ ; on peut alors écrire
% \begin{align*}
%   δ&=\pa{(f^{\chev{r+1}}(x_{i,m}))^{p}}^{p^r}-f^{\chev{r}}(x_{i,m})^{p^r}\\
%    &=\pa{f^{\chev{r}}(x_i,m)+pb}^{p^r}-f^{\chev{r}}(x_{i,m})^{p^r}\\
%    &=\sum_{j=1}^{p^r} \binom{p^{r}}{j} p^jb^j
%    \: \pa{f^{\chev{r}}(x_{i,m})}^{p^r-j}\\
% \end{align*}
% La valuation $p$-adique du terme général de cette somme est supérieure au
% minimum des~$r-v_p(j)+j$, et donc en particulier à~$r+1$. La valuation
% de~$δ$ est donc nécessairement supérieure à~$r+1$, et donc, $A'$ étant
% complète, la suite~$(ξ_{i,m,r})_{r∈ℕ}$ converge dans~$A'$. Soit~$ξ_{i,m}$
% sa limite. Alors, par construction, $ξ_{i,m+1}^p=ξ_{i,m}$,
% et~$ξ_{i,0}=ξ_i$.
% 
% Puisque $[p]_G$~est un relèvement de~$[p]_Γ$, il existe un unique
% morphisme~$π:A'→B'$ tel que~$π(x_{i,m}) = y_{i,m}$ ; de plus, le noyau
% de~$π$ est l'idéal~$pA'$. Puisque $B'$~est topologiquement engendré par
% les~$φ^{-n}(y_i)$, l'existence des~$ξ_{i,m}$ montre que~$π:A'→B'$ est
% surjectif. Comme en outre $A'$~est complet~$p$-adiquement, c'est donc un
% anneau de~Cohen pour~$B$. Par conséquent, on a bien un isomorphisme
% canonique~$A'=W(B)$.
% \end{proof}

En particulier, $A'$~ne dépend pas du choix du relèvement~$G$ de~$Γ$ ;
ceci signifie que pour toute $k$-algèbre topologique~$S$, l'ensemble
sous-jacent au $\Qp$-espace vectoriel~$U(G)(S)$ ne dépend pas de~$G$.
De plus, le coproduit~$B' → B' \hotimes_k B'$ donne par fonctorialité un
morphisme~$A' → A' \hotimes_k A'$, et donc l'addition sur~$U(G)(S)$ ne
dépend pas non plus de~$S$ ; on en déduit que les homothéties de
rapport~$λ ∈ \Qp$ sur~$U(G)(S)$ ne dépendent pas non plus de~$S$.

Par conséquent, le $\Qp$-espace vectoriel~$U(G)(S)$ ne dépend que de~$Γ$,
et même seulement de sa classe d'isogénie.

Le choix d'une base de l'espace cotangent de~$Γ$ identifie~$B$ à une
algèbre de séries formelles~$k\bcro{X_1,…,X_d}$, et donc~$A$ à
l'algèbre~$W(k)\bcro{X_1,…,X_d}$ ; par conséquent, ce choix
identifie~$G(\O_C)$ à~$\O_C^d$. De plus, puisque les changements de
coordonnées sont des applications linéaires, la topologie ainsi définie
sur~$G(\O_C)$ ne dépend pas du choix des coordonnées sur~$Γ$.

Un \emph{réseau} de~$G(\O_C)$ est un sous-groupe fermé~$Λ$ tel que la
famille des~$[p]_G^n Λ$ forme une base de voisinages de zéro
dans~$G(\O_C)$.

Pour tout tel réseau~$Λ$, on note~$\norme{⋅}_Λ$ la semi-norme
sur~$A[1/p]$ qui à~$f = (f_n)_{n ∈ ℕ}$ associe~$\norme{f}_Λ = \sup
\acco{\abs{f_0(x)}, x ∈ Λ}$. D'après ce qui précède, la
complétion~$\widehat{A}$ de~$A$ pour la famille des~$\norme{⋅}_{Λ}$
ne dépend pas du choix des coordonnées. C'est une algèbre pro-spectrale
dont le spectre s'identifie à~$G(\O_C)$. De plus,
l'addition~$G(\O_C) × G(\O_C) → G(\O_C)$ est un morphisme analytique.
Le choix d'un système de coordonnées sur~$G(\O_C)$ identifie~$A_Λ$ à une
algèbre affinoïde.

Puisque~$U(G)(\O_C) = \limp_{n ∈ ℕ} G(\O_C)$, l'application de transition
étant la multiplication par~$p$ (et donc un morphisme de groupes
spectraux), $U(G)(\O_C)$~est naturellement muni d'une structure de groupe
spectral ; de plus, la multiplication par~$p^{-1}$ est analytique et
donc~$U(G)(\O_C)$~est un espace de~Banach spectral effectif. En outre,
puisque tout réseau~$Λ$ de~$G(\O_C)$~est rigide, $U(G)(\O_C)$~est espace
de~Banach spectral effectif prorigide.

Cette construction permet donc de munir~$U(G)(\O_C)$ d'une structure
d'espace de~Banach spectral effectif ; elle ne dépend que de $Γ$ et
définit un foncteur de la catégorie des groupes $p$-divisibles sur~$k$
vers celle des espaces de~Banach spectraux effectifs prorigides
sur~$W(k)[1/p]$.

\bigskip

\begin{prop}\label{prop:Hom-WB-OC=Hom-B-R}
Sous les hypothèses et notations de la proposition~\ref{prop:affine-UG},
les groupes $U(G)(\O_C)$ et~$U(Γ)(R)$ sont canoniquement
isomorphes.
\end{prop}

\begin{proof}
Rappelons que~$R = \limp_{n ∈ ℕ} (\O_C)$,
les applications de transition étant l'élévation à la puissance~$p$-ième.
Par conséquent, un morphisme~$f:B'→R$ correspond à des
applications~$f_n:B'→\O_C$ telles que, pour tout~$x∈B'$,
$f_{n+1}(x)^p=f_n(x)$. Soit~$x=(x_0,…,x_n,…)$ un élément
de~$W(B')$ ; alors la série de terme général~$p^nf_n(x_n)$ est convergente
dans~$\O_C$. Notons~$g(x)$ sa somme. Il est en particulier clair
que~$g(1)=1$.

Soient~$x=(x_n)_{n≥0}$, $y=(y_n)_{n≥0}$ des éléments de~$W(B')$ ;
notons~$z=(z_n)_{n≥0}$ leur somme. Pour tout entier~$m$ :
\[ \begin{split}
g(x+y)&≡f_0(z_0)+pf_1(z_1)+…+p^{m}f_m(z_m) \qquad\pmod{p^{m+1}}\\
      &≡f_m(z_0)^{p^m}+pf_m(z_1)^{p^{m-1}}+…+p^mf_m(z_m)\qquad\pmod{p^{m+1}}\\
      &≡f_m(z_0^{p^m}+pz_1^{p^{m-1}}+…+p^mz_m)\qquad\pmod{p^{m+1}}.\\
\end{split} \]
Par construction de~$(z_n)_{n≥0}$, on en déduit donc que, pour tout~$m$,
$g(x+y)≡g(x)+g(y)\pmod{p^{m+1}}$, donc que~$g$ est un morphisme de
groupes. Par un raisonnement analogue, $g(xy)=g(x)g(y)$, et donc $g$ est
un morphisme d'anneaux, donc~$g∈\Hom(W(B'), \O_C)$. Notons~$g=F(f)$.

Réciproquement, si~$g∈\Hom(W(B'), \O_C)$, alors il existe des 
fonctions~$f_n:B'→\O_C$, uniques modulo~$p$, telles
que~$g(x)≡f_0(x_0)+pf_1(x_1)+…+p^mf_m(x_m) \pmod{p^{m+1}}$ pour tout
entier~$m$. Par construction, on a alors, pour
tout~$x∈B'$,~$g(p^m[x]^{p^{-m}})≡p^mf_m(x)\pmod{p^{m+1}}$, soit
$g([x]^{p^{-m}})≡f_m(x)\pmod{p}$, d'où~$f_m(x)^{p^m}≡f_0(x)\pmod{p}$. La
suite des~$(f_n(x))$ définit donc un élément de~$R$. Par le raisonnement
ci-dessus, $f=(f_n)$ est un morphisme d'anneaux ; et l'application qui
à~$g$ associe~$f$ est l'inverse de~$F$, qui est donc bijective.
\end{proof}

Puisque de plus $R$~est un anneau parfait de caractéristique $p$,
$Γ(R)$~est $p$-divisible et sans torsion, et donc~$Γ(R) = \Hom (\Qp,
Γ(R)) = U(Γ)(R) = U(G)(\O_C)$.

De plus, le choix de coordonnées sur~$Γ$ identifie~$Γ(R)$ à~$\go m_R^d$,
qui est muni d'une structure analytique par la
proposition~\ref{prop:an-R}. La construction de la
proposition~\ref{prop:Hom-WB-OC=Hom-B-R} montre que la
bijection~$U(G)(\O_C) → Γ(R)$ ainsi que son inverse sont des
isomorphismes analytiques.

\bigskip

Soit~$M$ un isocristal de~Dieudonné. Pour toute $k$-algèbre finie~$A$, on
pose $\Gdieud(M)\,(A) = \Hom_{W(k),φ} (M, CW(A))$. Alors $\Gdieud(M)$~est
un groupe $p$-divisible sur~$k$. Le foncteur~$\Gdieud$ est une
antiéquivalence entre la catégorie des isocristaux de~Dieudonné et celle
des groupes $p$-divisibles sur~$k$.

\begin{prop}\label{prop:spectral-Dieud}
Soit~$Γ$ un groupe $p$-divisible sur~$k$ et notons~$M$ l'isocristal
de~Dieudonné associé. Alors les groupes spectraux~$E(M)$ et~$Γ(R)$ sont
canoniquement isomorphes.
\end{prop}

\begin{proof}
Par définition de~$\Gdieud$, on sait que~$Γ(R) = \Hom_{W(k),φ}(M,
CW(R))$, et donc~$U(Γ)(R) = \Hom_{W(k), φ} (M, BW(R))$. D'après la
proposition~\ref{prop:Dieud-BW}, ceci entraîne qu'il existe un
isomorphisme naturel de groupes~$F: E(M) → Γ(R)$. Il reste à démontrer
que~$F$~est analytique.

Soit~$(e_1,…,e_h)$ une base de~$M$ telle que~$(e_1,…,e_d)$ soit une base
de~$M/φ(M)$ ; à un élément~$(x_1,…,x_d)$ de~$E(M) ⊂ BW(R)^h$ où~$x_i =
(x_{i,n})_{n ∈ ℤ}$ avec~$x_{i,n} ∈ R$, l'application~$F$ associe
alors~$(x_{1,0},…,x_{d,0}) ∈ \go m_R^d$. Par conséquent, puisque chaque
composante~$BW(R) → R$~est analytique, l'application~$F$ est analytique.

Enfin, puisque~$Γ(R)$~est un espace de~Banach spectral prorigide, la
proposition~\ref{prop:inversion-groupes-rigides} entraîne que la
bijection inverse de~$F$ est elle aussi analytique.
\end{proof}

%<<<2
\subsection{Structure analytique explicite des espaces
de~Banach-Colmez élémentaires}
% \subsection{Espaces de~Banach-Colmez effectifs élémentaires}

Dans toute cette partie, on fixe deux entiers~$d, h$ tels que~$0 < d ≤
h$.

\begin{df}\label{df:reseau droit}\label{df:reseau regulier}
Un réseau~$Λ$ de~$C^d$ est dit~\emph{droit} s'il existe des
rationnels~$(v_1, …, v_d)$ tels que~
\[ Λ = \acco {(x_1, …, x_d) ∈ C^d, \: \text{pour tout~$i=1,…,d$, $v(x_i)
 ≥ v_i$}} \].
Le $d$-uplet~$(v_1, …, v_d)$ est appelé le \emph{type} de~$Λ$.

Un réseau~$Λ$ de~$\O_C^d$ est dit~\emph{régulier} s'il vérifie les
conditions suivantes :
\begin{axiomes}
\item[(RR1)] c'est un réseau droit, de type~$(v_1, …, v_d)$, où les~$v_i$ sont
des rationnels positifs ;
\item[(RR2)] en notant~$π=\frac d{p^h-1}$, il existe $m ∈ ℕ$ tel que, pour
tout~$i$, $p^{mh} v_i ∈[π,p^{h}π[$ ;
\item[(RR3)] pour tout~$i=1,…,d-1$, $p^{-1}v_i≤v_{i+1}≤p^{-α}v_i$ avec~$α
= 1-\frac{h}{d}$.
\end{axiomes}
L'entier~$m$ est appelé la \emph{hauteur} du réseau régulier~$Λ$.
\end{df}

Remarquons que, puisque~$d<h$ sauf si~$d=h=1$, il existe toujours des
réseaux réguliers de~$\O_C^d$.

Pour tout réseau régulier~$Λ$, la condition~(RR3) implique en outre :
\begin{axiomes}
\item[(RR4)] pour tout~$i=1,…,d$ et tout~$j=1,…,d-i$, $v_i≤p^j v_{i+j}≤p^h v_i$.
\end{axiomes}

Le seul résultat pour lequel la condition plus forte~(RR3) est nécessaire
est le suivant :

\begin{lem}\label{lem:intersection reseaux reguliers}
Soient~$Λ'$ et~$Λ''$ deux réseaux réguliers de~$\O_C^d$, de même
hauteur~$m$. Il existe alors un réseau régulier~$Λ$ de hauteur~$m$,
inclus dans~$Λ'∩Λ''$.
\end{lem}

\begin{proof}
Posons
\[ x'_i = \log \pa{p^{mh}\frac{v'_i}{π} p^{i\frac{α+1}{2}}} \],
et définissons de même~$x''_i$. Alors, $Λ$~étant régulier, la
condition~(RR3) implique que la suite des~$x'_i$ et celle des~$x''_i$
sont~$(\frac {α-1}{2}\log p)$-lipschitziennes ; donc la
suite~$x_i=\max(x'_i,x''_i)$ l'est aussi. Il suffit alors de définir,
comme ci-dessus,
\[ v_i = p^{-mh} p^{-i\frac{α+1}{2}} π \exp (x_i) \];
les~$(v_i)$~vérifient alors la condition~(RR3), donc le réseau~$Λ$ de
type~$(v_1,…,v_d)$ est régulier.
\end{proof}

\medskip

Soit à présent $Γ$ le groupe $p$-divisible sur~$k$ de module de~Dieudonné
$W(k)[φ]/(φ^h-p^d)$ ; c'est un groupe $p$-divisible irréductible, lisse,
de dimension~$d$ et de hauteur~$h$. Si~$k$ est algébriquement clos, alors
tout groupe $p$-divisible s'écrit de façon unique, à isogénie près, comme
somme directe de tels groupes~$Γ$.

Le groupe~$Γ(R)$ s'identifie alors à~$\acco{x=(x_n)_{n≥0}∈CW(R),
φ^{h-d}(x) = V^d(x)}$, et est donc homéomorphe de cette façon à~$\go
m_R^d$ ; de même, $G(\O_C)$ est homéomorphe à~$\go m_C^d$.

Soit~$Λ$ un réseau régulier de~$\O_C^d$, de type~$(v_1,…,v_d)$.
D'après~(RR2), les~$v_i$ sont tous strictement positifs ; par conséquent,
$Λ$~est inclus dans~$\go m_C^d$, que l'on identifie à~$G(\O_C)$.
% De même,
% $Λ_R$~est inclus dans~$\go m_R^d$, que l'on identifie à~$Γ(R)$.

\begin{lem}\label{lem:reseau = groupe}
Il existe un entier~$m_0≥0$ tel que, si~$Λ$~est un réseau régulier
de~$\O_C^d$ de hauteur~$m≥m_0$, alors $Λ$~est un sous-groupe fermé
de~$G(\O_C)$ pour la loi induite par la loi de groupe formel de~$G$.
\end{lem}

\begin{proof}
Définissons les séries entières~$ℓ∈ℚ\bcro{X}$
et~$L_0∈ℚ\bcro{X_0,…,X_{d-1}}$ par
\[ ℓ(X) = ∑_{n≥0} p^{-nd}X^{p^{nh}} \] et \[
  L_0(X_0,…,X_{d-1}) = ℓ(X_0)+p^{-1}ℓ(X_1^p) + … 
  + p^{-(d-1)}ℓ(X_{d-1}^{p^{d-1}}) \].
% Définissons les séries entières~$L∈ℤ\bcro{t}$
% et~$F∈ℤ\bcro{X_0,…,X_{d-1}}$ par
% \[ L(X) = Σ_{n≥0} \frac 1{p^{nd}}\: X^{p^{nh}} \qquad \text{et}\qquad
%   F(X_1,…,X_d) = L(X_0) + \frac 1p L(X_1^p) + … + \frac 1{p^{d-1}}
%   L(x_{d-1}^{p^{d-1}})
% \].
De même, pour tout anneau~$A$ et pour tout~$x=(x_0,…,x_{d-1})∈A^d$,
notons~$x_{i+nd}=x_i^{p^{n(h-d)}}$ et~$V(x)=(x_1,…,x_d) = (x_1,…,x_{d-1},
x_0^{p^{h-d}})$ ; notons enfin~$L_i=L_0∘V^i$.

Soit~$Λ$ un réseau régulier de hauteur~$m$, et de type~$(v_0,…,v_{d-1})$.

Le groupe~$Γ$ est donné par son algèbre affine~$k\bcro{X_0,…,X_{d-1}}$,
muni d'une loi de groupe
formelle~$F∈k\bcro{X_0,…,X_{d-1},\,Y_0,…,Y_{d-1}}^d$ qui est déterminée
par les conditions $F_i≡X_i+Y_i \pmod{\deg 2}$ et $L_i(F) = L_i(X)) +
L_i(Y)$. Alors l'algèbre affine de~$G$ s'identifie
à~$\O_C\bcro{X_0,…,X_{d-1}}$ ; elle est munie d'une
comultiplication~$\widehat{F}∈\O_C\bcro{X_0,…,X_{d-1},\,Y_0,…,Y_{d-1}}^d$
dont la réduction modulo~$p$ est~$F$. Supposons que~$m$ est assez grand
pour que~$p^{h-m}d≤p^h-1$ ; alors pour tout~$i=0,…,d-1$, on a~$v_i≤1$
d'après~(RR2), et le relèvement de~$F$ choisi est donc indifférent.
% On peut donc en particulier supposer que~$\widehat{F}=F$.

Pour $i=0,…,d-1$, notons~$u_i=p^{mh}v_i-md$. Posons encore
~$S_Λ=p^{u_0}\O_C ⊕ … ⊕ p^{u_{d-1}}\O_C$ et~$L=(L_0, L_1, …, L_{d-1}) ∈
ℤ\bcro{X_0,…,X_{d-1}}^d$, et montrons que~$L(Λ)⊂S_Λ$.

Fixons un entier~$i$ tel que~$0≤i<d$, et soit~$x=(x_0,…,x_{d-1})∈Λ$.
\[\begin{split}
L_i(x))&= ℓ(x_i) + …+\frac 1{p^{d-i-1}}ℓ(x_{d-1}^{p^{d-1-i}}) + \frac
  1{p^{d-i}}ℓ(x_0^{p^{h-i}})+…+ \frac 1{p^{d-1}} ℓ(x_{i-1}^{p^{h-1}})\\
  &= \sum_{j<i} \frac 1{p^{d+j-i}}ℓ(x_j^{p^{h+j-i}}) + ℓ(x_i) +
  \sum_{j>i} \frac 1{p^{j-i}} ℓ(x_j^{p^{j-i}}).
\end{split}\]
Pour tout~$r=0,…,h-1$, par la théorie du polygone de~Newton, la série
entière~$ℓ(x_j^{p^r})$ induit une surjection de~$p^{v_i}\O_C$
sur~$p^{ν_{j,r}}\O_C$, où~$ν_{j,r}=\min\acco{p^{r+nh}v_j-nd, n≥0}$. Ce
minimum est atteint pour le plus petit entier~$n$ tel
que~$p^{r+nh}v_i≥π$. Or, d'après la condition~(RR2), on peut
écrire~$p^{mh}v_i=πw_i$, où~$w_i∈[1,p^h[$ ; le minimum $ν_{j,r}$~est donc
atteint pour le plus petit entier~$n$ tel que~$p^{r+(n-m)h}w_j≥1$. Il
s'ensuit que~$n=m$ si~$r=0$, et~$n=m$ ou~$m-1$ dans tous les cas,
c'est-à-dire que
\[ \left\{\begin{array}{rcl}
  ν_{j,0} &=& πw_j-md = u_j; \\ ν_{j,r} &=& \min
  \pa{πp^rw_j,πp^{r-h}w_j+d} - md \quad\text{si $j≥1$.}
\end{array}\right. \]
% ~$ν_{j,0} = πw_j-md$ et~$ν_{j,r} = \min \pa{πp^rw_j,πp^{r-h}w_j+d} -
% md$.
Par conséquent, la condition~(RR4) entraîne que
\[ ν_{i,0} ≤ \begin{cases}
  ν_{j,j-i}-(j-i) \quad\text{si $j>i$,}\\ ν_{j,h+j-i}-(d+j-i)
  \quad\text{si $j<i$.}
\end{cases}\]
Par conséquent, on a bien~$L_i(x)∈S$, et donc~$L(Λ)⊂S_Λ$.

Soit~$Λ'$ le réseau régulier de hauteur~$m-1$ et de
type~$(p^hv_0,…,p^hv_{d-1})$ ; alors $S_{Λ'} = p^d S_Λ$, et
puisque~$Λ'⊂Λ$, l'application~$G$ induit par passage au quotient une
application~$Λ/Λ'→S_Λ/p^dS_Λ$. Soit~$x$ un élément de~$Λ$ dont l'image
dans~$S_Λ/p^dS_Λ$ est nulle ; alors il existe~$y_i∈p^{d+u_i\O_C}$ tel
que~$ℓ(x_i)=y_i$. Par la théorie du polygone de~Newton de~$ℓ$, ceci
implique que~$x_i∈p^{p^hv_i}\O_C$, et on a donc bien~$x∈Λ'$.

Montrons à présent que~$L^-1(S_Λ)⊂Λ$. Soit~$x∈G(\O_C)$ tel
que~$y=L(x)∈S_Λ$. Notons~$(Λ_n)$ le réseau régulier de hauteur~$m+n$ et
de type~$(p^{-nh}v_0,…,p^{-nh}v_{d-1})$ ; alors $G(\O_C)$~étant la
réunion des~$Λ_n$, il existe un plus petit entier~$n$ tel que~$x∈Λ_n$.
Supposons que~$n≥1$. Le réseau~$(Λ_n)'$ construit ci-dessus n'est autre
que~$Λ_{n-1}$ ; et, puisque l'image de~$x$ dans~$S_{Λ_n}/S_{Λ_{n-1}}$ est
nulle, on voit d'après ce qui précède que~$x∈Λ_{n-1}$, ce qui est
absurde. Par conséquent, on a bien~$n=0$, et donc~$x∈Λ$, c'est-à-dire
que~$L^{-1}(S_Λ)⊂Λ$.

Enfin, soient~$x,y∈Λ$. Alors leur somme~$z$ dans le groupe~$G(\O_C)$
vérifie~$L(z)=L(x)+L(y)$ dans~$\O_C^d$ ; or, on a~$L(x)∈S_Λ$, de
même~$L(y)∈S_Λ$, et donc~$L(z)∈S_Λ$, ce qui implique que~$z∈Λ$.
\end{proof}

\begin{lem}\label{lem:reseau image inverse}
Soit~$Λ$ un réseau régulier de hauteur~$m≥0$ de~$G(\O_C)$. Alors sa
préimage par multiplication par~$p^d$ dans le groupe formel est un réseau
régulier~$Λ'$ de hauteur~$m+1$.
\end{lem}

\begin{proof}
Soit~$(v_1,…,v_d)$ le type de~$Λ$, et soit~$Λ'$ le réseau de
type~$(v'_1,…,v'_d)=(p^{-h}v_1,…,p^{-h}v_d)$ ; on voit que~$Λ'$ est
encore un réseau régulier, de hauteur~$m+1$. Montrons que~$Λ'$ est la
préimage de~$Λ$ par la multiplication par~$p^d$.

Par construction de~$Γ$, la multiplication par~$p^d$ s'écrit
$(x_1,…,x_d)↦(x_1^{p^h},…,x_d^{p^h}) \pmod{p}$. Puisque les~$v'_i$
vérifient~$p^hv'_i≤v'_j+1$ pour tous~$i,j$, on a bien~$p^dΛ'⊂Λ$. 

Réciproquement, soit~$x∈Λ$, et cherchons les~$y∈G(\O_C)$ tels
que~$p^d⋅y=x$.
La multiplication par~$p^d$ est un morphisme de variétés analytiques
affines de~$G(\O_C)$ vers~$G(\O_C)$ ; si $y$~est un point de~$G(\O_C)$,
c'est-à-dire un morphisme~$\Spm C→G$, alors les préimages de~$y$
correspondent aux points du produit fibré de~$G(\O_C)$ et~$\Spm C$
au-dessus de~$G(\O_C)$ pour les applications~$y$ et~$p^d$. Notons~$B$
l'algèbre affine de produit fibré. Alors l'algèbre résiduelle de~$B$ est
finie sur~$\overline k$ ; donc~$B$ est finie sur~$C$. Par conséquent, il
existe un nombre fini de solutions~$x∈G(\O_C)$ de l'équation~$p^d⋅x=y$.

Soit~$x$ une telle solution, alors les~$v(y_i)$ sont égaux
à~$v(x_i^{p^h}+p(…))$ ; si~$v(x_i)<v'_i=p^{-h}v_i$, c'est impossible
car~$v(x_i^{p^h})<v(px_j)$. Par conséquent, $x$~est un élément de~$Λ'$.
\end{proof}

Pour tout réseau régulier~$Λ$~de~$\O_C^d$, de type~$(v_1,…,v_d)$, on
note~$Λ_R$ le réseau de~$R^d$ défini par
\[ Λ_R = \acco{(x_1,…,x_d)∈R^d,\: v_R(x_i) ≥ v_i } \].
Un tel réseau est appelé~\emph{réseau régulier} de~$R^d$.

Soit $Λ$~un réseau régulier de hauteur~$m_0$ assez élevée, alors on peut
construire une famille~$(Λ_n)_{n∈ℕ}$ de réseaux réguliers, telle
que~$Λ_0=Λ$ et en notant~$Λ_{n+1}$ la préimage de~$Λ_n$ par la
multiplication par~$p^d$. D'après les lemmes~\ref{lem:reseau = groupe}
et~\ref{lem:reseau image inverse}, pour tout~$n$, $Λ_n$~est un réseau
régulier de hauteur~$m_0+n$, et un sous-groupe de~$\ro G(\O_C)$. De plus,
la limite inductive du diagramme~$Λ_0 ⊂ Λ_1 ⊂… ⊂ Λ_n ⊂ …$~est $\ro
G(\O_C)$, et la limite projective du
diagramme~$…→^{×p^d}Λ_{n+1}→^{×p^d}Λ_n→^{×p^d} …
→^{×p^d}Λ_1→^{×p^d}Λ_0$~s'identifie à~$Λ_R$. Puisque $Λ_n$~est un
sous-groupe de~$\ro G(\O_C)$ pour tout~$n$, $Λ_R$~est un sous-groupe
de~$U(G)(\O_C)$, donc de~$Γ(R)$.

\begin{prop}\label{prop:structure Ealpha}
Soit~$Γ$ le groupe $p$-divisible irréductible sur~$k$, de hauteur~$h$ et
de dimension~$d$, et de module de~Dieudonné $W(k)[φ]/(φ^h-p^d)$ ;
notons~$B$ l'algèbre affine de~$Γ$.
\begin{enumerate}
\item Soit~$Λ$ un réseau spectral de $\O_C^d$. Alors la complétion
de~$W(B)$ pour la norme $Λ_R$-spectrale est une $W(k)$-algèbre spectrale,
et son spectre est un groupe spectral borné et prorigide, dont le groupe
topologique sous-jacent s'identifie à~$Λ_R$, muni de la loi de groupe venant
de~$Γ(R)$ ; la donnée de cette structure spectrale sur~$Λ_R$ fait
de~$Γ(R)$ un espace de~Banach spectral effectif prorigide.
\item Pour tout autre réseau régulier~$Λ'$ de~$\O_C^d$, les
structures analytiques données par~$Λ_R$ et par~$Λ'_R$ sur~$Γ(R)$ sont
équivalentes.
\item La structure analytique ainsi définie sur~$Γ(R)$~est équivalente à
celle définie par le choix d'un système de coordonnées sur~$Γ(R)$.
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{proof}
(i) Soit~$G$ un groupe formel affine lisse sur~$W(k)$ relevant~$Γ$. Alors
d'après la proposition~\ref{prop:Hom-WB-OC=Hom-B-R}, nous savons
que~$Γ(R)$ s'identifie à~$U(G)(\O_C)$, c'est-à-dire à la limite
projective de~$G(\O_C)$ pour la multiplication par~$p$. Notons~$Λ_m$ les
réseaux réguliers de~$G(\O_C)$ tels que~$Λ_0=Λ$ et~$Λ_{m+1}$ soit
(d'après le lemme~\ref{lem:reseau image inverse}) l'image inverse
de~$Λ_m$ pour la multiplication par~$p^d$ dans~$G(\O_C)$ ; alors~$Λ_R$
correspond, sous l'isomorphisme entre~$Γ(R)$ et la limite projective
de~$G(\O_C)$, à la limite projective des~$Λ_m$.

Soit~$A$ l'algèbre affine de~$G$, et notons~$\widehat{A}_m$ la complétion
pour la norme spectrale sur~$Λ_m$ de~$A\cro{1/p}$. Alors, puisque $A$~est
isomorphe à~$W(k)\bcro{X_1,…,X_m}$, $\widehat{A}_m$ est une algèbre
affinoïde en~$d$ variables ; de plus, son spectre~$Λ_m$~est un groupe
spectral rigide d'après le lemme~\ref{lem:reseau = groupe}, et la
multiplication par~$p:Λ_{m+1}→Λ_m$ est un morphisme surjectif de groupes
spectraux. Par conséquent, la complétion de la réunion
des~$\widehat{A}_m$ est une algèbre spectrale~$A'$, dont le spectre est
un groupe spectral prorigide qui a pour groupe topologique
sous-jacent~$Λ_R$.

Enfin, la multiplication par~$\frac 1p$ fait correspondre~$Λ_m$
et~$Λ_{m-1}$, et est donc bien un endomorphisme analytique de~$Γ(R)$ ;
par conséquent, $Γ(R)$~est un espace de~Banach spectral effectif
prorigide.
Remarquons en particulier que la structure analytique ainsi construite
sur~$Γ(R)$ ne dépend pas du choix du groupe~$G$.

(ii)
%
Soient~$Λ$, $Λ'$ deux réseaux réguliers de~$Γ(R)$. Quitte à remplacer l'un
des deux par l'une de ses préimages par~$p^{nd}$, on peut supposer que
les deux réseaux sont de même hauteur ; d'après le
lemme~\ref{lem:intersection reseaux reguliers}, on peut alors supposer
que~$Λ⊂Λ'$ ; alors l'identité de~$A$ fournit un morphisme continu
de~$\widehat{A}_Λ$ vers~$\widehat{A}_{Λ'}$, et donc l'identité
de~$Γ(R)$~est un morphisme analytique entre les deux structures données
par~$Λ'$ et~$Λ$. D'après le corollaire~\ref{cor:id isomorphisme}, ces
deux structures sont donc équivalentes.

(iii)
La forme du module de~Dieudonné de~$Γ$ munit l'espace tangent à~$Γ$ d'une
base canonique, qui permet d'identifier~$Γ(R)$ à~$\go m_R^d$ en tant que
variété spectrale. Sous cette identification, $\go m_R^d$~est la limite
projective des réseaux~$Λ_m$, et donc son algèbre affine est la réunion
complétée des algèbres affines de ces réseaux.
\end{proof}

Soit~$(a_0,…,a_{d-1})$ une base du $R$-module libre~$Λ_R$. Alors
$Λ_R$~est isomorphe comme variété spectrale au
produit~$(a_0R)×…×(a_{d-1}R)$ ; par conséquent, son algèbre affine est de
la forme~$K\tate{X_0/a_0,…,X_{d-1}/a_{d-1}}_R$.

% D'après le corollaire~\ref{cor:Gamma(R) = Hom(M, B+cris)}, on en déduit
% que ceci munit d'une structure d'espace de~Banach spectral effectif
% prorigide l'espace
% \[ E_{d/h} \;=\; \acco { x ∈ B^+\cris, φ^h(x) = p^d⋅x } \].

Puisque le module de~Dieudonné de~$Γ$ est~$W(k)[φ]/(φ^h-p^d)$, nous
savons d'après la proposition~\ref{prop:spectral-Dieud}
que~$Γ(R)$~s'identifie au $\Qp$-espace vectoriel~$\acco{b∈B^+\cris,
φ^h(b)=p^d⋅b}$, c'est-à-dire à~$E_{d,h}$.

% Soit~$n$ un entier supérieur ou égal à un. Nous savons d'après la
% proposition~\ref{prop:End nh} que~$E_{nd,nh}=E_{d/h} ⊗_{\Q_{p^h}}
% \Q_{p^{nh}}$, et est donc isomorphe à la somme directe de~$n$ copies
% de~$E_{d/h}$ ; par conséquent, il est lui aussi naturellement muni d'une
% structure d'espace de~Banach-Colmez effectif. Cette structure est
% indépendante de la $\Q_{p^h}$-base de~$\Q_{p^{nh}}$ considérée. On pourra
% donc considérer en général tout espace~$E_{d,h}$ comme un espace
% de~Banach-Colmez effectif, sans nécessairement supposer~$d$ et~$h$
% premiers entre eux.
% 
% \begin{lem}\label{lem:composantes surj}
% L'application
% \[ Σ:\application{\go m_R^d}{Γ(R)}
%   {(x_0,…,x_{d-1})}{(x_{d-1},0,…,0)+(0,x_{d-2},0,…,0)+…+(0,…,0,x_0)}
% \]
% est surjective.
% \end{lem}
% 
% \begin{proof}
% Soit~$y=(y_1,…,y_d)∈Γ(R)$. Reprenons les séries entières~$L$ et~$F$
% définies dans la preuve du lemme~\ref{lem:reseau = groupe}. Alors un
% antécédent de~$y$ par~$Σ$ est un élément~$x=(x_0,…,x_{d-1})$ de~$\go
% m_R^d$ tel que, pour tout~$i=0,…,d-1$,
% \[ L(x_i) = F(y_i,…,y_{d-1},y_0^{p^{h-d}},…,y_{i-1}^{p^{h-d}}) \].
% Notons~$z_i$ le membre de droite de cette équation.
% Soit~$Λ_R$ un réseau régulier de~$\go m_R^d$, de hauteur~$m$,
% contenant~$y$ ; alors~$z_i∈Λ_R$, et $x_i$~doit être une racine de la
% série entière~$G(t)=L(t)-z_i$. Puisque $Λ_R$~est de hauteur~$m$, le
% premier segment du polygone de~Newton de~$G$ relie les
% points~$0,v_R(z_i)$ et~$(p^{mh},-md)$ ; par conséquent,
% l'équation~$G(x_i)=0$ possède~$p^{mh}$ solutions de
% valuation~$p^{-mh}(md+v_R(z_i))$.
% \end{proof}
% 
% \begin{lem}\label{lem:generateurs Gamma}
% Le groupe~$Γ(R)$~est topologiquement engendré par ses éléments de la
% forme~$(0,…,0,x_0)$.
% \end{lem}
% 
% \begin{proof}
% Soit~$H$ le sous-groupe de~$Γ(R)$~engendré par les éléments de la
% forme~$(0,…,0,x_0)$. En multipliant un tel élément par une puissance
% de~$p$, et puisque~$R$~est parfait, on voit que~$H$~contient tous les
% éléments de la forme~$(0,…,0,x,0,…,0)$. Enfin, puisque $H$~est clos par
% addition, le lemme~\ref{lem:composantes surj} entraîne que~$H=Γ(R)$.
% \end{proof}

Soit~$M$ le module de~Dieudonné du groupe $p$-divisible~$Γ$. Alors un
élément~$f$ de~$M$ est un morphisme de schémas en groupe de~$Γ$
vers~$CW_k$ et donne donc un morphisme de groupes~$f(R): Γ(R) → CW(R)$.
On obtient ainsi un morphisme de groupes~$M → \Hom(Γ(R), CW(R))$, qui
s'étend en un morphisme~$M ⊗_{W(k)} K → \Hom (Γ(R), BW(R))$. Par
composition avec~$θ: BW(R) → C$, on dispose donc d'un morphisme
canonique~$M ⊗ K → \Hom(Γ(R), C)$.

\begin{prop}\label{prop:Hom E(gamma) C}
Soit~$M$ le module de~Dieudonné de~$Γ$. Alors le morphisme canonique
\[ M⊗K→\Hom(Γ(R), C) \]
est une bijection.
\end{prop}
En particulier, le groupe des homomorphismes d'espaces
de~Banach spectraux sur~$K$ entre~$Γ(R)$ et~$C$ est un $K$-espace
vectoriel de dimension~$h$.

\begin{proof}
Notons~$i$ le morphisme canonique~$M⊗K→\Hom(Γ(R),C)$. Il est clair que
$i$~est injectif.

Soit~$A_R=K\tate{X_1/a_1,…,X_{d}/a_{d}}_R$ l'algèbre affine de~$Γ(R)$ ;
d'après la proposition~\ref{prop:structure Ealpha}, $A_R$~est la
complétion de la réunion des algèbres affines~$A_m$ des groupes
spectraux~$Λ_m$, et puisque~$Λ_m$~est isomorphe comme variété spectrale à
un produit de~$d$ copies de la boule unité, $A_m$~est une algèbre
spectrale de la forme~$K \tate{X_1/a_{n,1},…,X_{d}/a_{n,d}}$. Notons
encore~$\O_{A_m}$ la boule unité de~$A_m$.

Puisque~$Λ_m$~est un sous-groupe de~$G(\O_C)$, $A_m$~est munie d'une
coaddition~$A_m→A_m\hotimes_KA_m$, c'est-à-dire d'un élément~$F_m$
de~$(A_m\hotimes A_m)^d$ ; compte tenu de la forme de~$A_m$, on peut
écrire~$F_m$ comme un vecteur de $d$~séries~$(F_{m,i})_{i=1,…,d}$ à
coefficients en~$X_1,…,X_d,Y_1,…,Y_d$. Puisque $Λ_m$~est un quotient
de~$Λ_R$, $F_m$~est compatible avec la comultiplication sur~$A_R$,
c'est-à-dire que le diagramme
\[ \xymatrix{A_m \ar[d]^{F_m} \ar@{^{(}->}[r]
& A_R \ar[d]^{F}\\
  A_m\hotimes A_m\ar@{^{(}->}[r]
& A_R\hotimes A_R } \]
est commutatif.
Soit~$L$~l'élément de~$A$ défini dans la preuve du lemme~\ref{lem:reseau
= groupe} ; alors, pour tout~$m$, il existe~$L_m∈A_m$ tel
que~$L_m≡L\pmod{p^{md}}$. Puisque $L(F(X,Y))=L(X)+L(Y)$, on en déduit donc
que~$L_m(F_m(X,Y))≡L_m(X)+L_m(Y)\pmod{p^{md}}$.

Un morphisme analytique entre $Γ(R)$ et~$C$ correspond à un élément~$f$
de la boule unité de~$A$ tel que~$F(f)=f⊗1+1⊗f$ dans~$A\hotimes_KA$.
Quitte à multiplier~$f$ par un élément de~$K$, on peut supposer
que~$f∈\O_A$.

Soit~$n$ un entier naturel. Puisque $A$~est la limite inductive complétée
des~$A_m$, il existe un entier~$m$ et un élément~$f_m$ de~$\O_{A_m}$ tels
que~$f_m≡f\pmod{p^n}$ ; par conséquent,
$f_m(F_m(X,Y))≡f_m(X)+f_m(Y)\pmod{p^n}$. Puisque $A_m$~est un anneau de
séries entières convergentes, on peut dériver cette relation par rapport
à~$X$ ; on obtient alors \( f_m'(F_m(X,Y)) ⋅ ∂_XF_m(X,Y) ≡ f_m'(X)
\pmod{p^{n}} \), soit pour~$X=0$, puisque~$F_m(0,Y)=Y$ :
$f_m'(Y)⋅∂_XF_m(0,Y)≡f_m'(0)\pmod{p^n}$.

Quitte à augmenter~$m$, on peut supposer que~$md≥n$ ; on aura alors
$L_m(F_m(X,Y))≡L_m(X)+L_m(Y) \pmod{p^n}$, et donc pour~$X=0$ :
$∂_XF_m(X,Y)≡L'_m(Y)^{-1}⋅L'_m(0)\pmod{p^n}$. En combinant les deux
égalités, on voit que~$f_m'(Y)≡ L_m(Y)^{-1}⋅ L'_m(0)⋅ f_m'(0)
\pmod{p^n}$.

Puisque ce résultat est vrai pour tout~$m$, on en déduit
que~$f$~appartient au $K$-espace vectoriel engendré par~$L_0,…,L_{d-1}$ ;
par conséquent, $\Hom(Γ(R),C)$~est un $K$-espace vectoriel de dimension
au plus~$h$. Finalement, on voit que l'application~$M⊗K→\Hom(Γ(R),C)$~est
surjective.
% 
% donc~$f_m∘F_m≡f_m⊗1+1⊗f_m\pmod{p^n}$. Si $Y=(Y_0,…,Y_{d-1})$~est un deuxième
% jeu d'indéterminées, il s'ensuit que~$f_m(F_m(X,Y))≡f_m(X)+f_m(Y)
% \pmod{p^n}$.
% 
% Par construction du groupe~$G$, et en reprenant les notations~$ℓ$ et~$L$
% de la preuve du lemme~\ref{lem:reseau = groupe}, la loi de
% coaddition~$F_m$ vérifie $L(F_m(X,Y))=L(X)+L(Y)$. En dérivant cette
% relation par rapport à~$X$, on obtient donc
% \[ L'(F_m(X,Y))⋅(F_m)'_X(X,Y) = L'(X) \],
% c'est-à-dire~$(F_m)'_X(X,Y) = L'(X)⋅L'(F_m(X,Y))^{-1}$. Par conséquent,
% la dérivée de la relation~$f_m(F_m(X,Y))≡f_m(X)+f_m(Y)\pmod{p^n}$ s'écrit
% \[ f'_m(F_m(X,Y)) ≡ \pa{f'_m(X)⋅L'_m(X)^{-1}} L'_m(F_n(X,Y)) \pmod{p^n}
% \],
% d'où en intégrant sur~$Y$ :
% \[ f_m(Y) = f_m(F_m(X,Y))-f_m(F_m(X,0)) ≡ \pa{f'_m(X)⋅L'_m(X)^{-1}}
%   L_m(Y) \pmod{p^n} \]. Finalement, en prenant l'image de cette relation
% par la seconde projection de~$A_m⊗A_m→A_m$, on voit que~$f_m ≡
% f'_m(0)⋅L'_m(0)^{-1}⋅L_m \pmod{p^n}$. Par conséquent, $f_m$~est une
% combinaison linéaire des séries~$L_{m,i}$, pour~$i=0,…,d-1$,
% modulo~$p^n$.
% 
% En particulier, soit~$j:\Hom(Γ(R), C)→C^d$ l'application qui à~$f$
% associe les coefficients de~$L_0,…,L_{d-1}$ dans la décomposition de~$f$.
% Il est alors clair que~$j$~est injectif. Par conséquent, $j∘i$~est un
% automorphisme de~$C^d$, donc $i$~et~$j$ sont des bijections.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:Hom-Dieudonne}
Pour tout groupe $p$-divisible~$Γ$ (sans hypothèse sur la forme du
module de~Dieudonné de~$Γ$), le morphisme canonique
\[ M⊗K → \Hom(Γ(R), C) \]
est bijectif.
\end{prop}

\begin{proof}
Notons~$E_k$ l'espace de~Banach analytique~$Γ(R) = \Hom_{\ro D_k}(\Mdieud
(Γ), BW(R))$. Pour toute extension~$k'$~de~$k$, $\Mdieud(Γ×_kk') =
\Mdieud(Γ)⊗_{\ro D_k}\ro D_{k'}$, de sorte que~$E_{k'}=E_k$. Par
conséquent, si~$i_{k'}:M⊗_{W(k')}C→\Hom(Γ_k'(R),C)$~est un isomorphisme,
alors il en est de même de~$i:M⊗_{W(k)}C→\Hom(Γ(R),C)$. On peut donc
supposer que $k$~est algébriquement clos. De plus, $\Mdieud(Γ)$~et~$Γ(R)$
sont invariants par toute isogénie sur~$M$. Finalement, on peut donc
supposer que~$M(Γ)$~est une somme directe de modules de~Dieudonné
élémentaires de la forme~$W(k)[φ]/(φ^{h_i}-p^{d_i})$, et appliquer le
résultat~\ref{prop:Hom E(gamma) C} à chacun des termes.
\end{proof}

%<<<2
\subsection{Espaces de~Banach-Colmez effectifs}

La catégorie~$\BC^+_K$ des~\emph{espaces de~Banach-Colmez effectifs
sur~$K$} est la sous-catégorie pleine des espaces de~Banach
potentiellement spectraux
effectifs~$E$ tels qu'il existe une suite exacte
\begin{equation}\label{eq:presentation-BCE} 0→V→E→W→0, \end{equation}
où~$V$ est un espace de~Banach spectral effectif étale de dimension finie
et~$W$ un espace de~Banach potentiellement spectral effectif vectoriel.

Une suite exacte de la forme~\ref{eq:presentation-BCE} est appelée
\emph{présentation} de~$E$. Les \emph{présentations d'espaces
de~Banach-Colmez effectifs}, munies des morphismes de suites exactes,
forment une catégorie. Le foncteur évident de la catégorie des
présentations d'espaces de~Banach-Colmez effectifs vers celle des espaces
de~Banach-Colmez effectifs est essentiellement surjectif par
construction.

En particulier, tout espace de~Banach spectral étale de dimension finie
ou tout $C$-espace vectoriel de dimension finie est bien sûr un espace
de~Banach-Colmez effectif.

\medskip

Soit~$E$ un espace de~Banach-Colmez effectif, dont une présentation
est~$0→V→E→W→0$. D'après la proposition~\ref{prop:surjective-reseaux}, il
existe alors des réseaux $\GK$-invariants respectifs~$\ro V$, $\ro E$,
$\ro W$ de~$V$, $E$, $W$ tels que la suite~$0→\ro V→\ro E→\ro W→0$ soit
encore exacte ; de plus, d'après la proposition~\ref{prop:reseau-ferme},
$\ro E$, $\ro W$ et~$\ro V$ sont des sous-groupes spectraux de~$E$, $W$,
$V$. Puisque~$\ro V$~est un groupe étale, le quotient~$\ro E_n = \ro
E/p^n\ro V$ existe dans la catégorie des espaces de~Banach spectraux, et
c'est encore un groupe
spectral effectif, extension de~$\ro W$ par le groupe étale~$\ro V/p^n\ro
V$, et donc rigide ; donc $E$~est un espace de~Banach
potentiellement spectral prorigide.

Par conséquent, toutes les propriétés des espaces de~Banach
potentiellement spectraux prorigides s'appliquent encore aux espaces
de~Banach-Colmez ; en particulier, ils s'écrivent comme extension d'un
groupe étale par un groupe connexe~(proposition
\ref{prop:Banach-etale-connexe}), cette extension étant scindée de manière non canonique.


\bigskip

\begin{prop}\label{prop:suite-exacte-E}
Notons~$t_G$ l'espace tangent à l'origine du groupe formel lisse~$G$.
Alors :
\begin{enumerate}
\item $T(Γ)(\overline k)⊗_{\Zp}\Qp$~est une $\Qp$-représentation continue
de dimension~$h$ de $\GK$ ;
\item $t_G(\O_C)$~est un $C$-espace vectoriel de dimension~$d$ ;
\item il existe une suite exacte, fonctorielle en~$G$ :
\[ 0 → T(Γ)(\overline k) → U(G)(\O_C) → t_G(\O_C)→ 0 \].
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{proof}
(i) Puisque $Γ$~est un groupe $p$-divisible de hauteur~$h$,
$T(Γ)(\overline k)$~est un $\Zp$-module libre de rang~$h$.

(ii) Puisque $Γ$~est lisse de dimension~$d$, $G$~est un groupe lisse de
dimension~$d$, et donc $t_G(\O_C)$~est un $C$-espace vectoriel de
dimension~$d$.

(iii) On dispose du diagramme commutatif suivant :
\[ \xymatrix{ 
 & 0 & 0 \\
0\ar[r]&G(\O_C)\tor\ar[r]\ar[u]&G(\O_C)\ar[r]\ar[u]
  &t_G(\O_C)\ar[r]&0\\
0\ar[r]&U_0(G)(\O_C)\ar[r]\ar[u]&U(G)(\O_C)\ar[r]\ar[u]
  &t_G(\O_C)\ar[r]\ar@{=}[u]&0\\
 & T(G)(\O_C)\ar@{=}[r]\ar[u]&T(G)(\O_C)\ar[u] \\
 & 0\ar[u] & 0\ar[u] \\
} \]
Les deux premières colonnes sont exactes car, $\O_C$~étant l'anneau des
entiers d'un corps algébriquement clos, $G(\O_C)$ est $p$-divisible ;
les deux premières lignes sont exactes d'après~\cite[§4]{Tate}.
Donc la diagonale $0→T(G)(\O_C)→U(G)(\O_C)→t_G(\O_C)→0$ est exacte.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:Gamma(R)-BCE}
L'espace de~Banach spectral $Γ(R)$~est un espace de~Banach-Colmez
effectif, et tout relèvement~$G$ de~$Γ$ sur~$W(k)$ définit une
présentation
\[ 0 → V → Γ(R) → W → 0 \],
où $V$~est un $\Qp$-espace vectoriel de dimension~$h$ et $W$~un
$C$-espace vectoriel de dimension~$d$.
\end{prop}

\begin{proof}
Il suffit de montrer que la suite exacte de la
proposition~\ref{prop:suite-exacte-E} est formée de morphismes
analytiques. Notons~$E=Γ(R)$, $V=T(Γ)(\overline k)⊗_{\Zp}\Qp$
et~$W=t_G(\O_C)$. Alors l'application~$V→E$ est continue et
$\GK$-équivariante ; puisque $V$~est un espace de~Banach étale, elle est
donc analytique.

Pour montrer que $λ:E→W$~est analytique, on fixe une base de l'espace
cotangent de~$Γ$, ce qui permet d'identifier~$E$ à~$\go m_R^d$ en tant
que variété spectrale et~$t_G(\O_C)$ à~$C^d$. L'application $λ:\go
m_R^d→t_G(\O_C)$ s'écrit alors~$λ(x_1,…,x_d) = (θ([x_1]),…, θ([x_d]))$ et
est donc analytique.
\end{proof}

\bigskip

Tout nombre rationnel~$α ∈ ]0,1]$ peut s'écrire de façon unique~$α=d/h$,
où~$d, h$ sont deux entiers positifs premiers entre eux. On notera
alors~$E_α$ l'espace de~Banach-Colmez effectif~$E_{d,h}$. On pose
encore~$E_0 = \Qp$ ; on a alors~$E_0 = \acco {x ∈ B^+\cris, φ(x) = x}$.

\begin{df}
Un \emph{espace de~Banach-Colmez effectif élémentaire} est un espace
de~Banach-Colmez effectif isomorphe à un espace~$E_{α}$, où $α$~est un
élément de~$]0,1]∩ℚ$.
\end{df}

\begin{prop}\label{prop:Hom E Q}
Pour tout~$α∈]0,1]∩ℚ$, $E_{α}$ est connexe.
\end{prop}

\begin{proof}
La variété spectrale sous-jacente à~$E_α$ est isomorphe à~$R^d$,
et~$R$~est une variété spectrale connexe.
% Par définition, il suffit de montrer que~$E_{α}$ a une algèbre analytique
% sans idempotents. Or, par construction de sa structure analytique, cette
% algèbre est la complétée de la réunion des algèbres affines
% $\widehat{A}_{Λ_n}$ ; puisque~$Γ$ est connexe, ces algèbres n'ont pas
% d'éléments idempotents.
\end{proof}

En particulier, le groupe des morphismes analytiques de $E_{α}$
vers~$\Qp$ est réduit à zéro en vertu de la proposition~\ref{prop:variete
connexe etale}.

% engendré par~$W(k)$ et par deux indéterminées~$φ,V$ satisfaisant les
% relations :
% \begin{enumerate}
% \item $φV=Vφ=p$ ; \item $φa=σ(a)φ$ pour~$a∈W(k)$ ; \item $aV=Vσ(a)$
% pour~$a∈W(k)$.
% \end{enumerate}
% Un \emph{module de~Dieudonné} sur~$k$ est un $\ro D_k$-module,
% c'est-à-dire un un $W(k)$-module muni de deux endomorphismes~$φ, V$,
% respectivement~$σ$ et~$σ^{-1}$-linéaires, et tels que~$φV=Vφ=p$. Un
% module de~Dieudonné est dit respectivement \emph{de type fini},
% \emph{fini} ou \emph{libre} s'il est de type fini, de longueur finie, ou
% libre en tant que~$W(k)$-module. En particulier, se donner un module de
% Dieudonné libre de type fini revient à se donner un $W(k)$-module libre
% de type fini~$M$ muni d'un endomorphisme~$φ$ tel que~$pM⊂F(M)$.
% 
% Soit~$M$ un module de~Dieudonné fini ; pour toute $k$-algèbre finie~$A$,
% on pose
% \[ \gras G(M)\,(A) = \Hom_{W(k),φ,V} (M, CW(A)) \].
% Alors $\gras G(M)$ est un $k$-schéma en groupes fini, tué par une
% puissance de~$p$.
% On obtient ainsi une anti-équivalence entre la catégorie des module de
% Dieudonné finis et celle des schémas en groupe finis commutatifs de rang
% une puissance de~$p$. Celle-ci induit une antiéquivalence entre la
% catégorie des modules de~Dieudonné libres de type fini (c'est-à-dire dont
% le $W(k)$-module sous-jacent est libre de type fini) et celle des groupes
% $p$-divisibles sur~$k$.
% % Le foncteur~$G$ se prolonge naturellement en un
% % foncteur des modules de~Dieudonné de type fini vers les $p$-groupes
% % formels, qui réalise une équivalence de catégories entre les modules
% % de~Dieudonné libres de type fini et les groupes $p$-divisibles sur~$k$.
% % De plus, le rang de~$M$ est égal à la dimension du groupe $p$-divisible
% % associé.


%<<<2
\subsection{Enveloppe vectorielle}

\smallbreak

\begin{df}\label{df:env-vect}
Soit~$E$ un espace de~Banach-Colmez effectif. On note~$E^{⋆}_C$, et on
appelle \emph{co-enveloppe vectorielle} de~$E$, le $C$-espace vectoriel
des morphismes analytiques sur~$C$ de~$E$ vers~$C$ ; on note~$E_C$, et on
appelle \emph{enveloppe vectorielle} de~$E$, le dual du $C$-espace
vectoriel~$E^{⋆}$.
\end{df}

Lorsque~$E_C$~est de dimension finie sur~$C$ (on verra que c'est toujours
le cas), l'enveloppe vectorielle~$E_C$ est munie d'un morphisme de
« bidualité » $ι: E → E_C$ ; c'est un morphisme analytique entre~$E$
et~$E_C$, muni de sa structure analytique de $C$-espace vectoriel. Ce
morphisme est solution d'un problème universel : tout morphisme d'espaces
de~Banach spectraux effectifs de~$E$ vers un $C$-espace vectoriel se
factorise de façon unique par~$ι$.

La proposition suivante est une conséquence de la
proposition~\ref{prop:Hom-Dieudonne}.

\begin{prop}\label{prop:Hom-E-C}
Pour tous entiers~$0 ≤ d ≤ h$, la co-enveloppe
vectorielle~$(E_{d,h})^{⋆}_C$ de~$E_{d,h}$ est un $C$-espace vectoriel de
dimension~$h$ ayant les~$θ∘φ^i$ pour~$i=0,…,h-1$ comme base.
\end{prop}

\begin{prop}\label{prop:iota-injectif}
Si~$d < h$ alors l'application~$ι:E_{d,h}→(E_{d,h})_C$ est injective.
\end{prop}

\begin{proof}
Dans la base~$(θ, θ∘φ, …, θ∘φ^{h-1})$, l'application~$ι$ est
définie par~$ι(x) = (θ(x), θ∘φ(x), …, θ∘φ^{h-1}(x))$.

Soit~$x∈E_{d,h}$ tel que~$ι(x)=0$. ceci signifie donc que, pour
tout~$r=0,…,h-1$, $θ∘φ^r(x) = 0$. Puisque~$φ^h(x) = p^dx$, on a donc
encore~$θ∘φ^r(x) = 0$ pour tout~$r ∈ ℕ$. Soit~$t ∈ B^+\cris$ un
générateur de~$\Zp(1)$ ; alors (\cite[5.3.7]{Periodes}) il existe~$y ∈
B^+\cris$ tel que~$x = ty$. Puisque~$φ(t) = t$, on en déduit que~$φ^h(y)
= p^{d-h}y$. Comme~$d - h < 0$, un tel élément~$y$ est nul, ce qui
implique que~$x = 0$.
\end{proof}

La proposition~\ref{prop:iota-injectif} est fausse dans le cas où~$d =
h$ ; en effet, dans le cas où~$d = h = 1$, on a alors~$ι = θ: E_{1,1} →
C$, et donc~$\Ker ι = \Qp(1)$. D'après la proposition~\ref{prop:E-nd-nh},
on en déduit que le noyau de~$ι: E_{h,h} → C^h$ est~$\Qph(1)$.

% \begin{prop}\label{prop:End E simple}
% Soient~$d < h$ premiers entre eux, $f$ un endomorphisme analytique
% de~$E_{d,h}$ et~$v$~un élément non
% nul de~$(E_{d,h})^{⋆}_C$. Si~$v∘f=0$, alors~$f=0$.
% % Soit~$f$ un endomorphisme analytique de~$E_{α}$. Si~$f$ est non nul,
% % alors pour tout~$v∈E_{α}^{⋆}$, $v∘f≠0$.
% \end{prop}
% 
% \begin{proof}
% Notons~$f^⋆_C:(E_{d,h})^⋆_C→(E_{d,h})^⋆_C$ l'adjoint de~$f$. D'après la
% proposition~\ref{prop:Hom-E-C}, $(E_{d,h})^⋆_C$~est un~$D_{d/h}$-module
% simple à droite ; c'est donc à plus forte raison un~$(\End
% E_{d,h})$-module simple. Par conséquent, s'il existe~$v∈(E_{d,h})^⋆_C$ non
% nul tel que~$v∘f=0$, alors c'est le cas pour tout~$v∈(E_{α})^{⋆}_C$, et
% donc~$f^⋆_C=0$.
% 
% D'après la proposition~\ref{prop:suite-exacte-E}, il existe une suite
% exacte d'espaces de~Banach spectraux $0→V→E_{d,h}→^{π} W→0$, où~$V$~est
% connexe, et~$W$ un $C$-espace vectoriel de dimension finie.
% Puisque~$f^⋆_C=0$, $π∘f=0$, et donc l'image de~$f$ est incluse dans
% l'espace de~Banach spectral connexe~$V$. D'après la
% proposition~\ref{prop:Hom E Q}, ceci entraîne que~$f=0$.
% \end{proof}
% 

%<<<2
\subsection{L'extension universelle de~$C$ par~$\Qp$}

Soit~$W$ un $C$-espace vectoriel de dimension finie. On notera~$W^⋆$ le
dual de~$W$ en tant que~$C$-espace vectoriel. De même, pour tout
$\O_C$-module libre de rang fini~$\ro W$, on pose~$\ro W^⋆ = \Hom_{\O_C}
(\ro W, \O_C)$.

On notera~$V^∨$ le dual d'un $\Qp$-espace vectoriel de dimension
finie~$V$ ; de même, pour tout sous-$\Zp$-module libre de type fini~$\ro
V$, on notera~$\ro V^∨$ le dual de~$\ro V$.

\begin{prop}\label{prop:Ext1-potentiel}
Soient~$G, G'$ deux groupes potentiellement spectraux sur~$K$. Alors il
existe un isomorphisme canonique
\[ \Ext^1_{\GS_{K,C}}(G, G') → \Ext^1_{\GS_C}(G, G')^\GK \].
\end{prop}

\begin{proof}
Soit~$0 → G' →^u X →^v G → 0$ une extension de~$G$ par~$G'$ dans la
catégorie~$\GS_C$. Pour tout élément~$γ$ de~$\GK$, $0 → G' →^{u∘γ} X
→^{γ^{-1}∘v} G → 0$~définit un élément de~$\Ext^1{\GS_C}(G, G')$, que
l'on note~$X^γ$ ; de plus, on voit que pour tous~$γ$, $γ'$, $(X^{γ})^{γ'}
= X^{γγ'}$, ce qui définit donc une action de~$\GK$
sur~$\Ext^1_{\GS_C}(G, G')$.

Le morphisme canonique~$\Ext^1_{\GS_{K,C}}(G,G') → \Ext^1_{\GS_C}(G,G')$
est injectif et son image est incluse dans le sous-ensemble invariant
par~$\GK$. Réciproquement, soit~$X$ un élément invariant par~$\GK$
de~$\Ext^1_{\GS_{C}}(G,G')$ : alors pour tout~$γ ∈ \GK$, il existe un
isomorphisme analytique~$w_γ: X^γ → X$. Puisque le support de~$X^γ$
s'identifie à~$X$ par construction, on peut voir~$w_{γ}$ comme un
automorphisme de~$X$, qui le munit d'une structure potentiellement
spectrale sur~$K$.
\end{proof}



Soient~$G$ un groupe et~$M$ un groupe abélien muni d'une action de~$G$.
On note alors~$H^n (G, M)$ les groupes de cohomologie de~$G$ à
coefficients dans~$M$. 

Soit~$G$ un groupe spectral. Un \emph{$G$-module spectral} est un groupe
abélien spectral~$M$ muni d'une action analytique de~$G$, c'est-à-dire
que~$G × M → M$~est analytique.

Pour tout $G$-module spectral~$M$, on peut définir les groupes de
cohomologie analytique de~$G$ à coefficients dans~$M$ de la façon
suivante. Pour tout entier~$n≥0$, le groupe des chaînes
analytiques~$C^n_\an (G, M)$ est le groupe des fonctions analytiques
sur~$G^{n+1}$ à valeurs dans~$n$ ; alors les applications de dérivation~$d^n$
de la cohomologie des groupes sont évidemment analytiques, et on a
donc~$d^n(C^n_\an (G, M)) ⊂ C^{n+1}_\an (G, M)$. Par conséquent,
les~$C^n_\an (G, M)$ forment un complexe cohomologique. On note
donc~$Z^n_\an (G, M)$ les groupes de cocycles, $B^n_\an (G, M)$ les
groupes de cobords, et~$H^n_\an (G, M)$ les groupes de cohomologie
analytique de~$G$ à coefficients dans~$M$.

En particulier, si $G$~est un groupe fini étale, alors les
groupes~$H^n_\an (G, M)$ sont canoniquement isomorphes aux
groupes de cohomologie continue~$H^n(G, M)$.

\begin{prop}\label{prop:suite longue coho}
Soit~$0 → M' → M → M'' → 0$ une suite exacte courte de $G$-modules
analytiques. On a alors une suite exacte à six termes
\[\begin{split} 0 → H^0_\an (G, M') → H^0_\an (G, M) → H^0_\an (G, M'')
\\ → H^1_\an (G, M') → H^1_\an (G, M) → H^1_\an (G, M'').
\end{split}\]\relax
\end{prop}

Soit~$\Gm$ le groupe spectral multiplicatif sur~$K$ ; son algèbre affine
est~$K\tate{X, X^{-1}}$. Soit~$G = \Spm A$ un groupe spectral ; on
munit~$G$ de la structure de~$\Gm$-module spectral triviale. Alors un
élément de~$C^n(G, \Gm)$ est donné par un élément~$a$ de~$(A \hotimes_K …
\hotimes_K A)^{×}$ ($n+1$ facteurs) tel que~$\norme{a} = \norme{a^{-1}} =
1$. Dans le cas particulier où~$G$ est un sous-$\O_C$-module ouvert d'un
$C$-espace vectoriel de dimension~$d$, on peut identifier~$a$ à une série
en~$(n+1)d$ variables convergente sur~$G^{n+1}$. Ceci permet
d'écrire~$Z^1(G, \Gm)$ comme l'ensemble des éléments~$a$ de~$(A
\hotimes_K A)^{×}$ tels que~$\norme{a} = \norme{a^{-1}} = 1$ et que~$a(X
+ Y, Z) a(X, Y) = a(X, Y + Z) a(Y, Z)$, où~$X, Y, Z$ représentent des
familles de~$d$ variables ; un élément de~$B^1 (G, \Gm)$ est de la
forme~$\frac {a(X + Y)}{a(X)a(Y)}$ pour~$a ∈ A^{×}$.


\begin{lem}\label{lem:cocycle multiplicatif}
Soit~$f ∈ Z^1(\O_C, \Gm)$ ; on suppose que~$f ≡ 1 \pmod{\deg n}$. Il
existe alors un élément~$a$ de~$C$ tel que~$f(x,y) ≡ 1 + a C_n(x,y)
\pmod{\deg n+1}$, où~$C_n(x,y) = (x+y)^n-x^n-y^n$.
% Soient~$\ro W$ le groupe spectral associé à un $\O_C$-module libre de type
% fini muni d'une action continue et semi-linéaire de~$\GK$, muni de
% l'action triviale de~$\Gm$, et~$f$ un élément de~$Z^1(\ro W,
% \Gm)$. On suppose de plus que $f ≡ 1 \pmod {\deg n}$. Il existe alors un
% polynôme~$α$, homogène de degré~$n$ et~$\GK$-invariant, tel que
% \[ f ≡ 1 + α(X + Y) - α(X) - α(Y) \pmod {\deg (n+1)} \].
\end{lem}

\begin{proof}
Soit~$g$ la série formelle~$g = \log (f)$ ; alors~$g = 0 \pmod{\deg n}$
et~$g$~est un cocycle symétrique en deux variables, c'est-à-dire que
$g(x,y) = g(y,x)$ et~$g(x+y,z)+g(x,y)=g(x,y+z)+g(y,z)$.
D'après~\cite[6.1]{Lazard}, il existe donc~$a ∈ C$ tel que~$g(x,y) ≡
aC_n(x,y) \pmod{\deg (n+1)}$. Il suffit alors d'appliquer l'exponentielle
à~$g$ pour en déduire le résultat.
% Soit~$A$ l'algèbre affine de~$\ro W$, et notons~$\widehat{A}$ la
% complétion formelle de~$A$ par rapport à son idéal d'augmentation
% et~$\widehat{\ro W}$ le groupe formel associé à~$\widehat{A}$.
% Alors~$\widehat{A}$~est une algèbre de la forme~$C
% \bcro{X_1,…,X_d}^{\GK}$. Puisque les groupes formels additif et
% multiplicatif sont isomorphes en caractéristique nulle (\cite[3.1]{Lazard}), on peut remplacer le groupe~$\Gm$ par le groupe additif : autrement
% dit, soit~$g = \log (f)$, alors $g$~est un $1$-cocycle symétrique défini
% sur le groupe additif, c'est-à-dire que~$g(X+Y, Z) + g(X, Y) = g(X, Y +
% Z) + g(Y, Z)$. De plus, $g ≡ 0 \pmod {\deg m}$. Il suffit de montrer
% que~$g ≡ 0 \pmod {\deg (m+1)}$.
% 
% Or, un tel cocycle correspond à une extension du groupe formel~$\widehat
% {\ro W}$ par le groupe additif ; une telle extension est triviale
% (\cite[3.1]{Lazard}), donc le cocycle~$g$ est un cobord. Ceci signifie
% donc qu'il existe une série formelle~$h$ telle que~$h(X+Y)-h(X)-h(Y) ≡
% g(X, Y) \pmod {\deg (n+1)}$ ; puisque $g$~est $\GK$-invariante, on peut
% en outre choisir~$h$ $\GK$-invariante. Enfin, on peut sans modifier le
% résultat remplacer~$h$ par son terme homogène de degré~$n$.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:H1 G Gm}
$H^1_\an(\O_C, \Gm) = 0$.
% Soit~$\ro W$ le groupe spectral associé à un $\O_C$-module libre de type
% fini, muni d'une action continue et semi-linéaire de~$\GK$. Alors
% \[ H^1 (\ro W, \Gm) = 0 \].
\end{prop}

\begin{proof}
% On peut supposer que~$W$ est un $\O_C$-module libre de dimension un.
Soit~$f ∈ Z^1 (\O_C, \Gm)$. En appliquant par récurrence le
lemme~\ref{lem:cocycle multiplicatif}, on voit qu'il existe une série
formelle~$g ∈ X\,K\bcro{X}$ telle que~$f(X,Y) = (1+g(X+Y))(1+g(X))^{-1}
(1+g(Y))^{-1}$. Quitte à remplacer~$g$ par~$\exp(-g'(0)⋅X)\, g$, on voit
alors d'après~\cite[9.11]{Colmez} que~$g$~converge sur~$\O_C$, ce qui
montre que l'on a bien~$f = ∂ g ∈ B^1(\O_C, \Gm)$, et donc~$H^1(\O_C,
\Gm) = 0$.
% suite~$(α_n)$ de polynômes homogènes de degré~$n$ telle que
% \[ f = ∏_{n ∈ ℕ} f_n \quad\text{avec}\quad
% f_n = \frac{1 - α_n (X + Y)} {(1 - α_n (X)) ( 1 - α_n(Y))} \].
% Pour tout~$n$, on a alors~$\norme{p^d α_n} ≤ \norme{1-f_n} ≤
% \norme{α_n}$.
% Puisque~$f$ est une série convergente sur~$\ro W$, la
% suite~$(1-f_n)$ tend vers zéro ; ceci signifie que la suite~$α_n$ tend
% vers zéro, et donc le produit infini~$g(X) = ∏_{n
% ∈ ℕ} (1 - α_n (X))$ est convergent. On voit alors que~$g ∈ C^1(\ro W,
% \Gm)$, et par construction~$∂ g = f$, ce qui montre que~$f ∈ B^1(\ro W,
% \Gm)$.
\end{proof}

Soit~$G$ un groupe spectral affine. Le \emph{groupe des
caractères}~$X(G)$ de~$G$ est le groupe des morphismes spectraux de~$G$
vers le groupe multiplicatif~$\Gm$. Soit $B$ l'algèbre affine de~$G$ ;
alors $X(G)$~s'identifie au groupe des~$b∈B^{×}$ tels que~$\norme{b} =
\norme{b^{-1}} = 1$ et~$Δ(b)=b⊗b$.

La construction du groupe des caractères en fait un foncteur
contravariant de la catégorie des groupes spectraux affines vers celle
des groupes.
En particulier, si $Γ$~est un groupe spectral étale de $p$-torsion, alors
le groupe~$X(Γ)$~s'identifie canoniquement au groupe des morphismes
$\GK$-équivariants de~$Γ$ vers~$(\Qp/\Zp)(1)$.

% \medbreak
% 
% Pour tout groupe spectral étale~$Γ$ et tout groupe potentiellement
% spectral~$G$, on note~$\Ext^1_{\GS_{K,C}} (G, Γ)$ l'ensemble des classes
% d'isomorphisme d'extensions de~$G$ par~$Γ$ dans la catégorie des groupes
% potentiellement spectraux effectifs.

\begin{prop}\label{prop:Ext1-X}
% Soient~$\ro W$ une $\O_C$-représentation de dimension finie de~$\GK$ et
% $Γ$~un groupe spectral fini étale.
Soit~$Γ$ un groupe spectral étale. Il existe un isomorphisme canonique
\[ \Ext^1_{\GS_{C}} (\O_C, Γ) = H^1_\an (X(Γ), X(\O_C)) \].
\end{prop}

\begin{proof}
Soit~$G$ un élément de~$\Ext^1_{\GS_{K,C}} (\O_C, Γ)$. Puisque $H^1_\an
(\O_C, \Gm) = 0$ d'après la proposition~\ref{prop:H1 G Gm}, la suite
longue de la proposition~\ref{prop:suite longue coho} est réduite à la
suite exacte courte $ 0 → X(\O_C) → X(G) → X(Γ) → 0$ ; autrement dit, on
a un morphisme naturel $η: \Ext^1_{\GS_{C}} (\O_C, Γ) → \Ext^1 (X(Γ),
X(\O_C))$.

Soient $A$~et~$B$ les algèbres affines respectives de~$\O_C$ et~$G$.
Alors, puisque les caractères de~$Γ$ forment une base de l'algèbre des
fonctions~continues sur~$Γ$, tout relèvement des caractères forme
une base de~$B$ comme $A$-module ; par conséquent, l'extension de~$\O_C$
par~$Γ$ est déterminée par l'extension de~$X(Γ)$ par~$X(\O_C)$. Ceci
prouve que~$η$ est injectif.

De plus, puisque $X(Γ)$~est un groupe abélien agissant trivialement
sur~$X(\O_C)$, on peut identifier canoniquement~$\Ext^1 (X(Γ), X(\O_C)$
à~$H^1 (X(Γ), X(\O_C))$. Soit~$c$ un cocycle représentant un
élément de~$H^1_\an(X(Γ), X(\O_C))$ ; soit~$B_c$ le $A$-module libre engendré
par des éléments~$e_χ$ pour~$χ ∈ X(Γ)$, muni de la multiplication définie
par~$e_χ e_{χ'} = c_{χ,χ'} e_{χ,χ'}$ et de la comultiplication~$Δ(e_{χ})
= e_{χ} ⊗ e_{χ}$. Alors $G_c = \Spm B_c$~est un groupe spectral, extension
de~$\O_C$ par~$Γ$ ; de plus, modifier le cocycle~$c$ par un cobord ne
change pas la classe d'isomorphisme de cette extension. Enfin, on vérifie
que~$η(G_c) = c$, et donc~$η$~est surjectif.
\end{proof}

% \begin{prop}\label{prop:Ext1-G-M}
% Soient $\ro W$ une $\O_C$-représentation de dimension finie de~$\GK$
% et~$\ro V$ une $\Zp$-représentation de dimension finie de~$\GK$. Alors
% \[ \Ext^1_{\GS_{K,C}} (\ro W, \ro V) = \Hom_{\Zp[ \GK] } (\ro V^{∨} (1),
% \ro W^{⋆}) \].
% \end{prop}
% 
% \begin{proof}
% Puisque $\ro V$~est un $\Zp$-module libre de type fini, on peut
% écrire~$\ro V = \limp \ro V/p^n \ro V$ ; on peut de même
% identifier~$\Ext^1(\ro W, \ro V)$ à~$\limp \Ext^1 (\ro W, \ro V/p^n \ro
% V)$. De plus, la limite projective des~$(\ro V/p^n \ro V) ⊗_{ℤ[\GK]}
% X(\ro W)$ s'identifie à~$ \Hom_{\Zp [ \GK]} (\ro V^{∨}(1), X(\ro W))$.
% Enfin, puisque $\ro W$~est une $\O_C$-représentation de dimension finie
% de~$\GK$, les éléments de~$X(\ro W)$ sont des fonctions exponentielles,
% ce qui permet d'identifier~$X(\ro W)$ à~$\ro W^{∨}$.
% \end{proof}

\begin{prop}\label{prop:Ext1-W-V}
Soient~$W$ une $C$-représentation de~$\GK$ et~$V$
une $\Qp$-représentation de dimension finie de~$\GK$. Alors on a un
isomorphisme canonique
\[ \Ext^1_{\BS^+_{K,C}} (W, V) \;=\; \Hom_{\Qp[\GK]} (V^{∨}(1), W^{⋆}) \].
\end{prop}

\begin{proof}
D'après la proposition~\ref{prop:Ext1-potentiel}, il suffit de traiter le
cas où~$K = C$ et on peut donc supposer que l'action de~$\GK$ est
triviale. Il suffit alors de traiter le cas où~$W = C$.

Soit~$\ro V$ un réseau de~$V$. On peut alors
identifier~$\Ext^1_{\GS_C}(C, V)$ à~$\Ext^1_{\GS_C}(\O_C, \ro V)[1/p]$.
De plus, l'égalité~$\ro V = \limp \ro V/p^n\ro V$
identifie~$\Ext^1_{\GS_C}(\O_C, \ro V)$ à~$\limp \Ext^1_{\GS_C}(\O_C, \ro
V/p^n\ro V)$

Puisque $Γ = \ro V / p^n \ro V$~est un groupe abélien de torsion, on peut
écrire~$\Hom(X(Γ), \Qp/\Zp) = Γ(-1)$. Par conséquent, on peut
naturellement identifier~$\Ext^1_{\GS_C}(\O_C, Γ) = H^1_\an(X(Γ), X(G))$
à~$Γ(-1) ⊗_{ℤ} X(\O_C)$. De plus, les éléments de~$X(\O_C)$ sont les
fonctions exponentielles, et donc~$X(\O_C)$ s'identifie au domaine de
convergence de l'exponentielle.
\end{proof}

En passant au dual, on voit que l'on peut encore
identifier~$\Ext^1_{\BS^+_{K,C}}(W, V)$ au $\Qp$-espace vectoriel des
morphismes~$\GK$-invariants de~$W$ vers~$V ⊗_{\Qp} C(-1)$.
En particulier, $\Ext^1_{\BS^+_C} (C, \Qp(1)) = C$.

\begin{df}\label{df:categ-L+}
Soit~$\L^+_K$ la catégorie dont les objets sont les triplets~$(W, V,
f)$, où~$V$~est une $\Qp$-représentation de dimension finie de~$\GK$,
$W$~une $C$-représentation de~$\GK$, et~$f:W → V ⊗_{\Qp} C(-1)$
est une application $\Qp$-linéaire et $\GK$-équivariante, et dont les
morphismes entre deux objets~$(W,V,f)$ et~$(W',V',f')$ sont les
paires~$(v,w)$, où~$v:V→V'$ est un morphisme de représentations et
$w:W→W'$~est une application $C$-linéaire, telles
que~$f'∘w=(v⊗\id_{C(-1)})∘f$.
\end{df}

Par abus de notation, on omettra parfois~$V$ et~$W$, et on notera
simplement~$f: W → V ⊗_{\Qp} C(-1)$ un objet de~$\L^+_K$.
% Se donner un tel objet~$f$ revient à se donner une
% application~$\Qp$-linéaire $\GK$-équivariante~$\trans f: V^∨(1) → W^⋆$.

\begin{prop}\label{prop:foncteur construit}
La correspondance qui à un objet~$f$ de~$\L^+_K$ associe
\[ E(f) = W×_{(V⊗C(-1))} (V⊗E_1(-1)) \]
est un foncteur covariant de la catégorie~$\L^+_K$ vers la
catégorie~$\BC^+_{K,C}$.
\end{prop}

\begin{proof}
Pour tout objet~$f$ de~$L$, $E(f)$~est construit par le diagramme
commutatif suivant :
\begin{equation}\label{diag:E(f) BCE}
\xymatrix{
0\ar[r] & V\ar[r] \ar@{=}[d] & E(f) \ar[r] \ar[d] & W \ar[r]
\ar[d]^{f} & 0\\
0\ar[r] & V\ar[r] & V⊗_\Qp E_1(-1)\ar[r]^{\id⊗θ}
  & V⊗_\Qp C(-1)\ar[r] & 0
}\end{equation}
C'est un produit fibré d'espaces de~Banach spectraux effectifs sur~$K$,
et donc un espace de~Banach spectral effectif sur~$K$. De plus, les
deux lignes du diagrammes sont des suites exactes courtes, et la première
ligne fait de~$E(f)$ un espace de~Banach-Colmez effectif.

Soit~$u:f→f'$~un morphisme de~$\L^+_K$, alors le diagramme
\[ \xymatrix{ W\ar[r]\ar[d]^f& W'\ar[d]^{f'} \\
  V⊗C(-1)\ar[r] &V'⊗C(-1) }\]
est commutatif, et donne donc naissance à un morphisme~$E(u):E(f)→E(f')$.
\end{proof}

On remarque que, puisque~$E(f)$~est naturellement muni d'une
présentation, ceci définit également un foncteur de la
catégorie~$\L^+_K$ vers la catégorie des présentations d'espaces
de~Banach-Colmez effectifs.

Comme corollaire de la proposition~\ref{prop:Ext1-W-V}, on obtient le
résultat suivant.

\begin{prop}\label{prop:constructible}
Le foncteur~$E$ réalise une équivalence de catégorie
entre~$\L^+_K$ et la catégorie des présentations d'espaces
de~Banach-Colmez effectifs sur~$K$.

En particulier, le foncteur~$E$ est essentiellement surjectif sur la
catégorie~$\BC^+_K$.
\end{prop}

\begin{df}\label{df:Lf}
Un objet~$(W, V, f)$ de~$\L^+_K$ est dit :
\begin{itemize}
\item \emph{à pentes finies} si~$f$ est injective (ce qui revient à dire
que~$\trans f(V^∨(1))$ engendre~$W^⋆$ comme $C$-espace vectoriel) ;
\item \emph{connexe} si~$f(W) ∩ V = V$ (ce qui revient à dire que~$\trans f$
est injective) ;
\item \emph{étale} si~$W = 0$.
% \item \emph{à pentes finies} si~$\trans f(V^∨(1))$ engendre~$W^⋆$ comme
% $C$-espace vectoriel ;
% \item \emph{connexe} si~$\trans f$~est injective ;
% \item \emph{étale} si~$f$~est nulle.
\end{itemize}
On note~$\Lf^+_K$ la sous-catégorie pleine des objets à pentes finies
de~$\L^+_K$.
\end{df}

\begin{prop}\label{prop:L-connexe-etale}
Soit~$f=(W, V, f)$~un objet de~$\L^+_K$. Il existe une unique suite
exacte~$0 → f_0 → f → f' → 0$ de~$\L^+_K$, où~$f_0$~est connexe,
et~$f'$~est étale. De plus, cette suite exacte est (non canoniquement)
scindée.
\end{prop}

\begin{proof}
Les objets~$f_0$ et~$f'$ sont bien sûr donnés par~$f_0 = (W, f(W) ∩ V,
f)$ et~$f' = (0, V / (f(W) ∩ V), 0)$. De plus, puisque~$V$ est une
$\Qp$-représentation de dimension finie de~$\GK$, la suite~$0 → f(W) ∩ V
→ V → V/(f(W) ∩ V) → 0$ se scinde, et toute section de cette suite
fournit une section de~$0 → f_0 → f → f' → 0$.
% Les objets~$f_0$ et~$f'$ sont bien sûr donnés par~$f' = (\Ker f, 0, 0)$
% et~$f' = (\Coim f, W, f)$ ; de plus, puisque $V$~est une
% $\Qp$-représentation de dimension finie de~$\ro G_K$, la suite~$0 → \Ker
% f → f → \Coim f → 0$ se scinde, et fournit ainsi une section de la suite
% $0 → f_0 → f → f' → 0$.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:L -> E connexe}
Pour tout objet~$f=(W, V, f)$ de~$\L^+_K$, $E(f)$~est connexe \ssi
$f$~est connexe ; $E(f)$~est étale \ssi $f$~est étale.
\end{prop}

\begin{proof}
Compte tenu des propositions~\ref{prop:L-connexe-etale}
et~\ref{prop:Banach-etale-connexe}, il suffit de remarquer que
$f$~est étale \ssi $E(f)$~est étale. Or, si~$f:V → 0$~est étale, on
trouve directement~$E(f) = V$ ; inversement, tout espace
de~Banach-Colmez étale~$V'$ est une $\Qp$-représentation de dimension
finie, et est donc isomorphe à~$E(0 → V' ⊗_{\Qp} \BtdR)$.
\end{proof}

\begin{cor}
Soit~$E$ un espace de~Banach-Colmez effectif. Alors $E$~est connexe \ssi,
pour tout espace de~Banach spectral étale~$V$, $\Hom_{\BC^+_K}(E, V) = 0$.
\end{cor}

\begin{prop}
Soient~$V$ un espace de~Banach spectral étale et~$W$ un espace
de~Banach-Colmez effectif connexe. Alors
\[ \Ext^1_{\BC^+_K} (V, W) = 0 \].
\end{prop}

\begin{proof}
Il s'agit de montrer que toute extension~$0 → W → F → V → 0$~est scindée.
Or toute section $\Qp$-linéaire continue de~$F → V$ est analytique et
fournit donc un scindage de l'extension.
% D'après la proposition~\ref{prop:Banach-etale-connexe}, cette suite
% est isomorphe à la suite~$0 → F^0 → F → π_0(F) → 0$ ; en outre, cette
% extension est scindée. On peut donc écrire~$F = W ⊕ V$.
\end{proof}

%<<<1
\section{Lemme fondamental sur les espaces de~Banach-Colmez effectifs de
dimension~un}

\setcounter{thm}{0}
Le but de cette partie est de démontrer le théorème suivant :

\begin{thm}[Lemme fondamental]\label{thm:LF}
Soit $E$ un espace de~Banach-Colmez effectif « de dimension un »
(c'est-à-dire extension de~$C$ par un $\Qp$-espace vectoriel~$V$ de
dimension finie~$h$). Alors tout morphisme analytique~$u$ de~$E$ vers~$C$
vérifie l'une des deux conditions suivantes :
\begin{enumerate}
\item l'image de~$u$ est un $\Qp$-espace vectoriel de dimension finie ;
\item $u$~est surjectif, et son noyau est un $\Qp$-espace vectoriel de
dimension~$h$.
\end{enumerate}
\end{thm}

La démonstration s'effectue en deux étapes. On commence par
établir le résultat lorsque~$E$~est l'espace de~Banach-Colmez
élémentaire~$E_{1,h}$ (proposition~\ref{prop:LF-Xh}). La deuxième partie
consiste en un résultat de structure des espaces de~Banach-Colmez
effectifs (proposition~\ref{prop:struct-elementaire}) : ils sont tous
isomorphes à la somme directe de~$E_{1,h}$ et d'un groupe spectral étale.

%<<<2
\subsection{Lemme fondamental pour $E_{1/h}$}

\begin{prop}\label{prop:LF-Xh}
Soit~$u:E_{1/h}→C$ un morphisme analytique non nul. Alors le support de~$u$
est un morphisme surjectif~$E_{1/h}→C$ et son noyau est un $\Qp$-espace
vectoriel de dimension~$h$.
\end{prop}


\begin{proof}
Tout au long de cette preuve, on pose~$q=p^h$.

Remarquons que le résultat est vrai pour~$u$ \ssi il est vrai
pour~$u∘φ^i$, $i∈ℤ$. D'après la proposition~\ref{prop:Hom-E-C}, il existe
des~$u_i∈C$ tels que~$u=u_0\,θ+u_1\,θ∘φ…+u_{h-1}\,θ∘φ^{h-1}$ ;
puisque~$u≠0$, les $u_i$~ne sont pas tous nuls.

Soit~$i$~un entier entre~$0$ et~$h-1$ minimisant $v(u_i) +
\nicefrac{i}{h}$. Alors $u ∘ φ^{h-i}$ s'écrit $∑ u'_j θ
φ^j$, où~$u'_j = p\,u_{i+j}$ si~$j ≤ h-i-1$ et~$u'_j = u_{j-h+i}$
si~$j ≥ h-i$. On en déduit donc que, pour tout~$j$, $v(u'_j) ≥
v(u'_0) - \nicefrac{j}{h}$. Quitte à composer~$u$ par une puissance de
$φ$ et à multiplier par une constante, on peut donc toujours
supposer :
\[ v(u_0) = 0, \qquad v(u_i) ≥ -\frac ih
  \quad \text{pour $i=0,…,h-1$}\].

La famille des~$(u_i)_{i=0,…,h-1}$ peut se prolonger en une unique
suite~$(u_i)_{i∈ℤ}$ telle
que~$u_{i+h} = p^{-1}u_i$ pour tout~$i$ ; il est encore vrai que, pour
tout~$i∈ℤ$, $v(u_i)≥-\frac ih$.
D'après la proposition~\ref{prop:structure Ealpha}, l'application
\[ η: \application{\go m_R}{E_{1/h}}
  {x}{∑_{n ∈ ℤ} p^{-n} \cro{x^{p^{n(h-1)}}}}
\]
est un isomorphisme de variétés spectrales. De plus, pour
tout~$x ∈ \go m_R$,
\[ u ∘ η (x) = ∑_{n∈ ℤ,0≤ i≤ h-1} p^{-n}\, u_i\, θ([x^{q^np^i}])
   = ∑_{i∈ ℤ} u_i θ(\cro{x^{p^i}}) \].

Pour montrer la surjectivité de~$u$, il suffit de montrer que son image
contient une boule de~$C$.
Notons encore
\[ u^+(x) = ∑_{i≥0} u_i θ([x^{p^i}]) \];
on peut encore écrire~$u^+(x) = f^+(θ([x]))$, où~$f^+$ est la série
entière à coefficients dans~$C$ définie par~$f^+(x)=∑u_nx^{p^n}$.

Puisque~$v(u_n) ≥ -\frac nh$ et~$v(u_{nh}) = -n$ pour tout~$n$, le
polygone de~Newton de~$f^+$ est formé des points~$(p^n,-n)$ pour~$n∈ℕ$.
Posons~$ρ=\frac{1}{h(p-1)}$. Par la théorie des polygones de~Newton, nous
voyons alors que pour tout élément~$b$ de~$\O_C$ tel que~$v(b)≥ρ$,
l'équation $f^+(x) = b$~a exactement une solution~$x∈\O_C$ de valuation
égale à~$v(b)$ ; de même, pour tout entier~$n$, si $v(b) ≥ ρ - n$, alors
$f^+(x) = b$~a exactement $q^n$ solutions de valuation supérieure
à~$p^{-n}ρ$.

% \[(dessin...)\]

On remarque enfin que $f^+$~vérifie l'équation fonctionnelle
\[ f^+(x) = g(x) + \frac 1p f^+(x^q), \quad
   \text{où $g(x) = x + u_1 x^p + … + u_{h-1}
x^{p^{h-1}}$.}\]

Choisissons donc un élément~$b$ de~$\O_C$, de valuation supérieure
à~$ρ$, et construisons par récurrence une suite~$x_i$ de racines des
équations $f^+(x_i) = p^{-i} b$, telle que $x_i^{q^i}$~ait une limite
dans~$\O_C$. Il suffit pour cela de montrer que
$x_i^{q^i}-x_{i+1}^{q^{i+1}}$ tend vers zéro ; ou encore, d'après le
lemme \ref{lem:valuation-binome}, de montrer qu'il existe un réel~$ξ >
0$ tel que, pour tout~$i$, $v(x_{i+1}^q-x_i) - v(x_i) ≥ ξ$.

Supposons $x_i$~construit~; choisissons une racine~$y$ de l'équation~$y^q
= x_i$. On remarque que $p^{-1} f^+(x_i) = f^+(x_i) - g(x_i)$, de sorte
que, si l'on cherche~$x_{i+1}$ sous la forme~$y+t$, on est amené à
résoudre l'équation
\[ f^+(y+t) - f^+(y) = -g(y) = -∑_{j=0}^{h-1}
   u_j y^{p^j} \].

Commençons par calculer la valuation de~$-g(y)$~: le calcul montre que le
terme de plus petite valuation correspond à~$j = i+1$ (ou~$j = h-1$ si~$i
≥ h-1$), et on a donc
\[ v(g(y)) = \begin{cases}
   \frac{i+1}{h}+ \frac 1{h\,(p-1)} & \text{si $i≤ h-1$,}\\
   -1+\frac 1h+ \frac 1{h\,p^{i+2-h}\,(p-1)} & \text{si $i≥ h-1$.}\\
   \end{cases}
\]
Dans tous les cas, on a bien $v(g(y)) > -1 + \nicefrac {1}{h(p-1)}$.

Le développement en série entière en $t$ de $f^+(y+t)-f^+(y)$ est :
\begin{align*}
   f^+(y+t)-f^+(y) &= ∑_{i≥ 1}u'_i 
	 ∑_{j=1}^{p^i} \binom{p^i}{j} t^j y^{p^j-i}\\
      &= ∑_{j≥ 1} t^j
	 ∑_{p^i≥ j} u'_i \binom{p^i}{j} y^{p^j-i}
%       &= ∑_{j≥ 1}μ_j t^j.
\end{align*}
Notons~$μ_j$ le coefficient de~$t^j$ dans cette somme.
On vérifie que $v(μ_{p^em})≥ -\nicefrac eh$, et que cette valeur est
atteinte lorsque~$m=1$ et $e$~est multiple de~$h$. On peut donc en
déduire le polygone de Newton de $∑ μ_j t^j - g(y)$~; il est compris
(à droite de la droite d'équation $x=q$)
entre le polygone dont les points sont les~$(p^i, -\nicefrac ih)$ et celui
dont les points sont les~$(q^i, -i)$, et puisque $v(g(y)) > -1 + \nicefrac
1{h(p-1)}$, son premier segment rejoint les points~$(0, v(g(y)))$ à~$(q, -1)$.

\noindent \includegraphics{cris1}\hss

On vérifie donc que $f^+(y+t) = p^{-i-1} b$ a~$p^h$ solutions~$t$ de
valuation strictement supérieure à la valuation de~$x_i$, et qu'on a même
% \[v(t) - v(x_i) > ξ \;=\; \frac 1h \;\frac {p-2}{p-1}\].
\[ v(t)≥ \frac 1qρ,\quad\text{et donc}\quad
  v(x_{i+1}^q-x_i) ≥ \frac{q-1}q ρ \].
On peut donc construire une suite~$(x_i)$ vérifiant les
conditions énoncées.
%
Ceci garantit que, pour tout~$i$, l'élément de~$\O_C$ défini par~$x'_i =
\lim (x_{i+j}^{q^j})$ existe. Par construction de~$x'_i$, il est immédiat
que~$(x'_{i+1})^q = x'_i$~; cette suite définit donc un élément de~$R$,
et l'élément de~$E_{1/h}(C)$ correspondant vérifie bien $u(x') = b$. Ceci
achève la preuve de la surjectivité de $u$.

\smallbreak

Pour prouver que $\Ker u$~est un $\Qp$-espace vectoriel de dimension~$h$,
commençons par fixer un réseau~$Λ$ de~$\Ker u$~: il suffit alors de
prouver que $Λ/pΛ$ est de cardinal~$p^h$. Ceci revient à
refaire le raisonnement précédent lorsque~$b = 0$~; en
choisissant~$Λ$ assez petit, on peut supposer~$x_0 = 0$, et le
cardinal de~$Λ/pΛ$ est égal au nombre de valeurs possibles
pour~$x_1$. Puisque~$0$ n'a qu'une seule racine~$q$-ième, il y a
exactement $p^h$~valeurs possibles, ce qui prouve que $\Ker u$~est de
dimension~$h$ sur~$\Qp$.
\end{proof}


%<<<2
\subsection{Structure des espaces de~Banach-Colmez de dimension un}

\begin{lem}\label{lem:compte-solutions}
Soient~$k = R / \go m_R$ et~$E = \Frac R$.

Soient~$P_1,…,P_h$ des polynômes à~$h$ variables à coefficients dans~$R$,
de la forme~$P_r = ∑ a_{r,i,n}X_i^{p^n}$ où~$n ∈ ℤ$, et~$I_1, …. I_s$ une partition
de l'ensemble~${1,…,h}$ en $s$~parties. Soit~$h_j$ le cardinal de~$I_j$.
On suppose en outre :
\begin{enumerate}
\item il existe des entiers~$d_j$ tels que $v_R(a_{r,i,n}) = 0$ \ssi il existe~$j=1,…, s$ tel que~$(r, i) ∈ I_j × I_j$ et~$r = d_j$ ;
\item pour tout~$j=1,…,s$, $δ_j = \det (a_{r,i,n_j})_{(r,i) ∈ I_j ×
I_j}$~est une unité de~$R$ ;
\item pour tout~$i=1,…,s$, soit~$e_i$ le plus petit entier~$n$ tel que l'un
des coefficients~$a_{r,i,n}$ soit non nuls ; alors~$\det(a_{r,i,
e_i})_{r,i}$ est non nul.
\end{enumerate}

Soit~$A = R[X_1,…, X_h]/(P_1,…,P_h)$. Alors~$\Hom(A, R)$ a
exactement~$p^{∑ h_j d_j - ∑ e_i}$ points.
\end{lem}

\begin{proof}
Quitte à réordonner les~$X_i$, on peut supposer que les
parties~$I_1,…,I_s$ de~${1,…, h}$ sont des intervalles rangés par ordre
croissant ; de plus, quitte à remplacer~$X_i$ par~$X_i^{p^{e_i}}$
pour tout~$i$, on peut supposer d'après~(iii) que~$e_i = 0$
pour tout~$i$, c'est-à-dire que le déterminant jacobien des~$P_r$ est non
nul. Puisque~$R$ est parfait, ceci ne change pas le nombre de solutions.

Soient~$\overline{P_r}$ les images des~$P_r$ dans~$k[X_1,…,X_h]$. Alors
d'après~(i), pour~$r ∈ I_j$, on peut écrire $\overline{P_r} = \sum_{i ∈
I_j} a_{i,j,n_j}X_i^{p^{d_j}}$ ; d'après~(ii), on en conclut que
les~$\overline{P_r}$ forment une suite régulière de~$k[X_1,…,X_h]$. De
plus, $A_k = A ⊗_R k$ est une $k$-algèbre finie et plate de rang~$p^{∑ h_j
d_j}$.

Par conséquent, les $P_r$ forment une suite transversalement régulière
de~$R[X_1,…,X_h]$ relativement à~$R$ (\cite[IV.19.2.1]{EGA4}), et
donc~$A$~est une $R$-algèbre finie et plate de rang~$p^{∑ h_j d_j}$.

D'après~(iv), $Ω^1_{A ⊗ E/E} = 0$ ; par conséquent, $A ⊗ E$ est une
algèbre finie étale de rang~$p^{∑ h_j d_j}$, donc~$\Hom_E (A ⊗ E, E$ est de
cardinal~$R$. Enfin, puisque~$R$~est intégralement clos, tout point
de~$E^h$ définissant un morphisme~$A → E$ est en fait à coordonnées
dans~$R$, et donc~$\Hom_R (A, R)$ est de cardinal~$p^{∑ h_j d_j}$.
\end{proof}

% Notons $E = \Frac R$ et~$k = R/\go m_R$.
% 
% \begin{lem}\label{lem:compte-solutions}
% Soient~$P_1, …, P_n$ des polynômes à~$n$ variables à coefficients
% dans $R$~; on note $A$ la \hbox{$R$-algèbre}~$R[X_1, …, X_n] / (P_1, …,
% P_n)$. On note~$\widehat A$ le complété séparé de~$A$ pour la topologie
% $\go m_R$-adique, $A_k = A ⊗_R k$, $A_E = A ⊗_R E$~; on
% suppose que $Ω^1_{A_E/E} = 0$ et que $A_k$~est fini sur~$k$ de rang~$r$, et que $(\overline{P_i})$~est une suite régulière dans~$k[X_1,
% …, X_n]$. Alors $\Hom(A, R)$~est fini de cardinal~$r$.
% \end{lem}
% 
% \begin{proof}
% Puisque $\widehat A$ est de type fini, de fibre générique étale, alors
% $\widehat A$ est finie sur $R$. Le fait que $(\overline{P_i})$ soit une
% suite régulière montre que $A$ est plat sur $R$; en outre $\Hom(A, R) =
% \Hom(\widehat A, R)$ et $\widehat A_k = A_k$~; on peut donc supposer que
% $A = \widehat A$.
% 
% On vérifie alors que $A$ est la boule unité de $A_E$~; puisque $A_E$ est
% étale et que $E$ est algébriquement clos, $A_E = E^d$, et donc $A = R^d$
% et $A_k = k^d$ (en tant que $k$-espace vectoriel). Ceci prouve le
% résultat.
% \end{proof}


Dans ce qui suit, $(V,C,λ)$~est un objet connexe et à pentes finies
de la catégorie~$\L^+_C$ définie en~\ref{df:categ-L+}, c'est-à-dire
que~$λ: C → V ⊗_{\Qp} C(-1)$~est injective et~$V ∩ λ(C) = V$.

Quitte à fixer une base de~$V$, on peut écrire~$λ=(λ_1,…,λ_h)$, où
les~$λ_i$~appartiennent à~$C$, et on peut même choisir cette base de
façon que les~$λ_i$ appartiennent à~$\O_C$. Dire que~$λ$~est
connexe et à pentes finies revient alors à dire que les~$λ_i$ sont
linéairement indépendants sur~$\Qp$.

Soit également~$ι: E_{1/h} → (E_{1/h})_C$ l'application d'enveloppe de
la proposition~\ref{prop:iota-injectif}. Puisque~$E_{1/h}^⋆$ est
le~$C$-espace vectoriel de base~$(θφ^r,r=0,…,h-1)$, on peut
l'écrire~$ι(x)=(θ x,θ φ x,…,θ φ^{h-1} x)$. On rappelle également qu'en
vertu de la proposition~\ref{prop:structure Ealpha},
$E_{1/h}$~s'identifie comme variété spectrale affine à~$\go m_R$,
l'isomorphisme étant donné par
\[ η: \application{R}{BW(R)}{x}{∑_{n ∈ ℤ} p^{-n} \cro{x^{p^{n(h-1)}}}} \].
Enfin, $(E_{1,h})_C$ est naturellement muni d'une structure de
$\Qph$-espace vectoriel, la multiplication par un élément~$c$ de~$\Qph$
étant définie par~$c⋅(x_r)_{r=0,…,h-1} = (φ^r(c)x_r)_{r=0,…,h-1}$ ;
l'application~$ι: E_{1,h} → (E_{1,h})_C$ est $\Qph$-linéaire pour cette
structure.

La proposition qui suit traite un cas particulier, celui où les
coefficients~$(f_1, …, f_h)$ sont $\Fp$-linéairement indépendants
dans~$\O_C/\go m_C$. Ce cas ne sert pas à la démonstration du cas général
(proposition~\ref{prop:iota-lambda-general}), mais il en rend l'exposé
plus compréhensible.

\begin{prop}\label{prop:iota-lambda-particulier}
Soient~$λ_1, …, λ_h$ des éléments de~$\O_C$ dont les images modulo~$\go
m_C$ sont linéairement indépendantes sur~$\Fp$ ; alors
\[ ι ⊗ \trans λ : \application{\Hom(V, E_{1/h}) = E_{1/h}^h} {(E_{1/h})_C=C^h}
  {(x_1,…,x_h)}{\pa{∑_{i=1}^h λ_i\,θ φ^r(x_i)}_{i=0,…,h-1}}
\]
est surjective, et son noyau est un $\Qph$-espace vectoriel de
dimension~$h$.
\end{prop}

\begin{proof}
Soit~$q=p^h$. Puisque~$η: \go m_R → E_{1/h}$~est une bijection analytique, il
suffit de montrer le résultat pour~$f = (ι ∘ η) ⊗ \trans λ : \go m_R^h → C^h$.
Notons~$\ro E$ le réseau de~$R$ constitué des éléments de valuation
supérieure ou égale à~$\nicefrac 1 {q-1}$,
et~$\ro S$ le réseau droit de~$C^h$ (\ref{df:reseau droit}) de type
\[ \pa{ \frac 1{q-1}, \frac p{q-1}, …, \frac {p^{h-1}}{q-1}} \].
On vérifie que l'image de~$\ro E^h$ est bien incluse dans~$\ro S$~; il
suffit donc de montrer que~$f: \ro E^h → \ro S$ est
surjective, et que son noyau est un $ℤ_{p^h}$-module libre de rang~$h$.

Soit~$L_{1/h}$ la $\Qp$-algèbre à division d'invariant~$\frac 1h$ ;
$\Qph$~est un sous-corps commutatif de~$L_{1/h}$, et~$L_{1/h}$~est
engendrée sur~$\Qph$ par un élément~$π$ vérifiant les relations~$π^h =
p$, $π x = φ(x) π$ pour~$x ∈ \Qph$.

Alors $L_{1/h}$~agit par automorphismes sur~$E_{1/h}$ (l'action de~$π$
étant donnée par~$φ$), et donc sur~$E_{1/h} ⊗ V$ ; de même,
$L_{1/h}$~agit sur~$C^h$, l'action de~$π$ étant donnée par
l'automorphisme~$Π$ de~$C^h$ défini par
\[ Π(x_0,…,x_{h-1}) \;=\; (x_1,…,x_{h-1},p x_0) \].
% \[ Π = \begin{pmatrix}
%  &1& & \\ & &⋱& \\ & & &1\\ p& & & \\
% \end{pmatrix}
% \].
Par construction de~$ι$, on vérifie en outre que~$ι ∘ φ = Π ∘ ι$,
c'est-à-dire que~$ι: E_{1/h} → (E_{1/h})_C = C^h$ commute à l'action
de~$L_{1/h}$. Il en est donc de même de~$f$, qui est par conséquent une
application $L_{1/h}$-linéaire à gauche entre~$R^h$ et~$C^h$. Par
conséquent, le noyau de~$f$~est un $L_{1/h}$-espace vectoriel à gauche.

Soit~$\ro D$ l'ordre maximal de~$L_{1/h}$ ; $\ro D$~est séparé et complet
pour la topologie $p$-adique, $π$~est une uniformisante de~$\ro D$
et~$\ro D / π \ro D = \F_{p^h}$. De plus, $\ro E^h$ et~$\ro S$ sont des
sous-$\ro D$-modules à gauche respectivement de~$R^h$ et~$C^h$, et on
voit que~$π⋅(\ro E^h) = φ(\ro E)^h$ et~$π⋅(\ro S) = Π \ro S$.

Il suffit donc, pour prouver la proposition, de montrer que l'application
quotient
\[ \overline{f}: \ro E^h / φ(\ro E)^h → \ro S / Π \ro S \] 
est surjective, et que son noyau (qui est un $\F_q$-espace vectoriel) est
une droite sur~$\F_q$.

\medbreak

Par construction du réseau~$\ro S$ et puisque~$1 + \frac {1}{q-1} =
\frac{p^h}{q-1}$, son image~$Π\ro S$~est le réseau droit de type
\[ \pa{ \frac p{q-1}, \frac{p^2}{q-1}, …, \frac{p^h}{q-1}} \].
Pour tout~$r =0, …, h-1$, l'application~$θ ∘ φ^r ∘ η: R → C$ s'écrit sous forme
de série :
\[ θ ∘ φ^r ∘ η (x) = ∑_{n ∈ ℤ} p^{-n} θ([x^{p^{nh+r}}]) \];
sous la condition~$v_R(x) ≥ \frac 1{q-1}$, les seuls termes de cette
série dont la valuation est inférieure à~$\frac {p^{r+1}}{q-1}$ sont :
\begin{itemize}
\item pour $r = 0$, les termes $n = 0$ et $n=1$~;
\item pour $1 ≤ r ≤ h-2$, le terme $n = 0$~;
\item pour $r = h-1$, les termes $n=0$ et $n=-1$.
\end{itemize}
Autrement dit, l'application~$\overline{f}$ s'écrit encore
\[ \begin{split}\overline{f} (x_1, …, x_d) =
  \left(∑_{i=1}^h λ_i ([x_i] + \frac 1p [x_i^{p^h}])\right.,&
  ∑_{i=1}^h λ_i [x_i^p], ∑_{i=1}^h λ_i [x_i^{p^2}], …,
  ∑_{i=1}^h λ_i [x_i^{p^{h-2}}],\\
  &\left.∑_{i=1}^h λ_i p[x_i^{1/p}] + [x_i]^{p^{h-1}}\right).
\end{split}\]

Pour tout~$i=1,…,h$, soit~$\widehat{λ_i}$ un élément de~$R$ tel
que~$\widehat{λ_i}^{(0)} = λ_i$ ; soit également~$\widetilde{p}$ un élément
de~$R$ tel que~$\widetilde{p}^{(0)} = p$. Il suffit alors pour montrer la
surjectivité de~$\overline{f}$ de montrer que, pour tous~$b_0,…,b_{h-1} ∈
R$ tels que~$v(b_r) ≥ \frac{p^r}{q-1}$, le système
\[\left\lbrace\begin{array}{lcl}
\displaystyle ∑ \widehat{λ_i} (x_i + \frac 1{\widetilde{p}} x_i^{p^h})
   &=& b_0, \\
\displaystyle ∑ \widehat{λ_i} (x_i^{p^r}) &=& b_r
   \qquad\text{pour $r = 1, …, h-2$,}\\
\displaystyle ∑ \widehat{λ_i} (\widetilde{p}x_i^{\frac 1p} + 
   x_i^{p^{h-1}}) &=& b_{h-1},
\end{array}\right.\]
a une solution~$(x_1,…,x_h)$ dans~$\ro E^h$. Soit~$ξ$ un élément de~$R$
tel que~$ξ^{p(q-1)} = \widetilde{p}$ ; alors~$ξ^p$~est un générateur de
l'idéal~$\ro E$. Alors, en effectuant le changement de variables~$x_i =
(ξ y_i)^p$, il suffit de résoudre dans~$R^h$ le système
\[\left\lbrace\begin{array}{lcl}
\displaystyle ∑ \widehat{λ_i}(y_i^p + y_i^{p^{h+1}}) &=& ξ^{-p}\,b_0\\
\displaystyle ∑ \widehat{λ_i} y_i^{p^{r+1}} &=& ξ^{-p^{r+1}}\,b_r\\
   \qquad\text{pour $r=1, …, h-2$,}\\
\displaystyle ∑ \widehat{λ_i} (ξ^{(p-1)(q-1)} \,y_i + y_i^{p^h}) &=&
  ξ^{-p^{h}}\,b_{h-1}.
\end{array}\right.\]
Posons enfin~$μ_i = λ_i^{p^{-h}}$.
puisque $R$~est un anneau parfait de caractéristique~$p$, les équations
peuvent de « linéariser » en :
\[ \left\lbrace\begin{array}{lcl}
\displaystyle ∑ μ_i^{p^{h-r-1}} y_i &=& c_r \qquad\text{pour~$r=1,…,h-2$},\\
\displaystyle ∑ μ_i^{p^{h-1}} (y_i+y_i^{p^h}) &=& c_{h-1}\\
\displaystyle ∑ μ_i^{p^{h}} (ξ^{(p-1)(q-1)} y_i + y_i^{p^h}) &=& c_h,
\end{array}\right. \]
où~$c=(c_1,…,c_h)$~est un élément de~$R^h$ ; autrement dit, il s'agit de
montrer que, pour tout~$c$~appartenant à~$R^h$, le $R$-schéma~$Z_c$
défini par ces équations a au moins un point à coefficients dans~$R$.
Le déterminant jacobien de~$Z_c$ vaut
$ξ^{(p-1)(q-1)} \, δ$ où
\[
   δ = \det (μ_i^{p^r})_{i,r=1,…,h}
   = ∏_{a∈ \gras{P}^{h-1} \F_p} \pa{∑_{i=0}^{h-1} [a_i]μ_i^p}
\].
Puisqu'on a supposé les images des~$λ_i$ linéairement indépendantes sur
$\Fp$, il en est de même pour les~$μ_i^p$, et il s'ensuit que $δ$~est une
unité de~$R$~; par conséquent, $Z_c$~n'est pas étale sur~$R$, mais $Z_c
⊗_R (\Frac R)$~est étale sur~$\Frac R$. Remarquons enfin que
les~$(h-2)$~premières équations sont linéaires, ce qui implique que ce
système peut se réduire sur~$\Frac R$ à deux équations à deux inconnues,
de la forme
\[\left\lbrace\begin{array}{lcl}
   z^q + α z + β z' &=& c \\
   {z'}\,^q + ξ^{(p-1)(q-1)}α' z' + ξ^{(p-1)(q-1)}β' z &=& c' \\
\end{array}\right.\]

On constate donc que $Z_c$~est de rang~$q^2$, entier sur~$R$, et étale
sur~$\Frac R$. Par conséquent, $Z_c(R)$ et~${Z_c(\Frac R)}$ sont de même
cardinal~$q^2$. Ceci montre que~$\overline{f}$ est surjective ; il en est
donc de même de~$f$.

\bigbreak

Il reste à prouver que le noyau de~$\overline{f}$~est de dimension~$1$
sur~$\F_{p^h}$, c'est-à-dire que~$Z_0 (R)/φ(\ro E)$~a~$q$ points.

On voit immédiatement que~$Z_0(R)/\go m_R$ a exactement~$q$ points ; par
conséquent, $Z_0(R) / φ(\ro E)$~a au moins~$q$ points distincts. De plus,
on dispose de la suite exacte courte (d'ensembles pointés)
\[ 0 → Z_0(R) ∩ φ(\ro E) → Z_0(R) → Z_0(R) / φ(\ro E) → 0 \];
par conséquent, il suffit de montrer que~$Z_0(R) ∩ φ(\ro E)$ a au
moins~$q$ points distincts.

Puisque l'idéal~$φ(\ro E)$~de~$R$ est engendré par~$ξ^p$, on voit que
déterminer les points de~$Z_0(R) ∩ φ(\ro E)$ revient à résoudre
les équations suivantes (en posant~$y_i = ξ^{p-1} z_i$):
\[\left\lbrace\begin{array}{lcl}
   ∑ μ_i^{p^r} z_i &=& 0 \quad\text{pour $r=1,…,h-2$,}\\
   ∑ μ_i^{p^{h-1}} (z_i + \widetilde p z_i^q) &=& 0,\\
   ∑ μ_i^{p^h} (z_i + z_i^q) &=& 0. \\
\end{array}\right.\]
On constate que le déterminant jacobien est cette fois égal à~$δ$,
et que le système est donc étale sur~$R$~; par conséquent, ce système
admet~$q$ solutions sur~$R$, ce qui montre que le cardinal de~$Z_0(R) ∩
φ(\ro E)$ est~$q$.

Finalement, on conclut que~$\Ker(\overline f)$~est bien une droite
sur~$\F_{p^h}$, et donc $\Ker(f)$~est un $\Qp$-espace vectoriel de
dimension~$h$.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:iota-lambda-general}
Soit~$V$ un sous-$\Qp$-espace vectoriel de dimension~$h$ de~$C$, et
notons~$λ: V → C$ l'injection canonique.
Alors $ι ⊗ λ: E_{1/h} ⊗_{\Qp} V → C^h$
est surjective, et son noyau est un $\Q_{p^h}$-espace
vectoriel de dimension~$h$.
\end{prop}

\begin{proof}
La preuve de cette proposition est bien sûr semblable à celle du cas
particulier précédent.

Soit~$\ro V$ un réseau de~$V$. Alors $\ro V/(V ∩ \go m_C \ro V)$~est par
hypothèse un $\overline{\Fp}$-espace vectoriel de dimension~$h$ ; par
conséquent, on peut choisir une base~$(λ_1,…,λ_h)$ de~$V$ telle qu'il
existe des réels~$0 ≤ v_1 < … < v_s < 1$ et des entiers~$n_0 = 1 < … <
n_s = h+1$ tels que $v(λ_i) = v_j$ pour tout~$i=n_{j-1},…,n_j-1$ ; en
outre, les images de~$λ_{n_{j-1}},…, λ_{n_j-1}$ sont linéairement
indépendantes modulo l'idéal de~$\O_C$ de valuation~$v_j$. Pour tout
entier~$i=1,…,h$, on note encore~$m(i)$ l'unique entier tel que~$v(λ_i) =
v_{m(i)}$.

On pose encore~$v_0 = v_{s} - 1$ et, pour~$j = 1, …, s$, $w_j =
p^{-n_{j-1}} (v_{j} - v_{j-1})$, ainsi que
\[ ρ_j = \frac 1 {q-1} \pa{ w_1 + … + w_j + qw_{j+1} + … + q
w_h}. \] Par construction des~$ρ_j$, on a les relations
\[ ρ_j - ρ_{j+1} = p^{-n_j} (v_{j+1} - v_j) \quad\text{et}\quad
q\, ρ_s - ρ_1 = v_1 - v_s + 1 = v_1-v_0\]. Notons également $h_j = n_j -
n_{j-1}$~; on a alors $h_1 + … + h_s = h$. Puisque la somme des
$p^{n_{j-1}}w_j$ est égale à $1$ et puisque $0 < p^{n_{j-1}}w_j < 1$, on
obtient pour $ρ_j$ l'encadrement:
\begin{equation} \label{eq:encadrement-rho}
\frac {p^{-n_{j-1}}}{q-1} < ρ_j < \frac{p^{h-n_{j}} }{q-1}.
\end{equation}


Soit~$\ro E$ le réseau droit de~$R^h$ de type
$(ρ_{m(i)})_{i=1,…,h}$ ; chaque~$ρ_j$~est répété~$h_j$ fois.
Par construction des~$ρ_j$, l'image de~$\ro
E$~est incluse dans le réseau droit~$\ro S$ de~$C^h$ de type~$(v_{m(r)} +
p^r ρ_{m(r)})_{r=1,…,h}$.

De même que dans la preuve de la proposition~\ref{prop:iota-lambda-particulier}, $E_{1/h}^h$ et~$C^h$ sont des $L_{1/h}$-modules à gauche,
et l'application~$ι ⊗ λ$ est $L_{1/h}$-linéaire ; de plus, puisque
$v_{j+1} + ρ_{j+1}^{p^{n_{j+1}}} = v_j + ρ_j^{p^{n_j}}$ pour~$j = 0, …,
s-1$, on vérifie que $Π \ro S$~est le réseau droit de~$C^h$ de
type~$(v_{m(r)} + p^{r+1} ρ_{m(r)})_{r=1,…,h-1}$.

Par conséquent, il suffit encore de démontrer que l'application
\[ \overline{f}: \ro E / φ \ro E → \ro S / Π \ro S \]
est surjective, et que son noyau est un $\Fp$-espace vectoriel de
dimension~$h$.
% déjà dit!
% Or $\ro E$ et~$φ \ro E$ sont les réseaux droits de types
% respectifs~$(ρ_{m(i)})_{i=1,…,h}$ et~$(p\,ρ_{m_i})_{i=1,…,h}$, et~$\ro S$
% et~$Π \ro S$ sont les réseaux droits de
% types~$(v_{m(r)}+p^r\,ρ_{m(r)})_{r=1,…,h}$ et~$(v_{m(r)}+p^{r+1}\,
% ρ_{m(r)})_{r=1,…,h}$.

% L'application~$\overline{f}$ peut encore s'écrire
% \[ \overline{f}(x_i)_{i=1,…,h} = (∑_{i=1}^h ∑_{n ∈ ℤ}
%   p^{-n} λ_i θ([x_i])^{p^{nh+r}})_{r=0,…,h-1} \].
% Notons~$j = m(i)$. Alors la valuation du terme général de cette somme est
% supérieure ou égale à
% \( v_{j} + p^{nh+r} ρ_j - n \) ;
% Par conséquent, les seuls termes de~$\overline{f}$ non nuls modulo~$Π \ro
% S$ sont les termes~$(r, j, n)$ tels que
% % \[ v_{j} + p^{nh+r} ρ_j - n < v_{m(r)} + p^{r+1} ρ_{m(r)} \].
% \[ v_{m(r)}-v_j + n > p^{r} (p^{nh} ρ_j - p ρ_{m(r)}) \].
% Les seuls termes vérifiant cette condition sont : $(n = 0, j = m(r))$ ;
% $(n = 1, j = m(r), r = n_j-1)$ ; $(n = 0, j = m(r)+1)$.
% Si $j = m(r)$ :
% \[ n > p^r ρ_j (p^{nh}-p) \]
% Si~$n = 0$ : c'est toujours vrai
% Si~$n = 1$ : $p^rρ_j(p^h-p) < 1$, donc~$p^{r-n_{j-1}} >
% \frac{p^h-1}{p^h-p}$, seulement si~$r = n_{j-1}$.
% Si`$n ≥ 2$ : $p^{r-n_{j-1}} < \frac 1n \frac{p^h-1}{p^{nh-p}}$
% impossible
% Si~$n ≤ -1$ : $p^{r-n_j}$ < (-n) \frac{p^{nh}-p^n}{p^{nh+1}-1}$
% impossible (sauf peut-être si~$s=1$, cas déjà traité).
%
% Si $j = m(r)+1$ :
% \[n+w_j(p^{r+1}-p^{n_{j-1}}) > p^{r} (p^{nh}-p) ρ_j\]
% Si~$n = 0$ : $w_j (p^{r+1}-p^{n_{j-1}}) > p^r (1-p) ρ_j$ peut être vrai
% Si~$n ≥ 1$ : $w_j > \frac{p^{nh}-p}{p-p^{n_{j-1}-r}} - p^{-n}r$
% impossible
% Si~$n ≤ -1$ : impossible.
%
% Si $j ≥ m(r)+2$ : impossible
%
% Si $j = m(r)-1$ : impossible


% où
% \[ \ro E / φ \ro E
%   = [ ρ_{m(i)} ]_{i=1,…,h} / [ p ρ_{m(i)}]_{i=1,…,h} \] et
% \[ \ro S / Π \ro S = [ v_{m(r)} + p^r ρ_{m(r)} ]_{r=1,…,h} /
%    [v_{m(r)} + p^{r+1} ρ_{m(r)} ]_{r=1,…,h}
% \]

Soient~$ξ_1,…,ξ_s$ des éléments de~$R$ tels que
\[ \pa{\frac {ξ_j^{(0)}}{ ξ_{j+1}^{(0)}}}^{p^{n_j}} =
  \frac{λ_{n_j}}{λ_{n_{j-1}}} \quad\text{et}\quad
  \frac{\pa{ξ_s^{(0)}}^{p^h}}{ξ_1^{(0)}} = p \frac{λ_1}{λ_{n_{s-1}}}
\].
Alors, pour tout~$j$, $v(ξ_j) = ρ_j$, et par conséquent les $ξ_j$, répété
chacun~$h_j$ fois, forment une base du $R$-module libre~$\ro E$.
Par conséquent, l'application~$ξ: (y_i)_{i=1,…,h} ↦ (x_i = ξ_{m(i)} y_i)$
est une bijection entre~$\bigoplus (R / ξ_j^{p-1} R)^{h_j}$ et~$\ro E /
φ(\ro E)$.

Notons, pour $n_{j-1} ≤ i ≤ n_{j}-1$, $\tilde{λ}_i$ un élément de~$R$ tel
que~$θ(\tilde{λ}_i) = λ_i$, et $μ_i = \tilde{λ}_i / \tilde{λ}_{n_{j-1}}$ ;
alors les $μ_i$ sont des unités de $R$, et les images modulo $\go m_R$
de~$μ_{n_{j-1}}, …, μ_{n_j-1}$ sont linéairement indépendantes sur $\F_p$.
Posons
\[ P_r (X_1, …, X_h) = ∑_{i=1}^h ∑_{n ∈ ℤ} \tilde{p}^{-n} \tilde{λ}_i
  X_i^{p^{nh+r}} \];
on peut alors écrire~$\overline{f} ∘ ξ = (P_0, …, P_{h-1})$. De plus,
dans~$\ro S / Π \ro S$, seul un nombre fini des termes de~$P_r$ ne
s'annule pas. D'après le lemme~\ref{lem:compte-solutions}, le nombre de
solutions du système d'équations~$(P_0(X) = b_0, …, P_{h-1}(X) =
b_{h-1})$ pour~$(b_0, …, b_{h-1}) ∈ \ro S$ est donc~$p^{∑ h_j d_j - ∑
e_i}$, où~$d_j$ et~$e_i$ sont définis comme dans le lemme. En
particulier, ce nombre est non nul, ce qui prouve que~$\overline f$, et
donc~$ι ⊗ λ$, sont surjectives.

Il reste à prouver que le noyau de~$ι ⊗ λ$ est un $D$-module à gauche de
rang~$1$ ; il suffit pour cela de montrer que le noyau de~$\overline f$
est un $\Fp$-espace vectoriel de dimension~$1$, c'est-à-dire de démontrer
qu'il est de cardinal~$p$. Or ce noyau est le quotient~$N / (N ∩ φ \ro
E)$, où~$N = \acco { X ∈ E, P_0(X) = … = P_{h-1} (X) = 0 }$.
Puisque~$φ$~est une bijection entre~$\ro E$ et~$φ\ro E$, c'est aussi une
bijection entre~$N$ et~$\acco { X ∈ E, P_0(φ X) = … = P_{h-1} (φ X) = 0
}$ ; or, pour tout~$r$, $P_r ∘ φ = P_{r+1}$. Par conséquent, $N ∩ φ \ro
E$~est en bijection avec~$N' = \acco{X ∈ E, P_1(X) = … = P_h(X) = 0}$. De
plus, par construction, $P_h = \tilde{p} P_0$. Soient~$d'_j$, $e'_i$ les
entiers donnés par le lemme~\ref{lem:compte-solutions} pour les
polynômes~$(P_h, P_1, …, P_{h-1})$ ; alors $d'_j = d_j$ pour tout~$j$,
et~$e'_i = e_i$ si~$i ≥ 1$, $e'_0 = e_0 -1$. Par conséquent, le cardinal
de~$N'$ est~$p^{∑ h_j d_j - ∑ e_i - 1}$, et donc le cardinal de~$N/N'$
est~$p$. Ceci prouve que le noyau de~$ι ⊗ λ$~est un $\Qph$-espace
vectoriel de dimension~$h$.
% 
% On peut alors écrire, pour~$x_i = ξ_{m(i)} y_i$ avec~$y_i ∈ R$,
% \( \overline f(x_1, …, x_h) = (P_0 (x_1, …, x_h), …, P_{h-1} (x_1, …, x_h))
% \pmod{Π \ro S} \)
% où les~$P_r$ sont les éléments de~$R\acco{Y_1,…,Y_h}_R$ définis par
% \[ P_r (x_1, …, x_h) = ∑_{j=1}^{s} \tilde{λ}_{n_{j-1}}
%   ∑_{i=n_{j-1}}^{n_j-1} μ_i ∑_{n ∈ ℤ}
%   (\tilde p)^{-n} ξ_j^{p^{nh+r}} X_i^{p^{nh+r}} \].
% La valuation du coefficient~$(j, i, n)$ de~$P_r$ est~$v_j +
% p^{nh+r} ρ_j - n$. Elle prend sa valeur minimale pour le plus petit
% entier~$n$ tel que~$p^{nh+r} ρ_j(p^h-1) ≥ 1$. Compte tenu de
% l'encadrement~\ref{eq:encadrement-rho}, la valeur minimale est atteinte
% pour~$n = 0$ et~$n_{j-1} ≤ r ≤ n_j - 1$.
% 
% 
% Soit~$\ro S_R$ le réseau régulier de~$R^h$ de même type que~$\ro S$.
% Alors $\overline{f}$~est surjective \ssi pour tout~$b = (b_0,…, b_{h-1})
% ∈ \ro S_R$, il existe~$y = (y_0,…,y_{h-1}) ∈ ⨁ (R/ ξ_j^{p-1} R)^{h_j}$
% solution du système de~$h$ équations
% \[ \left\lbrace
%   \begin{array}{lcll}
%   \displaystyle
%   ∑_{i=0}^{n_1-1} μ_i y_i + ∑_{i=n_{s-1}}^{h-1} μ_i y_i^q
%   &=& b_0 / ξ_1 &\\ 
%   \displaystyle
%   ∑_{i=n_{j-1}}^{n_{j}-1} μ_i y_i^{p^{n_j}} +
%   ∑_{i=n_{j}}^{n_{j+1}-1} μ_i y_i^{p^{n_j}}
%   &=& b_{n_j} / ξ_{j+1}^{p^{n_j}}
%   &(j=1,…,s-1)\\
%   \displaystyle
%   ∑_{i=n_{j-1}}^{n_{j}-1} μ_i y_i^{p^r}
%   &=& b_r / ξ_{j}^{p^r} 
%   &(j=1,…,s$;\; $r=n_{j-1}+1,…,n_{j}-1)\\
%   \end{array}
%   \right.
% \]
% Soient~$(P_1,…,P_h)$ les polynômes définissant ces équations, et
% notons~$A = R[X_1,…,X_h] / (P_1, …, P_h)$. Alors les antécédents de~$b$
% par~$\overline{f}$ sont en bijection avec les éléments de~$\Hom(A, R) /
% \ro E^{p-1}$.
% 
% Le cardinal de~$\Ker \overline{ι⊗λ}$ est le nombre de points
% dans~$\bigoplus (R/τ_j^{p-1} R)^{h_j}$ d'une
% algèbre~$A=R[X_1,…,X_h]/(P_1,…,P_h)$, c'est-à-dire, en
% notant~$\go a=\bigoplus τ_j R^{h_j}$, le cardinal de~$\Hom(A, R)/\go
% a^{p-1}$.
% 
% 
% Il s'ensuit de l'indépendance linéaire des~$μ_j$ que le déterminant
% des~$μ_j^{p^r}$ pour~$j,r=n_{j-1}$ à~$n_j-1$ est une unité dans~$R$. Les
% polynômes~$P_1, …, P_h$ forment donc une suite régulière.
% 
% Notons~$r_j$ le plus petit entier~$r$ tel qu'il existe un indice~$ℓ$
% pour lequel le coefficient de~$y_i^{p^r}$ dans~$P_ℓ$ est non nul~; on
% sait que~$r_j ≤ n_{j-1}$. Soit~$B$ la sous-$R$-algèbre de~$A$
% engendrée par les~$y_i^{p^{r_j}}$~; alors $B$~devient étale après
% extension des scalaires à~$E=\Frac R$. Par conséquent, on
% peut utiliser le lemme \ref{lem:compte-solutions} pour calculer le
% rang de cette algèbre.
% % cardinal de~$S$, en prenant garde à considérer le rang de l'algèbre
% % engendrée sur~$k$ par
% % les~$y_i^{p^{r_j}}$.
% 
% Notons $Y_j = ∑_{i=n_{j-1}}^{n_j-1} μ_i y_i^{p^{n_j}}$~; $Y_j$~est
% un élément de~$B$ car $n_j ≥ r_j$. Puisque la matrice
% des~$μ_i^{p^r}$ est inversible, on peut remplacer les~$y_i$ par
% les~$Y_j$, et on obtient alors le système :
% \[ \left\lbrace
%   \begin{array}{lcl}
%   Y_1 + a_s Y_s^{p^{h_s}} &=& c_0 \\
%   Y_{j+1} + a_j Y_j^{p^{h_j}} &=& c_j \quad\text{pour $j=1,…,h-1$.} \\
%   \end{array}
%   \right.
% \]
% On vérifie que les~$a_j$ sont tous non nuls, et on en déduit que
% l'algèbre engendrée sur~$k=R/\go m_R$ par les~$Y_j$ est finie de
% rang~$p^h$. Il s'ensuit que $A⊗_R k$~est de rang $p^{h + ∑ h_j
% n_j}$, et donc que $B⊗_R k$~est de rang~$p^{h + ∑ h_j (n_j -
% r_j)}$. Le lemme~\ref{lem:compte-solutions} nous permet d'en déduire que
% $\Hom(A, R)$~est de cardinal $p^{h+∑ h_j(n_j-r_j)}$. Ceci montre en
% particulier que~$\overline{f}$, et donc~$ι⊗λ$, sont
% surjectives.
% 
% Les éléments de~$\Hom(A, R) ∩ \ro E^{p-1}$ correspondent aux
% solutions des équations~$∑ λ_i p^{-n} ξ_i^{p^{r+1}q^n}
% z_i^{p^rq^n}$. Les valuations des coefficients sont donc les mêmes que
% celles des équations précédentes, décalées d'une ligne vers le haut. On
% en déduit, en appliquant le même raisonnement, que le cardinal
% de~$\Hom(A, R) ∩ \ro E^{p-1}$ est~$p^{h + ∑ h_j (n_j - r_j - 1)}$.
% Par conséquent, le cardinal du noyau de~$ι⊗λ$ est~$p^h$, ce qui
% prouve que $\Ker ι⊗λ$~est de rang~$h$ sur~$\Q_{p^h}$.
% Il reste à déterminer les termes non nuls de $λ_j θ φ^r(x)$
% modulo $\go m_C^{v_j + p^{r+1} ρ_i}$, avec $v(x_j) > ρ_j$.
% 
% Examinons d'abord les blocs diagonaux, c'est-à-dire le cas où $i = j$.
% On remarque que~:
% \[ v_j + p^{r+1} ρ_i < v_j + \frac {q p^{r+1-n_{j+1}}}{q-1}
% \qquad< v_j + 1 \qquad\text{si $r < n_{j+1}-1$}. \]
% Par conséquent, le terme en $p x^{1/q}$ s'annule dans tous les termes,
% sauf peut-être dans celui correspondant à l'indice $n_{j+1}-1$.
% Pour ce qui est du terme en $p^{-1} x^q$~: il ne s'annule pas si
% \[ \go p^{h + r} ρ_i - 1 < p^{r+1} ρ_i,
% ␣\text{soit encore}␣
%    ρ_{i} < \frac { 1 } {p^r (q-p) },
% \]
% ce qui n'est possible, compte tenu de l'encadrement sur $ρ_i$, que si
% $ q-1 > p^{r-n_j} (q-p)$. Ceci est impossible si $r > n_j$.
\end{proof}

\begin{cor}\label{cor: delta = 1}
Sous les hypothèses de la proposition~\ref{prop:iota-lambda-general}, il
existe un élément $x = (x_1, …, x_h)$ de $\Ker ι⊗λ$ tel que $δ(x) =
\det(φ^r x_j)_{r,j}$ soit égal au produit de~$t$ et d'une unité de~$\Zp$.
\end{cor}

\begin{proof}
Pour tout élément~$x=(x_1,…,x_h)$ de~$E_{\frac 1h}^h$, notons~$u_x:\Qph^h
→ E_{\frac 1h}^h$ l'application $\Qph$-linéaire définie par
\[ u_x(t_0,…,t_{h-1}) = t_0 x + t_1 φ(x) + … + t_{h-1} φ^{h-1}(x) \].
Alors $δ(x)$ est égal au déterminant de l'application~$u_x$. Soit
$x ∈ \Ker(ι⊗λ)$ : alors $u_x$~est à valeurs dans le $\Qph$-espace vectoriel
$\Ker(ι⊗λ)$ ; en outre, $u_{φ(x)} = u_x ∘ Π$. Par conséquent, $θ(δ(x)) =
0$ et $φ(δ(x)) = (-1)^{h-1}p\,δ(x)$ ; quitte à multiplier~$δ(x)$
par~$[v]$, où~$v∈R$ vérifie~$v^{(p-1)} = -1$, on peut donc supposer
que~$φ(δ(x)) = p\,δ(x)$. Par conséquent, $δ(x)∈\Qp(1)$.

Soit~$L_{1/h}$ le corps gauche sur~$\Qp$ d'invariant~$\nicefrac 1h$ ;
alors, pour tout~$a∈L_{1/h}$, on a~$δ(ax) = N_{L_{1/h}/\Qp}(a)⋅δ(x)$, et
l'image de~$δ$ est donc un $\Qp$-espace vectoriel. Par conséquent, il
suffit de montrer que cette image est non nulle.

Or on voit que~$δ(x)$~est non nul \ssi $u_x$~est injective, c'est-à-dire
si~$(x, φ(x), …, φ^{h-1}(x))$ est une $\Qph$-base de~$\Ker(ι⊗λ)$ ; ceci
revient encore à dire que~$x$ engendre $\Ker(ι⊗λ)$ comme
$L_{1/h}$-module. Mais $\Ker(ι⊗λ)$ est un $L_{1/h}$-module qui est de
dimension~$h$ en tant que~$\Qph$-espace vectoriel ; il est donc de
dimension~$1$ comme $L_{1/h}$-module.
\end{proof}


\begin{prop}\label{prop:lambda-inj-elem}
Soit~$f: W → V ⊗_{\Qp} C(-1)$~un objet de~$\L^+_C$, où~$W$~est de
dimension~$d = 1$ et~$V$ de dimension~$h$. On suppose qu'il existe~$a ∈ \Ker
(ι ⊗ \trans f)$ tel que~$δ(a)$ soit une unité de~$\Qp(d)$.
% Soit~$λ:V →C$ un objet connexe et de type multiplicatif de~$\L^+_C$,
% où~$V$~est un $\Qp$-espace vectoriel de dimension~$h$.
Alors $E(f)$~est isomorphe dans~$\BC^+_C$ à~$E_{d,h}$.
\end{prop}

\begin{proof}
Le diagramme~\ref{diag:E(f) BCE} permet de voir~$E(f)$ comme un
sous-espace de~Banach-Colmez de~$E_1^h$.

Soient~$a = (a_1, …, a_h) ∈ \Ker (ι ⊗ \trans f)$ tel que~$δ(a)$~soit une unité
de~$\Qp(d)$, et~$g: E_1^h → t^{-1} B^+\cris$ l'application définie par
% D'après la proposition~\ref{prop:iota-lambda-general}, le noyau de~$ι ⊗
% λ$ dans~$E_{1/h}^h$ est un $\Qph$-espace vectoriel de dimension~$h$~; et
% d'après le corollaire~\ref{cor: delta = 1}, il existe un élément~$(a_i)$
% de cet espace vectoriel tel que~$δ(a) = 1$. On définit alors
% l'application~$g: E_1^h → t^{-1} B^+\cris$ par
\[ g(u_1, …, u_h) = ∑_{i=1}^h a_j \frac {u_j} t \].
Il est clair que~$φ^h ∘ g = p ⋅ g$. Il reste à montrer que
$g(E) ⊂ B^+\cris$, et que~$E →^g E_{d,h}$ est un isomorphisme.

Soit~$x ∈ E$, et notons~$y = g(x)$. Alors, pour tout entier~$r ≥ 0$,
$θ(tφ^r(y)) = p^{-r} θ(φ^r(ty))$~; or~$ty = ∑ a_j
u_j$, et par construction des~$a_j$, on a donc bien $θ(φ^r(ty)) =
0$ pour tout~$r$. Par conséquent, $t φ^r(y)$~appartient
à~$\Fil^1B\cris$, et donc~$φ^r(y)$ appartient à~$\Fil^0B\cris$, et ce
pour tout~$r$. On en déduit (\cite[5.3.7(i)]{Periodes}) que~$y$
appartient à~$B^+\cris$ et donc à~$E_{d,h}$.

Puisque~$φ^r(\frac{u_i}t) = \frac{u_i}t$, on voit que l'on a une
égalité matricielle~$\pa{φ^r(y)}_r = \pa{φ^r(a_i)}_{r,i}
\pa{\frac{u_i}t}_i$. Or, les~$a_i$ ont été choisis de sorte que
$δ(a)$~soit une unité~; par conséquent, $g: E → E_{d,h}$~est
injective.

L'image de~$V$ par~$g$ est le sous-$\Qp$-espace vectoriel~$V'$
de~$E_{d,h}$ engendré par~$a_1,…,a_h$ ; d'après la
proposition~\ref{prop:iota-lambda-general}, on a une présentation~$0 → V'
→ E_{d,h} → W' → 0$, où~$W'$~est un $C$-espace vectoriel de
dimension~$d$. L'application~$g$ induit alors un morphisme de
présentations entre~$E$ et~$E_{d,h}$, et donc une application~$W → W'$.
Cette application est analytique, et donc~$C$-linéaire ; de plus, elle
est injective, et donc surjective. Finalement, $g$~est un isomorphisme de
présentations, et donc un isomorphisme analytique~$E → E_{d,h}$.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:struct-elementaire}
Soit~$E$ un espace de~Banach-Colmez de dimension un et de
hauteur~$h$. Il existe alors un entier naturel~$h'$ et un $\Qp$-espace
vectoriel~$V''$ de dimension finie~$h''=h-h'$ tels que~$E$~soit isomorphe
comme espace de~Banach-Colmez effectif à~$E_{1,h'} ⊕ V''$.
\end{prop}

\begin{proof}
Soit~$f: C → V ⊗_{\Qp} C(-1)$ un objet de~$\L^+_C$ tel que~$E = E(f)$.
D'après la proposition~\ref{prop:L-connexe-etale}, on peut écrire~$E =
E(f_0) ⊕ E(f')$, où~$f_0$~est étale et~$f'$~est connexe. Puisque~$f':V →
C$~est injective, d'après la proposition~\ref{prop:lambda-inj-elem},
$E(f')$~est isomorphe à~$E_{1,h}$.
\end{proof}

%<<<2
% \subsection{Lemme fondamental}
% 
% 
% Des propositions~\ref{prop:LF-Xh}, \ref{prop:constructible}
% et~\ref{cor:struct-elementaire}, on déduit immédiatement le résultat
% suivant :
% \begin{thm}[Lemme fondamental]\label{thm:LF}
% Soit $E$ un espace de~Banach-Colmez effectif de dimension un, extension
% de~$C$ par un $\Qp$-espace vectoriel~$V$ de dimension finie~$h$. Alors
% tout morphisme analytique~$u$ de~$E$ vers~$C$ vérifie l'une des deux
% conditions suivantes :
% \begin{enumerate}
% \item l'image de~$u$ est un $\Qp$-espace vectoriel de dimension finie ;
% \item $u$~est surjectif, et son noyau est un $\Qp$-espace vectoriel de
% dimension~$h$.
% \end{enumerate}
% \end{thm}


%>>>1
\chapter{Propriétés des espaces de~Banach-Colmez}
%<<<1
\section{Espaces de~Banach spectraux}
%<<<2
\subsection{Localisation des espaces de~Banach spectraux effectifs}

\begin{df}
La catégorie~$\Czu\BS^+_K$ des \emph{\zu-complexes d'espaces de~Banach
spectraux} est la catégorie dont les objets sont les complexes concentrés
en degrés~$-1$ et~$0$.
\[ X = … → 0 → X^{-1} →^{d_X} X^0 → 0 → … \]
d'espaces de~Banach spectraux tels que~$X^{-1}$ est un espace étale
et~$d_X$ est un morphisme injectif, et
dont les morphismes~$X→Y$ sont les paires~$(f^{-1}, f^{0})$
où~$f^{-1}:X^{-1}→Y^{-1}$ et~$f^{0}:X^{0}→Y^{0}$ telles
que~$d_Y∘f^{-1}=f^{0}∘d_X$.
% 
% La catégorie~$\Kzu\BS^+_K$ des \emph{\zu-complexes d'espaces de~Banach
% spectraux à homotopie près} est la catégorie dont les objets sont ceux
% de~$\Czu\BS^+_K$ et dont les morphismes sont les classes d'homotopie de
% morphismes de~$\Czu\BS^+_K$.
\end{df}
% 
% Compte tenu de la définition de~$\Czu\BS^+_K$, on voit qu'une homotopie~$h$
% entre deux applications~$f,g:X\rightrightarrows Y$ est une
% application~$X^0→Y^{-1}$ telle que~$f^{-1}-g^{-1} = h∘d_X$ et~$f^0-g^0 =
% d_Y∘h$ ; autrement dit, deux morphismes de \zu-complexes sont homotopes
% \ssi l'image de leur différence est incluse dans~$d_Y(Y^{-1})$.
% 
Le produit fibré sur la catégorie~$\BS^+_K$ se prolonge en
un produit fibré sur la catégorie~$\Czu\BS^+_K$. Le produit fibré de
deux morphismes~$X' → Y$, $X'' → Y$ de~$\Czu\BS^+_K$, 
est le complexe~$X$ défini par~$X^{i} = (X')^{i} ×_{Y^{i}} (X'')^{i}$
pour tout~$i∈\zu$.

\begin{df}
La famille~$\Qis$ des \emph{quasi-isomorphismes}
de~$\Czu\BS^+_K$ est la famille des morphismes~$s:X→X'$ de~$\Czu\BS^+_K$
tels que la suite déduite
\[ 0 → X^{-1} →^{d_X⊕s^{-1}} X^0 ⊕ (X')^{-1} →^{s^{0}⊕d_{X'}} (X')^0 → 0
\]
soit une suite exacte d'espaces de~Banach spectraux effectifs.
\end{df}

Ceci revient à dire que l'application~$s$ induit un isomorphisme entre
les espaces de~Banach quotients~$H^0(X)$ et~$H^0(X')$, les autres espaces
de cohomologie de~$X$ et~$X'$ étant nuls.

% \begin{lem}
% Soient~$s,s':X\rightrightarrows X'$ deux morphismes de~$\Czu\BS^+_K$
% homotopes ; supposons que~$s$ soit un quasi-isomorphisme. Alors $s'$~est
% un quasi-isomorphisme.
% \end{lem}
% 
% \begin{proof}
% Soit~$h:X^0 → (X')^{-1}$ une homotopie de~$s$ à~$s'$. Alors le diagramme
% \[ \xymatrix {
%  0 \ar[r] & X^{-1} \ar[r]^{d_X⊕s^{-1}} \ar@{=}[d] 
%   & X^0⊕(X')^{-1} \ar[d]^{\begin{pmatrix}\id&0\\h&\id\end{pmatrix}}
%     \ar[r]^{s^0⊕d_{X'}} & (X')^0 \ar[r]\ar@{=}[d] & 0 \\
%  0 \ar[r] & X^{-1} \ar[r]_{d_X⊕(s')^{-1}}
%  & X^0⊕(X')^{-1} \ar[r]_{(s')^0⊕d_{X'}} & (X')^0 \ar[r] & 0\\
% }\]
% est commutatif, et donc la suite de la deuxième ligne est exacte.
% \end{proof}
% 
% Par conséquent, on peut donc encore parler de quasi-isomorphismes dans la
% catégorie~$\Kzu\BS^+_K$ ; on note encore~$\Qis$ la famille des
% quasi-isomorphismes de~$\Kzu\BS^+_K$.

Rappelons~\cite[7.1.6]{KS} qu'un système de morphismes~$\ro S$ d'une
catégorie additive~$\ro C$ est dit \emph{multiplicatif à gauche} s'il
vérifie les propriétés :
\begin{axiomes}
\item[(S1)] tout isomorphisme de~$\ro C$ appartient à~$\ro S$ ;
\item[(S2)] $\ro S$~est stable par composition dans~$\ro C$ ;
\item[(S'3)] tout diagramme~$X →^f Y ←^t Y'$ de~$\ro C$ où~$t$ est
un morphisme de~$\ro S$ peut se compléter par un diagramme~$X →^s X' ←^g
Y'$ où~$s$~est un morphisme de~$\ro S$ ;
\item[(S'4)] pour tout diagramme~$X →^f Y →^t Y'$ de~$\ro C$
où~$t$~apppartient à~$\ro S$, si~$t ∘ f = 0$, alors il existe un
morphisme~$X' →^s X$ de~$\ro S$ tel que~$f ∘ s = 0$.
\end{axiomes}


\begin{prop}
La famille des quasi-isomorphismes de~$\Czu\BS^+_K$ forme un système
multiplicatif à gauche.
\end{prop}

\begin{proof}
Les propriétés~(S1) et~(S2) sont évidentes.

Vérifions~(S${}'$3) : soit~$X→^fY←^tY'$ un diagramme
de~$\Czu\BS^+_K$ tel que~$t$~soit un quasi-isomorphisme. Soit~$X'$ le
produit fibré~$X ×_Y Y'$ dans~$\Czu\BS^+_K$ ; $X'$~est naturellement muni
d'applications~$f':X' → Y'$ et~$s: X' → X$, et il suffit de démontrer
que~$s$ est un quasi-isomorphisme. Or, on voit que la suite~$0→(X')^{-1} →
(X')^0 ⊕ X^{-1} → X^0 → 0$ est le produit fibré des suites exactes $0 →
(Y')^{-1} → (Y')^{0} ⊕ Y^{-1} → Y^0 → 0$ et~$0 →X^{-1} → X^{-1} ⊕ X^0 →
X^0 → 0$ au-dessus de la suite exacte~$0 → Y^{-1} → Y^{-1} ⊕ Y^0 → Y^0 →
0$ ; par conséquent, elle est exacte, ce qui signifie que~$s$ est un
quasi-isomorphisme.

Vérifions enfin~(S${}'$4) : soit~$X→^f Y→^t Y'$ un diagramme
de~$\Czu\BS^+_K$ tel que~$t$ soit un quasi-isomorphisme et~$t∘f=0$. Puisque
$t$~est un quasi-isomorphisme, le noyau de~$t^0 ⊕ d_{Y'}$ est un espace
de~Banach spectral étale ; il contient le noyau de~$t^0$, qui est donc
lui aussi étale. Par conséquent, l'image de~$f^0$ est étale, et il existe
donc une section~$σ:\Img f^0→X^0$ de~$f^0$. Posons~$(X')^0=(\Ker f^0) ⊕
(\Img f^0)$, $s^0=(\Ker f^0 \hookrightarrow X^0)⊕ (-σ)$, et~$(X')^{-1} =
(X')^0 ×_{X^0} X^{-1}$ ; alors $X'$~est naturellement un objet
de~$\Czu\BS^+_K$, et il est muni d'un morphisme~$s:X'→X$ tel que~$f∘s=0$. Il
reste donc à vérifier que~$s$~est un quasi-isomorphisme. Or, la
suite~$0→(X')^{-1} → (X')^0 ⊕ X^{-1} → X^0 → 0$ est exacte à gauche et au
centre par construction de~$(X')^{-1}$ ; de plus, puisque~$X^0 = \Ker f^0
+ σ(\Img f^0)$, elle est exacte à droite.
\end{proof}



%<<<2
\subsection{Structures analytiques non effectives}

\begin{df}
La \emph{catégorie des espaces de~Banach spectraux sur~$K$} est la
catégorie~$\BS_K$ localisée de~$\Czu\BS^+_K$ par le système multiplicatif
à gauche~$\Qis$.
% La \emph{catégorie dérivée des \zu-complexes d'espaces de~Banach
% spectraux effectifs} est la catégorie~$\Dzu\BS^+_K$ localisée de~$\Kzu\BS^+_K$
% par le système multiplicatif à gauche~$\Qis$.
\end{df}

Autrement dit, les objets de~$\BS_K$ sont ceux de~$\Czu\BS^+_K$, et un
morphisme~$X→Y$ dans~$\BS_K$ est une classe d'équivalence de
diagrammes~$X ←^s X' →^f Y$, où~$s$~est un quasi-isomorphisme.


Pour tout objet~$X^{-1} → X^0$ de~$\BS_K$, l'espace
quotient~$H^0(X) = X^0 / d_X(X^{-1})$~est un espace de~Banach $p$-adique,
et cette construction définit un foncteur, que l'on note~$H^0$, de la
catégorie~$\BS_K$ vers la catégorie des espaces de~Banach
$p$-adiques.

\begin{prop}\label{prop:analytique BS graphe}
\begin{enumerate}
\item Le foncteur~$H^0$ de la catégorie~$\BS_K$ vers celle
des espaces de~Banach $p$-adiques est fidèle.
\item Soient~$X$, $X'$ deux objets de~$\BS_K$.
Alors une application linéaire continue~$f: H^0(X) →
H^0(X')$ provient d'un morphisme de~$\BS_K$ \ssi le produit fibré~$X^0
×_{H^0(X')} (X')^0$~est un fermé analytique de~$X^0 × (X')^0$.
\end{enumerate}
\end{prop}

Le foncteur~$H^0$ est aussi appelé \emph{foncteur d'oubli} sur les
espaces de~Banach $p$-adiques.

\begin{proof}
(i) Soit~$f: X → X'$ un morphisme de~$\BS_K$ tel que~$H^0(f) = 0$. Ceci
signifie que~$f^0(X^0) ⊂ (X')^{-1}$. Soient~$Y^0 = \Ker(f^0)$ et~$Y^{-1}
= Y^0 ∩ X^{-1}$. Alors~$Y = (Y^{-1} → Y^{0})$~est un sous-objet de~$X$
dans~$\Czu\BS^+_K$, et la flèche~$Y → X'$~est nulle. De plus,
puisque~$f^0(X^0) = f^0(X^{-1})$, on peut écrire~$X^0 = Y^0 + X^{-1}$ et
donc la suite~$0 → Y^{-1} → X^{-1} ⊕ Y^0 → X^0 → 0$~est exacte, ce qui
signifie que~$Y → X$~est un quasi-isomorphisme. Par conséquent, la flèche
nulle~$Y → X'$~représente~$f$ dans la catégorie~$\BS_K$.
% (i) Soit~$f: X → X'$ un morphisme de~$\BS_K$ tel que~$H^0(f) = 0$.
% Alors $f$~est représentable par un morphisme~$X^0 → (X')^{-1}$, qui est
% donc homotope à zéro ; par conséquent, $f = 0$.

(ii) Soit~$E = X^0 ×_{H^0(X')} (X')^0$.

Supposons que~$E$ soit un fermé analytique de~$X^0 × (X')^0$. Alors
$X^{-1} × (X')^{-1} → E$~estquasi-isomorphe à~$X$ ; la flèche
naturelle~$E → (X')^0$~définit donc un morphisme~$X → X'$ dans la
catégorie~$\BS_K$.

Réciproquement, supposons que~$f$ soit un morphisme de~$\BS_K$.
Ceci signifie qu'il existe un objet~$Y$ de~$\BS_K$ quasi-isomorphe
à~$X$, et un morphisme~$g: Y → X'$ induisant~$f$. Quitte à
étendre~$Y^{-1}$, on peut de plus supposer que la flèche~$g^{-1}: Y^{-1}
→ (X')^{-1}$~est surjective.

Par construction de~$E$, la flèche naturelle~$Y^0 → X^0 ×
(X')^0$ se factorise par~$E$, et on dispose donc du diagramme suivant :
\begin{equation*}\xymatrix{
0 \ar[r] & Y^{-1} \ar[r]\ar[d] & Y^0 ⊕ X^{-1} \ar[r]\ar[d] & X^0 \ar[r]\ar@{=}[d] & 0\\
0 \ar[r] & (X')^{-1} \ar[r] & E \ar[r] & X^0 \ar[r] & 0
}\end{equation*}
La première ligne est exacte puisque~$W → F$~est quasi-isomorphe
à~$X^{-1} → X^0$ ; la seconde l'est par construction de~$E$. Puisque la
flèche~$W → (X')^{-1}$~est surjective, la flèche~$Y^0 ⊕ X^{-1} →
X^0$~l'est aussi ; par conséquent, $E$~est identique à son adhérence
analytique dans~$X^0 × (X')^0$, et donc un fermé analytique.
\end{proof}

% \begin{df}
% La catégorie~$\BS_K$ des \emph{espaces de~Banach spectraux} sur~$K$ est
% la sous-catégorie pleine de la catégorie~$\BS_K$ dont les
% objets~$X^{-1} →^{d_X} X^0$ sont tels que~$d_X$ soit injective.
% \end{df}
% 

La proposition qui précède permet de voir un espace de~Banach spectral
sur~$K$ comme un espace de~Banach $p$-adique~$X$ muni d'une action
linéaire continue de~~$\GK$ et d'une structure analytique, c'est-à-dire
tel que~$X = H^0(X^{-1} → X^0)$. Soient~$X$ et~$Y$ deux espaces de~Banach
spectraux ; alors l'ensemble des morphismes d'espaces de~Banach spectraux
de~$X$ vers~$Y$ est inclus dans l'ensemble des applications
$\Qp[\GK]$-linéaires continues. Une telle application est dite
\emph{analytique} si elle provient d'un morphisme d'espaces de~Banach
spectraux.

\medskip

Soit~$E$ un espace de~Banach spectral effectif. Alors le complexe~$0 →
E$~est un objet de~$\BS_K$, et ceci définit un foncteur de la
catégorie~$\BS^+_K$ vers la catégorie~$\BS_K$.

\begin{prop}\label{prop:BS+ BS pf}
Le foncteur naturel de~$\BS^+_K$ vers~$\BS_K$ est pleinement fidèle.
\end{prop}

\begin{proof}
Soient~$E$, $E'$ deux objets de~$\BS^+_K$. Alors un morphisme~$f: E → E'$
dans la catégorie~$\BS_K$ correspond à un objet~$X$ de cette
catégorie, quasi-isomorphe à~$0 → E$, et à une flèche~$g: X → (0 → E')$ ;
autrement dit, la suite~$0 → X^{-1} → X^0 → E → 0$~est exacte, et la
flèche~$g: X^0 → E'$ s'annule sur~$X^{-1}$. Par conséquent, cette flèche
se factorise par~$E$, et donc les morphismes entre~$E$ et~$E'$ sont les
mêmes dans les catégories~$\BS^+_K$ et~$\BS_K$.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:image-BS}
Soit~$f: X → Y$ un morphisme de~$\BS_K$, et soit~$X'$ l'objet
de~$\BS_K$ défini par~$(X')^0 = \Img f^0$ et~$(X')^{-1} = (X')^0
×_{Y^0} Y^{-1}$. Alors $X'$~est l'image de~$f$ dans la
catégorie~$\BS_K$.
\end{prop}

\begin{proof}
Le complexe~$X'$ est naturellement muni d'une factorisation
dans~$\BS_K$ de~$f$ en un diagramme~$X →^{f'} X' →^{i'} Y$.

Soit~$X →^{f''} → X'' →^{i''} Y$ une autre factorisation de~$f$,
où~$i''$~est un monomorphisme. Alors, par définition de~$(X')^0$, il
existe un morphisme~$u^0: (X')^0 → (X'')^0$ tel que~$(i')^0 = (i'')^0 ∘
u^0$ ; de plus, l'application naturelle~$(X')^{-1} → (X'')^0$ se
factorise par~$(X'')^{-1}$, ce qui fournit donc un morphisme~$u: X' →
X''$. Par construction, le morphisme~$u$ vérifie~$i' = i'' ∘ u$, et
donc~$X'$~est bien l'image de~$f$ dans~$\BS_K$.
\end{proof}

%<<<2
\subsection{Espaces de~Banach spectraux connexes et étales}
Un espace de~Banach spectral~$X$ est dit \emph{prorigide} s'il admet un
représentant~$X^{-1} → X^0$, où~$X^0$ est prorigide. Puisque tout espace
de~Banach spectral étale est prorigide, cette propriété est alors vraie
de tout représentant de~$X$.

\begin{df}\label{df:BC connexe etale}
Soit~$X$ un espace de~Banach spectral. On dit que~$X$ est \emph{connexe}
s'il admet un représentant~$X^{-1} → X^{0}$, où~$X^{0}$~est connexe. On
dit que~$X$ est \emph{étale} s'il admet un représentant~$X^{-1} → X^{0}$,
où~$X^{0}$ est étale. (Cette propriété est alors vraie de tout
représentant de~$X$).
\end{df}

Si~$X$~admet un représentant~$X^{-1} → X^{0}$ où~$X^{0}$~est étale,
puisque la sous-catégorie des espaces de~Banach spectraux étales est
abélienne, alors~$X$~admet le représentant~$0 → X^{0}/X^{-1}$, et est en
fait un espace de~Banach spectral étale. De plus, il est clair que si~$X$
est un espace de~Banach spectral étale et~$Y$ un espace de~Banach
spectral quelconque, alors toute application~$\Qp$-linéaire continue~$X →
Y$ est analytique.

\begin{prop}\label{prop:BS connexe}
Soit~$X$ un espace de~Banach spectral. Alors $X$~est connexe \ssi, pour
tout espace de~Banach spectral étale~$V$, $\Hom_{\BS_K} (X, V) = 0$.
\end{prop}

\begin{proof}
Supposons que~$X$ soit connexe ; il admet donc un représentant~$X^{-1} →
X^0$ où~$X^0$ est un espace de~Banach spectral effectif connexe.
Soit~$f: X → V$ une flèche de~$\BS_K$ ; ceci signifie qu'il existe un
objet~$X'$ de~$\BS_K$, un quasi-isomorphisme~$s: X' → X$
et un morphisme de complexes~$f': X' → V$. Puisque~$s$~est un
quasi-isomorphisme, on dispose de la suite exacte~$0 → \Hom(X^{0}, V) →
\Hom((X')^{0} ⊕ X^{-1}, V) → \Hom((X')^{-1}, V)$.  Puisque~$f((X')^{-1})
= 0$, on voit ainsi que~$f = 0$.

Réciproquement, supposons que pour tout~$V$ étale, $\Hom_{\BS_K}(X, V)
= 0$, et soit~$X^{-1} → X^{0}$ un représentant de~$X$. Alors l'espace
de~Banach spectral étale~$π_0(X^{0})$ est muni d'un morphisme
naturel~$X^{0} → π_0(X^{0})$. Par hypothèse, pour tout~$V$ étale,
tout morphisme~$f: X^{0} → V$ dont la restriction à~$X^{-1}$ est nulle
est nul ; par conséquent, $X^{-1} → π_0(X^{0})$~est surjective, et admet
donc une section~$s$. Soit~$Y$ la partie
connexe de~$X^{0}$. Alors~$X^{-1}/s(π_0(X^{0})) → Y$~est un représentant
de~$X$, et donc~$X$ est connexe.
\end{proof}

Soit~$f: Y → X$ un morphisme d'espaces de~Banach spectraux. Si $Y$~est
rigide, alors le noyau de~$f$ a pour algèbre affine un quotient de celle
de~$Y$ ; cette algèbre est de type fini et donc $\Ker f$~est encore un
espace de~Banach spectral rigide. Supposons que~$Y$ est prorigide ;
soient~$A$, $B$ les algèbres affines respectives de~$A$ et~$B$. Quitte à
remplacer~$A$ par son image dans~$B$, on peut supposer que~$A$~est
incluse dans~$B$. Puisque $Y$~est prorigide, on peut écrire~$B$ comme la
limite inductive complétée d'algèbres affinoïdes~$B_n$. Alors~$A$~est la
complétion de la réunion des algèbres~$A_n = A ∩ B_n$, et l'algèbre
affine du noyau de~$f$ est~$B/A^+ = \widehat \limi B_n/A_n^+$. Par
conséquent, c'est une algèbre prorigide, et donc le noyau de~$f$ est un
espace de~Banach spectral prorigide.


\begin{prop}\label{prop:BS conn etale}
Soit~$X$ un espace de~Banach spectral prorigide. Alors il existe une
suite exacte d'espaces de~Banach spectraux
\[ 0 → X^0 → X → π_0(X) → 0 \],
où $X^0$~est connexe et~$π_0(X)$ est étale. De plus, cette suite exacte
est unique (à isomorphisme près) et scindée.
\end{prop}

\begin{proof}
Soit~$X^{-1} → X^0$ un représentant de~$X$. D'après la
proposition~\ref{prop:Banach-etale-connexe}, il existe une suite
exacte courte, unique à isomorphisme près, $0 → E' → X^0 → E'' → 0$,
où~$E'$ est un espace de~Banach spectral étale connexe, et~$E'$ est un
espace de~Banach spectral étale. Posons~$V' = X^{-1} ×_{X^0} E'$ et~$V''
= X^{-1} / V'$. Alors~$X' = (V' → E')$ et~$X'' = (V'' → E'')$ sont des
espaces de~Banach spectraux, respectivement étale et connexe ; de plus,
la suite~$0 → X' → X → X'' → 0$ est exacte. Enfin, toute section
$\Qp$-linéaire continue~$X'' → X$ est une section analytique de cette
suite.
\end{proof}
 
%<<<1
\section{Espaces de~Banach-Colmez}
%<<<2
\subsection{Construction}
\def\presBC#1{V_-#1 → (V_+#1 → E#1 → W#1) → X#1}

La catégorie~$\BC_K$ des \emph{espaces de~Banach-Colmez} est la sous-catégorie
pleine de~$\BS_K$ dont les objets sont de la forme~$X^{-1} → X^0$,
où~$X^{-1}$ est étale et~$X^{0}$ est un espace de~Banach-Colmez effectif
sur~$K$.

En particulier, tout espace de~Banach-Colmez est un espace de~Banach
spectral prorigide ; il est donc extension (scindée de manière non
canonique) d'un espace de~Banach-Colmez connexe par un espace de
Banach spectral étale.

On dit que deux objets~$X, X'$ de~$\BS_K$ sont \emph{presque
isomorphes} s'il existe des sous-objets étales~$V, V'$ de~$X, X'$ tels
que~$X/V$ et~$X'/V'$ soient isomorphes.

\begin{prop}\label{prop:existe presentation BC}
Soit~$W$ un $C$-espace vectoriel de dimension finie muni d'une action
semi-linéaire de~$\GK$. Un objet~$X$ de~$\BS_K$ est presque isomorphe à l'espace
de~Banach spectral effectif~$W$ \ssi il existe un espace
de~Banach-Colmez effectif~$E$ qui est à la fois extension de~$W$ et
de~$X$ par des espaces de~Banach spectraux étales.
\end{prop}

\begin{proof}
Dire que $X$~et~$W$ sont presque isomorphes dans~$\BS_K$ signifie
qu'il existe un objet~$(V → E)$ de~$\BS_K$ et des quasi-isomorphismes
de~$\Czu\BS^+_K$ $(V →
E) → (X^{-1}→X^0)$, $(V → E) → (0 → W)$, c'est-à-dire que les suites
\[ 0 → V → E ⊕ X^{-1} → X^{0} → 0\quad\text{et}\quad
  0 → V → E → W → 0 \]
soient exactes. Posons~$E'= E ⊕ X^{-1}$ ; c'est alors un espace
de~Banach spectral effectif, extension de~$W$ par l'espace de~Banach
spectral étale~$V ⊕ X^{-1}$.
\end{proof}


Autrement dit, il revient au même de dire qu'un espace de~Banach
spectral~$X$ est presque isomorphe à~$W$ et qu'il s'insère dans un
diagramme (où les deux suites sont exactes)
\begin{equation}\label{eq:presentation-BC}\xymatrix{
 & & 0\ar[d] & & \\
 & & X^{-1}\ar[d]^{d_X} \\
0 \ar[r] & V \ar[r] & X^0 \ar[r]\ar[d] & W \ar[r] & 0 \\
 & & H^0(X) \ar[d] & & \\
 & & 0 & &
}\end{equation}
Ceci signifie que les espaces de~Banach-Colmez sont exactement les
espaces de~Banach spectraux qui sont presque isomorphes à une
$C$-représentation de dimension finie~$W$ de~$\GK$.
Un diagramme de la
forme~\ref{eq:presentation-BC} s'appelle une \emph{présentation} de
l'espace de~Banach-Colmez~$X$.
On la notera également sous la forme abrégée
\[ X^{-1} → (V → X^0 → W) → H^0(X) \].
Se donner une structure d'espace de~Banach-Colmez sur un espace
de~Banach~$X$ revient donc à se donner une présentation de la forme
\[ \presBC{} \],
où~$V_-$, $V_+$ sont des espaces de~Banach spectraux effectifs étales,
$E$~est un espace de~Banach spectral effectif (donc nécessairement un
espace de~Banach-Colmez), et où tous les morphismes sont analytiques.

Le foncteur naturel de la catégorie~$\BC^+_K$ vers la
catégorie~$\BS_K$ a son image essentielle dans~$\BC_K$, ce qui
autorise à voir~$\BC^+_K$ comme une sous-catégorie pleine de~$\BC_K$.


%<<<2
\subsection{Espaces de~Banach spectraux et Espaces de Banach}

Dans toute la suite, on ne s'intéressera qu'aux espaces de~Banach-Colmez
sur~$C$. Nous allons commencer par démontrer (mais on ne s'en servira pas
dans la suite) que cette catégorie est équivalente à la catégorie
introduite par~Colmez~\cite{Colmez} sous le nom d'Espaces de~Banach.

\medskip

Une $C$-algèbre spectrale $A$~est dite~\emph{$p$-close} si tout
élément~$x∈R$ tel que~$\norme{x-1}<1$ a une racine $p$-ième dans~$A$. Une
$C$-algèbre de~Banach~$A$ est dite~\emph{sympathique}~(\cite[4.1]{Colmez})
si elle est spectrale, connexe et $p$-close.

\begin{prop}\cite[4.20]{Colmez}\label{prop:cloture sympa}
Soit $A$~une $C$-algèbre spectrale connexe. Il existe une algèbre
sympathique~$\widetilde A$ et un morphisme injectif de $C$-algèbres
de~Banach~$i:A→\widetilde A$, tels que :
\begin{enumerate}
\item pour toute algèbre sympathique~$B$, tout morphisme continu~$ρ:A→B$
se prolonge (de façon non nécessairement unique) en un
morphisme~$\widetilde A→B$ ;
\item pour toutes algèbres sympathiques~$B$, $B'$, $B''$ telles que le
diagramme
\[ \xymatrix{ A\ar[r]^{ρ'}\ar[d]^{ρ''}&B'\ar[d]^{σ'} \\B''\ar[r]^{σ''} &B}\]
soit commutatif et pour tout prolongement
$\widetilde{ρ}':\widetilde{A}→B'$, il existe un unique
prolongement~$\widetilde{ρ}'':\widetilde{A}→B''$ tel
que~$σ'∘\widetilde{ρ}' = σ''∘\widetilde{ρ}''$;
\item tout morphisme continu
de~$C$-algèbres~$σ:\widetilde{A}→\widetilde{A}$ dont la restriction à~$A$
est une isométrie de~$A$ est une isométrie de~$\widetilde{A}$.
\end{enumerate}
\end{prop}

Ces conditions impliquent en outre que l'algèbre $\widetilde A$~et le
morphisme~$i$ sont uniques à isomorphisme non unique près. Soient en
efffet~$i':A→A'$, $i'':A→A''$ deux morphismes vérifiant les conditions
ci-dessus ; alors l'algèbre~$A'\hotimes_AA''$~est encore une algèbre
sympathique, et le diagramme
\[\xymatrix{A\ar[r]^{i'}\ar[d]^{i''}&A'\ar[d]^{σ'}\\
A''\ar[r]^{σ''}&A'\hotimes_AA''}\]
est commutatif. D'après (ii), il existe un unique morphisme~$ρ':A'→A''$
tel que~$σ'=σ''∘ρ'$ ; de même, il existe un unique morphisme~$ρ'':A''→A'$
tel que~$σ''=σ'∘ρ''$. Le morphisme composé~$ρ''∘ρ'$ est alors un
endomorphisme continu de~$A'$, induisant l'identité sur~$A$ ; par le
point~(iii), c'est une isométrie de~$A'$. De même, $ρ'∘ρ''$~est une
isométrie de~$A''$. Par conséquent, $A'$~et~$A''$ sont isomorphes.

% \begin{df}
L'algèbre~$\widetilde A$ définie à la proposition~\ref{prop:cloture
sympa} s'appelle une \emph{clôture sympathique} de~$A$.
% \end{df}

\bigskip

\begin{df}\cite[6.1]{Colmez}\label{df:EB}
La catégorie~$\EB$ des \emph{Espaces de Banach} est la sous-catégorie
pleine de la catégorie des foncteurs covariants~$\ro E$ de la catégorie
des $C$-algèbres sympathiques vers celle des $\Qp$-espaces de~Banach,
tels que :
\begin{axiomes}
\item[(EB1)] pour toute algèbre sympathique~$R$, l'application~$(\Spm
R)×\ro E(R)→\ro E(C)$, $(s,x)↦x(s)$ est continue ;
\item[(EB2)] pour toute algèbre sympathique~$R$, $\ro E(R)→\ro C^0(\Spm R,
\ro E(C))$~est injective.
\end{axiomes}
\end{df}

\begin{prop}\label{prop:Banach spectral EB}
Soit~$E=\Spm A$ un $C$-espace de~Banach spectral effectif. Alors le
foncteur~$\ro E$ défini par~$\ro E(E)(R) = \Hom(A, R)$ est un Espace de
Banach.

De plus, on définit ainsi un foncteur (covariant) de la
catégorie~$\BS^+_C$ vers la catégorie des Espaces de~Banach.
\end{prop}

\begin{proof}
Soit~$R$ une algèbre sympathique.
Alors l'application~$(\Spm R)×\ro E(R)→\ro E(C)$ est la
composition~$\Hom(A, R)×\Hom(R, C)→\Hom(A, C)$. Elle est continue par
définition de la topologie spectrale, donc $\ro E$~vérifie la
condition~(EB1).

Montrons que~$\ro E$~vérifie la condition~(EB2). Notons~$ε: A → C$ le
morphisme d'augmentation de~$A$. Soit~$f:A→R$ tel que,
pour tout~$s∈\Spm R$, $s∘f=ε$ ; alors pour tout élément~$a$ de l'idéal
d'augmentation de~$A$ et pour tout~$s∈\Spm R$, $s(f(a))= ε(a) = 0$, et
donc l'élément~$f(a)$ de~$R$ vérifie~$\norme{f(a)}\sp = 0$.
Puisque~$R$~est une algèbre spectrale, ceci entraîne
que~$f(a)=0$ dans~$R$, et donc $f$~se factorise par~$C$.

Enfin, il est clair que cette construction est fonctorielle par rapport à
l'algèbre spectrale~$A$.
\end{proof}

On peut naturellement étendre le foncteur~$\ro E$ en un foncteur de la
catégorie~$\BS_C$ vers la catégorie~$\EB$ : pour tout objet~$X = (X^{-1}
→ X^0)$ de~$\BS_C$ et pour toute algèbre sympathique~$R$, on définit~$\ro
E(X)(R)$ comme le conoyau de la flèche~$\ro E(X^{-1})(R) → \ro
E(X^0)(R)$.

\begin{prop}\label{prop:Banach prorigide pf}
Le foncteur de la catégorie des espaces de~Banach spectraux effectifs
prorigides sur~$C$ vers la catégorie~$\EB$ défini par la
proposition~\ref{prop:Banach spectral EB} est pleinement fidèle.
\end{prop}

\begin{proof}
Tout espace de~Banach prorigide peut d'après la
proposition~\ref{prop:Banach-etale-connexe} se décomposer en produit
d'un espace de~Banach prorigide étale (c'est-à-dire un $\Qp$-espace
vectoriel de dimension finie) et d'un espace de~Banach prorigide connexe.
D'après~\cite[6.1(i)]{Colmez}, le foncteur des $\Qp$-espaces vectoriels
de dimension finie dans les Espaces de Banach est pleinement fidèle ; on
peut donc se limiter aux espaces de Banach spectraux prorigides connexes.

Soient~$E=\Spm A$, $F=\Spm B$ deux espaces de~Banach spectraux prorigides
connexes, et~$\ro E$, $\ro F$ les Espaces de~Banach correspondants.

Soit~$f:F→E$ un morphisme d'espaces de~Banach spectraux, issu du morphime
de $C$-algèbres spectrales~$ρ:A→B$, et induisant le morphisme nul~$\ro
F→\ro E$. Ceci signifie que, pour toute algèbre sympathique~$R$, $\Hom(B,
R)→\Hom(A, R)$ est le morphisme nul. Puisque $B$~est spectrale et
connexe, elle possède une clôture sympathique~$\widetilde B$ et un
morphisme canonique~$i:B→\widetilde B$ ; en particulier,
$\Hom(B,\widetilde B)→\Hom(A,\widetilde B)$~est le morphisme nul,
c'est-à-dire que~$i∘ρ$~se factorise par~$C$. Puisque~$i$~est injectif, on
en déduit que~$ρ$~est le morphisme nul.

Soit à présent~$φ:\ro F→\ro E$ un morphisme d'Espaces de Banach,
autrement dit une famille compatible de morphismes~$φ(R)$ pour toute
algèbre sympathique~$R$. En particulier, puisque~$i:B→\widetilde B$~est
un élément de~$\ro F(\widetilde B)$, $ρ=φ(\widetilde B)(i)∈\ro
E(\widetilde B)$, c'est-à-dire que $ρ$~est un morphisme continu de
$C$-algèbres de~$A$ vers~$\widetilde B$. Soit en outre~$σ$~un
endomorphisme de~$\widetilde B$~fixant~$B$ ; alors,
puisque~$φ(R)$~commute à~$σ$, de même~$ρ$~commute à~$σ$. Par conséquent,
l'image de~$ρ$~est incluse dans le sous-anneau de~$\widetilde
B$~invariant par~$σ$, c'est-à-dire~$B$. Le morphisme~$f=\Spm ρ$~est
alors un morphisme d'espaces de~Banach spectraux~$f:F→E$.
\end{proof}

% XX le foncteur~$\ro E: \BS_C → \EB$ (prorigides) est encore pleinement
% fidèle

\bigbreak


\begin{df}\cite[6.1]{Colmez}\label{df:EBDF}
La catégorie~$\categ{EBDF}$ des \emph{Espaces de~Banach de dimension
finie} est la sous-catégorie pleine de la catégorie des Espaces de~Banach
dont les objets~$X$ sont tels qu'il existe des suites exactes d'Espaces
de~Banach
\[ 0 → V_- → E → X → 0 \],
\[ 0 → V_+ → E → C^d → 0 \],
où~$V_-$, $V_+$ sont des $\Qp$-espaces vectoriels de dimension finie.
\end{df}

\begin{thm}
Le foncteur naturel de la catégorie~$\BS^+_C$ vers la catégorie~$\EB$
réalise une équivalence entre les catégories~$\BC_C$ et~$\categ{EBDF}$.
\end{thm}

\begin{proof}
Nous savons d'après la proposition~\ref{prop:Banach prorigide pf} que ce
foncteur est pleinement fidèle. De plus, les objets des deux catégories
admettent des présentations de la forme~$\presBC{}$,
où~$V_-$ et~$V_+$ sont des $\Qp$-espaces vectoriels de dimension finie
et~$W$ est un $C$-espace vectoriel de dimension finie. Or le groupe
$\Ext^1_{\categ{EBDF}}(C, \Qp)$ s'identifie à~$C$ (\cite[9.16]{Colmez}),
et le groupe~$\Ext^1_{\BC^+_C}(C, \Qp)$ est canoniquement isomorphe à~$C$
en vertu de la proposition~\ref{prop:Ext1-W-V} ; en outre, pour tout
$\Qp$-espace vectoriel de dimension finie~$V$ et pour tout objet~$X$
de~$\categ{EBDF}$, $\Hom_{\categ{EBDF}}(V, X) = \Hom_{\Qp} (V, X)$.
\end{proof}


%<<<2
\subsection{Lemme fondamental pour les espaces de~Banach-Colmez}

\begin{df}\label{df:ht-pres}
Soit~$\presBC{}$ une
présentation~(\ref{eq:presentation-BC}) d'un espace de~Banach-Colmez~$X$.
La \emph{hauteur} de la présentation est~$\dim_\Qp V_+ - \dim_\Qp V_-$.
La \emph{dimension} de la présentation est~$\dim_C W$.
\end{df}

La proposition suivante est une version du lemme fondamental~\ref{thm:LF}
sur les espaces de~Banach-Colmez.

\begin{prop}\label{cor:LF}
Soient~$X$ un espace de~Banach spectral sur~$C$ presque isomorphe à~$C$
et $f: X → C$ un morphisme d'espaces de~Banach spectraux. Supposons en
outre que l'image de~$f$ ne soit pas un espace de~Banach spectral étale.
Alors $f$~est surjective.

De plus, le noyau de~$f$ est un espace de~Banach spectral étale, dont la
dimension sur~$\Qp$ est égale à la hauteur de toute présentation de~$X$.
% pour toute présentation $0 → Z → (V → E → C) → X → 0$ de~$X$,
% \[ \dim_{\Qp} \Ker f \;=\; \dim_{\Qp} V - \dim_{\Qp} Z \].
\end{prop}

En particulier, si~$X$ admet une présentation~$\presBC{}$,
avec~$\dim_\Qp V_+ < \dim_\Qp V_-$, alors~$\Hom_{\BC_C} (X, C) = 0$.

\begin{proof}
Soit~$\presBC{}$ une présentation de~$X$. D'après la
proposition~\ref{prop:struct-elementaire}, on sait qu'il existe un
entier~$h≥1$ et un espace de~Banach spectral étale~$V_+'$ tels que~$E$
soit isomorphe à~$V_+' × E_{1/h}$ ; on a alors~$\dim_\Qp V_+ = \dim_\Qp
V_+' + h$.

Le morphisme $f: X → C$ donne, par composition, un morphisme~$g: E_{1/h}
→ C$ ; puisque~$f(X)$~n'est pas de dimension finie sur~$\Qp$,
$g(E_{1/h})$~n'est pas nul. Par la proposition~\ref{prop:LF-Xh}, $g$~est
donc surjectif, et par conséquent $f$~est surjectif ; en outre, $\Ker
g$~est un espace de~Banach spectral étale de dimension~$h$. On dispose
donc du diagramme suivant, où les lignes et les colonnes sont exactes :
\[ \xymatrix{ & 0\ar[d] & 0 \ar[d] & 0\ar[d] & \\
0 \ar[r] & V_-'\ar[r]\ar[d] & V_-\ar[r]\ar[d] & \Ker g\ar[r]\ar[d] & 0\\
0 \ar[r] & V_+'\ar[r]\ar[d] & E_{1/h}×V_+'\ar[r]\ar[d] &
E_{1/h}\ar[r]\ar[d] & 0 \\
0 \ar[r] & \Ker f\ar[r]\ar[d] & X\ar[r]\ar[d] & C\ar[r]\ar[d] & 0 \\
 & 0 & 0 & 0 & } \]
On a alors $\dim \Ker f = \dim V_+' - \dim V_-' = \dim V_+' - \dim V_- + h$,
soit encore~$\dim \Ker f = \dim V_+ - \dim V_-$.
\end{proof}

%<<<2
\subsection{Structure abélienne}

\begin{prop}\label{prop:noyau-BC}
Soient~$X, X'$ deux espaces de~Banach-Colmez admettant les présentations
respectives \[ \presBC{} \quad\text{et}\quad \presBC{'} \] et~$f: X → X'$
un morphisme surjectif d'espaces de~Banach-Colmez.
Alors le noyau~$X''$ de~$f$ admet une présentation
\[ \presBC{''} \], dont la hauteur et la dimension sont données par
\begin{align*}
\dim_\Qp V_+'' - \dim_\Qp V_-'' &= ( \dim_\Qp V_+ - \dim_\Qp V_-)
 - (\dim_\Qp V_+' - \dim_\Qp V_-'),\\
\dim_C W'' &= \dim_C W - \dim_C W'.
\end{align*}
% de~$X$ et~$X'$, il existe
% respectives $0 → Z → (V → E → C^d) → X → 0$ et~$0 → Z' → (V' → E' → C^{d'}) →
% X' → 0$ de~$X$ et~$X'$, il existe une présentation
% $0 → Z'' → (V'' → E'' → C^{d-d'}) → \Ker f → 0$ du noyau de~$f$, où $\dim
% V'' - \dim Z'' = (\dim V - \dim Z) - (\dim V' - \dim Z')$.
\end{prop}

En particulier, s'il existe un morphisme surjectif $X → X'$,
alors~$\dim_C W ≥ \dim_C W'$.

\begin{proof}
Soit~$Y=E ×_{X'} E'$. Alors la suite~$0 → V_- × V_-' → Y → X → 0$ est
exacte ; de plus, le morphisme canonique~$g: Y → E'$ a pour noyau une
extension de~$\Ker f$ par~$V_-$, et pour image l'image inverse dans~$E'$
de~$\Img f$. En particulier, $g$~est surjective \ssi $f$~l'est. Par
conséquent, quitte à remplacer~$f: X → X'$ par~$g: Y → E'$, on peut
supposer que~$X'$~est effectif et donc que~$V_-' = 0$.

Soit alors~$0 → V' → X' → W' → 0$ une présentation de~$X'$.
Pour tout sous-$C$-espace vectoriel~$Z$ de~$W'$, posons~$X'_Z = X'
×_{W'} Z$ ; c'est un espace de~Banach-Colmez effectif dont une
présentation est~$0 → V' → X'_Z → Z → 0$. Soit encore~$X_Z = X ×_{X'}
X'_{Z} = X ×_{W'} Z$ ; il est muni d'un morphisme naturel~$f_Z: X_Z →
X'_{Z}$ dont le noyau s'identifie à celui de~$f$. Enfin, si $W' = Z ⊕
Z'$ est une décomposition telle que~$f_Z$ et~$f_{Z'}$ vérifient le
résultat de la proposition, on en déduit que~$f$ vérifie aussi ce
résultat ; par conséquent, quitte à choisir une base de~$W'$, on peut
se ramener au cas où~$W' = C$.

Soit donc~$X → E'$ un morphisme surjectif, où~$E'$~est effectif et admet
la présentation~$0 → V' → E' →^{π} C → 0$. Pour tout sous-$C$-espace
vectoriel~$Z$ de~$W$, le produit fibré par~$Z$ donne une suite exacte
naturelle~$0 → (V_-)_Z → E_Z → X_Z → 0$ ; en outre, pour toute
décomposition~$W = Z ⊕ Z'$, la suite $0 → V_+/(V_- ∩ V_+) → X_Z ⊕ X_{Z'} → X
→ 0$ est exacte. Par conséquent, si~$f_Z: X_Z → E'$, $f_{Z'}:X_{Z'} → E'$
vérifient le résultat de la proposition, alors c'est encore le cas
de~$f:X → E$ ; on peut donc supposer que~$W = C$.

Enfin, si~$d=1$, alors puisque $f$~est surjective, $π∘f$~est encore
surjective, et donc son noyau est un $\Qp$-espace vectoriel de
dimension~$\dim V_+ - \dim V_-$. Par conséquent, le noyau de~$f$, qui est
une extension de celui de~$π∘f$ par~$V'$, est de dimension~$\dim V_+ -
\dim V_- - (\dim V')$. D'après ce qui précède, ceci permet de prouver le
cas général.
\end{proof}

\begin{cor}\label{cor:dim ht}
Deux présentations d'un espace de~Banach-Colmez~$X$ ont même dimension et
même hauteur.
% Soient $0 → V_- → (V_+ → E → W) → X → 0$ et~$ 0 → V_-' → (V_+' → E' → W') →
% X → 0$ deux présentations d'un espace de~Banach-Colmez~$X$. Alors :
% \begin{enumerate}
% \item $\dim_C
% \item $\dim V - \dim Z = \dim V' - \dim Z'$.
% \end{enumerate}
\end{cor}

\begin{proof}
Il suffit d'appliquer la proposition~\ref{prop:noyau-BC} à l'application
identité de~$X$ entre les deux présentations.
\end{proof}

\begin{df}
On appelle \emph{dimension} et~\emph{hauteur} d'un espace
de~Banach-Colmez~$X$ la dimension et la hauteur commune de toute
présentation de~$X$, et on les note
\[ \dim X = \dim_C W, \qquad \haut X = \dim_\Qp V_+ - \dim_\Qp V_- \].
\end{df}

En particulier, tout espace de~Banach-Colmez effectif est de hauteur
positive.


\begin{prop}\label{prop:quotient-BC}
Soient~$X$ un espace de~Banach-Colmez et $X'$~un sous-espace
de~Banach-Colmez de~$X$. Il existe
alors un espace de~Banach-Colmez quotient~$X/X'$, qui est de
dimension~$\dim X-\dim X'$, et de hauteur~$\haut X - \haut X'$.
\end{prop}

\begin{proof}
Notons~$d$, $d'$, $h$, $h'$ les dimensions et hauteurs de~$X$ et~$X'$.
Soient~$\presBC{}$ et~$\presBC{'}$ des présentations respectives de~$X$
et~$X'$. De même qu'à la proposition~\ref{prop:noyau-BC}, quitte à
remplacer~$X' → X$ par~$E ×_{X} E' → E$, on peut supposer que~$X$ est
effectif.

Soit donc $X' \hookrightarrow E$ un morphisme d'espaces de~Banach-Colmez,
où $E$~est effectif et a la présentation~$0 → V → E → W → 0$. Alors,
quitte à remplacer~$X'$ par~$X'/(V ∩ X')$, on peut supposer que~$E = W$
et donc~$V = 0$.

Soit~$(e_1,…,e_d)$ une base de~$W$ ; notons~$X'_i$ l'image de~$X'$
dans~$Ce_i$. Alors d'après le corollaire~\ref{cor:LF}, $X'_i → C
e_i$~admet un quotient~$X''_i$, qui vérifie le résultat voulu. Il suffit
alors de prendre comme objet~$X''$ la somme directe des~$X''_i$ pour
obtenir le résultat.
\end{proof}

De plus, puisque la suite~$0 → X' → X → X/X' → 0$ est une suite exacte
d'espaces de~Banach-Colmez, c'est aussi une suite exacte d'espaces
de~Banach $p$-adiques, et donc le support de l'espace
de~Banach-Colmez~$X/X'$ est le quotient des supports de~$X$ et~$X'$.

\begin{thm}\label{thm:BC abelienne}
La catégorie des espaces de~Banach-Colmez est abélienne, et la dimension
et la hauteur sont additives dans les suites exactes courtes.
\end{thm}

\begin{proof}
Nous savons déjà que la catégorie des espaces de~Banach-Colmez est
additive.

Soit~$f: X → X'$ un morphisme d'espaces de~Banach-Colmez. Alors~$f$~admet
un noyau d'après la proposition~\ref{prop:noyau-BC}, une coimage d'après
la proposition~\ref{prop:quotient-BC}, et une image d'après la
proposition~\ref{prop:image-BS} ; de plus, comme les espaces de~Banach
$p$-adiques sous-jacents à~$\Coim f$ et~$\Img f$ sont la coimage et
l'image de l'application $\Qp$-linéaire sous-jacente à~$f$, ils sont
isométriques, et donc~$f:\Coim f → \Img f$ est un isomorphisme d'après la
proposition~\ref{prop:inversion-groupes-rigides}. Enfin, la
proposition~\ref{prop:quotient-BC} prouve que~$f$ a un conoyau.
\end{proof}



%<<<1
\section{Homomorphismes et extensions}
%<<<2
\subsection{Structure analytique sur les $B^+\dR$-modules de longueur
finie}

Soit~$K$ un sous-corps fermé de~$C$ tel que la valuation sur~$K$ soit
discrète et dont le corps résiduel~$k$ est parfait. On note~$K_0 = \Frac
W(k)$ et~$σ$ le Frobenius absolu agissant sur~$K_0$. On reprend ici les
notations de~\cite{CF}. On rappelle qu'un \emph{$φ$-isocristal sur~$K$}
est un $K_0$-espace vectoriel de dimension finie~$D$ muni d'une
application $σ$-linéaire~$φ: D → D$, Le \emph{rang} d'un $φ$-module est
la dimension du $K_0$-espace vectoriel sous-jacent.

Un \emph{$φ$-module filtré} sur~$K$ est un $φ$-module~$D$, muni d'une
filtration décroissante~$(\Fil^n D_K)_{n ∈ ℤ}$ du $K$-espace
vectoriel~$D_K = D ⊗_{K_0} K$ par des sous-$K_0$-espaces vectoriels ; on
exige en outre que $D_K$~soit séparé et complet pour cette filtration.
Puisque $D$~est de dimension finie, cette dernière condition est
équivalente à : $\Fil^n D_K = D_K$ pour~$n$~assez petit, et~$\Fil^n D_K =
0$ pour~$n$~assez grand. 
% On dit que~$D$~est \emph{effectif} si~$\Fil^0
% D_K = D_K$.

Soit~$D$ un $φ$-module filtré. Son \emph{nombre de~Newton}~$\tN(D)$ est
la somme~$∑ α \dim D_{α}$, où~$D_α$ est la partie isocline de pente~$α$
de~$D$ ; ceci revient à dire que~$\tN(D)$ est la valuation $p$-adique du
déterminant de la matrice de~$φ$ dans une base quelconque de~$D$ (ce
déterminant dépend de la base mais pas sa valuation $p$-adique). Son
\emph{nombre de~Hodge}~$\tH(D)$~est la somme~$∑ i⋅\dim
\Fil^iD_K/\Fil^{i+1}D_K$. Les deux nombres~$\tN$ et~$\tH$ sont additifs
sur les suites exactes courtes.

On dit qu'un $φ$-module filtré~$D$ est \emph{effectif} si toutes ses
pentes sont~$≥ 0 $ et si~$\Fil^0 D_K = D_K$.
Pour tout~$φ$-module filtré effectif~$D$, on pose :
\begin{eqnarray*}
V(D) &=& \Hom_{φ,\Fil} (D, B\cris),\\
E(D) &=& \Hom_{φ} (D, B^+\cris),\\
M(D) &=& \Hom_K (D_K, B^+\dR)/\Hom_{K,\Fil} (D_K, B^+\dR),
\end{eqnarray*}
de sorte que $M(D)$~est un $B^+\dR$-module de longueur finie. De plus, le
groupe~$\ro G_K$ agit sur~$V(D)$, $E(D)$ et~$M(D)$. On dispose alors
d'une suite exacte naturelle
\[ 0 → V(D) → E(D) → M(D) \].

On dit qu'un $φ$-module filtré~$D$ est \emph{faiblement admissible}
si~$\tH(D) = \tN(D)$ et si, pour tout sous-$φ$-module filtré~$D'$ de~$D$,
$\tH(D') ≤ \tN(D')$.
On dit que $D$ est \emph{admissible} si~$V(D)$ est un $\Qp$-espace
vectoriel de dimension finie égale au rang de~$D$.
%
D'après~\cite{CF}, nous savons qu'un $φ$-module filtré est
admissible \ssi il est faiblement admissible et qu'alors la suite \( 0 →
V(D) → E(D) → M(D) → 0 \) est exacte. Nous n'utiliserons ici que les
propriétés plus faibles suivantes :
\begin{enumerate}
\item si $D$~est admissible, alors il est faiblement
admissible~\cite[4.2]{CF} ;
\item si~$D$~est faiblement admissible, alors il est admissible \ssi
$E(D) → M(D)$~est surjective~\cite[5.7]{CF} ;
\item si $\tH(D') ≤ \tN(D')$ pour tout sous-objet~$D'$ de~$D$, alors
$V(D)$~est un $\Qp$-espace vectoriel de dimension finie, inférieure ou
égale au rang de~$D$ \cite[4.3(i)]{CF}.
\end{enumerate}

On dira qu'une filtration~$\Fil$ sur un $φ$-module~$D$ est
\emph{admissible effective} si le $φ$-module filtré~$(D, \Fil)$ est
admissible et effectif. Dans ce cas, nous écrirons la suite exacte courte
ci-dessus~$0 → V(D, \Fil) → E(D) → M(D, \Fil) → 0$.

Une filtration~$\Fil$ sur~$D$ est dite \emph{de
niveau $≤ m$} si~$\Fil^0 D_K = D_K$ et~$\Fil^{m+1} D_K = 0$.
En particulier, une filtration de niveau~$≤ 1$ est donnée par le
sous-$K$-espace vectoriel~$\Fil^1D_K$ de~$D_K$ ; dans ce cas, on voit
immédiatement que~$\tH(D) = \dim \Fil^1 D_K$.

Dire que $\Fil$~est de niveau~$≤ m$ revient à dire que le
$B^+\dR$-module~$M(D)$ est annulé par~$\Fil^m B^+\dR$. En outre,
soit~$(e_1,…,e_h)$ une base de~$D_K$ adaptée à la filtration, et
soit~$r_i$ le plus grand entier~$r$ tel que~$e_i ∈ \Fil^r D_K$ ; alors
$M(D)$~s'identifie à la somme directe des~$B_{r_i}$, et est donc un
$B^+\dR$-module de longueur~$∑ r_i$, c'est-à-dire~$\tH(D)$. Par
conséquent, si $D$~est de niveau~$≤ 1$, alors $M(D)$~est un $C$-espace
vectoriel de dimension~$\tH(D)$.

Soit~$D$ un $φ$-isocristal sur~$k$ à pentes dans~$[0,1]$. Le choix d'une
filtration admissible effective~$\Fil$ de niveau~$≤1$ sur~$D$ donne une
suite exacte courte~$0 → V(D, \Fil) → E(D) → M(D, \Fil) → 0$ qui est une
présentation de~$E(D)$ dans la catégorie des espaces de~Banach-Colmez
effectifs. Si à présent~$\Fil'$ est une autre filtration admissible
effective de~$D$ (qui n'est pas nécessairement de niveau~$≤ 1$) alors la
suite exacte courte $0 → V(D, \Fil') → E(D) → M(D, \Fil') → 0$ définit une
structure d'espace de~Banach-Colmez sur le $B^+\dR$-module de longueur
finie~$M(D, \Fil)$.

% Soit~$D$ un $φ$-module filtré effectif admissible dont les pentes
% appartiennent à l'intervalle~$[0;1]$. Ceci signifie qu'il existe un
% réseau~$M$ de~$D$ tel que~$pM ⊂ φ(M)$. Alors $M$~est le module
% de~Dieudonné d'un groupe $p$-divisible~$Γ$ sur~$k$, et donc d'après la
% proposition~\ref{prop:Gamma(R) BCE}, $E(D)$~est un espace
% de~Banach-Colmez effectif sur~$K$, et~$0 → V(D) → E(D) → M(D) → 0$~en est
% une présentation. De plus, la structure analytique sur~$E(D)$ provient de
% celle sur~$BW(R)$, et est donc indépendante du choix de la filtration
% sur~$D_K$.

\begin{prop}\label{prop:structure-WD}
Soit~$K$ un sous-corps fermé de~$C$ dont la valuation est discrète et
dont le corps résiduel~$k$ est parfait.
\begin{enumerate}
\item Pour tout $B^+\dR$-module de longueur finie~$M$, il existe un
$φ$-module filtré effectif admissible~$D$ à pentes dans~$[0,1]$ tel
que le $B^+\dR$-module~$M(D)$ soit isomorphe à~$M$.
\item La structure analytique définie comme en~(i) par un isomorphisme
$M(D) ≃ M$ de $B^+\dR$-modules est indépendante du choix du $φ$-module
filtré~$D$.
\item Soient~$M$, $M'$ deux $B^+\dR$-modules de longueur finie. Alors
toute application~$B^+\dR$-linéaire de~$M$ vers~$M'$ est analytique pour
la structure définie en~(i).
\item Le foncteur ainsi défini de la catégorie des $B^+\dR$-modules de
longueur finie vers celle des espaces de~Banach-Colmez est pleinement
fidèle.
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{proof}
(i) Il suffit de le prouver dans le cas où~$M = B_m$ pour un entier~$m ≥
1$. Soit~$D = \Qp[φ]/(φ^m-p)$ ; alors~$D$~est le module de~Dieudonné d'un
groupe $p$-divisible~$Γ$ sur~$\Fp$ de hauteur~$m$ et de dimension~$1$.
Soit~$G$ un relèvement sur~$\Zp$ de~$Γ$.  Alors~$G$ correspond à une
filtration admissible~$\Fil$ sur le $φ$-module~$D$, telle que~$\Fil^0 D =
D$, $\Fil^2 D = 0$, et~$\Fil^1 D = \Qp e$ où~$e$~est un élément non nul
de~$D$. Comme la catégorie des $φ$-modules filtrés admissibles est stable
par produit tensoriel~\cite{CF}, le $φ$-module filtré~$D^{⊗ m}$ est
encore admissible ; c'est encore le cas de tout sous-module filtré~$D'$
de~$D^{⊗ m}$ tel que~$\tH(D') = \tN(D')$. C'est le cas du
sous-$\Qp[φ]$-module~$D'$ engendré par~$e' = e ⊗ … ⊗ e$ ; il est de rang~$m$
et de pente~$1$, et en outre~$\Fil^0 D' = D'$, $\Fil^1 D' = … = \Fil^m D'
= \Qp e'$ et~$\Fil^{m+1} D' = 0$. Par conséquent, $M(D') = B_m$.
% 
% Γ$ un groupe $p$-divisible sur~$k$ de hauteur~$1$ et de
% dimension~$m$ ; le choix d'un relèvement~$G$ de~$Γ$ en un groupe
% $p$-divisible sur~$W(k)$ munit le module de~Dieudonné~$D$ de~$Γ$ d'une
% structure de $φ$-module filtré admissible sur~$K_0$ dont l'unique pente
% est~$1/m$, et en outre~$\Fil^0 D = D$, $\Fil^2 D = 0$, et~$\Fil^1
% D$~est une droite sur~$K_0$. Puisque l'admissibilité est stable par produit
% tensoriel~(\cite{CF}), le $φ$-module filtré produit symétrique~$D_m =
% \Sym^m D$ est encore admissible (et à pentes dans~$[0,1]$) ; en outre,
% $\Fil^{m+1} D_m = 0$ et~$\Fil^m D_m$~est une droite sur~$K_0$. Par
% conséquent, $M(D_m)$~contient~$B_m$ comme facteur direct, et donc~$D_m$
% contient un facteur direct~$D'$ tel que $M(D')$~soit isomorphe à~$B_m$.

(ii) résulte immédiatement d'une application de~(iii) à l'application
identique de~$M$.

(iii) Soient~$D$, $D'$ deux $φ$-modules filtrés effectifs admissibles à
pentes dans~$[0,1]$ tels que~$M(D) ≃ M$ et~$M(D') ≃ M'$.
Notons~$(e_i)_{i=1,…,h}$, $(e'_i)_{i=1,…,h'}$ des bases de~$D$ et~$D'$.
Soient~$(u_i)_{i=1,…,h}$ et~$(u'_i)_{i=1,…,h'}$ des bases de~$D_K$
et~$D'_K$ adaptées aux filtrations respectives ; il existe alors des
coefficients~$c_{i,j}$, $c'_{i,j} ∈ K$ tels que l'on puisse écrire~$u_i = ∑
c_{i,j} e_j$, $u'_i = ∑ c'_{i,j} e'_j$. Soit encore~$m_i$ le plus petit
entier~$m$ tel que~$u_i ∈ \Fil^m D_K$, et définissons de même~$m'_i$.

On peut alors écrire~$M(D) = \bigoplus B_{m_i} v_i$ et~$M(D') = \bigoplus
B_{m'_i} v'_i$. Puisque l'application~$f: M(D) → M(D')$~est
$B^+\dR$-linéaire, il existe des éléments~$b_{i,i'}$ de~$B_{m'_{i'}}$
pour tous~$i,i'$, tels que $f(v'_{i'}) = ∑ b_{i,i'} v_{i}$. Enfin,
l'application~$π: E(D) → M(D)$ est donnée par~$π(x) = ∑ x(u_i) v_i = ∑
c_{i,j} x(e_j) v_i$.

Soit~$E'' = E(D) ×_{M(D')} E(D')$ ($E''$~est le « graphe de~$f$ ») ; on
peut alors écrire
\[ E'' = \acco{(x, x')\! ∈ E(D)\! ×\! E(D'), ∑_{j'=1}^{h'} \pa{ c'_{i,j'}
   x'(e'_{j'}) - ∑_{i'=1}^{h} a_{i',i} ∑_{j=1}^{h} c_{i',j} x(e_j)\!}
   ∈ \Fil^{m_{i}} B^+\dR} \];
autrement dit, $E''$~est le produit fibré du diagramme
\[ \xymatrix{ E(D) × E(D') \ar[r]^{c} & BW(R)^{h} ⊗_{K_0} K \\
  & ∏_{i=1}^{h} \Fil^{m_{i}} BW(R)\ar[u]
}\]
Puisque $D$~et~$D'$ sont effectifs, $E(D)$~et~$E(D')$ sont naturellement
munis de structures d'espaces de~Banach-Colmez effectifs ; en outre,
puisque~$K/K_0$~est finie, on peut également munir~$BW(R) ⊗_{K_0} K$
d'une structure d'espace de~Banach spectral, et le morphisme~$c$ défini
ci-dessus est analytique. Par conséquent, d'après la
proposition~\ref{prop:theta-analytique}, $E''$~est un fermé analytique
de~$E(D) × E(D')$. On déduit alors de la proposition~\ref{prop:analytique
BS graphe} que~$f: M(D) → M(D')$ est analytique.
% 
% Soit enfin~$V'' = E'' ×_{E(D')} V(D')$ ; c'est un espace de~Banach
% spectral étale, et donc~$V'' → E''$~est un espace de~Banach spectral. Par
% construction, $V'' → E''$~est quasi-isomorphe à~$V(D') → E(D')$, et il
% est naturellement muni d'un morphisme vers~$V(D) → E(D)$, qui induit le
% morphisme~$f: M(D) → M(D')$.

(iv)
Il suffit de démontrer que, pour tout~$m$, $\Hom(B_m, C) = C$,
c'est-à-dire que tout morphisme analytique~$f: B_m → C$ s'annule
sur~$\Fil^1 B_m = B_{m-1}(1)$ ; en outre, puisque~$0 → B_{m-1}(1) → B_m →
C → 0$~est une suite exacte d'espaces de~Banach-Colmez, il suffit
d'établir ce résultat pour~$m = 2$.

D'après~(i), une structure analytique sur~$B_2$ est donnée par la
présentation~$0 → V → E → B_2 → 0$, où~$E = \acco {x ∈ B^+\cris, φ^2(x) =
p^2⋅x}$ et~$V = E ∩ \Fil^2 B^+\cris$ est un $\Qp$-espace vectoriel de
dimension~$2$. Puisque la catégorie~$\BC_C$ est abélienne, on dispose
d'une suite exacte $0 → \Hom (B_2, C) → \Hom(E, C) → \Hom(V, C)$.

Soit~$e$ un élément de~$ℚ_{p^2}$ tel que~$\acco{e, φ(e)}$ soit une
$\Qp$-base de~$ℚ_{p^2}$ ; alors l'application~$E_1 ⊕ E_1 → E, (x, x') ↦ x
e + x' φ(e)$ est un isomorphisme. Par conséquent, $\Hom(E, C)$~est un
$\Qp$-espace vectoriel de dimension~$2$. Puisque~$θ: B_2 → C$~est
analytique en vertu de~(iii), l'espace $\Hom (B_2, C)$~est non nul ; il
suffit donc de montrer que la flèche~$F: \Hom(E, C) → \Hom (V, C)$ est
non nulle. Soient~$f, f': E → C$ définies par~$f(x⋅e + x'⋅φ(e)) = θ(x)$
et~$f'(x⋅e + x'⋅φ(e)) = θ(x')$ pour tous~$x, x' ∈ E_1$ ; alors~$F(f) =
F(f') = 0$ entraîne que~$φ^n(e) ∈ \Fil^1 B^+\dR$ pour tout~$n ∈ ℕ$ et
donc~$e ∈ t B^+\cris$, ce qui est absurde.
% il suffit donc de démontrer que tout morphisme analytique~$B_m → C(-1)$
% est nul.
% 
% Ce résultat est vrai si~$m=1$ car~$\Hom_{\ro G_K}(C(1), C) = 0$. La
% suite~$0 → C(m) → B_{m+1} → B_m → 0$~est exacte dans~$BC_K$, et on en
% déduit donc une suite exacte~$0 → \Hom(B_m, C(-1)) → \Hom(B_{m+1},
% C(-1)) → \Hom(C(m), C(-1))$ ; puisque~$\Hom(C(m), C(-1))=0$, on voit
% ainsi que~$\Hom(B_{m}, C(-1)) = 0$ pour tout~$m$.
\end{proof}

Remarquons également que, par construction, l'espace de~Banach-Colmez
associé à tout~$B^+\dR$-module de longueur finie est connexe. Par
conséquent, d'après la proposition~\ref{prop:BS connexe}, pour
tout~$B^+\dR$-module de longueur finie~$M$ et tout espace de~Banach
spectral étale~$V$, $\Hom_{\BC_C} (M, V) = 0$.

\begin{prop}
Soit~$D$ un $φ$-module effectif. Alors~$E(D)$ est naturellement muni
d'une structure d'espace de~Banach-Colmez de dimension~$\tN(D)$ et de
hauteur égale au rang de~$D$.

De plus, l'application naturelle~$E(D) → M(D)$~est analytique.
\end{prop}

\begin{proof}
D'après la proposition~\ref{prop:Gamma(R)-BCE}, le résultat est connu
lorsque toutes les pentes de~$D$ sont~$≤ 1$. Supposons le résultat connu
lorsque toutes les pentes de~$D$ sont~$≤ m-1$ pour un entier~$m$, et
montrons-le lorsque~$D$ est de pentes~$≤ m$. En écrivant la décomposition
isocline de~$D$, on peut supposer que celui-ci n'a qu'une seule pente et
qu'elle appartient à l'intervalle~$]m-1, m]$.

Soient~$D_1$ un $φ$-isocristal effectif et~$α: D → B^+\cris ⊗_{K_0} D_1$
une application $K_0[φ]$-linéaire. On dispose alors d'une application
linéaire~$E(α): E(D_1) → E(D)$ définie par~$E(α)(f) = (\id ⊗ f) ∘ α$. La
paire~$(D_1, α)$ est dite \emph{admissible} si $E(α)$~est surjective et
si son noyau est un $\Qp$-espace vectoriel de dimension finie ; la donnée
d'une paire admissible~$(D_1, α)$ telle que toutes les pentes de~$D_1$
soient~$≤ m-1$ munit~$D$ d'une structure d'espace de~Banach-Colmez.

Soient à présent~$f: D → D'$ un morphisme de $φ$-isocristaux effectifs
et~$(D_1, α)$, $(D'_1, α')$ des paires admissibles respectives pour~$D$
et~$D'$, de pentes~$≤ m-1$. Alors~$f$ induit un morphisme~$E(f): E(D') →
E(D)$ ; on peut ainsi construire~$E = E(D_1) ×_{E(D)} E(D'_1)$. En
choisissant des bases de~$D$, $D'$, $D_1$ et~$D'_1$ et en écrivant les
matrices de~$α$, $α'$ et~$f$ dans ces bases, on montre de même qu'à la
proposition~\ref{prop:structure-WD}(iii) que $E$~est un fermé analytique
de~$E(D_1) × E(D'_1)$ ; par conséquent, $f$~est analytique. En
particulier, en appliquant ce résultat à~$f = \id: D → D$, on voit que la
structure analytique sur~$D$ ne dépend pas du choix de la paire
admissible~$(D_1, α)$.

\bigskip

Montrons qu'il existe au moins une paire admissible~$(D_1, α)$
avec~$D_1$ de pentes~$≤ m-1$. Soient~$h$ le rang de~$D$, $φ: D → D$
le~Frobenius de~$D$ et notons~$D' = (D, p^{-1} φ)$. La composition
par~$θ: B^+\cris → C$ donne un morphisme naturel~$E(D) → \Hom_{K_0} (D,
C)$ ; d'après~\cite[5.3.7(i)]{Periodes}, un élément du noyau de cette
flèche est un morphisme~$D → B^+\cris$ à valeurs dans~$t B^+\cris$. On
dispose donc d'une suite exacte
\[ 0 → E(D') → E(D) → \Hom_{K_0} (D, C) \],
où~$E(D') → E(D)$~est la multiplication par~$t$.

Soit~$u ∈ E_1$ tel que~$θ(u) = 1$. Alors la
multiplication par~$u^{m-2}$ induit une injection~$E(D, p^{-m+1}φ) →
E(D')$ et un carré commutatif
\[ \xymatrix{ E(D, p^{-m+1}φ)\ar[r]\ar[d] &\Hom_{K_0}(D,C)\ar@{=}[d]\\
E(D')\ar[r] & \Hom_{K_0}(D,C).}\]
Le $φ$-isocristal effectif $(D, p^{-m+1}φ)$ est à pentes
dans~$[0,1]$, et par conséquent $F = E(D, p^{-m+1}φ)$~est un espace
de~Banach-Colmez effectif. Par conséquent, la flèche~$F → \Hom_{K_0} (D,
C)$ s'identifie à l'injection~$F → F_C$ (où~$F_C$ est l'enveloppe
vectorielle de~$F$, \ref{df:env-vect}) ; on en déduit que l'image de
cette flèche engendre~$\Hom_{K_0} (D, C)$.
Puisque l'image de la flèche du haut engendre~$\Hom_{K_0}(D, C)$, il en
est de même de celle de la flèche du bas.

Soient donc~$(v_1, …, v_h) ∈ E(D')$ dont les images forment une base
de~$\Hom_{K_0}(D, C)$ ; soit~$D_1 = D' ⊕ K_0 e_1 ⊕ … ⊕ K_0 e_h$, muni
de~$φ$ défini par~$φ(e_i) = p e_i$, et soit~$α: D → B^+\cris ⊗ D_1$
définie par~$α(x) = t ⊗ x ⊕ v_1 (x) e_1 ⊕ … ⊕ v_h(x) e_h$. Alors~$α$
est~$K_0[φ]$-linéaire et~$D_1$ est de pentes~$≤ m-1$ ; de plus, $E(D_1) =
E(D') ⊕ E_1^h$. Par construction, l'image de~$E(α): E(D_1) → E(D)$
contient~$t E(D')$, et la flèche composée~$E(D_1) → E(D) → \Hom_{K_0} (D,
C)$ est surjective ; par conséquent, $E(α)$ est surjective et la suite
\begin{equation}\label{eq:suite-ED}
0 → E(D') → E(D) → \Hom_{K_0} (D, C) → 0
\end{equation}
est exacte. De plus, le noyau de~$E(α)$ est~$E_1^h ∩ t E(D')$, c'est donc
un $\Qp$-espace vectoriel de dimension~$h$. Par conséquent, $(D_1,
α)$~est une paire admissible.

Enfin, puisque la suite~\ref{eq:suite-ED} est exacte, on a~$\dim E(D) =
\dim E(D') + h = \tN(D)$ et~$\haut E(D) = \haut E(D') = h$.

\bigskip

Il reste à montrer que~$E(D) → M(D)$~est analytique. Il existe des
entiers~$m, n$ et une injection naturelle analytique~$E(D) → B_m^n$ ;
puisque~$B_m^n → M(D)$~est analytique d'après la
proposition~\ref{prop:structure-WD}, on voit que~$E(D) → M(D)$~est
analytique.
\end{proof}

\begin{prop}\cite[Théorème A]{CF}
Soit~$D$ un $φ$-module effectif. Alors toute filtration faiblement
admissible sur~$D$ est admissible.
\end{prop}

\begin{proof}
% Soit~$n = \floor{α}$ ;
% alors~$D(-n)$ est isocline de pente~$α - n ∈ [0,1[ ∩ ℚ$, et on a un
% isomorphisme naturel~$E(D) ≃ E(D(-n))(n)$. On peut donc en outre supposer
% que~$α ∈ [0,1[ ∩ ℚ$.
% Le $φ$-module~$D$ est alors isomorphe au module de~Dieudonné d'un groupe
% $p$-divisible~$Γ$ sur~$k$, dont la hauteur est égale au rang de~$D$, et
% la dimension à~$\tN(D)$. D'après la proposition~\ref{prop:Gamma(R)-BCE},
% $E(D) = Γ(R)$~est muni d'une structure d'espace de~Banach-Colmez de
% dimension~$\tN(D)$ et de hauteur égale au rang de~$D$.

Pour toute filtration~$\Fil$ sur~$D$, la suite exacte~$0 → V(D) →
E(D) → M(D)$ est analytique ; si~$\Fil$~est faiblement admissible,
alors~$\tH(D) = \tN(D)$ entraîne $\dim E(D) = \dim M(D)$, et~$\tH(D') ≤
\tN(D')$ pour tout sous-objet~$D'$ de~$D$ entraîne que~$V(D)$ est un
$\Qp$-espace vectoriel de dimension finie~\cite[4.3(i)]{CF} et donc un espace
de~Banach-Colmez de dimension nulle. On en déduit que
le conoyau~$X$ de~$E(D) → M(D)$ est de dimension~$0$ et donc un espace
de~Banach-Colmez étale. Puisque~$M(D)$~est connexe, on a donc~$X = 0$,
ce qui signifie que~$E(D) → M(D)$~est surjective et donc~\cite[5.7]{CF} que~$\Fil$~est
admissible.
\end{proof}

%<<<2
\subsection{L'extension universelle de~$\BtdR$ par~$\Qp$}

Soient~$\BtdR = B\dR / B^+\dR$ et~$\Be = \acco{x ∈ B\cris, φ(x) = x}$. On
note encore, pour tout entier~$m$, $B_m = B^+\dR / \Fil^m B^+\dR$ ;
alors~$B_1 = C$ et~$B_{m+1}$ est une extension de~$B_m$ par~$C(m)$.
On dispose alors de la suite exacte suivante (\cite[5.3.7(iii)]{Periodes}) :
\begin{equation}\label{eq:SEF-Be}
0 → \Qp → \Be → \BtdR → 0.
\end{equation}
On rappelle que pour tous entiers positifs premiers entre eux~$d, h$, on
note~$E_{d/h} = E_{d,h} = \acco {x ∈ B^+\cris, φ^h(x) = p^d x}$ ; on a
donc en particulier, pour tout entier~$m$, $E_m = \acco {x ∈ B^+\cris,
φ(x) = p^m x}$.
On dispose alors d'une suite exacte courte d'espaces de~Banach $p$-adiques, qui
est analytique et donc une suite exacte courte dans~$\BC_C$ :
\begin{equation}\label{eq:SEF-Em}
0 → \Qp(m) → E_m → B_m → 0,
\end{equation}
et on a encore~$\Be = \limi E_m(-m)$, $\BtdR = \limi B_m(-m)$, ce qui
permet de considérer~$\Be$ et~$\BtdR$ comme des limites inductives
d'espaces de~Banach-Colmez et la suite~\ref{eq:SEF-Be} comme une suite
exacte de limites inductives d'espaces de~Banach-Colmez.

\medskip

Pour tout espace de-Banach-Colmez~$X$, on pose donc
\[ X^⋆\dR = \Hom(X, \BtdR) = \limi_{m ∈ ℕ} \Hom_{\BC_C} (X, B_m(-m)) \].

Un $B^+\dR$-module~$M$ est dit \emph{de cotype fini} si~$\Hom_{B^+\dR}
(M, \BtdR)$ est de type fini ; ceci revient à dire que~$M$ est extension
d'un module de longueur finie par un module divisible de cotype fini
(donc de la forme $(\BtdR)^n$). De plus, cette extension est (non
canoniquement) scindée. En particulier, si~$M$ est de cotype fini et de
type fini, alors il est de longueur finie.

\begin{prop}\label{prop:sorites-dual-dR}
\begin{enumerate}
\item Pour tout espace de~Banach spectral étale~$V$,
\[ V^⋆\dR = \limi \Hom_{\Qp} (V, B_m(-m)) = \Hom_{\Qp} (V, \BtdR)
 = V^∨ ⊗_{\Qp} \BtdR \];
\item Pour tout~$m$, $(B_m)^⋆\dR = B_m(-m)$ ;
\item Pour tout~$C$-espace vectoriel~$W$, $W^⋆\dR = \Hom_C (W, C(-1)) =
W^⋆ (-1)$ ;
\item Pour tout espace de~Banach-Colmez~$X$, $X^{⋆}\dR$~est un
$B^+\dR$-module de cotype fini.
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{proof}
(i) est une conséquence de la proposition~\ref{prop:morphisme etale -}.

(ii) découle de la pleine fidélité du foncteur de la catégorie des
$B^+\dR$-modules de longueur finie vers celle des espaces de~Banach
spectraux (proposition~\ref{prop:structure-WD}).

(iii) est un cas particulier de~(ii).

(iv) Le résultat est vrai dans les cas particuliers où~$X$~est un
$\Qp$-espace vectoriel ou un $C$-espace vectoriel de dimension finie
d'après ce qui précède. Dans le cas général, $X$~est le quotient d'une
extension de tels objets, et donc le résultat est encore vrai.
\end{proof}


\begin{df}\label{df:categ-L}
Notons~$\L_C$ la catégorie dont les objets sont les triplets~$(M, V, f)$,
où~$V$~est un $\Qp$-espace vectoriel de dimension finie, $M$~un
$B^+\dR$-module de longueur finie, et~$f: M → V ⊗_{\Qp} \BtdR$ une
application $B^+\dR$-linéaire, et dont les morphismes entre deux
objets~$(M, V, f)$ et~$(M', V', f')$ sont les couples de morphismes~$(v ∈
\Hom_{\Qp} (V, V'), w ∈ \Hom_{B^+\dR} (M, M'))$ tels que~$w ∘ f = f' ∘
v$.
\end{df}

Se donner un objet~$f: M → V ⊗_{\Qp} \BtdR$ de~$\L_C$ revient à se donner
une application $\Qp$-linéaire~$f^⋆: V^∨ → M^⋆$, où~$V^∨$ est le dual
de~$V$ comme $\Qp$-espace vectoriel, et~$M^⋆$ est le dual de~$M$ comme
$B^+\dR$-module.

La promotion d'un $C$-espace vectoriel de dimension finie en un
$B^+\dR$-module de longueur finie fournit un foncteur naturel, que l'on
note~$f ↦ f\dR$, de la catégorie~$\L^+_C$ vers la catégorie~$\L_C$.

\begin{prop}\label{prop:construction Be}
La correspondance qui à un objet~$(M, V, f)$ de~$\L_C$ associe
\[ E(f) = M ×_{(V ⊗_{\Qp} \BtdR)} (V ⊗_{\Qp} \Be) \]
est un foncteur (covariant) de la catégorie~$\L_C$ vers la
catégorie~$\BC_C$.

De plus, pour tout objet~$f$ de~$\L^+_C$, $E(f\dR)$~est un espace
de~Banach-Colmez effectif naturellement isomorphe à l'objet~$E(f)$
construit à la proposition~\ref{prop:foncteur construit}.
\end{prop}

\begin{proof}
Pour tout objet~$(M, V, f)$ de~$\L_C$, $E(f)$~est construit par le diagramme
suivant :
\begin{equation}\label{diag:E(f) dR}\xymatrix{
0 \ar[r] & V\ar[r] \ar@{=}[d] &
  E(f)\ar[r]\ar[d] \ar[r] \ar[d] & M \ar[r]\ar[d]^{f} & 0 \\
  0 \ar[r] & V\ar[r] & V ⊗_{\Qp} \Be \ar[r] &
  V ⊗_{\Qp} \BtdR \ar[r] & 0
}\end{equation}
Puisque~$M$~est un $B^+\dR$-module de longueur finie, il est annulé par
un idéal~$t^m B^+\dR$, ce qui signifie que l'image de~$f: M →
V ⊗_\Qp \BtdR$~est incluse dans l'un des~$V ⊗ B_m(-m)$ ; la deuxième ligne du
diagramme peut donc être remplacée par~$V → V ⊗_{\Qp} E_m(-m) → V
⊗_{\Qp} B_m(-m)$, et tous ces objets sont naturellement des espaces
de~Banach-Colmez. Par conséquent, $E(f)$~est naturellement un espace
de~Banach-Colmez.

Enfin, dire que~$f$~est un objet de~$\L^+_C$ revient à dire que~$M$~est
un $C$-espace vectoriel, et donc annulé par~$tB^+\dR$ ; dans ce cas, le
diagramme~\ref{diag:E(f) dR} se confond avec le diagramme~\ref{diag:E(f)
BCE}.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:Ext1-M-V}
Pour tout $B^+\dR$-module de longueur finie~$M$ et pour tout espace
de~Banach spectral étale~$V$, la flèche de la
proposition~\ref{prop:construction Be} fournit un isomorphisme canonique
\[ \Ext^1_{\BC_C} (M, V) = \Hom_{B^+\dR} (M, V ⊗_{\Qp} \BtdR) \].
\end{prop}

\begin{proof}
Il suffit de le prouver lorsque~$M = B_m$. Si~$m=1$, alors~$M = C$, et le
résultat est celui de la proposition~\ref{prop:Ext1-W-V}. Montrons par
récurrence le cas quelconque ; supposons que~$β_m: \Hom_{B^+\dR} (B_m, V
⊗_{\Qp} \BtdR) → \Ext^1_{\BC_C} (B_{m}, V)$ soit un isomorphisme.

On déduit de la suite exacte
\[ 0 → B_m(1) → B_{m+1} → C → 0 \]
une suite
\[ 0 → \Ext^1 (C, V) → \Ext^1 (B_{m+1}, V) → \Ext^1 (B_m(1), V) \];
cette suite est exacte à gauche et au centre. De plus, les espaces
de~Banach-Colmez~$B_m(1)$ et~$B_{m+1}$ admettent les représentants
\[ \xymatrix{ \Qp(2) ⊕ … ⊕ \Qp(m+1) \ar[d] \ar[r] &
 E_1(1) ⊕ … ⊕ E_1(m) \ar[d] \ar[r] & B_m(1) \\
   \Qp(1) ⊕ \Qp(2) ⊕ … ⊕ \Qp(m+1) \ar[r] & 
   E_1 ⊕  E_1(1)… ⊕ E_1(m) \ar[r] & B_{m+1}
}\]
Par conséquent, pour toute extension~$X$ de~$B_m(1)$ par~$V$ dont un
représentant est le complexe~$V' → E'$, l'espace de~Banach-Colmez défini
par~$V' ⊕ \Qp(1) → E' ⊕ E_1$ est une extension de~$B_{m+1}$ par~$V$, et
donc la flèche~$\Ext^1 (B_{m+1}, V) → \Ext^1 (B_m(1), V)$ est surjective.
On peut alors écrire le diagramme
\[\xymatrix@C=5mm{0 \ar[r]
  & \Ext^1(C, V) \ar[r] & \Ext^1 (B_{m+1}, V) \ar[r] & \Ext^1 (B_m(1), V)
  \ar[r] & 0\\
  0\ar[r] & \Hom_{B^+\dR} (C, V \!⊗_{\Qp}\! \BtdR) \ar[r]\ar[u]^{α}&
  \Hom (B_{m+1}, V \!⊗_{\Qp}\! \BtdR)\ar[r]\ar[u]^{β_{m+1}} &
  \Hom (B_m(1), V \!⊗_{\Qp}\! \BtdR)\ar[r]\ar[u]^{β_m(1)} & 0
}\]
Les deux lignes sont exactes, la flèche~$α$ est un isomorphisme d'après
la proposition~\ref{prop:Ext1-W-V}, et la flèche~$β_m(1)$~est un
isomorphisme par hypothèse de récurrence ; donc~$β_m$~est un
isomorphisme.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:Hom-C-E}
Soit~$h≥1$. Alors $\Hom_{\BC^+_C}(C, E_{1,h}) = 0$.
\end{prop}

\begin{proof}
Soit~$f:C→E_{1,h}$ un morphisme analytique. Alors $θ∘f$~est un
endomorphisme analytique de~$C$, donc soit un isomorphisme, soit nul.

Supposons que~$f$ soit un isomorphisme. Alors~$E_{1,h}$ est engendré
par~$f(C)$ et par le noyau~$V$ de~$θ$ ; puisque~$C$ est de dimension~$1$
et de hauteur nulle, et $V$ de dimension nulle et de hauteur~$h$, cette
somme est directe, autrement dit on peut écrire~$E_{1,h} = C⊕\Qp^h$. Par 
conséquent, $\Hom(E_{1,h}, C)$~est un $C$-espace vectoriel de
dimension~$h+1$, ce qui contredit la proposition~\ref{prop:Hom-E-C}.

Par conséquent, $θ∘f=0$, ce qui signifie que~$f(C)⊂V$ ; puisque~$C$~est
connexe, ceci entraîne que~$f(C) = 0$, et donc que~$f=0$.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:hauteur-Hom}
Soit $E$~un espace de Banach-Colmez effectif. Alors
\begin{enumerate}
\item $\Hom(C, E)$~est un $C$-espace vectoriel de dimension finie ;
\item soit~$n$ la dimension de cet espace, alors $C^n$~est un facteur
direct de~$E$ ;
\item $\haut(E) \;=\; \dim_C \Hom(E, C) - \dim_C \Hom(C, E)$.
\end{enumerate}
% $\Hom(C, E)$~est un $C$-espace vectoriel de dimension finie et
% \[ \haut(E) \;=\; \dim_C \Hom(E, C) - \dim_C \Hom(C, E) \].
\end{prop}

\begin{proof}
Soit~$h$~la hauteur de~$E$.

Si $E$~est de dimension nulle, alors c'est un $\Qp$-espace vectoriel ; en
particulier, puisque $E$~est un groupe spectral étale, $\Hom(C, E)=0$, et
$\Hom(E, C)$~est un $C$-espace vectoriel de dimension~$h$.

Si $E$~est de dimension un, la proposition~\ref{prop:struct-elementaire}
prouve qu'il existe un entier~$h'≥1$ et un $\Qp$-espace vectoriel~$V''$,
de dimension~$h''=h-h'$, tels que~$E=E_{1,h'}s ⊕ V''$. Si $h'=0$,
alors~$E$~est isomorphe à la somme directe~$C ⊕ \Qp^h$ ; on a alors~$\Hom(C,
E) = C$ et~$\Hom(E, C)=C ⊕ C^h$.
%
Si $h'>0$, alors~$\Hom(C, E) = \Hom(C, E_{1,h'}) = 0$ d'après la
proposition~\ref{prop:Hom-C-E}, et~$\Hom(E, C)=C^{h'} ⊕ C^{h''}$. Dans les
deux cas, on a bien~$h=\dim_C \Hom(E, C) - \dim_C \Hom(C, E)$.

\smallbreak

Montrons par induction sur~$d$ le cas où~$d≥2$. Soit $E$~un espace
de~Banach-Colmez effectif de dimension~$d$ et de hauteur~$h$, dont une
présentation est~$0→V→E→^{π}W→0$. Soit~$W=W'⊕W''$ une décomposition non
triviale de~$W$ et posons~$E'=E×_WW'$ et~$E''=E×_WW''$ ; alors
$E'$~et~$E''$ sont des extensions respectivement de~$W'$ et~$W''$
par~$V$, et $E'+_VE''$~s'identifie à~$E$. En particulier, $E'$~et~$E''$
sont des espaces de~Banach-Colmez de hauteur~$h$ et de dimension
strictement inférieure à~$d$ ; par hypothése d'induction, ils vérifient
donc les conclusions de la proposition.

Par construction de~$E'$, $\Hom(C, E')$~s'identifie au sous-ensemble des
morphismes analytiques~$f:C→E$ tels que~$π(f(1))∈W'$ ; on a donc
bien~$\Hom(C, E) = \Hom(C, E')⊕\Hom(C, E'')$. Par conséquent,
$\Hom(C,E)$~est un $C$-espace vectoriel de dimension finie.

De plus, puisque~$E=E'+_VE''$, $\Hom(E, C) = \Hom(E', C)×_{\Hom(V, C)}
\Hom(E'', C)$ ; par conséquent,
\begin{align*}
\dim_C \Hom(E, C) - \dim_C \Hom(C, E)
&= ( \dim_C \Hom(E', C) + \dim_C \Hom(E'', C) - h)\\
&\quad+ ( \dim_C \Hom(C, E') + \dim_C \Hom(C, E''))\\
&=h \\ \end{align*}
donc $E$~vérifie la condition~(iii).

Enfin, remarquons que, puisque~$\Hom(C, \Qp) = 0$, l'image de
l'application~$V→E'=C^{n'} ⊕ F'$ est incluse dans~$F'$ ; de même, l'image
de l'application~$V→E''=C^{n''} ⊕ F''$ est incluse dans~$F''$. Par
conséquent, on peut écrire~$E=E'+_VE''=C^{n'+n''} ⊕ (F'+_VF'')$, donc la
condition~(ii) est vérifiée.
\end{proof}

Soit~$f: W → V ⊗_{\Qp} C(-1)$ un objet de~$\L^+_C$ de hauteur~$h$ et
soient~$W' = \Ker(f)$, $W'' = W / W'$ et~$f'': W'' → V ⊗_{\Qp} C(-1)$
l'application quotient. On dispose alors d'une suite exacte d'espaces
de~Banach-Colmez effectifs \[ 0 → W' → E(f) → E(f'') → 0 \]. En outre,
d'après ce qui précède, $E(f'')^⋆_C$~s'identifie à~$V^⋆_C$ et
$E(f)^⋆_C$~est de dimension~$h+\dim_C W'$ ; par conséquent, la suite
\[ 0 → V^⋆_C → E(f)^⋆_C → (\Ker f)^⋆ → 0 \]
est exacte.

\begin{prop}\label{prop:EC-E'C-surj}
Soit~$0 → E' → E →^{π} C → 0$ une suite exacte courte d'espaces
de~Banach-Colmez effectifs. On suppose que~$E$ est connexe et de
dimension~$2$. Alors le morphisme~$E^⋆_C → (E')^⋆_C$ est surjectif.
\end{prop}

\begin{proof}
Nous savons d'après la propositon~\ref{prop:iota-injectif} que le noyau
de l'application d'enveloppe~$ι: E → E_C$ est un sous-espace étale
de~$E$, qui ne contient par conséquent pas~$E'$.
Soit~$u: E → C$ un morphisme analytique tel que~$u(E') ≠ 0$ ;
puisque~$E'$~est de dimension~$1$, $u(E') = C$ et on peut donc
former le diagramme commutatif
\[ \xymatrix{ & V\ar@{=}[r]\ar[d] & V\ar[d]\\
0\ar[r] & E'\ar[d]\ar[r] & E\ar[d]^{u⊕π}\ar[r]^{π} & C\ar@{=}[d]\ar[r] & 0 \\
0 \ar[r] & C \ar[r]^{i} & C^2 \ar[r] & C\ar[r] & 0. }\]
Comme~$E$ est de dimension~$2$, le noyau~$V$ de~$E → C^2$ est étale.
Par conséquent, il existe un morphisme~$f: C^2 → V⊗_{\Qp}C(-1)$ tel
que~$E = E(f)$ et~$E' = E(f∘i)$.

D'après ce qui précède, on dispose alors du diagramme
\[ \xymatrix{0 \ar[r] & V^⋆_C\ar@{=}[d]\ar[r] & E^⋆_C\ar[d]\ar[r] &
  \Ker(f)^⋆\ar[d]\ar[r] & 0\\
  0\ar[r] & V^⋆_C\ar[r] & (E')^⋆_C\ar[r] & \Ker(f∘i)^⋆\ar[r] & 0 }\]
Puisque $\Ker(f∘i) → \Ker(f)$ est injective, on voit que~$E^⋆_C →
(E')^⋆_C$ est surjective.
\end{proof}



\begin{prop}\label{prop:Ext1-dR}
Soient~$M, N$ deux~$B^+\dR$-modules de longueur finie et~$X$ une
extension de~$M$ par~$N$ dans la catégorie des espaces de~Banach-Colmez.
Alors $X$~est un $B^+\dR$-module de longueur finie.
\end{prop}

\begin{proof}
Il suffit de le démontrer lorsque~$M = N = C$ ; par commodité, on
notera~$N = C(1)$. Soit $0 → C(1) → X → C →
0$ une suite exacte d'espaces de~Banach-Colmez.
La structure analytique sur~$B_2$ est donnée par le diagramme
\[ \xymatrix{
  0 \ar[r] & \Qp(1) \ar[r]\ar@{=}[d] & C(1)⊕\Qp(1) \ar[r]\ar[d] &
    C(1)\ar[r]\ar[d] & 0 \\
  0 \ar[r] & \Qp(1) \ar[r] & C(1)⊕E_1 \ar[r]\ar[d] & B_2\ar[r]\ar[d] & 0\\
   & & C \ar@{=}[r] & C. }
\]
Soient~$0 → V → E → X → 0$ une présentation de~$X$ et~$E' = E ×_X V(1)$ ;
quitte à étendre~$E$, on peut en outre supposer que~$E'$ est un espace
de~Banach-Colmez effectif. Puisque~$X$ est de dimension~$2$, $E$~est de
dimension~$2$ et~$E'$ de dimension~$1$ ; de plus, on dispose de suites
exactes~$0 → E' → E → C → 0$ et~$0 → V → E' →^{π} C(1) → 0$. Enfin,
si l'image de la composante neutre~$E_0$ de~$E$ dans~$C$ n'est pas~$C$,
alors c'est un sous-espace étale de~$C$ et elle est donc nulle, donc
l'image de~$E$ est l'image de sa partie étale, ce qui est absurde. Par
conséquent, l'image de~$E_0$ est~$C$ et on peut donc supposer que~$E$~est
connexe.

D'après la proposition~\ref{prop:EC-E'C-surj}, il existe un prolongement
analytique~$u: E → C(1)$ de~$π: E' → C(1)$. Alors
l'application~$u ⊕ 0: E → C(1)⊕E_1$ définit un morphisme analytique~$v: X
→ B_2$ prolongeant l'identité de~$C(1)$. On dispose par conséquent d'un
diagramme commutatif
\[ \xymatrix{0 \ar[r] & C(1)\ar@{=}[d]\ar[r] & X\ar[d]^v\ar[r] &
 C\ar[d]^w\ar[r] & 0\\0\ar[r] & C(1)\ar[r] & B_2\ar[r] & C\ar[r] & 0}\]
et l'extension~$X$ est donc donnée par la flèche analytique~$w:C → C$,
c'est-à-dire par un élément de~$C$. Par conséquent, on a
bien~$\Ext^1_{\BC_C}(C, C) = C = \Ext^1_{B^+\dR}(C,C)$.
\end{proof}


%<<<2
\subsection{Constructibilité}

Pour tout espace de~Banach-Colmez~$X$, on note~$X^+\dR$ le dual
du~$B^+\dR$-module $X^⋆\dR$ et~$X\dR$ le $B\dR$-espace vectoriel~$X^+\dR
⊗_{B^+\dR} B\dR$. On déduit immédiatement de la
proposition~\ref{prop:sorites-dual-dR} le résultat suivant :
\begin{prop}\label{prop:sorites-XdR}
\begin{enumerate}
\item pour tout espace de~Banach spectral étale~$V$, $V^+\dR = V ⊗_{\Qp}
B^+\dR$ ;
\item pour tout $B^+\dR$-module de longueur finie~$M$, $M^+\dR = M$;
\item pour tout espace de~Banach-Colmez~$X$, $X^+\dR$~est un
$B^+\dR$-module de type fini, et $X\dR$~est un $B\dR$-espace vectoriel de
dimension finie.
\end{enumerate}
\end{prop}

Soit~$X$ un espace de~Banach-Colmez. Une application $\Qp$-linéaire~$X →
B^+\dR$ est dite \emph{analytique} si toutes les applications déduites~$X
→ B_m$ sont analytiques. De même, pour tout~$B^+\dR$-module de type
fini~$M$, une application~$X → M$~est dite \emph{analytique} si toutes
les applications~$X → M ⊗_{B^+\dR} B_m$ sont analytiques.

On voit alors que~$X → X^+\dR$ vérifie une propriété universelle : tout
morphisme analytique de~$X$ vers un $B^+\dR$-module~$M$ se factorise de
façon unique par~$X^+\dR$.

\begin{prop}\label{prop:constructible-eqv}
Soit~$X$ un espace de~Banach-Colmez. Les propriétés suivantes sont
équivalentes :
\begin{enumerate}
\item il existe une suite exacte de la forme $0 → V → X → M → 0$,
où~$V$~est un espace de~Banach spectral étale et~$M$ est un
$B^+\dR$-module de longueur finie ;
\item l'application d'enveloppe ~$ι: X → X^+\dR$ est injective ;
\item il existe un $B^+\dR$-module de type fini~$N$ et une injection
analytique~$X ⊂ N$.
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{proof}
(i)~$⇒$~(ii).
D'après la proposition~\ref{prop:Ext1-M-V}, il existe un objet~$f: M → V
⊗_{\Qp} \BtdR$ de~$\L_C$ tel que~$X = E(f)$. On dispose d'une suite
exacte à gauche~$0 → M^⋆\dR → X^⋆\dR → V^⋆\dR$. Se donner~$f ∈ V^⋆\dR$
revient à se donner une application $\Qp$-linéaire~$f: V → \BtdR$, qui
s'étend donc en une application $B^+\dR$-linéaire de~$V ⊗_{\Qp} B^+\dR$
dans~$\BtdR$. Soit~$\overline{X}$ le sous-$B^+\dR$-module de~$V ⊗_{\Qp} B\dR$
engendré par~$X$ ; alors~$f$ se prolonge en une application
$B^+\dR$-linéaire~$\overline{X} → \BtdR$, et la flèche composée~$X →
\overline{X} → \BtdR$ est analytique. Par conséquent, la suite~$0 →
M^⋆\dR → X^⋆\dR → V^⋆\dR → 0$~est exacte et il en est donc de même de la
suite duale~$0 → V ⊗_{\Qp} B^+\dR → X^+\dR → M → 0$. On dispose alors du
morphisme de suites exactes
\[\xymatrix{0\ar[r] & V\ar[r]\ar[d] & X\ar[r]\ar[d] & M\ar[r]\ar@{=}[d]
& 0 \\ 0 \ar[r] & V⊗_{\Qp}B^+\dR \ar[r] & X^+\dR\ar[r] & M\ar[r] & 0. } \]
Puisque les deux flèches verticales extrêmes sont injectives, on en
déduit que~$X → X^+\dR$ est injective.
% D'après la
% proposition~\ref{prop:Ext1 M V}, il existe un objet~$f:V → M$ de~$\L_C$ tel
% que~$X = E(f)$ ; alors $X^+\dR$~est donné par le diagramme
% \begin{equation}\label{diag:X+dR}\xymatrix{
% 0\ar[r] & V^⋆ ⊗_{\Qp} B^+\dR \ar[d]\ar[r] & X^+\dR\ar[d]\ar[r] &
% M^⋆\ar[d]\ar[r] & 0 \\
% 0\ar[r] & V^⋆ ⊗_{\Qp} B^+\dR \ar[r] & V^⋆ ⊗ B\dR \ar[r] & V^⋆ ⊗ \BtdR\ar[r] & 0
% }\end{equation}
% Puisque $\Be → B\dR$ est injective, $X → X^+\dR$~est
% injective.

(ii)~$⇒$~(iii). Il suffit de remarquer que~$X^+\dR$~est un
$B^+\dR$-module de type fini d'après la
proposition~\ref{prop:sorites-XdR}.

(iii)~$⇒$~(i). Montrons le résultat plus fort suivant : soit~$X$ un
espace de~Banach-Colmez muni d'une injection analytique dans un
$B^+\dR$-module de type fini~$N$. Alors il existe un quotient~$M$ de~$N$
tel que~$X → M$ soit surjective et que son noyau~$V$ soit un $\Qp$-espace
vectoriel de dimension finie.

Il suffit de savoir prouver ce résultat lorsque~$N = B_m$ pour un
entier~$m ≥ 1$. Si~$m = 1$, alors~$X ⊂ C$ ; d'après le lemme
fondamental~\ref{cor:LF}, ceci entraîne que~$X = C$ ou~$X$~est étale.
Dans le premier cas, il suffit de prendre~$M = C$. Dans le second
cas, $M = 0$ convient.

Supposons le résultat connu lorsque~$N = B_{m-1}$ et soit~$X ⊂ B_m$.
On peut alors former le diagramme commutatif (dont les lignes sont
exactes et dont les colonnes sont injectives) :
\begin{equation*} \xymatrix{
0 \ar[r] & X' \ar[r] \ar[d] & X\ar[r] \ar[d]^f & X'' \ar[r] \ar[d] & 0 \\
0 \ar[r] & B_{m-1}(1) \ar[r] & B_m \ar[r] & C \ar[r] & 0}
\end{equation*}
Toujours d'après le lemme fondamental, $X''$~est étale ou égal à~$C$.
Si~$X''$~est étale, alors toute section continue de~$X → X''$ est
analytique ; on peut donc écrire~$X = X' ⊕ X''$, et l'hypothèse de
récurrence s'applique à~$X'$. Supposons donc que~$X'' = C$. Par hypothèse
de récurrence, il existe un entier~$r ≤ m-1$ tel que~$X' → B_{m-1}(1) →
B_r(1)$ soit surjective et que son noyau~$V$ soit un $\Qp$-espace
vectoriel de dimension finie. On dispose alors du diagramme commutatif
suivant :
\begin{equation*} \xymatrix{
0 \ar[r] & X' \ar[r] \ar[d] & X\ar[r] \ar[d]^f & X'' \ar[r] \ar@{=}[d] & 0 \\
0 \ar[r] & B_{r}(1) \ar[r] & B_{r+1} \ar[r] & C \ar[r] & 0}
\end{equation*}
où la flèche~$X → B_{r+1}$ est la composée~$X → B_m → B_{r+1}$.
Puisque les deux flèches extrêmes sont surjectives, il en est de même
de~$X → B_{r+1}$ ; en outre, son noyau coïncide avec celui de~$X' →
B_{r}(1)$, et est donc un $\Qp$-espace vectoriel de dimension finie.
% (iii)~$⇒$~(i). Soit~$X$ un espace de~Banach-Colmez muni d'une injection
% analytique dans un $B^+\dR$-module de type fini~$N$. Puisque $B^+\dR$~est
% un anneau principal, quitte à décomposer~$N$ selon ses générateurs, on
% peut se ramener au cas où~$N = B^+\dR / \go a$, où~$\go a$~est un
% idéal de~$B^+\dR$ ; c'est-à-dire que~$\go a = 0$ ou $\go a = \Fil^m
% B^+\dR$.
% 
% Si~$\go a = B^+\dR$, alors~$X = 0$ et il n'y a rien à prouver. On peut donc
% suppsoer~$m ≥ 1$. On dispose alors de la suite exacte $0 → t N → N →
% C → 0$, et on peut donc former le diagramme
% \begin{equation*} \xymatrix{
% 0 \ar[r] & X' \ar[r] \ar[d] & X\ar[r] \ar[d]^f & X'' \ar[r] \ar[d] & 0 \\
% 0 \ar[r] & tN \ar[r] & tN \ar[r] & C \ar[r] & 0}
% \end{equation*}
% D'après le lemme fondamental~\ref{cor:LF}, $X''$~est soit étale, soit
% égal à~$C$. S'il est étale, alors la suite~$0 → X' → X → X'' → 0$~est
% scindée, et on peut conclure par récurrence sur la longueur de~$N$.
% 
% Supposons donc que~$X''$ soit égal à~$C$ ; soit~$n$ le plus grand entier
% tel que l'image de~$X$ dans~$N/t^n N$ soit~$B_n$. Alors le noyau de~$X →
% B_n$~est étale, et donc~$X$~est une extension de~$B_n$ par un espace
% étale.
\end{proof}

\begin{df}\label{df:constructible} \label{df:pentes-finies}
On dit qu'un espace de~Banach-Colmez~$X$ est \emph{constructible} s'il
satisfait les conditions de la proposition~\ref{prop:constructible-eqv}.

On dit que~$X$ est \emph{à pentes finies} s'il est constructible et
si~$X^+\dR$~est un $B^+\dR$-module libre.
\end{df}

Il revient donc au même de dire que $X$~est à pentes finies et que~$X →
X\dR$ est injective.

Par exemple, tout espace de~Banach spectral étale est un espace
de~Banach-Colmez à pentes finies. De même, pour tous~$d,h$,
puisque~$(E_{d,h})^+\dR = (B^+\dR)^h$, $E_{d,h}$~est à pentes finies.
L'espace de~Banach-Colmez associé à un $B^+\dR$-module de longueur finie
est constructible mais n'est pas à pentes finies.

\begin{prop}\label{prop:pentes add}
Soit~$X$ un espace de~Banach-Colmez constructible. Il existe alors une
filtration canonique et fonctorielle, scindée de facon non canonique,
\[ X = F^0 X ⊃ F^+ X ⊃ F^{∞} X \],
où $F^0 X / F^+X$ est étale, $F^+X / F^{∞}X$ est connexe et à pentes
finies, et~$F^∞ X$~est un $B^+\dR$-module de longueur finie.

En outre, $F^+X$~est le plus grand sous-espace de~Banach-Colmez connexe
de~$X$, et~$F^{∞} X$~est le plus petit sous-espace de~Banach-Colmez
de~$F^+X$ tel que~$F^+X/F^{∞}X$ soit à pentes finies.
\end{prop}

\begin{proof}
L'existence de~$F^+X$ est une conséquence de la
proposition~\ref{prop:BS conn etale} ; on peut donc supposer~$X$~connexe.

Soit~$M$ la partie de torsion du $B^+\dR$-module~$X^+\dR$ ; alors~$N =
X^+\dR/M$ est un $B^+\dR$-module libre, et l'extension~$0 → M → X^+\dR →
N → 0$~est scindée de façon non canonique. Alors l'image de~$M$
dans~$X^+\dR$~est incluse dans~$X$ et, d'après la
proposition~\ref{prop:Hom XdR}, la flèche~$M → X$~est analytique. On pose
alors~$F^{∞} X = M$ et~$Y = X / F^{∞} X$. Puisque~$Y^+\dR = N$, on voit
alors que~$Y$~est à pente finies ; de plus, c'est par construction le
plus grand quotient à pentes finies de~$X$. Enfin, toute rétraction de~$M →
X^+\dR$ fournit une rétraction de~$F^{∞} X → F^{+} X$.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:Ext1-constructible}
Soit~$X$ un espace de~Banach-Colmez constructible. Alors~\[\Ext^1(X,
\BtdR) = \limi \Ext^1(X, B_m(-m)) = 0\].
\end{prop}

\begin{proof}
Soit~$0 → V → X → M → 0$ une présentation de~$X$. On dispose alors de la
suite exacte longue
\[ 0 → (M)^⋆\dR → X^⋆\dR → (V)^⋆\dR → \Ext^1 (M, \BtdR) 
  → \Ext^1 (X, \BtdR) → \Ext^1 (V, \BtdR) \];
il suffit par conséquent de vérifier le résultat lorsque~$X$ est étale ou
lorsque c'est un $B^+\dR$-module de longueur finie.

Si~$X$ est étale, alors toute section $\Qp$-linéaire
continue d'une extension~$0 → B_m → Y → X → 0$ est analytique,
donc~$\Ext^1(X, B_m) = 0$ pour tout~$m$. Enfin, le cas où~$X$ est un
$B^+\dR$-module de longueur finie est une conséquence de la
proposition~\ref{prop:Ext1-dR}.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:dR exact}
Le foncteur qui à un espace de~Banach-Colmez constructible~$X$
associe le $B^+\dR$-module~$X^+\dR$ est exact et fidèle.
\end{prop}

\begin{proof}
C'est une conséquence directe de la
proposition~\ref{prop:Ext1-constructible}.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:Hom XdR}
Soient~$X$, $Y$ deux espaces de~Banach-Colmez constructibles. Alors
$\Hom(X, Y)$~s'identifie à l'ensemble des
applications~$B^+\dR$-linéaires~$f: X^+\dR → Y^+\dR$ telles que~$f(X) ⊂
Y$.
\end{prop}

\begin{proof}
Soient~$f$ vérifiant les conditions de l'énoncé et~$g: X → X × Y$ le
graphe de~$f$. Alors~$g$ s'étend en une application $B^+\dR$-linéaire~$g:
X^+\dR → X^+\dR × Y^+\dR$ ; on peut donc former le diagramme suivant :
\[ \xymatrix{
X^+\dR \ar[r] & X^+\dR × Y^+\dR \\
X \ar[u]\ar[r] & X × Y\ar[u] \\
} \]
Par construction, le produit fibré~$X^+\dR ×_{(X^+\dR × Y^+\dR)} (X ×
Y)$~est~$X$. Pour tout~$m$, notons~$X_m = X^+\dR ⊗_{B^+\dR} B_m$ et~$Y_m
= Y^+\dR ⊗_{B^+\dR} Y_m$ ; ce sont des espaces de~Banach-Colmez, et
pour~$m$ assez grand, le produit fibré~$X_m ×_{X_m × Y_m} (X ×
Y)$~s'identifie encore à~$X$. Par conséquent, $g: X → X × Y$~est
analytique. Il suffit de composer avec la première projection pour en
déduire que~$f$ est analytique.
\end{proof}

%<<<2
\subsection{Morphismes entre espaces de~Banach-Colmez élémentaires}
On rappelle que, pour tous entiers~$d, h$ premiers entre eux, on
note~$E_{d/h} = E_{d,h}$. En particulier, on notera~$E_d = E_{d,1}$.
D'après ce qui précède, $(E_{d,h})^+\dR$~est un $B^+\dR$-module libre de
rang~$h$, et si~$i:E_{d,h} → B^+\dR$ désigne l'injection canonique,
alors l'application d'enveloppe est donnée par~$(i, i ∘ φ, …, i ∘
φ^{h-1})$.

\begin{prop}\label{prop:Hom-Edh}
Soient $d$, $d$, $d''$ sont quatre entiers positifs tels
que~$d = d' + d''$ et~$h ≥ 1$. Notons~$E = E_{d,h}$, $E' = E_{d', h}$
et~$E'' = E_{d'', h}$.

L'application
\begin{equation*}
ψ: \application{ E'' ⊗_{\Qp} \Qp[φ]/(φ^h-p^d) } {\Hom_{\BC_C} (E', E)}
  {a ⊗ φ^r}{\cro{x ↦ φ^r(a ⋅ x)}}.
\end{equation*}
est un isomorphisme de $\Qp$-espaces vectoriels.
\end{prop}

\begin{proof}
Posons~$M = \Qp[φ]/(φ^h-p^d)$.
Remarquons qu'on n'a pas imposé que~$d', d''$ soient strictement
positifs. Le cas où~$d' = 0$ est évident (car~$E_{0,h} = \Qph$ est
étale), le cas où~$d'' = 0$ ne l'est pas (on détermine alors l'algèbre des
endomorphismes de~$E_{d,h}$).

D'après la proposition~\ref{prop:Hom XdR}, $ψ(a ⊗ φ^r)$~est bien un
morphisme d'espaces de~Banach-Colmez entre~$E'$ et~$E$ pour tout~$a ∈
E''$ et pour tout~$r = 0,…,h-1$.
De plus, puisque~$B^+\dR$~est un anneau intègre, l'application~$ψ$ est
injective.

Rappelons que~$(E_{d,h})^+\dR = (B^+\dR)^h$ et que le morphisme d'enveloppe
est défini par~$ι(x) = (x, φ(x), …, φ^{h-1}(x))$. Alors pour
tous~$a ∈ E''$ et~$r = 0, …, h-1$, $ψ(a ⊗ φ^r)^+\dR$ est l'endomorphisme
de~$(B^+\dR)^h$ qui à~$(x_0,…,x_{h-1})$ associe~$(φ^r(a)x_r,…,
φ^{h-1}(a)x_{h-1},p^dax_0,…,p^dφ^{r-1}(a) x_{r-1})$. On voit ainsi
que~$ψ$~est injective.

\medskip

% Pour tout~$r = 0,…,h-1$, soit~$F_r$ le sous-$B^+\dR$-module
% de~$\End((B^+\dR)^h)$ engendré par~$ψ(E'' ⊗ φ^r)$ ; c'est l'ensemble des
% applications $B^+\dR$-linéaires~$u: (B^+\dR)^h → (B^+\dR)^h$ de la
% forme~$(x_0,…,x_{h-1}) ↦ (a_0 x_r, …, a_{h-r+1} x_{h-1}, a_{h-r} x_0, …,
% a_{h-1} x_{r-1})$.
% 
% Notons~$H = \Hom_{\BC_C} (E', E)$ et~$H_r = H ∩ F_r$ ; alors~$H = H_0 ⊕ …
% ⊕ H_{h-1}$. Soit~$f ∈ H$ ; on peut supposer que~$f ∈ H_0$, c'est-à-dire
% que la matrice de~$f$ est diagonale. Il existe alors~$a_0, …, a_{h-1} ∈
% B^+\dR$ tels que, pour tout~$x ∈ E'$ et pour tout~$i = 0,…,h-1$,
% $φ^i(f(x)) = a_i φ^i(x)$ ; en particulier, $f(x) = a_0 x$.
% 
Notons~$F = \Hom_{\BC_C} (E', E)$. Alors~$F$ est un
sous-$\Qp$-espace vectoriel de~$\End((B^+\dR)^h)$. Soit~$\Fil^{d''} F$
l'ensemble des éléments~$f ∈ F$ tels que~$f^+\dR((B^+\dR)^h) ⊂ (\Fil^{d''}
B^+\dR)^h$. Alors pour tout élément~$f$ de~$\Fil^{d''} F$ et pour tout~$x
∈ \Fil^{d'} E'$, $f(x)$~appartient à~$\Fil^d E$ ; or, $\Fil^{d'} E'$
et~$\Fil^d E$ sont des $\Qp$-espaces vectoriels de dimension~$h$, ce qui
entraîne que~$\Fil^{d''} F$~est un $\Qp$-espace vectoriel de dimension au
plus~$h^2$.

Par conséquent, on dispose du diagramme commutatif suivant :
\begin{equation*}\xymatrix{
0 \ar[r] & (\Fil^{d''} E'') ⊗ M \ar[d]\ar[r] & (E'') ⊗ M \ar[r] \ar[d]^{ψ}
  & (B_{d''}) ⊗ M \ar[r]\ar[d] & 0 \\
0 \ar[r] & \Fil^{\smash{d''}} F \ar[r] & F \ar[r] & F /
\Fil^{\smash{d''}} F \ar[r] & 0
}\end{equation*}
La première ligne est exacte par construction de~$E''$ et~$ψ$~est
injective ; de plus, $F/\Fil^{d''} F$~est par construction un
sous-$\Qp$-espace vectoriel de~$(B^+\dR)^h/(\Fil^{d''} B^+\dR)^h=
(B_d)^h$. Par conséquent, $ψ$~est bijective, et on peut donc écrire~$F =
(E'')^h = E'' ⊗_{\Qp} M$.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:End Edh}
Pour tous entiers~$d, h$ premiers entre eux, l'algèbre d'endomorphismes
de l'espace de~Banach-Colmez~$E_{d,h}$ est le corps gauche~$L_{d,h}$
d'invariant~$\nicefrac{d}{h}$ sur~$\Qp$.
\end{prop}

\begin{proof}
Par construction, il existe un morphisme d'algèbres~$L_{d,h} → \End
(E_{d,h})$. Il suffit d'appliquer la proposition~\ref{prop:Hom-Edh}
avec~$d'' = 0$ pour voir que ce morphisme est surjectif.
\end{proof}

On en déduit immédiatement que pour~$d, h$ premiers entre eux et~$n ≥ 1$,
l'algèbre d'endomorphismes de~$E_{nd,nh}$ est une algèbre de matrices de
taille~$n × n$ à coefficients dans~$L_{d,h}$.

\begin{prop}\label{prop:morphismes-descendants}
Si~$d' < d$ alors~$\Hom_{\BC_C} (E, E') = 0$.
\end{prop}

\begin{proof}
En effet, un tel morphisme est de la forme~$x ↦ ∑ c_iφ^i(x)$ pour des
éléments~$c_i$ de~$B^+\dR$ ; puisque l'image de~$E$
dans~$(B^+\dR)^h$ engendre~$(B^+\dR)^h$ comme~$B^+\dR$-module,  les
$c_i$~doivent vérifier~$c_i E ⊂ E'$. En particulier,
puisque~$\Fil^{d} E ≠ 0$ et~$\Fil^{d} E' = 0$, la
multiplication par~$c_i$ n'est pas injective. Puisque~$B^+\dR$~est
intègre, ceci implique que~$c_i = 0$.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:Ext1-Edh}
Avec les notations de la proposition~\ref{prop:Hom-Edh} (et sous
l'hypothèse~$d' ≤ d$),
$\Ext^1_{\BC_C}(E',E) = 0$.
\end{prop}

\begin{proof}
Notons~$M = B_d$, $M' = B_{d'}$ ; il existe alors un $\Qp$-espace
vectoriel~$V$ de dimension~$h$ et des présentations
\[ 0 → V → E → M → 0, \qquad 0 → V → E' → M → 0 \].
Puisque la catégorie~$\BC_C$ est abélienne, on dispose des suites exactes
longues
\[\begin{split}
0 → \Hom(M',E) → \Hom(E',E) → \Hom(V,E) →\\
  \qquad \Ext^1(M',E) → \Ext^1(E',E) → \Ext^1(V,E), \\
0 → \Hom(M',V) → \Hom(M',E) → \Hom(M',M) →\\
  \qquad \Ext^1(M',V) → \Ext^1(M',E) → \Ext^1(M',M).
\end{split} \]
Or puisque~$d ≤ d'$, nous savons que $\Hom(M',E) = 0$, $\Hom(M',M) = M'$,
$\Ext^1(M',V) = \Hom(M',V⊗_{\Qp}\BtdR) = V ⊗_{\Qp} (M')^⋆$
et~$\Ext^1(M',M) = M'$, donc $\Ext^1(M',E)$~est un $B^+\dR$-module de
longueur au plus~$d'h$.

De plus, $\Hom(M',E) = 0$, $\Hom(E',E)$~est un espace de~Banach-Colmez de
dimension~$(d-d')h$ et de hauteur~$h^2$ d'après la
proposition~\ref{prop:Hom-Edh} et $\Hom(V,E) = V^∨ ⊗ E$ est un espace
de~Banach-Colmez de dimension~$dh$ et de hauteur~$h^2$,
donc~$\Ext^1(E',E) = 0$.
\end{proof}

% %<<<2
% \subsection{Extensions}
% 
% \begin{prop}\label{prop:section dR}
% Soient~$X$, $Y$ deux espaces de~Banach-Colmez constructibles et~$f:X → Y$
% une application analytique telle que l'application~$f^+\dR: X^+\dR →
% Y^+\dR$ admette une section $B^+\dR$-linéaire. Alors~$f$~admet une
% section analytique.
% \end{prop}
% 
% \begin{proof}
% Puisque~$Y$~est constructible, il admet une présentation de la forme~$0 →
% V → Y → M → 0$, où~$M$ est un $B^+\dR$-module de longueur finie
% et~$V$~est un espace de~Banach spectral étale. Soit~$X_V = X ×_Y V$ ;
% alors l'application~$X_V → V$~est surjective, et admet par conséquent une
% section~$V → X_V$, que l'on peut composer en une injection~$V → X$ ; en
% notant~$X' = X / V$, on obtient le diagramme suivant, où les deux lignes
% sont exactes :
% \begin{equation*}\xymatrix{
% 0 \ar[r] & V \ar@{=}[d]\ar[r] & X\ar[d]\ar[r] & X'\ar[d]\ar[r] & 0 \\
% 0 \ar[r] & V\ar[r] & Y\ar[r] & M \ar[r] & 0
% }\end{equation*}
% Puisque~$X^+\dR → Y^+\dR$~admet une section, il en est de même de~$(X')^+\dR
% → M^+\dR$ ; et puisque~$M^+\dR = M$, la proposition~\ref{prop:pentes add}
% entraîne que~$M$~est un facteur direct de~$X'$.
% 
% Soit~$s: Y^+\dR → X^+\dR$ une section $B^+\dR$-linéaire de~$f^+\dR$.
% Notons~$\widetilde{X} = X' ×_{(X')^+\dR} X^+\dR$. Alors, puisque les deux
% flèches~$X^+\dR → Y^+\dR$ et~$X' → M$ sont scindées, la flèche~$s$ induit
% un morphisme que l'on note encore~$s:Y → \widetilde{X}$ rendant
% commutatif le diagramme évident. Or~$\widetilde{X}$~est une extension
% de~$X'$ par~$V ⊗ B^+\dR$, et la restriction à~$V$ de l'inclusion de~$X$
% dans~$X'$ est l'inclusion de~$V$ dans~$V ⊗ B^+\dR$ ; puisque~$s(V) ⊂ V$,
% on voit ainsi que l'image de~$s$ est incluse dans~$X$. D'après la
% proposition~\ref{prop:Hom XdR}, $s$~définit donc un morphisme
% analytique~$Y → X$, qui est bien une section de~$f$.
% \end{proof}
% 
% \begin{prop}\label{prop:Ext1 Edh}
% Pour tous~$d, h ≥ 1$ et pour tout espace de~Banach-Colmez~$Y$,
% \[ \Ext^1_{\BC_C} (E_{d,h}, Y) = 0 \].
% \end{prop}
% 
% \begin{proof}
% Soit~$X$ une extension de~$E_{d,h}$ par~$Y$ ; alors, puisque le
% foncteur qui à~$X$ associe~$X^+\dR$~est exact, $X$~est constructible. De
% plus, on sait que~$(E_{d,h})^+\dR = (B^+\dR)^h$ ; c'est en particulier un
% $B^+\dR$-module libre, et par conséquent la flèche~$X^+\dR →
% (E_{d,h})^+\dR$ admet une section. Il suffit alors d'appliquer la
% proposition~\ref{prop:section dR} pour conclure.
% \end{proof}
% 
%>>>1
%<<<1
\section{Filtration de Harder-Narasimhan}
%<<<2
\subsection{Catégories de Harder-Narasimhan}
Rappelons d'abord la définition d'une catégorie exacte au sens de
Quillen~(\cite[1.0.2]{Laumon}).
\begin{df}
Une catégorie additive $\ro C$~est dite \emph{exacte} si elle est munie
d'une classe~$\ro E$ de suites de morphismes~$0→E'→^uE→^vE''→0$ (dites
\emph{suites exactes} de~$\ro C$) ; les morphismes $u$~et~$v$ apparaissant
dans ces suites sont dits respectivement \emph{monomorphismes stricts} et
\emph{épimorphismes stricts} telle que :
\begin{axiomes}
\item[(CE1)] Toute suite isomorphe à une suite de~$\ro E$ appartient à~$\ro E$.
\item[(CE2)] Soient~$E'$, $E''$ deux objets de~$\ro E$, alors la
suite~$0→E'→E'⊕E''→E''→0$ est une suite de~$\ro E$.
\item[(CE3)] Pour toute suite~$0→E'→^uE→^vE''→0$ de~$\ro E$, $v$~est un conoyau
de~$u$ et~$u$~est un conoyau de~$v$.
\item[(CE4)] La classe des monomorphismes stricts et celle des épimorphismes
stricts sont stables par composition.
\item[(CE5)] Soient $u: E'→E$~un monomorphisme strict et~$f:E'→F$~une
flèche de~$\ro C$, alors la somme amalgamée~$E+_{E'}F$ existe
dans~$\ro C$, et la flèche canonique~$u+_{E'}F: F→E+_{E'}F$ est un
monomorphisme strict. De même, soient~$v:E→E''$ un épimorphisme strict
et~$f:F→E''$ une flèche de~$\ro C$, alors le produit
fibré~$E×_{E''}F$ existe dans~$\ro C$, et la flèche
canonique~$v×_{E''}F:E×_{E''}F→F$ est un épimorphisme strict.
\item[(CE6)] Soit $v:E→E''$~une flèche de~$\ro C$ ayant un noyau ; s'il
existe une flèche ~$f:F→E$ telle que~$v∘f$ soit un épimorphisme
strict, alors~$v$~est un épimorphisme strict. De même, soit~$u:E'→E$~une
flèche de~$\ro C$ ayant un conoyau ; s'il existe une flèche
~$f:E→F$ telle que~$f∘u$ soit un monomorphisme strict,
alors~$u$~est un monomorphisme strict.
\end{axiomes}
Un \emph{foncteur exact} entre deux catégories exactes est un foncteur
qui préserve les suites exactes.
\end{df}

En particulier, une catégorie abélienne, ou encore la catégorie des
modules libres de type fini sur un anneau fixé, sont de façon évidente
des catégories exactes. Il est également clair que la catégorie opposée à
une catégorie exacte est encore exacte.

% XX une proposition sur les sous-catégories exactes (image inverse) ?


Dans toute cette partie, $\ro C$ est une catégorie exacte.
% Un monomorphisme (ou épimorphisme) strict est un morphisme de~$\ro C$ qui
% s'insère dans une suite exacte.
Par extension de la définition des monomorphismes et épimorphismes
stricts, on appellera \emph{sous-objet
strict} un sous-objet dont le monomorphisme associé est strict ; on
note~$E≼F$ pour dire que~$E$~est un sous-objet strict de~$F$, et~$E≺F$
pour dire que~$E$ est un sous-objet strict de~$F$ distinct de~$F$.

\begin{df}
On dit que~$\ro C$ est une \emph{catégorie de Harder-Narasimhan} si elle
est munie d'un foncteur exact~$η$ vers une catégorie abélienne~$\ro C_η$
et de la donnée de deux fonctions~$d$ et~$r$, définies sur~$\ro C$
et~$\ro C_η$ respectivement et à valeurs dans~$ℕ$, additives pour les
suites exactes courtes, telles que :
\begin{axiomes}
\item[(HN1)] pour tout objet~$E$ de~$\ro C$, $r(η(E)) = 0$ \ssi~$E=0$ ;
\item[(HN2)] si~$f:E→F$ est un morphisme de~$\ro C$ tel que~$η(f)$ soit un
isomorphisme, alors~$d(F)≥d(E)$, avec égalité \ssi $f$~est un
isomorphisme ;
\item[(HN3)] pour tout objet~$E$ de~$\ro C$, le foncteur~$η$ réalise une
injection entre les sous-objets stricts de~$E$ et les sous-objets
de~$η(E)$ ;
\item[(HN4)] si $f:F→G$ est la composée d'un monomorphisme strict~$F→E$ et d'un
épimorphisme strict~$E→G$, alors il existe une décomposition~$f=v∘g∘u$
où~$u$ est un épimorphisme strict, $v$ un monomorphisme strict et~$η(g)$
un isomorphisme.
\end{axiomes}
On appelle~$d$ et~$r$ respectivement le \emph{degré} et le \emph{rang}.

Un \emph{foncteur de Harder-Narasimhan} entre deux catégories de
Harder-Narasimhan~$\ro C$ et~$\ro C'$ est la donnée de deux
foncteurs~$F:\ro C→\ro C'$, $F_η:\ro C_η→\ro C'_η$ tels que~$F$~conserve
le degré, $F_η$~conserve le rang, et~$F_η∘η=η'∘F$.
\end{df}

\begin{prop}\label{prop:inter-HN4}
Pour que l'axiome~(HN4) soit vérifié, il suffit que $\ro C$~admette des
produits fibrés de monomorphismes stricts, compatibles à ceux de~$\ro
C_η$, c'est-à-dire que si~$F', F''$ sont deux sous-objets stricts de~$E$,
alors le produit fibré~$F=F'×_EF''$ existe dans~$E$, $F → E$~est un
monomorphisme strict et~$η(F)=η(F')×_{η(E)}η(F'')$.
\end{prop}

\begin{proof}
Soit~$f:F→G$ la composée d'un monomorphisme strict~$F→E$ et d'un
épimorphisme strict~$E→G$, et notons~$H$ le noyau de~$E→G$. Alors le
produit fibré~$=F×_EH$ existe dans~$\ro C$, et~$F×_EH→F$ est un
monomorphisme strict, donc~$F'=F/(F×_EH)$ existe dans~$\ro C$.
Puisque $F→E$~est un monomorphisme strict, on peut former la somme
amalgamée $G'=F'+_FE$. Le morphisme~$f:F→G$ se décompose alors
en~$F→F'→G'→G$. Par construction, $η(F')$ et~$η(G')$ sont
respectivement la coimage et l'image de~$η(f)$ dans la catégorie
abélienne~$\ro C_η$, et sont donc isomorphes dans cette catégorie.
\end{proof}


Pour tout objet~$E$ de~$\ro C$, on note encore~$r(E) = r(η(E))$. Notons
que l'axiome~(HN3) implique que si~$E≼F$, alors~$r(E)≤r(F)$, avec égalité
\ssi $E=F$. En particulier, si~$r(E)=0$, alors~$E=0$. On définit donc,
pour tout objet non nul~$E$ de~$\ro C$, $μ(E)=d(E)/r(E)$. Remarquons que,
pour tout objet~$E$, l'ensemble des~$μ(F)$ pour tous les sous-objets
stricts~$F$ de~$E$ est un ensemble fini de rationnels.

\begin{lem}\label{lem:mu barycentre}
Soit~$0→E'→E→E''→0$ une suite exacte courte d'objets non nuls de~$\ro C$.
Alors les trois nombres rationnels~$μ(E')$, $μ(E)$, $μ(E'')$ forment une
suite constante ou strictement monotone.
\end{lem}

\begin{proof}
Notons~$d', d, d''$ et~$r', r, r''$ les degrés et rangs respectifs.
Alors, puisque~$d=d'+d''$ et~$r=r'+r''$, $μ(E) = \frac{r'}r μ(E') +
\frac{r''}r μ(E'')$, donc $μ(E)$~est barycentre à coefficients
strictement positifs de~$μ(E')$ et~$μ(E'')$.
\end{proof}

\begin{df}\label{df:HN stable}
Un objet~$E$ de la catégorie~$\ro C$ est dit \emph{stable} si, pour
tout~$F≺E$ non nul, $μ(F)<μ(E)$ ; il est dit \emph{semi-stable} si, sous
les mêmes conditions sur~$F$, $μ(F)≤μ(E)$.
\end{df}

D'après le lemme~\ref{lem:mu barycentre}, la stabilité de~$E$ équivaut
encore à : pour tout~$F≺E$ non nul, $μ(F)<μ(E/F)$.

\begin{lem}\label{lem:sous objet stable}
Soit~$E$ un objet de~$\ro C$. Il existe un~$F≼E$ stable et tel
que~$μ(F)≥μ(E)$.
\end{lem}

\begin{proof}
Notons~$S$ la famille des~$A≼E$ non nuls et tels que~$μ(A)≥μ(E)$ ; en
particulier, $S$ contient~$E$, donc n'est pas vide. Le rang des objets
de~$S$ est un entier compris entre~$1$ et~$r(E)$ ; il existe donc un
objet~$F$ de~$S$ de rang minimal. Supposons que~$F$ ne soit pas stable :
il existe alors un~$G≼F$ tel que~$μ(G)≥μ(F)$, et donc~$μ(G)≥μ(E)$ ; par
conséquent, $G$~appartient à~$S$, et~$r(G)<r(F)$, ce qui est absurde.
\end{proof}


\begin{lem}\label{lem:definition costable}
Soient~$E$ un objet de~$\ro C$ et~$F≼E$ semi-stable ;
alors les trois conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item pour tout tout~$F≺F'≼E$, $μ(F')>μ(F)$ ;
\item pour tout $0≠G≼E/F$, $μ(G)<μ(F)$ ;
\item pour tout $0≠G≼E/F$ stable, $μ(G)<μ(F)$.
\end{enumerate}
Si ces trois conditions sont vérifiées, on dit que~$F$
est~\emph{costable} dans~$E$.
\end{lem}

\begin{proof}
Il est clair d'après le lemme~\ref{lem:mu barycentre} que~(i) et~(ii)
sont équivalentes, et que~(ii) implique~(iii). Enfin, le
lemme~\ref{lem:sous objet stable} montre que (iii)~implique~(ii).
\end{proof}

\begin{lem}\label{lem:semi-stable -> costable}
Soient~$F_1$, $F_2$ deux sous-objets stricts de~$E$ tels que~$F_1$ soit
semi-stable et~$F_2$ soit costable dans~$E$. Si~$F_1$ n'est pas un
sous-objet strict de~$F_2$, alors~$μ(F_2)>μ(F_1)$.
\end{lem}

\begin{proof}
Supposons que~$F_1$ ne soit pas un sous-objet strict de~$F_2$. Alors le
morphisme canonique~$f:F_1→E/F_2$ est non nul. Par l'axiome~(HN4), il
existe une factorisation~$f=v∘g∘u$ où~$u:F_1→F'_1$ est un épimorphisme
strict, $v:F'_2→(E/F_2)$ un monomorphisme strict et~$η(g)$ est un
isomorphisme.

% l'isomorphisme canonique entre la coimage et l'image de~$η(f)$,
% $F_1→F'_1$ un épimorphisme strict, et~$F'_2→(E/F_2)$.
% Les monomorphismes stricts étant stables par changement de base,
% $F_1×_EF_2$ est un sous-objet strict de~$F_1$ ; donc le
% quotient~$F'_1=F_1/(F_1×_EF_2)$ existe dans~$\ro C$.
% Soit~$F'_2=F'_1+_{F_1}E$. Alors~$f$ induit une unique
% application~$g:F'_1→F'_2$ ;
% en outre, $η(g)$~est l'isomorphisme entre l'image et la coimage
% de~$η(f)$, et donc un isomorphisme.

Par conséquent, d'après l'axiome~(HN2), $d(F'_1)≤d(F'_2)$, et donc
puisque~$r(F'_1)=r(F'_2)$, $μ(F'_1)≤μ(F'_2)$. En outre, $F_1$ étant
semi-stable, $μ(F_1)≤μ(F'_1)$ ; de plus, $F_2$ étant costable dans~$E$
avec~$F'_2≼E/F_2$, $μ(F'_2)<μ(F_2)$. Par conséquent,
$μ(F_1)≤μ(F'_1)≤μ(F'_2)<μ(F_2)$.
\end{proof}

\begin{lem}\label{lem:unicite semistable costable}
Si~$F_1, F_2≺E$ sont tous deux semi-stables et costables dans~$E$,
alors~$F_1=F_2$.
\end{lem}

\begin{proof}
Supposons que~$μ(F_1)$ et~$μ(F_2)$ sont différents, par
exemple~$μ(F_1)>μ(F_2)$. Par le lemme~\ref{lem:semi-stable ->
costable}, on a alors~$F_1≼F_2$. Puisque~$F_2$~est semi-stable, ceci
entraîne que~$μ(F_1)≤μ(F_2)$, ce qui est absurde. Par conséquent, on a
bien~$μ(F_1)=μ(F_2)$. Il suffit alors d'appliquer deux fois le
lemme~\ref{lem:semi-stable -> costable} pour voir que~$F_1=F_2$.
% Si~$F_1$ n'est pas un sous-objet de~$F_2$, alors d'après le
% lemme~\ref{lem:semi-stable -> costable}, $μ(F_2)>μ(F_1)$. Par conséquent,
% il est impossible que~$μ(F_1)>μ(F_2)$ et donc,
% d'après une autre application en sens inverse du même lemme, $F_2≼F_1$ ;
% mais, $F_1$ étant semi-stable, ceci implique que~$μ(F_2)≤μ(F_1)$, ce qui
% est absurde. Donc~$F_1≼F_2$. Par le même raisonnement, $F_2≼F_1$.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:unique semistable costable}
Tout objet~$E$ de~$\ro C$ contient un unique sous-objet strict~$F$ qui
est à la fois semi-stable et costable.
\end{prop}

\begin{proof}
L'unicité étant assurée par le lemme~\ref{lem:unicite semistable
costable}, il suffit de montrer qu'un tel sous-objet strict existe.
Soit~$F$ un sous-objet strict de~$E$, maximal pour l'ordre
lexicographique sur~$(μ(F), r(F))$ ; un tel objet existe car~$d$ et~$r$
ne prennent qu'un nombre fini de valeurs sur les sous-objets stricts
de~$E$. Montrons que~$F$ est semi-stable et costable.

Si~$G≼F$, alors $μ(G)≤μ(F)$ ; donc~$F$ est semi-stable.

Si~$F≺G$, alors~$r(G)>r(F)$ ; donc par construction de~$F$,
nécessairement~$μ(G)<μ(F)$. Donc~$F$ est costable.
\end{proof}

\begin{lem}\label{lem:filtration pentes eqv}
Soit
\( 0 = F_0 ≺ F_1 ≺ … ≺ F_n = E \)
une filtration croissante de~$E$ par des sous-objets stricts, telle que
les quotients~$F_i/F_{i-1}$ soient semi-stables. Alors les conditions
suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item pour tout~$i$, $F_i/F_{i-1}$ est costable dans~$E/F_{i-1}$ ;
\item la suite des~$μ(F_i/F_{i-1})$ est strictement décroissante.
\end{enumerate}
Une filtration satisfaisant les deux conditions est dite \emph{filtration
de Harder-Narasimhan}.
\end{lem}

\begin{proof}
Supposons~(i) vérifiée. Alors, $F_i/F_{i-1}$~étant costable
dans~$E/F_{i-1}$, pour tout~$G≼(E/F_{i-1})/(F_i/F_{i-1}) = E/F_i$,
$μ(G)<μ(F_i/F_{i-1})$ ; en particulier, $μ(F_{i+1}/F_i) <
μ(F_i/F_{i-1})$. Par conséquent, la filtration~$(F_i)$ vérifie~(ii).

Réciproquement, supposons que~$(F_i)$~vérifie~(ii).
Soit~$G≼(E/F_{n-2})/(F_{n-1}/F_{n-2}) = F_{n-1}/F_{n-2}$ ; alors,
$F_{n-1}/F_{n-2}$ étant semi-stable, $μ(G)≤μ(E/F_{n-1})$, et
d'après~(ii), $μ(E/F_{n-1})<μ(F_{n-1}/F_{n-2})$. Par conséquent,
$μ(G)<μ(F_{n-1}/F_{n-2})$, et donc~$F_{n-1}/F_{n-2}$ est semi-stable.

Montrons par récurrence descendante sur~$i$ que, pour tout~$i$,
$F_i/F_{i-1}$ est stable dans~$E/F_{i-1}$. Il suffit pour cela de montrer
que, pour tout $G≼(E/F_{i-1})/(F_i/F_{i-1}) = E/F_i$~stable,
$μ(G)<μ(E/F_{i-1})$.

Si~$G≼F_{i+1}/F_i$, alors, ce dernier étant semi-stable,
$μ(G)≤μ(F_{i+1})/F_i<μ(F_{i}/F_{i-1})$. Sinon, par hypothèse de
récurrence, $F_{i+1}/F_i$~est costable dans~$E/F_i$ ; puisque~$G$ n'est
pas inclus dans~$F_{i+1}/F_i$, d'après le lemme~\ref{lem:semi-stable ->
costable}, $μ(G)<μ(F_{i+1}/F_i)$, et donc~$μ(G)<μ(F_i/F_{i-1})$.
\end{proof}


\begin{prop}\cite[Prop. 1.3.9]{HN}\label{prop:filtration-pentes}
Tout objet~$E$ de~$\ro C$ admet une unique filtration de
Harder-Narasimhan.
\end{prop}

\begin{proof}
L'existence est une simple application par récurrence de la
proposition~\ref{prop:unique semistable costable}. Par ailleurs,
si~$(F_i)$ est une filtration de~$E$ satisfaisant les hypothèse,
alors~$(F_i/F_1)_{i≥2}$ est une filtration de~$E/F_1$ satisfaisant les
hypothèses ; on peut donc raisonner par induction sur le rang de~$E$ pour
montrer l'unicité.
\end{proof}

%<<<2
\subsection{Catégories d'applications linéaires}


On rappelle (\ref{df:categ-L}) que~$\L_C$~est la catégorie des
triplets~$(M, V, f)$ où~$M$ est un $B^+\dR$-module de longueur finie,
$V$~est un $\Qp$-espace vectoriel de dimension finie et~$f$ est une
application $B^+\dR$-linéaire~$M → V ⊗_{\Qp} \BtdR$.

En se restreignant aux objets~$M → V ⊗_{\Qp} \BtdR$ tels que~$t M = 0$,
on obtient une sous-catégorie pleine~$\L^+_C$ de~$\L_C$, dont les objets
sont les applications $\Qp$-linéaires~$W → V ⊗_{\Qp} C(-1)$, où~$W$ est à
présent un $C$-espace vectoriel de dimension finie. Tout ce qui est dit
ci-dessous de la catégorie~$\L_C$ s'applique également, de manière
évidente, à la sous-catégorie pleine~$\L^+_C$.

\begin{prop}\label{prop:L-exacte}
La catégorie~$\L_C$~est une catégorie abélienne (et donc exacte).

De plus, la sous-catégorie pleine~$\Lf_C$ des objets~$(M, V, f)$
de~$\L_C$ tels que $f$~soit injective, munie des suites qui sont exactes
dans~$\L_C$, est encore une catégorie exacte.
\end{prop}

\begin{proof}
Puisque la catégorie des $B^+\dR$-modules de longueur finie et celle des
$\Qp$-espaces vectoriels de dimension finie sont abéliennes, tout
monomorphisme et tout épimorphisme de~$\L_C$ sont stricts. Par
conséquent, la catégorie~$\L_C$ est exacte.

Un monomorphisme~$(m, v): (f': M' → V' ⊗_{\Qp} \BtdR) → (f: M → V ⊗_{\Qp}
\BtdR)$ de~$\Lf_C$ est strict dans~$\Lf_C$ \ssi son conoyau est un objet
de~$\Lf_C$, c'est-à-dire si $\Coker m → \Coker (v ⊗_{\Qp} \BtdR)$ est
injective. De plus, tout noyau dans~$\L_C$ d'un épimorphisme de~$\Lf_C$
est encore un objet de~$\Lf_C$ ; par conséquent, tout épimorphisme
de~$\Lf_C$ est strict.

Puisque $\Lf_C$~est une sous-catégorie pleine de la catégorie
abélienne~$\L_C$, elle vérifie automatiquement les axiomes~(CE1) à~(CE3)
et~(CE6).

Soient~$f →^u f' →^v f''$ deux monomorphismes stricts composables
de~$\Lf_C$. Alors~$v ∘ u$ a un conoyau dans~$\Lf_C$, qui est une extension
de~$\Coker u$ par~$\Coker v$ ; par conséquent, $\Lf_C$~vérifie la
condition~(CE4).

Soit~$f' ←^u f →^w g$ un diagramme de~$\Lf_C$, où~$u$~est un
monomorphisme strict. Alors la somme amalgamée~$g' = g+_f f'$ existe
dans~$\Lf_C$, et est naturellement munie d'une flèche~$g→^v g'$.
De plus, cette flèche est un monomorphisme, et elle a un conoyau, qui est
isomorphe à~$\Coker u$ ; par conséquent, c'est encore un monomorphisme
strict de~$\Lf_C$. On voit ainsi que~$\Lf_C$ vérifie~(CE5).
\end{proof}



% Par conséquent, les catégories~$\L_K$, $\Lf_K$, $\L^+_K$ et~$\Lf^+_K$
% sont des catégories exactes. Notons~$\Lf_K\opp$ et~$(\Lf^+_K)\opp$ les
% catégories opposées respectives de~$\Lf_K$ et~$\Lf^+_K$.
% 
\begin{prop}\label{prop:lineaire-HN}
Avec les notations de la proposition~\ref{prop:L-exacte}, la
catégorie~$\Lf_C$, munie du foncteur fibre~$η$ défini par~$η(M, V, f) =
V$, du rang~$r(V) = \dim_\Qp V$ et du degré~$d(M, V, f) =
\longueur_{B^+\dR} M$, est une catégorie de Harder-Narasimhan.
\end{prop}

\begin{proof}
Pour tout objet~$(M, V, f)$ de~$\Lf_C$, si~$r(V) = 0$ alors~$V = 0$.
Puisque~$f: M → V ⊗_{\Qp} \BtdR$ est injectif, ceci entraîne que~$M = 0$.
Par conséquent, $\Lf_C$ vérifie l'axiome~(HN1).

Soit~$u = (m, v): (M, V, f) → (M', V, f)$ tel que~$η(u)$~soit un
isomorphisme. Se donner un tel~$u$ revient à se donner un diagramme
commutatif d'applications $B^+\dR$-linéaires
\[ \xymatrix{M \ar[d]^f \ar[r]^m & M'\ar[dl]^{f'} \\ V ⊗_{\Qp} \BtdR.}\]
Puisque~$f$~est injective, $M$~est un sous-$B^+\dR$-module de~$M'$, et
donc~$d(f) ≤ d(f')$ ; de surcroît, s'il y a égalité, alors~$m$~est un
isomorphisme, et donc~$u:f → f'$~est un isomorphisme. Par conséquent,
l'axiome~(HN2) est vérifié.

Soit~$(M, V, f)$ un objet de~$\Lf_C$. Alors un
sous-objets~$(M', V', f')$ est strict \ssi le quotient~$(M'',V'',f'')$
est un objet de~$\Lf_C$, c'est-à-dire si~$M'' → V'' ⊗_{\Qp} \BtdR$ est
injective. Ceci implique que~$M''$~est l'image de~$M$ dans~$V'' ⊗_{\Qp}
\BtdR$. Par conséquent, $(M', V', f)$~est uniquement déterminé par le
sous-objet~$V'$ de~$V$, et donc l'axiome~(HN3) est vérifié.

Enfin, soient~$(N', W', g')$ et~$(N'', W'', g'')$ deux sous-objets d'un
objet~$(M, V, f)$ de~$\Lf_C$, et soient~$W = W' ∩ W''$ et~$N = M ∩ (W
⊗_{\Qp} \BtdR)$. Alors~$g: N → W ⊗_{\Qp} \BtdR$ est un objet de~$\Lf_C$
et c'est le produit fibré~$g' ×_f g''$ ; de plus, $η(g) = W =
η(g')×_{η(f)} η(g'')$. Par conséquent, (HN4) est vérifié.
\end{proof}

\begin{lem}\label{lem:pas-monogene}
Soit~$M → V ⊗_{\Qp} \BtdR$ un objet de~$\L_C$ ; on suppose que~$M$ n'est
pas un $B^+\dR$-module monogène. Soit également~$N$ un quotient non
trivial de~$M$. Il existe alors une application $B^+\dR$-linéaire~$α: M →
\BtdR$ telle que pour tout quotient strict~$V''$ de~$V$, $M = \Ker(α) +
\Ker(M → V'' ⊗_{\Qp} \BtdR)$.
% 
% Soit~$V → M$ un objet de~$\L_C$ ; on suppose que~$M$ n'est pas monogène
% comme $B^+\dR$-module. Soit également~$N$ un sous-$B^+\dR$-module non
% trivial de~$M$. Il existe alors un élément~$x$ de~$N$ tel que, pour
% tout sous-$\Qp$-espace vectoriel strict~$V'$ de~$V$, l'intersection des
% sous-$B^+\dR$-modules de~$M$ engendrés par~$x$ et par~$V'$ soit nulle.
\end{lem}

\begin{proof}
Soit~$t$ un générateur du noyau de~$θ: B^+\dR → C$ et soit~$n$ le plus
petit entier tel que~$t^n M = 0$. Alors l'application~$M → V ⊗_{\Qp}
\BtdR$ donne un plongement de~$M$ dans~$V ⊗_{\Qp} B_n$. Le choix de~$t$
permet d'identifier les $B_n$-modules de longueur finie~$M$ et~$B_n$ à
des $C$-espaces vectoriels de dimension finie munis d'un endomorphisme
nilpotent~$t$. De plus, le choix d'une base de~$V$ permet d'identifier~$V
⊗_{\Qp} B_n$ à~$(C[t]/t^n)^h$. Soit~$(e_1,…,e_r)$ une famille de
$C[t]$-générateurs de~$M$ et soit~$A$ la matrice de~$M → V ⊗_{\Qp} B_n$
dans ces bases. Notons enfin~$L$ l'extension de~$\Qp$ engendrée par les
coefficients des matrices~$A, tA, …, t^{n-1} A$. C'est une extension
finie de~$\Qp$ et il existe donc une application $C[t]$-linéaire~$α: N →
B_n$ de coordonnées~$(α_1,…,α_r)$ dans la base~$(e_1,…,e_r)$ dont les
images dans~$C/L$ sont $\Qp$-linéairement indépendantes.

Alors pour~$x ∈ M$ et pour toute application $\Qp$-linéaire
surjective~$v: V → V''$, le système~$\acco{α(x) = 0, (v⊗_{\Qp} B_n)(x) =
0}$ est non dégénéré par construction. Il s'ensuit que l'on peut toujours
écrire~$M = \Ker α + \Ker(M → V'' ⊗_{\Qp} B_n)$.
% 
% 
% 
% Le choix d'un générateur~$t$ du noyau de~$θ: B^+\dR → C$ permet
% d'identifier~$M$ à un $C$-espace vectoriel de dimension finie muni d'un
% endomorphisme nilpotent~$t$. Soit~$n$ l'indice de nilpotence de~$t$ ;
% fixons une base~$(e_1,…,e_d)$ de~$M$, et soit~$A$ la matrice
% d'une base de~$V$ dans~$(e_1,…,e_d)$. Notons enfin~$L$ l'extension
% de~$\Qp$ engendrée par les coefficients des matrices~$A, tA, …, t^{n-1}
% A$ ; $L$~est une extension finie de~$\Qp$, et il existe donc un
% élément~$x$ de~$N$, de coordonnées~$(x_1,…,x_d)$ dans la
% base~$(e_1,…,e_d)$ dont les images dans~$C/L$ sont $\Qp$-linéairement
% indépendantes. Par construction, un tel~$x$ n'appartient pas au
% sous-$C[T]$-module engendré par~$V'$ ; de plus, c'est également le cas
% de~$tx, …, t^{n-1} x$, ainsi que de toutes leurs combinaisons
% $\Qp$-linéaires.
\end{proof}

\begin{prop}\label{prop:quotient-stable}
Soit~$M → V ⊗_{\Qp} \BtdR$ un objet stable de~$\Lf_C$. Il existe alors
une application $B^+\dR$-linéaire~$α: M → \BtdR$ telle que~$(\Ker α) → V
⊗_{\Qp} \BtdR$ soit soit nul, soit un objet stable de~$\Lf_C$.
% XXX contraindre α
% 
% 
% Soient~$V → M$ un objet stable de~$(\Lf_C)\opp$ et~$N$ un
% sous-$B^+\dR$-module non trivial de~$M$. Il existe un
% sous-$B^+\dR$-module monogène~$M'$ de~$N$ tel que l'application
% $\Qp$-linéaire~$V → M/M'$ soit soit nulle, soit un objet stable
% de~$(\Lf_C)\opp$.
\end{prop}

\begin{proof}
Si~$M$ est monogène, il suffit de choisir~$α$ injective. Par conséquent,
on peut se limiter au cas où~$M$ n'est pas monogène. D'après le
lemme~\ref{lem:pas-monogene}, il existe alors~$α: M → \BtdR$ tel que, pour
tout quotient~$V → V''$ distinct de~$V$, $M = \Ker(α) + \Ker(M → V''
⊗_{\Qp} \BtdR)$.

Soient~$M'' = α(M)$ et~$M' = \Ker(α)$ ; notons enore~$h = \dim_{\Qp} V$
et~$d$, $d'$, $d''$ les longueurs respectives de~$M$, $M'$ et~$M''$.
Enfin, pour tout quotient~$V''$ de~$V$, on notera~$h''$ la dimension
de~$V''$ et~$N$, $N'$ les images respectives de~$M$, $M'$ dans~$V''
⊗_{\Qp} V$.

Puisque~$M → V⊗_{\Qp} \BtdR$ est stable, pour tout~$V''$,
\[ \frac{\longueur_{B^+\dR} N}{h''} > \frac{d}{h} \].
De plus, puisque~$0 → N' → N + M'' → M'' → 0$~est exacte, on voit
que~$\longueur_{B^+\dR} N' = \longueur_{B^+\dR} N - \longueur_{B^+\dR}
(N +_M M'')$. Or, par construction de~$α$, on sait que~$N +_M M'' = 0$,
donc~$\longueur_{B^+\dR} N' = \longueur_{B^+\dR} N$. Finalement, on en
déduit que, pour tout quotient strict~$V → V''$,
\[ \frac{\longueur_{B^+\dR} N'}{h''} > \frac{d}{h} \],
ce qui signifie que $M' → V ⊗_{\Qp} \BtdR$~est stable.
\end{proof}

% \begin{proof}
% Si~$M$ est monogène, il suffit de prendre~$M' = M$. Par conséquent, on
% peut se limiter au cas où~$M$ n'est pas monogène. D'après le lemme
% lemme~\ref{lem:pas-monogene}, il existe alors~$x ∈ N$ tel que, pour tout
% tous-$\Qp$-espace vectoriel strict~$V'$ de~$V$, $B^+\dR ⋅ x ∩ B^+\dR⋅V' =
% 0$. Notons~$M' = B^+\dR⋅x$ et~$M'' = M / M'$. Notons encore~$d$, $d'$
% et~$d''$ les longueurs respectives de~$M$, $M'$ et~$M''$, et~$h$ la
% dimension de~$V$. Enfin, pour tout sous-$\Qp$-espace vectoriel~$V'$
% de~$V$, on notera~$h'$ la dimension de~$V'$ et~$N, N''$ les
% sous-$B^+\dR$-modules respectivement de~$M$, $M''$ engendrés par~$V'$.
% 
% Puisque~$V → M$~est stable, pour tout~$V'$,
% \[ \frac{\longueur_{B^+\dR} N}{h'} ≥ \frac{d}{h} \].
% De plus, la suite~$0 → M' → N + M' → N'' → 0$ étant exacte, on peut
% écrire~$\longueur_{B^+\dR} N'' = \longueur_{B^+\dR} N - \longueur_{B^+\dR}
% (N ∩ M')$. Or, par construction de~$M'$, on sait que~$M' ∩ N = 0$ ; par
% conséquent, $\longueur_{B^+\dR} N'' = \longueur_{B^+\dR} N$. Finalement,
% on en déduit que, pour tout sous-$\Qp$-espace vectoriel strict ~$V' ⊂ V$,
% \[ \frac{\longueur_{B^+\dR} N''}{h'} ≥ \frac{d}{h} \],
% ce qui signifie que~$V → M''$~est stable.
% \end{proof}

%<<<2
\subsection{Espaces de Banach-Colmez à pentes finies}

Rappelons qu'un espace de~Banach-Colmez~$X$ est dit \emph{à pentes
finies} (\ref{df:pentes-finies}) s'il est constructible et si~$X^+\dR$
est un $B^+\dR$-module libre de type fini. Dans ce cas, l'application~$X
→X\dR$ est injective.

\begin{prop}
Soient~$X$ un espace de~Banach-Colmez à pentes finies et~$Y$ un
sous-espace de~Banach-Colmez de~$X$. Alors :
\begin{itemize}
\item $Y$~est à pentes finies ;
\item soit~$\overline{Y} = Y\dR ∩ X$, alors~$\overline{Y}$ est un
sous-espace de~Banach-Colmez à pentes finies de~$X$, et le
quotient~$X/\overline{Y}$ est à pentes finies ;
\item si~$X/Y$ est à pentes finies, alors~$\overline{Y} = Y$.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{proof}
(i) Puisque~$X$ est à pentes finies, $X ⊂ X\dR$, et donc~$Y ⊂ X\dR$, donc
$Y$~est à pentes finies.

(ii) Puisque~$X$ et~$\overline Y$ sont à pentes finies, la flèche
naturelle~$X/\overline{Y} → X\dR / \overline{Y\dR}$ est injective, donc
$X/\overline{Y}$ est à pentes finies.

(iii) Supposons que~$X/Y$ soit à pentes finies ; alors~$X/Y ⊂ X\dR /
Y\dR$, or cette flèche se factorise par~$X/\overline{Y}$, donc~$X/Y →
X/\overline{Y}$ est injective. Par conséquent, $Y = \overline{Y}$.
\end{proof}

\begin{thm}\label{thm:BCPF-HN}
La catégorie des espaces de~Banach-Colmez à pentes finies, munie du
foncteur~$η$ défini par~$η(X) = X\dR$, de la fonction rang égale à la
dimension du $B\dR$-espace vectoriel~$X\dR$ (et donc à la hauteur
de~$X$), et de la fonction degré égale à la dimension de~$X$, est une
catégorie de~Harder-Narasimhan.
\end{thm}

\begin{proof}
Soit~$\ro C$ la catégorie des espaces de~Banach-Colmez à pentes finies.
Puisque~$\ro C$~est la sous-catégorie pleine de la catégorie abélienne
des espaces de~Banach-Colmez dont les objets~$X$ sont tels que~$X^+\dR$
soit un $B^+\dR$-module libre de type fini, un épimorphisme (ou un
monomorphisme)~$f$ de~$\ro C$ est strict \ssi il est strict dans la
catégorie des espaces de~Banach-Colmez et si~$f\dR$~est strict dans la
catégorie des $B\dR$-espaces vectoriels de dimension finie. Puisque ces deux
catégories sont exactes, on en déduit que~$\ro C$ est exacte.

Puisque, pour tout objet~$X$ de~$\ro C$, $X^+\dR$ est un $B^+\dR$-module
libre, la catégorie~$\ro C$ vérifie l'axiome~(HN1).

Soit~$f: X → Y$ un morphisme de~$\ro C$ tel que~$f\dR$ soit un
isomorphisme ; ceci signifie que l'on a l'inclusion~$X ⊂ Y ⊂ X\dR =
Y\dR$, autrement dit~$X$~est un sous-objet de~$Y$. Par conséquent,
puisque~$\dim(Y) = \dim(X) + \dim(Y/X)$, l'axiome~(HN2) est vérifié.
De même, si~$X, X' ⊂ Y$ et si~$X\dR = X'\dR$, alors il est clair que~$X =
X'$, et donc (HN3)~est vérifié.

Enfin, soient~$Y', Y''$ deux sous-objets stricts de~$X$ dans~$\ro C$.
Alors l'espace de~Banach-Colmez~$Y = Y' ×_X Y''$ existe, et de
plus~$Y^+\dR = (Y')^+\dR ×_{X^+\dR} (Y'')^+\dR$ ; par conséquent,
$Y^+\dR$~est un $B^+\dR$-module libre, donc $Y$~est un objet de~$\ro C$.
De plus, $\overline{Y} = Y\dR ∩ X = \overline{Y'} ∩ \overline{Y''}$ ;
puisque~$Y'$ et~$Y''$ sont stricts, on a~$\overline{Y'} = Y'$
et~$\overline{Y''} = Y''$, donc~$\overline{Y} = Y$. Par conséquent,
$Y$~est un sous-objet strict de~$X$. On déduit alors de la
proposition~\ref{prop:inter-HN4} que la catégorie~$\ro C$ vérifie~(HN4).
\end{proof}

%<<<2
% \subsection{Espaces de~Banach-Colmez effectifs neutres}
% \begin{lem}\label{lem:amalgamee C}
% Soient~$f:E→F$, $π:E→C$ deux morphismes d'espaces de~Banach-Colmez
% effectifs. Alors la somme amalgamée~$G=F+_EC$ existe dans la catégorie
% des espaces de~Banach-Colmez ; de plus, si~$π$~se
% factorise par~$f$, alors la flèche canonique~$C→G$ est un isomorphisme,
% et sinon~$G=0$.
% \end{lem}
% 
% \begin{proof}


% \end{proof}
% 
% \begin{prop}\label{prop:amalgamee Cn}
% Soient~$f:E→F$, $π:E→C^n$ deux morphismes d'espaces de~Banach-Colmez
% effectifs. Alors la somme amalgamée~$F+_E(C^n)$ existe dans la catégorie
% des espaces de~Banach-Colmez, et c'est un $C$-espace vectoriel, dont la
% dimension est au plus~$n$.
% \end{prop}
% 
% \begin{proof}
% Il suffit de le démontrer lorsque~$n = 1$.
% 
% Soit~$G$ un espace de~Banach-Colmez, et soient~$g:F→G$, $h:C→G$ deux
% morphismes tels que~$g ∘ f = h ∘ π: E → G$. Alors, d'après la
% proposition~\ref{prop:hauteur-Hom}, il existe une décomposition~$G=C^n ⊕
% G'$ telle que le morphisme~$h:C→G$ soit à valeurs dans~$C^n$ ; on peut
% donc supposer que~$G=C$. On voit alors que le produit fibré de~$\Hom(F,
% C)$ et~$\End C$ au-dessus de~$\Hom(E, C)$ est, soit égal à~$C$ si~$π$~se
% factorise par~$f$, soit nul sinon ; par conséquent, le produit fibré
% existe dans la catégorie des espaces de~Banach-Colmez, et est égal soit
% à~$C$, soit à~$0$.
% \end{proof}
% 
% \begin{prop}\label{prop:sous BCE C}
% Soit~$E$ un sous-espace de~Banach-Colmez effectif de~$C$. Alors soit~$E =
% C$, soit~$E$~est étale.
% \end{prop}
% 
% \begin{proof}
% Soient~$i: E → C$ l'injection canonique et~$0 → V → E → W → 0$ une
% présentation de~$E$. Formons la somme amalgamée~$W' = W +_E C$. Alors,
% d'après le lemme~\ref{lem:amalgamee C}, si~$i$~se factorise par~$W$,
% alors~$W' = C$, et~$W → W'$~est un isomorphisme, ce qui entraîne que~$W =
% C$ et donc~$E = C$ ; sinon $W' = 0$, et donc~$E = V$~est étale.
% \end{proof}
% 
% \begin{prop}\label{prop:sous BCE dim1}
% Soit~$F$ un sous-espace de~Banach-Colmez effectif d'un espace
% de~Banach-Colmez effectif~$E$. On suppose que~$E$ admet une présentation
% de dimension~$1$, c'est-à-dire de la forme~$0 → V → E → C → 0$. Alors
% $F$~est étale ou~$F$ admet une présentation de dimension~$1$.
% \end{prop}
% 
% \begin{proof}
% Il suffit d'appliquer la proposition~\ref{prop:sous BCE C} à l'image~$F'$
% de~$F$ dans~$C$.
% \end{proof}
% 
% \medskip
% 
% \begin{prop}\label{prop:BCE produit fibre}
% La catégorie~$\BC^+_C$ est stable par produit fibré.
% \end{prop}
% 
% \begin{proof}
% Soit~$F' → E ← F''$ un diagramme de~$\BC^+_C$, et notons~$F = F' ×_E F''$.
% Nous savons déjà que~$F$~est le produit fibré de~$F'→E$ et~$F''→E$ dans
% la catégorie des groupes spectraux ; il reste à prouver qu'il admet une
% présentation.
% 
% Soient~$0→V'→F'→W'$ et~$0→V''→F''→W''→0$ des présentations de~$F'$
% et~$F''$. Alors la suite~$0→F→F' ⊕ F''→E$ est exacte à gauche. D'après la
% proposition~\ref{prop:amalgamee Cn}, la somme
% amalgamée~$(W'⊕ W'')+_{(F'⊕F'')}E$ existe et est un $C$-espace vectoriel
% de dimension finie ; par conséquent, le noyau~$W$ du
% morphisme~$(W'⊕ W'')→(W'⊕W'')+_{(F'⊕F'')}E$ est un $C$-espace vectoriel de
% dimension finie. En outre, puisque~$(F'⊕F'')→(W'⊕W'')$ est surjective, il
% en est de même de~$F→W$.
% 
% Soit également~$V=(V'⊕V'')×_EF$ ; c'est un sous-$\Qp$-espace vectoriel
% de~$V'⊕V''$, et la suite~$0→V→F→W→0$ est exacte. Par conséquent, $F$~est
% un espace de~Banach-Colmez effectif.
% \end{proof}
% 
% 
% \begin{prop}\label{prop:inter BCE stricts}
% Soient~$F'$, $F''$ deux sous-espaces de~Banach-Colmez effectifs stricts
% d'un espace de~Banach-Colmez effectif~$E$. Alors~$F ∩ F'$~est un
% sous-espace de~Banach-Colmez effectif strict de~$E$.
% \end{prop}
% 
% \begin{proof}
% Puisque~$F$, $F'$ sont des sous-espaces stricts de~$E$, les quotients
% respectifs~$G$, $G'$ sont des espaces de~Banach-Colmez effectifs.
% 
% Soient~$0→V'→G'→W'→0$ et~$0→V''→G''→W''→0$ des présentations respectives
% de~$G'$ et~$G''$, et notons~$G$ l'espace de~Banach somme amalgamée
% de~$G'$ et~$G''$ au-dessus de~$E$. Alors, symétriquement à la preuve de
% la proposition~\ref{prop:BCE produit fibre}, on peut construire l'espace
% de~Banach constant~$V=(V'⊕V'')×_{(G'⊕G'')}E$ et l'espace de~Banach
% vectoriel~$W=(W'⊕W'')+_EG$ (d'après la proposition~\ref{prop:amalgamee
% Cn}). On vérifie alors que la suite canonique~$0→V→G→W→0$~est exacte.
% \end{proof}
% 
% \begin{prop}\label{prop:inter BCE connexes}
% Soient~$F'$, $F''$ deux sous-espaces de~Banach-Colmez effectifs stricts
% d'un espace de~Banach-Colmez effectif~$E$. On suppose que~$E$, $F'$,
% $F''$ sont connexes. Alors $F = F' ∩ F''$ est connexe.
% \end{prop}
% 
% \begin{proof}
% Soient~$i: F → E$, $i': F' → E$, $i'': F'' → E$ les injections
% canoniques.
% En décomposant~$E$ selon ses
% coordonnées, on peut se ramener au cas où~$E$~admet une présentation de
% dimension~$1$, de la forme~$0 → V → E → C → 0$. Alors l'image de~$F'$
% et~$F''$ dans~$C$ n'est pas étale puisque~$F'$ et~$F''$ sont connexes ;
% par conséquent, $F'$~et~$F''$ admettent les présentations respectives
% $0 → V ∩ F' → F' → C → 0$ et~$0 → V ∩ F'' → F'' → C → 0$. On en déduit
% que~$F$~admet la présentation~$0 → ( V ∩ F') ∩ (V ∩ F'') → F → C → 0$.
% 
% Soient~$f$, $f'$, $f''$ les objets de~$\L^+_C$ correspondant à ces
% présentations. Alors, puisque~$F'$, $F''$ sont connexes, $f'$, $f''$ sont
% connexes ; en outre, on vient de voir que~$f = f' + f''$. Par conséquent,
% $f$~est connexe, et donc~$F$ aussi.
% \end{proof}
% 
% 
% 
% \begin{prop}\label{prop:iota fidele}
% Soit~$f:E→F$ un morphisme d'espaces de~Banach-Colmez effectifs. On
% suppose que~$E$ est connexe. On note~$E_C$ et~$F_C$ les biduaux des
% espaces~$E$ et~$F$. Si~$f_C:E_C→F_C$~est nul, alors il en est de même
% de~$F$.
% \end{prop}
% 
% \begin{proof}
% On démontre cette proposition par récurrence sur la dimension de~$F$.
% Si $F$~est de dimension nulle, puisque~$E$~est connexe, alors~$f=0$.
% Supposons à présent que~$F$~est de dimension un. D'après la
% proposition~\ref{prop:struct-elementaire}, $F$~est isomorphe à un
% produit~$E_{1,h}⊕\Qp^{n}$. Puisque~$E$~est connexe, tout
% morphisme~$E→\Qp^n$ est nul, et on peut donc  supposer que~$F=E_{1,h}$.
% 
% Si $h=0$, alors il suffit de remarquer que, par construction, $\Hom(E_C,
% C) = \Hom(E, C)$ pour conclure que~$f=0$.
% 
% Si~$h≥2$, alors d'après la proposition~\ref{prop:iota-injectif},
% l'application d'enveloppe ~$ι:F→ι(F)$~est injective ; puisque l'image
% de~$f_C$ est incluse dans~$ι(F)$, il s'ensuit que l'image de~$f$~est
% nulle, et donc~$f$~est nulle.
% 
% Si~$h=1$, alors $f$~est une application analytique~$f:E→E_{1,1}$ telle
% que~$θ∘f=0$, c'est-à-dire que~$f$~est à valeurs dans~$\Ker θ$. Puisque
% $E$~est connexe, ceci implique que~$f=0$.
% 
% Supposons à présent que~$\dim F≥2$ ; de même que dans la preuve de la
% proposition~\ref{prop:hauteur-Hom}, on peut décomposer~$F$
% en~$F'=F×_WW'$, $F''=F×_WW''$ et~$F=F'+_VF''$, où
% $0→V→F→W$~est une présentation de~$F$ et~$W=W'⊕W''$. Posons
% encore~$E'=E×_FF'$, $E''=E×_FF''$ ; alors~$E'×_EE''$ est l'image inverse
% par~$f$ de~$F'×_FF''=V$. Puisque $E$~est connexe, ceci entraîne que~$E'$
% et~$E''$ sont supplémentaires dans~$E$ ; par conséquent, ils sont tous
% deux connexes. De plus, la construction de~$E'$, $E''$, $F'$, $F''$
% entraîne que~$f'_C$, $f''_C$ sont nuls ; par hypothèse d'induction, il
% en est donc de même de~$f'$, $f''$, et puisque~$F=F'+_VF''$, $f=0$.
% \end{proof}
% 
% \begin{df}\label{df:BCE neutre}
% Un espace de~Banach-Colmez effectif $E$~est dit \emph{neutre} s'il est
% connexe (c'est-à-dire si~$\Hom(E, V) = 0$ pour tout espace de~Banach
% spectral étale~$V$) et si~$\Hom(C, E) = 0$.
% \end{df}
% 
% D'après la proposition~\ref{prop:hauteur-Hom}, cette dernière condition
% équivaut à dire que~$E^{⋆}$~est un $C$-espace vectoriel de
% dimension~$\haut(E)$ ; il en est alors de même de son dual~$E_C$.
% 
% \begin{prop}\label{prop:BCE neutre bidual exact}
% Le foncteur qui à un espace de~Banach-Colmez effectif neutre~$E$ associe
% son enveloppe vectorielle~$E_C$ est exact et fidèle.
% \end{prop}
% 
% \begin{proof}
% La fidélité résulte de la proposition~\ref{prop:iota fidele}.
% 
% Soit~$0 → E' → E → E'' → 0$ une suite exacte courte d'espaces
% de~Banach-Colmez effectifs neutres. Alors la suite
% \begin{equation}\label{eq:E'' C}
% 0 → \Hom_{\BC^+_C} (E'', C) → \Hom_{\BC^+_C} (E, C) → \Hom_{\BC^+_C} (E', C)
% \end{equation}
% est exacte. De
% plus, puisque $E''$, $E$, $E'$~sont neutres, ces trois $C$-espaces
% vectoriels ont pour dimension leurs hauteurs respectives~$h''$, $h$,
% $h'$ ; en outre, puisque la suite~$0 → E' → E → E'' → 0$~est exacte,
% d'après le théorème~\ref{thm:BC abelienne}, $h = h' + h''$, et donc la
% suite~(\ref{eq:E'' C}) est exacte à droite.
% \end{proof}
% 
% 
% \begin{prop}\label{prop:BCE HN}
% La catégorie des espaces de~Banach-Colmez effectifs neutres, munie du
% foncteur~$η$ qui à un espace de~Banach-Colmez effectif~$E$ associe le
% $C$-espace vectoriel~$E_C$, de la fonction rang égale à la dimension
% de~$η(E)$ et de la fonction degré égale à la dimension de~$E$, est une
% catégorie de~Harder-Narasimhan.
% \end{prop}
% 
% \begin{proof}
% Remarquons d'abord que, par définition des espaces de~Banach-Colmez
% neutres et en vertu de la proposition~\ref{prop:hauteur-Hom}, le rang
% de~$E_C$ coïncide avec la hauteur de~$E$. En outre, d'après la
% proposition~\ref{prop:BCE neutre bidual exact}, le foncteur~$η$ est
% exact.
% 
% La condition~(HN1) est évidente.
% 
% Soit~$f:E→F$ un morphisme d'espaces de~Banach-Colmez effectifs neutres,
% tel que~$f_C:E_C→F_C$ soit un isomorphisme. Montrons la condition~(HN2)
% par induction sur~$\dim F$, de même que dans la preuve de la
% proposition~\ref{prop:hauteur-Hom}. Si $\dim F=0$, alors, puisque~$E$~est
% connexe, $f = 0$ ; par conséquent, $f_C=0$, et donc~$E=F=0$. Si~$\dim
% F=1$, alors, puisque $F$~est neutre, il existe~$h≥1$ tel que~$F=E_{1,h}$.
% Puisque~$f_C$~est un isomorphisme, la composition par~$f$ induit un
% isomorphisme entre~$\Hom(E, C)$ et~$\Hom(F, C)$ ; par conséquent, tout
% morphisme de~$E$ vers~$C$ a pour noyau un $\Qp$-espace vectoriel de
% dimension finie. On voit alors que~$\dim E≤1$ ; de plus, si~$\dim E=1$,
% alors il existe~$h'$ tel que~$E=E_{1,h'}$, et puisque~$f_C$~est un
% isomorphisme, $h'=h$, c'est-à-dire que~$f:E→F$~est un isomorphisme.
% Enfin, si~$\dim F≥2$, on peut encore décomposer~$F=F'+_VF''$
% avec~$F'=F×_WW'$, $F''=F×_WW''$, et par induction, la condition~(HN2) est
% vraie pour~$F$.
% 
% Montrons, par la même induction sur~$\dim F$, la condition~(HN3).
% Soient~$E, E'$ deux sous-espaces stricts d'un espace
% de~Banach-Colmez~$F$ tels que~$E_C=E'_C$ ; alors, quitte à remplacer~$E$
% par~$E×_FE'$, on peut supposer que~$E⊂E'⊂F$. Par le raisonnement
% précédent, on se ramène au cas où~$\dim F=1$ et~$F=E_{1,h}$. Si~$h≥2$, il
% découle du fait que~$ι:F→F_C$~est injective ; si~$h=1$, du fait que les
% seuls sous-espaces neutres de~$E_{1,1}$ sont~$0$ et~$E_{1,1}$.
% 
% Montrons enfin la condition~(\textsc{HN4}) par l'intermédiaire de la
% proposition~\ref{prop:intersection axiome 4}. Nous savons d'après la
% proposition~\ref{prop:inter BCE stricts} que l'intersection de deux
% sous-espaces de~Banach-Colmez effectifs neutres stricts~$F'$, $F''$
% de~$E$ est un sous-espace de~Banach-Colmez effectif strict~$F$ de~$E$.
% En outre, puisque~$F'$, $F''$ sont connexes, $F$~est connexe d'après la
% proposition~\ref{prop:inter BCE connexes}. Enfin, puisque~$\Hom(C, F') =
% \Hom(C, F'') = 0$, on voit immédiatement que~$\Hom(C, F) = 0$ ; par
% conséquent, $F$~est neutre.
% \end{proof}
% 
%<<<2
\subsection{Objets stables}
% Soient~$d$, $h$ deux entiers strictement positifs, et
% soient~$d', d''$ deux entiers strictement positifs tels que~$d' + d'' =
% d$. On note~$E = E_{d,h}$, $E' = E_{d',h}$ et~$E'' = E_{d'',h}$. Soit en
% outre~$ι: E → E^+\dR$ l'application d'enveloppe.
% 
% Alors, d'après la proposition~\ref{prop:Edh analytique}, la multiplication
% par tout élément~$a$ de~$E''$ fournit un morphisme analytique~$E' → E$.
% 
Dans tout ce qui suit, $d$, $h$ sont deux entiers strictement positifs.
On note~$E = E_{d,h}$, $E^+\dR$ la $B^+\dR$-enveloppe de~$E$, et~$i: E →
B^+\dR$, $ι: E →
E^+\dR$ les morphismes canoniques.

Soit~$f: V → M$ un objet de~$\L_C$, de rang~$h$ et de degré~$d$.

% \begin{lem}\label{lem:sous-mod-composante}
% Soient~$V$ un $\Qp$-espace vectoriel de dimension~$h$, $M$ un
% $B^+\dR$-module de longueur~$d$, et~$f: V → M$ une application
% $\Qp$-linéaire injective et dont l'image engendre~$M$ comme
% $B^+\dR$-module.
% 
% Alors l'image par~$i ⊗ f$ de
% \[ F = \acco { x ∈ E ⊗ V, \text{$(φ^r ⊗ f)(x) = 0$ pour tout~$r=1,…,h-1$.}}\]
% contient un sous-$B^+\dR$-module non trivial de~$M$.
% % Si $f$~est connexe et à pentes finies, alors l'image par~$i ⊗ f$ de \[
% % F = \acco { x ∈ E ⊗ V, \text{$(φ^r ⊗ f)(x) = 0$ pour tout~$r=1,…,h$.}}
% % \] contient un sous-$B^+\dR$-module non trivial de~$M$.
% \end{lem}
% 
% \begin{proof}
% Pour tout~$r = 0, …, h-1$, le morphisme d'espaces de~Banach-Colmez~$i∘φ^r:
% E → B_d = B^+\dR / \Fil^d B^+\dR$ est surjectif par construction. De
% plus, puisque~$M$ est un $B^+\dR$-module de longueur~$d$, c'est un
% $B_d$-module. Par conséquent, pour tout~$r$, $φ^r ⊗ f: E ⊗ V → M$~est
% surjectif. Soit~$F_r$ le noyau de ce morphisme ; c'est un sous-espace
% de~Banach-Colmez de~$E ⊗ V$, de dimension~$d(h-1)$ et de hauteur~$h^2$.
% On a alors~$F = F_1 ∩ … ∩ F_{h-1}$, et donc~$F$~est de dimension au
% moins~$d$.
% 
% Soit~$M'$ le sous-module de~$M$ annulé par~$\Fil^1 B^+\dR$, et
% soit~$F' = F ×_M M'$. Alors~$F'$~est un sous-espace
% de~Banach-Colmez de dimension non nulle de~$E$, et~$(i ⊗ f)(F') ⊂ M'$.
% Puisque~$M'$~est un $C$-espace vectoriel, le lemme fondanental implique
% que $(i ⊗ f)(F')$~contient un sous-$C$-espace vectoriel non trivial
% de~$M'$, et donc~$(i ⊗ f)(F)$ contient un sous-$B^+\dR$-module non
% trivial de~$M$.
% \end{proof}

% On sait que~$E^+\dR$~est canoniquement isomorphe à~$(B^+\dR)^h$, et que
% l'application~$ι$ peut s'écrire~$ι(x) = (x, φ(x), …, φ^{h-1}(x))$. Ceci
% permet d'identifier canoniquement~$E^+\dR ⊗_{B^+\dR} M$ à~$M^h$.
% L'application~$ι ⊗ f: E ⊗ V → E^+\dR ⊗ M$ s'écrit donc encore $(ι ⊗ f)(x
% ⊗ v) = (x f(v), φ(x) f(v), …, φ^{h-1}(x) f(v))$.
% 
% \begin{lem}\label{lem:sous-mod-diag}
% Si~$f$~est connexe et à pentes finies, alors il existe un
% sous-$B^+\dR$-module non trivial~$X$ de~$M$ tel que $X^h ⊂ \Img (ι ⊗ f)$.
% \end{lem}
% 
% \begin{proof}
% Il suffit d'appliquer le lemme~\ref{lem:sous-mod-composante} et de
% remarquer que, en notant~$Φ(x_0,…,x_{h-1}) = (x_1, … x_{h-1}, p^d x_0)$,
% $Φ ∘ (ι ⊗ f) = (ι ⊗ f) ∘ φ$.
% \end{proof}

\begin{prop}\label{prop:sous-mod-diag}
Soient~$V$ un $\Qp$-espace vectoriel de dimension~$h$, $M$ un
$B^+\dR$-module de longueur~$d ≤ h$, et~$f: V → M$ une application
$\Qp$-linéaire injective et dont l'image engendre~$M$ comme
$B^+\dR$-module.

Alors il existe un sous-$B^+\dR$-module non trivial~$X$ de~$M$ tel
que~$E^+\dR ⊗ X ⊂ (ι ⊗ f)(E ⊗ V)$.
\end{prop}

\begin{proof}
Il suffit de le démontrer pour~$M = B_m$ avec~$m ≤ d$ ; quitte à
plonger~$B_m$ dans~$B_d$, on peut donc supposer que~$M = B_d$. Pour~$r =
0,…,h$, notons alors~$F_r = \Ker(E ⊗ V →^{ι ⊗ f} E^+\dR ⊗ B_d → E^+\dR ⊗
B_r)$ ; il suffit de montrer que~$ι ⊗ f: F_{d-1} → C(d-1)^h$ est
surjective.

Montrons par récurrence sur~$r$ qu'il existe un morphisme analytique
injectif~$u_r: E_{d-r,h} ⊗ V → E_{d,h} ⊗ V$ et une application
$\Qp$-linéaire injective~$f_r: V → B_{d-r}$, dont l'image
engendre~$B_{d-r}$ comme $B^+\dR$-module, tels que le carré
\[ \xymatrix{ E_{d-r,h} ⊗ V \ar[d]^{u_r}\ar[r]^{\quad ι ⊗ f_r}
& B_{d-1}^h\ar[d] \\ E_{d,h} ⊗ V \ar[r]^{\quad ι ⊗ f} & B_d^h} \]
soit commutatif.

Soit~$(e_1,…,e_d)$ une base de~$V$ ; alors~$f$ est donnée par les~$λ_i =
f(e_i) ∈ B_d$. Une application linéaire~$u: B_{d-1}^h → B_d^h$ est de la
forme~$u(x_1,…,x_h) = (y_1,…,y_h)$ avec~$y_i = ∑u_{i,j,s} φ^s(x_j)$ pour
des coefficients~$u_{i,j,s} ∈ E_{1,h}$. Dire qu'il existe~$f: V →
B_{d-1}$ faisant commuter le diagramme signifie que la flèche
composée~$E_{d-1,h}^h →^{u} E_{d,h}^h →^{ι ⊗ f} B_d^h →^{θ} C^h$ est
nulle. Il suffit pour cela que, pour tous~$j, s, r$,
\[ ∑_{i=1}^{h} θ(λ_i) θφ^s(u_{i,j,r}) = 0 \];
d'après la proposition~\ref{prop:iota-lambda-general}, ceci est possible
avec des~$(u_{i,j,r})_{j=1,…,h}$ linéairement indépendants sur~$\Qp$ et
donc une application~$u: E_{d-1,h}^h → E_d^h$ injective.

On voit ainsi par récurrence qu'il existe un diagramme commutatif
\[ \xymatrix{ E_{1,h} ⊗ V \ar[d]\ar[r]^{ι ⊗ f_{h-1}} &C(d-1)^h\ar[d]\\
E_{d,h} ⊗ V \ar[r]^{ι ⊗ f} & B_d^h } \]
où~$f_{h-1}: V → C$ est injective. D'après la
proposition~\ref{prop:iota-lambda-general}, on en déduit que~$ι ⊗
f_{h-1}$ est surjective et donc que l'image de~$f$ contient~$C(d-1)^h$.
\end{proof}


\begin{prop}\label{prop:iota-tenseur-lambda}
Soit~$f: M → V ⊗_{\Qp} \BtdR$ un objet de~$\L_C$ de rang~$h$ et
degré~$d$. 
% Soit~$f: V → M$ un objet de~$\L_C$ de rang~$h$ et de degré~$d$.
Notons~$ι:E_{d,h}→(E_{d,h})^+\dR$ l'application d'enveloppe.

Si~$f$ est stable, alors l'application
\[ \trans  f ⊗ ι: \application{\Hom (V, E_{d,h})}{\Hom(M,(E_{d,h})^+\dR)}
  {u}{((ι∘u)⊗_{\Qp} B^+\dR)∘f} \]
est surjective.
%
% 
% Si~$f$ est stable, alors~$ι ⊗ f:E_{d,h}⊗_{\Qp} V→(E_{d,h})^+\dR
% ⊗_{B^+\dR} M$ est surjective.
\end{prop}

\begin{proof}
Remarquons que le cas où~$d=1$ entraîne que~$M = C$ et a donc été
démontré dans la proposition~\ref{prop:iota-lambda-general}.

Prouvons par récurrence le cas où~$d≥2$. Soient~$d≥2$, $h≥d$ deux
entiers, $V$~un $\Qp$-espace vectoriel de dimension~$h$, $M$~un
$B^+\dR$-module de longueur~$d$, 
% et~$f:V→M$ une
% application~$\Qp$-linéaire stable.
et~$f: M → V ⊗_{\Qp} \BtdR$ un objet stable de~$\L_C$.

D'après les propositions~\ref{prop:sous-mod-diag}
et~\ref{prop:quotient-stable}, il existe une suite exacte
courte de $B^+\dR$-modules \[ 0 → M' → M → M'' → 0 \] telle que~$f': M' →
V ⊗_{\Qp} \BtdR$ soit encore stable et que $\Hom(M'', (E_{d,h})^+\dR)$
soit inclus dans l'image de~$\trans f ⊗ ι$.

% D'après le lemme~\ref{lem:sous-mod-diag}, il existe un sous-module non
% trivial~$X$ de~$M$ tel que~$X^h ⊂ \Img (ι ⊗ f)$.
% D'après la proposition~\ref{prop:quotient-stable}, il existe une suite
% exacte courte~$0→M'→M→^{π}M''→0$, où~$M'$~est un $B^+\dR$-module monogène
% contenu dans~$X$, et où la composée~$f'':V→M''$~est stable ; en
% particulier, $(M')^h ⊂ \Img (ι ⊗ f)$.

Notons~$d'$, $d''$ les longueurs
respectives de~$M'$ et~$M''$ ; alors~$d' + d'' = d$. On
notera~$E=E_{d,h}$, $E'=E_{d',h}$ et~$E''=E_{d'',h}$. Chacun des
$B^+\dR$-modules~$E^+\dR$, $(E')^+\dR$ et~$(E'')^+\dR$ est canoniquement
isomorphe à~$(B^+\dR)^h$ ; on les identifiera donc tous à~$E^+\dR$.

Puisque~$d' < d$, l'hypothèse de récurrence s'applique à~$f'$ et
donc~$\trans  f' ⊗ ι': \Hom(V, E') → \Hom(M', E^+\dR)$ est surjective ; par
conséquent son noyau~$N$ est un $\Qph$-espace vectoriel de dimension~$h$.
De plus, la multiplication dans~$B^+\cris$ définit une application
bilinéaire~$E'' × N → \Hom(V, E)$ et donc un morphisme analytique et
injectif~$α: E'' ⊗_{\Qph} N → \Hom(V, E)$. De plus, par construction,
$(\trans  f' ⊗ ι') ∘ α = 0$. Puisque les couples (dimension, hauteur)
respectifs de~$E'' ⊗_{\Qph} N$, $\Hom(V, E)$ et~$\Hom(M', E^+\dR)$
sont~$(d''h, h^2)$, $(dh, h^2)$ et~$(d''h,0)$, on en déduit que la suite
\[ 0 → E'' ⊗_{\Qph} N → \Hom(V, E) → \Hom(M', E^+\dR) → 0\]
est exacte.

Finalement, les deux lignes du diagramme suivant sont exactes :
\[ \xymatrix{
0 \ar[r] & E'' ⊗_{\Qph} N \ar[d]^g \ar[r] &
  \Hom(V,E)\ar[d]^{\trans f ⊗ ι}\ar[r] & \Hom(M',E^+\dR)\ar@{=}[d]\ar[r] & 0\\
0 \ar[r] & \Hom(M'',E^+\dR) \ar[r] & \Hom(M, E^+\dR) \ar[r] &
  \Hom(M', E^+\dR) \ar[r] & 0 }
\]
Puisque~$\Hom(M'',E^+\dR)$~est inclus dans l'image de~$\trans f ⊗ ι$,
$g$~est surjective. On déduit alors du diagramme que~$\trans f ⊗ ι$~est
surjective.
% Puisque~$d'' < d$, l'hypothèse de récurrence s'applique à~$f''$ et donc
% $ι'' ⊗ f'':E''⊗V→(E'')^+\dR⊗_{B^+\dR}M$~est surjective, et son noyau~$N$
% est un $\Qph$-espace vectoriel de dimension~$h$. De plus, la
% multiplication dans~$B^+\cris$ définit une application bilinéaire~$E' × N
% → E ⊗ V$, et donc un morphisme (injectif) $α: E' ⊗_{\Qph} N → E ⊗ V$ ; de
% plus, par construction, $(ι'' ⊗ f'') ∘ α = 0$. Puisque les couples
% (dimension, hauteur) respectifs de~$E ⊗_{\Qph} N$, $E ⊗_{\Qp} V$ et~$E^+\dR
% ⊗_{B^+\dR} M''$ sont~$(d'h, h^2)$, $(dh, h^2)$ et~$(d''h, 0)$, on en
% déduit que la suite~
% \[0 → E' ⊗_{\Qph} N → E ⊗_{\Qp} V → E^+\dR ⊗_{\Qph} M'' → 0\]
% est exacte.
% 
% Finalement, les deux lignes du diagramme suivant sont des suites
% exactes :
% \[ \xymatrix{
%  0 \ar[r] & E' ⊗_{\Qph} N \ar[d]^g \ar[r]
%   & E ⊗_{\Qp} V \ar[d]^{ι ⊗ f}\ar[r]^{ι ⊗ f''}
%   & (E'')^+\dR ⊗ _{B^+\dR}M'' \ar[r]\ar@{=}[d] & 0 \\
%  0 \ar[r] & E^+\dR ⊗ _{B^+\dR} M' \ar[r]
%   & E^+\dR ⊗ _{B^+\dR} M \ar[r]^{\id ⊗ π}
%   & (E'')^+\dR ⊗ _{B^+\dR} M''\ar[r] & 0 \\
% }\]
% Puisque~$X^h ⊂ \Img(ι ⊗ f)$ et~$M' ⊂ X$, $g$~est surjective.
% On déduit alors du diagramme ci-dessus que~$ι⊗f$~est surjective.
\end{proof}

% Prouvons le cas où~$d≥2$ par
% induction sur~$d$ : supposons le résultat vrai pour tout~$d'<d$.
% Soient~$d',d''$ deux entiers strictement positifs tels que~$d'+d''=d$.
% Alors, si, pour~$i=0,…,h-1$, $α_i$ est une matrice de taille~$h×h$ à
% coefficients dans~$E_{d'',h}$, $α_i$ définit une application linéaire
% continue, et même analytique, de~$E_{d',h}$ vers~$E_{d,h}$, que nous
% noterons encore~$α_i$ ; et donc, $α=∑φ^i∘α_i$ est encore un morphisme
% d'espaces de~Banach-Colmez entre~$E_{d',h}$ et~$E_{d,h}$.
% 
% Soient~$W''$ un~$C$-espace vectoriel de dimension~$d''$, et~$τ:W→W''$ une
% application~$C$-linéaire surjective. Notons~$λ''=τ∘λ$.
% 
% Alors $(ι⊗λ'') ∘ α = 0$ \ssi les colonnes de la matrice~$α_i$
% appartiennent au noyau de~$ι⊗λ'':E_{d-1,h}^h→(W'')^h$.


\begin{thm}\label{thm:stable-Edh}
Soit $X$~un espace de~Banach-Colmez à pentes finies stable, de
hauteur~$h$ et de dimension~$d$. Alors $X$~est isomorphe à~$E_{d,h}$.
\end{thm}

\begin{proof}
Identique à celle de la proposition~\ref{prop:struct-elementaire}, moins
l'hypothèse~$d=1$.
\end{proof}


\begin{prop}
Les espaces de~Banach-Colmez à pentes finies stables sont exactement
les~$E_{d,h}$, où~$d,h$ sont premiers entre eux, et~$\Qp = E_{0,1}$.
\end{prop}

\begin{proof}
Il suffit de montrer que, pour tous~$d,h$ premiers entre eux,
$E_{d,h}$~est stable. Par la proposition~\ref{prop:filtration-pentes},
nous savons que~$E_{d,h}$~admet un quotient stable~$X$ ; d'après la
proposition~\ref{thm:stable-Edh}, il existe~$d'$, $h'$ tels que~$X$~soit
isomorphe à~$E_{d,h}$. Supposons que~$E → X$ ne soit pas un isomorphisme.
Alors la pente~$d'/h'$~est strictement
inférieure à~$d/h$. Donc, d'après la
proposition~\ref{prop:morphismes-descendants}, $E → X$~est le morphisme
nul, ce qui est absurde.
\end{proof}


\begin{prop}\label{prop:semi-stable}
Tout espace de~Banach-Colmez à pentes finies semi-stable est isomorphe à
un produit direct d'un nombre fini de copies de~$E_{d,h}$.
\end{prop}

\begin{proof}
D'après le théorème~\ref{thm:stable-Edh}, un tel espace de~Banach-Colmez
est extension successive d'espaces isomorphes à~$E = E_{d,h}$ ; or,
d'après la proposition~\ref{prop:Ext1-Edh}, une telle extension est
triviale.
\end{proof}

\begin{thm}
Soit~$X$ un espace de~Banach-Colmez à pentes finies.
\begin{enumerate}
\item $X$~est muni d'une unique filtration décroissante~$(\Fil^α X)_{α ∈
[0,+∞[}$ dont les gradués~$\Gr^α X$ sont semi-stables de pente~$α$  ;
\item pour tout~$α ∈ ℚ ∩ [0,+∞[$, il existe un entier~$n_α(X)$ (presque
toujours nul) tel que~$\Gr^α X = E_α^{n_α(X)}$, et $\Gr^α X = 0$ pour
tout $α ∉ ℚ$ ;
\item la filtration $\Fil$~est fonctorielle par rapport à~$X$ : pour tout
morphisme~$f: X → X'$~d'espaces de~Banach-Colmez constructibles et pour
tout~$α$, $f(\Fil^α X) ⊂ \Fil^α X'$ ;
\item la filtration $\Fil$~est scindée (de façon non canonique),
c'est-à-dire qu'il existe un isomorphisme (non canonique)
\[ X ≃ \bigoplus_{α ∈ [0,+∞[ ∩ ℚ } E_{α}^{n_X(α)} \].
\end{enumerate}
\end{thm}

\begin{proof}
(i) D'après la
proposition~\ref{prop:filtration-pentes}, $X$~admet une unique filtration
de~Harder-Narasimhan~$0 = X_0 ⊂ X_1 … ⊂ X_n = X$, c'est-à-dire que les
quotients~$X_{i}/X_{i-1}$ sont semi-stables et de pentes~$μ_i$
strictement décroissantes.

Pour tout~$α ∈ ℝ$, notons~$\Fil^α X = X_i$ où~$i$ est le plus petit
entier tel que~$μ(X_i/X_{i-1}) ≤ α$. Alors $\Fil$~est une filtration
décroissante sur~$X$ ; les gradués de cette filtration sont les
\[ \Gr^α X = \Fil^α X / \limi_{β > α} \Fil^β X \].
Pour tout~$α$, $\Gr^α X$~est un espace de~Banach-Colmez à pentes finies,
semi-stable de pente~$α$.

(ii) Avec les notations précédentes, s'il existe~$i = 1,…,d$ tel
que~$μ(X_i/X_{i-1}) = α$ alors~$\Gr^α X$~est isomorphe à~$X_i/X_{i-1}$,
et $\Gr^α X$~est nul sinon. De plus, la
proposition~\ref{prop:semi-stable} entraîne que~$\Gr^α X$~est une somme
directe d'un nombre fini de copies de~$E_{α}$.

(iii) et~(iv) résultent respectivement des
propositions~\ref{prop:morphismes-descendants} et~\ref{prop:Ext1-Edh}.
\end{proof}

% En renumérotant la
% filtration de~Harder-Narasimhan de~$X$, on déduit de la
% proposition~\ref{prop:semi-stable} le résultat suivant :
%
% \begin{thm}
% Soit~$X$ un espace de~Banach-Colmez à pentes finies. Alors, pour tout~$α
% ∈ [0,+∞[ ∩ ℚ$, le gradué~$\Gr^{α} X$ de la filtration
% de~Harder-Narasimhan de~$X$ est isomorphe à une somme directe d'un nombre
% fini~$n_X(α)$ de copies de~$E_{α}$. De plus, la filtration
% de~Harder-Narasimhan de~$X$ est scindée (de façon non canonique), et
% donc~$X$ est isomorphe (non canoniquement) à une somme directe
% \[ X ≃ \bigoplus_{α ∈ [0,+∞[ ∩ ℚ } E_{α}^{n_X(α)} \].
% \end{thm}

%>>>1
%<<<1 Bibliographie
\newpage

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\newpage
\pagestyle{empty}
\advance\oddsidemargin -8mm
\advance\evensidemargin -8mm
\advance\hsize 18mm
\advance\headsep -8mm
\advance\headheight -5mm
\parskip .15\baselineskip
\small

{\large\bfseries Résumé\par}

L'objet de cette thèse est l'étude d'une classe d'espaces de~Banach
$p$-adiques munis d'une structure analytique qui interviennent
naturellement dans la théorie de Hodge $p$-adique.

Un espace de~Banach spectral $p$-adique est un espace de~Banach
$p$-adique muni d'une algèbre de fonctions analytiques à valeurs dans un
corps complet et algébriquement clos~$C$. Par exemple, $\Qp$, muni de
l'algèbre des fonctions continues à valeurs dans~$C$, ou $C$~lui-même,
muni de l'algèbre des séries formelles de rayon de convergence infini,
sont des espaces de~Banach spectraux $p$-adiques.

Un \emph{espace de~Banach-Colmez} est un espace de~Banach spectral qui
s'obtient par extensions et quotients à partir de~$C$ et~$\Qp$. La
première partie de cette thèse est consacrée à la démonstration que la
catégorie des espaces de~Banach-Colmez est abélienne, et munie de
fonctions « dimension » et « hauteur » qui sont additives et telles
que~$\dim C = 1$, $\haut C = 0$, $\dim \Qp = 0$ et~$\haut \Qp = 1$.
Par exemple, pour tous entiers~$d, h ≥ 0$, $E_{d,h} = \acco{x ∈ B^+\cris,
φ^h(x) = p^dx}$~est un espace de~Banach-Colmez à pentes finies,
dimension~$d$ et de hauteur~$h$.

Soit~$K_0$ un corps $p$-adique non ramifié. Il existe alors un foncteur
naturel de la catégorie des $φ$-modules sur~$K_0$ vers celle des espaces
de~Banach-Colmez, et l'image par ce foncteur d'un $φ$-module~$D$ est de
dimension égale au nombre de~Newton de~$D$ et de hauteur égale au rang
de~$D$. Comme conséquence de ce résultat, on retrouve le théorème
« faiblement admissible implique admissible ».

Un espace de~Banach-Colmez est dit \emph{à pentes finies} s'il se plonge
de façon analytique dans un $B\dR$-espace vectoriel de dimension finie.
On montre que la catégorie des espaces de~Banach-Colmez à pentes finies
possède des propriétés analogues à celle des fibrés vectoriels sur une
courbe projective lisse, la hauteur jouant le rôle du rang, et la
dimension celle du degré.

Plus précisément, tout espace de~Banach-Colmez à pentes finies~$X$ est
canoniquement muni d'une filtration décroissante indexée par~$[0,+∞[ ∩
ℚ$. De plus, les gradués de cette filtration sont presque tous nuls et
isomorphes à des sommes directes d'espaces~$E_{d,h}$ où~$d,h$ sont
premiers entre eux.

\smallskip

{\large\bfseries Abstract\par}

This thesis studies a class of $p$-adic Banach spaces with analytic
structure that naturally occur when studying $p$-adic Hodge theory.

A spectral $p$-adic Banach space is a Banach space endowed with an
algebra of analytic functions that take values in an algebraically closed
complete field~$C$. For example, $\Qp$ with the algebra of all continuous
functions with values in $C$, or $C$ itself, with the algebra of all
formal series with infinite radius of convergence, are spectral $p$-adic
Banach spaces.

A \emph{Banach-Colmez space} is a spectral Banach space obtained by way
of successive extensions and quotients from $C$ and $\Qp$. The first part
of this thesis establishes that the Banach-Colmez spaces form an abelianc
category, and that there exist "dimension" and "height" functions, which
are additive, and such that $\dim C = 1$, $\haut C = 0$, $\dim \Qp = 0$
and $\haut \Qp = 1$. For example, for every integers~$d,h ≥ 0$, $E_{d,h}
= \acco {x ∈ B^+\cris, φ^h x = p^d x}$ is a Banach-Colmez space and has
dimension~$d$ and height~$h$.

Let $K_0$ be an unramified $p$-adic field. Then there exists a functor
from the category of $φ$-modules over $K_0$ to that of Banach-Colmez
spaces, and this functor maps a $φ$-module~$D$ to a space of dimension
equal to the Newton number of~$D$ and of height equal to the rank of~$D$.
As a consequence of this, one finds a new proof of the « weakly
admissible implies admissible » theorem.

A Banach-Colmez space has \emph{finite slopes} if it is analytically
embeddable in a $B\dR$-vector space of finite dimension. The category of
Banach-Colmez spaces with finite slopes has properties analogous to those
of vector bundles on a projective smooth curve: height is analogous to
rank and dimension to degree.

\vfill

More precisely, each Banach-Colmez space with finite slopes is
canonically endowed with a decreasing filtration indexed by $ℚ^+$.
Moreover, the graded spaces of this filtration are almost all zero and
isomorphic to a direct sum of spaces~$E_{d,h}$ where $d,h$ are coprime.

\end{document}

%<<<2
% $Log: banachcolmez.tex,v $
% Revision 1.25  2009-09-08 20:12:11  plut
% Après modifs de Colmez & Wintenberger
%
% Revision 1.24  2009-07-22 17:57:15  plut
% Youpie
%
% Revision 1.23  2009-07-19 14:11:07  plut
% Presque fini.
%
% Revision 1.22  2009-07-02 17:39:42  plut
% Expliqué les intentions de la partie 6.
%
% Revision 1.21  2009-05-16 11:55:24  plut
% Avant d'enlever les produits de composition
%
% Revision 1.20  2009-03-08 13:39:49  plut
% Preuve incomplète pour la stabilité.
%
% Revision 1.19  2009-03-03 17:15:15  plut
% Ajouté le lemme sur les B+dR-modules monogènes
%
% Revision 1.18  2009-02-28 23:23:20  plut
% réécrit le produit de composition et les bivecteurs dans le bon sens
% (en mettant en avant la représentabilité).
%
% Revision 1.17  2009-02-16 14:09:55  plut
% Écrit la décomposition en somme directe (HN scindée).
%
% Revision 1.16  2009-02-10 18:11:55  plut
% End et Ext^1: réglé
%
% Revision 1.15  2009-01-25 23:59:27  plut
% Défini l'extension universelle Be
%
% Revision 1.14  2009-01-22 23:57:05  plut
% Construit les B+dR-modules.
%
% Revision 1.13  2009-01-22 07:23:04  plut
% Nettoyé la preuve de la classification en dimension 1.
%
% Revision 1.12  2009-01-18 21:07:46  plut
% Entré le formalisme avec catégories dérivées
%
% Revision 1.10  2009-01-14 14:52:58  plut
% Dégagé les algèbres pro-spectrales
%
% * Bouclé * le produit de composition !
%
% Revision 1.9  2009-01-11 14:54:03  plut
% Réécrit le produit de composition spectral.
%
% Revision 1.7  2008-12-06 20:39:28  plut
% construit BW(R) par composition.
%
% Revision 1.6  2008-11-17 06:59:55  plut
% Ajouté la preuve jolie de la stabilité.
%
% Revision 1.5  2008-11-05 12:28:08  plut
% Avancé la partie sur HN
%
% Revision 1.3  2008-07-30 16:53:49  plut
% Ajouté le produit de composition.
%
% Revision 1.2  2008-07-28 15:34:54  plut
% Fini les covecteurs
%
% Revision 1.1.1.1  2008-07-28 14:33:57  plut
% Passage a CVS
%
% Revision 1.18  2008/07/09 14:54:02  jerome
% Ajoute la preuve de Bosch et inversion locale
%
% Revision 1.17  2008/06/25 14:44:48  jerome
% construit les BC elementaires
%
% Revision 1.15  2008/06/23 11:40:36  jerome
% produit etale connexe
%
% Revision 1.14  2008/05/29 13:04:53  jerome
% nettoyé un peu le I, pas fini
%
% Revision 1.13  2008/05/28 21:21:39  jerome
% presque fini les variétés spectrales affines
%
% Revision 1.12  2008/05/16 10:43:26  jerome
% avant fin construction Bm
%
% Revision 1.11  2008/02/21 09:35:23  jerome
% Catégories de H-N
%
% Revision 1.10  2008/02/15 18:45:56  jerome
% Montré l'indépendance du rchoix du réseau
%
% Revision 1.9  2008/02/12 00:27:10  jerome
% ìíÀ peu près tout jusqu'à la construction de la structure analytique
%
% Revision 1.8  2008/02/08 16:48:17  jerome
% prouvé U(G) = W(U(Gamma))
%
% Revision 1.7  2008/02/08 10:05:52  jerome
% construit les trucs étales
%
% Revision 1.6  2008/02/07 01:51:39  jerome
% 1.1-1.2 pratiquement finis
%
% Revision 1.5  2008/02/05 23:09:03  jerome
% rajouté des identificateurs
%

