4.3.1 Description statistique de la surface de la mer

La structure de la surface de la mer peut être considérée comme le résultat d’un processus aléatoire dans le sens où il n’est pas possible de prédire une partie du profil de la surface à partir de la connaissance du profil d’une autre partie de cette surface (de même qu’il n’est pas possible de prédire le profil de cette surface à un instant donné à partir de la connaissance du profil à un instant antérieur). On va donc décrire cette surface par ses propriétés statistiques.

FIG. 4.6: Elevation (ou hauteur h) de la surface océanique à un instant t au point (x,y) par rapport à une surface de référence.

La première caractéristique que l’on va définir est la hauteur h(x,y,t) de la surface de la mer par rapport à une surface de référence, où h est une variable aléatoire à trois dimensions (3D) (voir la figure 4.6). Je vais séparer les variations spatiales des variations temporelles, en sachant qu’elles sont reliées par la physique du milieu et par l’équation de dispersion donnée en (4.32). Les variations spatiales de la hauteur sont définies par une variable aléatoire à deux dimensions (2D) h(), où = x + y. On associe à h une distribution statistique p(h), où p(h)dh détermine la probabilité de n’importe quel point situé en d’être à une hauteur comprise entre h et h + dh par rapport à la surface de référence. La surface moyenne (spatialement) de la mer est choisie comme surface de référence, de sorte que le moment d’ordre un (i.e. la moyenne) de h soit nul:

(4.16)

où l’opérateur _s désigne une moyenne spatiale. Ainsi, la somme de la profondeur des creux et de la hauteur des bosses se compense.

On a alors

(4.17)

où _h est l’écart type des hauteurs, et _h² est la variance des hauteurs, qui est égale ici à la puissance du signal h( ). L’écart type des hauteurs _h est la moyenne quadratique de l’écart entre la surface de la mer et la surface de référence. À l’aide des paramètres précédemments définis (la distribution des hauteurs p(h) et la variance des hauteurs _h²), on ne définit pas complètemment la statistique du profil de la surface car on se limite à la dimension verticale. Or une variation de hauteur h donnée peut se faire sur une échelle de longueur (i.e. une distance horizontale ) plus ou moins grande. Pour plusieurs surfaces ayant les mêmes p(h) et _h, on peut obtenir des profils très différents à cause d’échelles de longueurs différentes ([67]). Pour discerner ces différents profils, il faut prendre en compte la corrélation horizontale 2D de h() sur une distance , définie par la fonction d’autocorrélation 2D

(4.18)

ou encore par la fonction d’autocovariance 2D définie comme ₀() = _h²(), qui est égale à la fonction d’autocorrélation non normalisée et dont l’unité est le m². À partir de la fonction d’autocovariance 2D, on définit le spectre de puissance 2D (en m⁴) de la surface océanique comme

(4.19)

où TF est la transformée de Fourier, et = k_x + k_y est le vecteur d’onde en rad.m^-1. Le spectre de puissance contient les informations à la fois sur la hauteur de la surface et sur le taux de variation des hauteurs avec (c’est à dire sur les pentes de la surface).