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% proof of consistency of the large U limit
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\chapter[Coh\'erence de la limite du couplage fort]
{Coh\'erence des \'equations de la limite du couplage fort}
\label{chap:largeUproof}


Nous d\'emontrons rigoureusement que les \'equations de la limite du
couplage fort, donn\'ees au chapitre~\ref{sec:HC:RPA:largeU},
repr\'esentent effectivement une solution self-consistante de la RPA
renormalis\'ee.

Comme nous avons constat\'e au chapitre~\ref{sec:HC:RPA:largeU}, les
\ndocs (\ref{HC:nk_UinfRPA}) nous fournissent, par
l'\'eq.~(\ref{HC:phChiZero}), la \scs $\ChiZe(\xi)$. Cette fonction
nous permet d'\'evaluer le propagateur particule-trou
(\ref{HC:rpaGFss}) qui, par le biais du th\'eor\`eme spectral
(\ref{HC:OccST}), nous donne les nouveaux \ndocs:
\begin{eqnarray}
  \label{LU:SpectralSC}
  \left( n_{k\sigma} - n_{k+q\sigma} \right)^{\rm new}
  & = &  - \frac{1}{\pi} \sum \limits_{p}
  \int \limits_{-\infty}^{\infty} {\rm d} \omega \;
  \imag \phGF_{k\sigma\,p\sigma}(q,\omega)
  \nonumber \\
  & = &  - \frac{1}{\pi} 
  \int \limits_{-\infty}^{\infty} {\rm d} \omega \;
  \imag 
  \Biggl[
    \frac{\left( n_{k\sigma} - n_{k+q\sigma} \right)^{\rm old}}
    {\omega\,-\,\left[\varepsilon_{k+q}-\varepsilon_{k}\right]\,+\,\iz} 
    \nonumber \\
    & & \qquad\cdot
    \frac{1}{1-U\ChiZe_{\uparrow}(q,\omega)\,U\ChiZe_{\downarrow}(q,\omega)}
  \Biggr]
\end{eqnarray}
(Cela n'est pas tout \`a fait l'\'eq.~(\ref{HC:OccST}), mais plut\^ot
l'\'equation \'equivalente (\ref{DE:OccST1})).

Il suffit alors de d\'emontrer que, en utilisant les \ndocs
(\ref{HC:nk_UinfRPA}) et les \FFdG du chapitre~\ref{sec:HC:RPA:largeU}
dans le membre de droite, nous obtenons, comme membre de gauche, \`a
nouveau les \ndocs (\ref{HC:nk_UinfRPA}). Comme nous nous trouvons
dans la phase paramagn\'etique, nous omettons les indices de spin.
Nous transformons l'int\'egrand en fraction partielle. Apr\`es avoir
substitu\'e $x=\omega/\abs{4\sin\frac{q}{2}}$ et $y_{k
  q}=[\varepsilon_{k+q}-\varepsilon_{k}]/\abs{4\sin\frac{q}{2}}$, le
rapport entre les nouveaux et les anciens \ndocs s'\'ecrit:
\begin{equation}
  \label{LU:I_ykq}
  I(y_{k q}) \, = \, -\frac{1}{2\pi}
  \int \limits_{-\infty}^{\infty} {\rm d} x \;
  \imag 
  \left[
    \frac{1}{x\,-\,y_{k q}+\,\iz} \;
    \left( 
      \frac{1}{1-U\ChiZe} \, + \,  \frac{1}{1+U\ChiZe}
    \right)
  \right]
\end{equation}

Par la suite, nous traitons s\'epar\'ement les deux termes, dont nous
appelons le premier de charge et le second de spin. En utilisant la
\scs $\ChiZe(\xi)$ de l'\'eq.~(\ref{HC:ChiZeroInf}), le d\'enominateur
de charge devient:
\begin{equation}
  \label{LU:ChargeDenominator}
  1-U\ChiZe(x) \, = \, 
  \cases{ 
    2 + \ic\frac{x   }{\sqrt{1-x^2}}  & \mbox{for $\abs{x}<1$} \cr
    2 - \frac{\abs{x}}{\sqrt{x^2-1}} 
    +\iz\,\sign x                     & \mbox{for $\abs{x}>1$} }
\end{equation}
De la m\^eme fa\c{c}on, celui du terme de spin s'\'ecrit:
\begin{equation}
  \label{LU:SpinDenominator}
  1+U\ChiZe(x) \, = \, 
  \cases{ 
    -\ic\frac{x   }{\sqrt{1-x^2}}  & \mbox{for $\abs{x}<1$} \cr
     \frac{\abs{x}}{\sqrt{x^2-1}} 
     -\iz\, \sign x                & \mbox{for $\abs{x}>1$} }
\end{equation}

Afin de r\'esoudre l'int\'egrale, nous devons, pour chaque terme,
tenir compte de trois contributions. La premi\`ere vient du p\^ole de
la \FdG libre, $1/(x\,-\,y_{k q}+\,i0^{+})$, qui se trouve toujours
\`a l'int\'erieur du continu $\abs{y_{k q}}\le 1$. En nous servant
de l'identit\'e de Dirac,
\begin{equation}
  \label{LU:DiracIdentity}
  \frac{1}{f(x)\pm \iz}
  \,=\, {\cal P}\frac{1}{f(x)} \, \mp \ic \pi \delta \left[ f(x) \right]
  \; \mbox{,}
\end{equation}
l'apport de charge s'\'evalue ais\'ement \`a
\begin{equation}
  \label{LU:I_ykq_phPole}
  I^{\rm ch}_{1}(y_{k q}) \, = \,
  \frac{1\,-\,y_{k q}^2}{4\,-\,3\,y_{k q}^2}
  \; \mbox{.}
\end{equation}
Pour le terme de spin, nous trouvons z\'ero, car $1+U\ChiZe(x)$ est
purement imaginaire dans le continuum.

La seconde contribution est celle des continus de charge et de
spin. En combinant la partie imaginaire de $1/(1\pm U\ChiZe)$ avec la
partie r\'eelle de la \FdG particule-trou libre, nous obtenons:
\begin{eqnarray}
  \label{LU:I_ykq_Cont}
  I^{\rm ch}_{2}(y_{k q}) & = & 
  \frac{2\,-\,3\,y_{k q}^2}{6\,\left(4\,-\,3\,y_{k q}^2\right)}
  \nonumber \\
  I^{\rm sp}_{2}(y_{k q}) & = & 
  \frac{1}{2} 
\end{eqnarray}

Reste \`a calculer la contribution des p\^oles collectifs. Encore une
fois, le terme de spin n'apporte rien, car il n'existe pas de magnon
dans la limite du couplage fort. 
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Le plasmon se trouvant \`a $x=\pm 2/\sqrt 3$,  nous \'ecrivons,
gr\^ace \`a l'identit\'e de Dirac (\ref{LU:DiracIdentity}):
\begin{equation}
  \label{LU:I_ykq_collPole}
  I^{\rm ch}_{3}(y_{k q}) \, = \,
  \frac{2}{3\,\left(4\,-\,3\,y_{k q}^2\right)}
\end{equation}

La somme des contributions (\ref{LU:I_ykq_phPole}),
(\ref{LU:I_ykq_Cont}) et (\ref{LU:I_ykq_collPole}) \'etant $1$, nous
avons d\'emontr\'e que les nouveaux \ndocs ne diff\`erent pas des
anciens. Par cons\'equent, nous avons en effet trouv\'e une solution
self-consistante de la RPA renormalis\'ee.
