% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Hubbard chain
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{La cha\^{\i}ne de Hubbard}
\label{chap:HC}

Nous commencerons ce chapitre en rappelant la notion du liquide de
Fermi et les probl\`eme qui en surgissent \`a une dimension. Cela nous
am\`enera au mod\`ele de Luttinger, qui repr\'esente, en quelque sorte,
le prototype des mod\`eles unidimensionnels. Au
chapitre~\ref{sec:HC:Bethe} nous rendrons hommage \`a la solution
exacte de la \CdH par ansatz de Bethe, dont les id\'ees principales se
retrouvent dans beaucoup d'autres mod\`eles exactement solubles.

La plus grande partie de ce chapitre sera consacr\'ee aux r\'esultats
de la th\'eorie RPA appliqu\'ee au \MdH \`a une dimension.  Comme cela
a d\'ej\`a \'et\'e expliqu\'e dans les chapitres pr\'ec\'edents, une
approche RPA, m\^eme am\'elior\'ee, s'applique plut\^ot \`a des
dimensions plus \'elev\'ees. Cependant, pour des raisons num\'eriques,
nous restons \`a une dimension et esp\'erons que les r\'esultats
seront g\'en\'eriques pour des dimensions plus \'elev\'ees. Nous
allons n\'eanmoins voir, que m\^eme \`a une dimension, notre th\'eorie
permet de produire quelques r\'esultats int\'eressants et
encourageants.

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Les liquides de Fermi et de Luttinger}
\label{sec:HC:FLvsLL}

Nous pr\'esenterons par la suite la th\'eorie du liquide de Fermi,
tout en insistant sur les hypoth\`eses qu'elle incorpore.  A cause des
probl\`emes concernant ces hypoth\`eses, elle doit \^etre substitu\'ee,
\`a une dimension, par la th\'eorie de Luttinger.

\subsection[La th\'eorie de Landau du liquide de Fermi]
{La th\'eorie de Landau du liquide de Fermi et son collapse \`a
  une dimension}
\label{sec:HC:FLvsLL:FL}

Une \FdG \`a une particule compl\`etement g\'en\'erale peut
s'\'ecrire, comme nous l'avons rappel\'e au
chapitre~\ref{sec:DE:1pGF}, sous la forme
\begin{equation}
  \label{HC:1pGF}
  G(\vk,\omega) 
  \; \equiv \;  \GFome{a_{\vk}}{a^{+}_{\vk}}
  \; = \; 
  \frac{1}{\omega-\left[\varepsilon_{\vk}-\mu+\Sigma(\vk,\omega)\right]}
  \;\mbox{.}
\end{equation}
L'interaction entre les particules se manifeste exclusivement dans la
self-\'energie $\Sigma(\vk,\omega)$. Les p\^oles de la \FdG nous
fournissent les excitations \`a une particule:
\begin{equation}
  \label{HC:1pGFpoles}
  \Omega_{\vk}-
  \left[\varepsilon_{\vk}-\mu+\real\Sigma(\vk,\Omega_{\vk})\right]
  \;=\;0
\end{equation}
Aux \'energies (ou temp\'eratures) petites compar\'ees \`a l'\'energie
de Fermi, le syst\`eme avec interactions est constitu\'e par le
fondamental libre et par des excitations \'el\'e\-men\-taires. Selon
les id\'ees de Landau, ces excitations se comportent comme un gaz
dilu\'e de {\em quasi-particules} qui apparaissent de fa\c{c}on
continue lorsque l'interaction est \'etablie adiabatiquement. De plus,
elles correspondent de mani\`ere univoque aux particules nues,
c.\`a.d.  elles ont les m\^emes nombres quantiques et l'interaction
modifie uniquement leurs qualit\'es dynamiques par rapport aux
particules libres.

Concr\`etement, nous lin\'earisons l'\'eq.~(\ref{HC:1pGFpoles}) pour
des excitations pr\`es de la surface de Fermi, qui, gr\^ace \`a la
repr\'esentation grand-canonique, se trouve \`a $\omega=0$.
La \FdG devient alors \cite{Orland,Mahan,Gross}
\begin{equation}
  \label{HC:1pGFqp}
  G(\vk,\omega) 
  \; = \; 
  G_{inc}(\vk,\omega) 
  \; + \;
  \frac{z_{\vk}}{\left(\omega-\Omega_{\vk}\right)-\tilde{\varepsilon}_{\vk}}
  \; \mbox{.}
\end{equation}
Le r\'esidu de quasi-particule est donn\'e par
\comment{Mahan (3.3.23), Notling (3.326)}
\begin{equation}
  \label{HC:qpweight}
  z_{\vk} \;=\; 
  \left[ 
    1\,-\,
    \frac{\partial\real\Sigma(\vk,\Omega_{\vk})}{\partial\Omega_{\vk}}
  \right]^{-1}
  \; \mbox{.}
\end{equation}
La masse effective $m^{*}$ de la quasi-particule figurant dans a
dispersion lin\'earis\'ee \`a la surface de Fermi,
\begin{equation}
  \label{HC:epslinear}
  \tilde{\varepsilon}_{\vk} \; = \; 
  \frac{k_{F}}{m^{*}} \left( \abs{\vk} - k_{F} \right)
  \; \mbox{,}
\end{equation}
s'obtient en d\'eveloppant la \FdG (\ref{HC:1pGF}) \`a
$\abs{\vk}=k_{F}$ et \`a la fr\'equence de p\^ole $\Omega_{\vk}$.
Elle est reli\'ee \`a la masse $m$ de la particule libre par
\comment{Mahan (3.3.25), Nolting (3.354)}
\begin{equation}
  \label{HC:meff}
  \frac{m^{*}}{m} \; = \;
  \left[
    \frac{\displaystyle
      1\,-\,\frac{\partial\real\Sigma(\vk,\Omega_{\vk})}{\partial\Omega_{\vk}}
      }{\displaystyle
      1\,+\,
      \frac{\partial\real\Sigma(\vk,\Omega_{\vk})}{\partial\varepsilon_{\vk}}
      }
  \right]_{\abs{\vk}=k_{F}}
  \; \mbox{.}
\end{equation}
Dans la repr\'esentation de la \FdG (\ref{HC:1pGFqp}), 
{\em l'hypoth\`ese de la continuit\'e adiabatique} de Landau est
incorpor\'ee \`a diff\'erents endroits:
\begin{itemize}
\item Pr\`es de la surface de Fermi, nous supposons la self-\'energie
  $\Sigma(\vk,\omega)$ suffisamment r\'eguli\`ere pour permettre un
  d\'eveloppement en s\'erie. La r\'egularit\'e en $\vk$ et
  $\omega$ implique qu'elle ne contient pas des contributions qui
  d\'ecroissent lentement en temps ou en distance \cite{Schulz97}.
\item Nous pr\'esumons que, pour chaque $\vk$, il existe une solution
  {\em unique} de l'\'eq.~(\ref{HC:1pGFpoles}). A chaque particule
  r\'eelle correspond donc exactement une quasi-particule.
\item La self-\'energie est purement r\'eelle \`a la surface de Fermi,
  car une partie imaginaire limiterait la dur\'ee de vie de la
  quasi-particule. Loin de la surface de Fermi, les quasi-particules
  subsistent seulement si $\imag\Sigma(\vk,\omega)$ est petit (ce qui
  g\'en\'eralement n'est pas le cas).
\end{itemize}

La distribution des impulsions $n_{\vk}$ se calcule \`a partir du
th\'eor\`eme de fluctuation-dissipation (\ref{form:CorrCSpecTheo}) pour
la \FdG (\ref{HC:1pGFqp}). On v\'erifie ais\'ement que la hauteur du
saut \`a la surface de Fermi est d\'etermin\'ee par le r\'esidu de
quasi-particule $z_{\vk}$ (voir Fig.~\ref{fig:FL}).
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode 
    \includegraphics[height=0.4\twidth]{graph/FermiL.eps}
    \figcaption{Distribution des impulsions dans un liquide de Fermi
      sans interactions (lignes pointill\'ees) et avec interactions
      (lignes continues)}
    \label{fig:FL}
  \end{center}
\end{figure}

Bien entendu, l'hypoth\`ese de la continuit\'e adiabatique doit \^etre
mise en examen pour chaque application. A trois dimensions, elle est
tr\`es bien satisfaite pour des interactions r\'epulsives. Or elle
s'effondre pour des interactions attractives, aussi faibles qu'elles
soient, car l'instabilit\'e de Cooper entra\^{\i}ne une transition \`a
une phase supraconductrice.

A une dimension, c'est {\em l'instabilit\'e de Peierls} qui pose
probl\`eme\footnote{ L'instabilit\'e de Peierls \`a \'et\'e
  d\'ecouverte dans une cha\^{\i}ne d'\'electrons o\`u l'interaction
  avec les phonons provoque une d\'eformation du r\'eseau. Elle
  entra\^{\i}ne une l\'eg\`ere dim\'erisation des \'electrons ouvrant
  un gap pour les excitations \`a une particule de l'ordre de
  l'\'energie de liaison des paires \cite{Voit,Roth}.}: elle nous
donne la possibilit\'e de cr\'eer une excitation particule-trou
pratiquement sans d\'e\-pen\-ser de l'\'energie en d\'epla\c{c}ant une
particule de la surface de Fermi \`a $-k_{F}$ \`a celle \`a $+k_{F}$.
Bien s\^ur, cette possibilit\'e existe aussi \`a deux ou trois
dimensions.  L'ensemble des vecteurs d'onde $\vq$ qui permettent ce
genre d'excitations est g\'en\'eralement de mesure z\'ero
(Fig.~\ref{fig:2dFermiSurface}a), sauf pour des configurations avec
embo\^{\i}tement de la surface de Fermi
(Fig.~\ref{fig:2dFermiSurface}b).
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode \includegraphics[width=0.8\twidth]{graph/FermiS2d.eps}
    \figcaption{Surfaces de Fermi pour des syst\`emes \`a deux
      dimensions. (a) syst\`eme homog\`ene (embo\^{\i}tement
      n\'egligeable), (b) r\'eseau cubique simple \`a remplissage
      moiti\'e (embo\^{\i}tement parfait pour le vecteur $\vect{Q}$)}
    \label{fig:2dFermiSurface}
  \end{center}
\end{figure}
On parle d'embo\^{\i}tement, si, pour un certain vecteur
d'embo\^{\i}tement $\vect{Q}$, il existe un nombre consid\'erable de
vecteurs $\vk$ sur la surface de Fermi qui satisfont \`a la condition
\begin{equation}
  \label{HC:nesting}
  \varepsilon_{\vk} \,=\, -\varepsilon_{\vk+\vect{Q}}
  \; \mbox{.}
\end{equation}
A une dimension, l'embo\^{\i}tement parfait est garanti par la
parit\'e de la dispersion.  Des processus de diffusion avec transfert
d'impulsion, mais sans transfert d'\'energie sont donc
non n\'egligeables, ou {\em marginaux} dans le sens de la th\'eorie de
groupe de renormalisation \cite{Voit}.  A dimensions plus \'elev\'ees
ou dans des syst\`eme sans embo\^{\i}tement consid\'erable, ces
processus sont {\em non pertinents} (irrelevant).

Un autre aspect probl\'ematique dans la description d'un syst\`eme
unidimensionnel \`a base de quasi-particules est mis en \'evidence par
le spectre des excitations particule-trou cr\'e\'ees \`a partir de
la mer de Fermi, $a^{+}_{k+q} a_{k}\ket{FS}$.
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode 
    \includegraphics[width=0.6\twidth]{graph/spectrum1d.eps} \\
    \vspace*{0.15\twidth}
    \includegraphics[width=0.6\twidth]{graph/spectrum2d.eps}
    \figcaption{Spectre des excitations particule-trou pour faibles
      interactions (aire fonc\'ee) et mode collectif (ligne
      discontinue). (a) syst\`eme homog\`ene \`a une dimension, (b)
      syst\`eme homog\`ene \`a deux ou \`a trois dimensions}
    \label{fig:phSpectrum}
  \end{center}
\end{figure}
La figure~\ref{fig:phSpectrum}a montre que, \`a une dimension, des
excitations particule-trou \`a basses \'energies existent seulement
pour des vecteurs d'onde autour de $q=0$ et autour du vecteur de
Peierls $\abs{q}=2 k_{F}$.  Pr\`es de la surface de Fermi, la
dispersion \`a une particule est presque lin\'eaire. Les \'energies
des excitations particule-trou sont donc presque les m\^emes pour des
diff\'erents $k$.  La superposition coh\'erente de ces excitations
donne lieu \`a un mode collectif \`a dispersion lin\'eaire en $q$
(ligne discontinue). Le spectre \'etant creux \`a basses fr\'equences,
ce mode ne peut pas se d\'esint\'egrer en quasi-particules et devient
stable \cite{Voit}. \comment{Voit, Chap 3.1.1}
La figure~\ref{fig:phSpectrum}b illustre une situation analogue pour un
syst\`eme homog\`ene \`a deux dimensions: pour n'importe quel vecteur
d'onde avec $0\le\abs{\vq}\le 2 k_{F}$, on peut cr\'eer une
excitation particule-trou \`a \'energie nulle (il suffit de jeter un
coup d'\oe{}il sur la figure \ref{fig:2dFermiSurface}a). Le mode
collectif \'evolue dans le continu et s'att\'enue sensiblement en
cr\'eant des excitations particule-trou.  Dans un syst\`eme
unidimensionnel, ces modes collectifs \`a caract\`ere bosonique
deviennent dominant et invalident l'hypoth\`ese des quasi-particules de
Landau.

Un dernier argument pour l'\'echec de la th\'eorie des liquides de
Fermi \`a une dimension est fourni par la th\'eorie de perturbation.
Le terme du second ordre de la self-\'energie s'\'ecrit: 
\comment{Voit Fig. 2.2, Chap. 2.2}
\begin{equation}
  \label{HC:Sigma2feyn}
  \unitlength=4ex 
  \setlength{\Units}{\the\unitlength} 
  \leavevmode
  \begin{array}{ccccc}
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    % Self-Energy in 2nd order
    % perturbation theory 
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \begin{picture}(2.5,2.5)(0,-0.25)
      \put(0,0)
      {\includegraphics[width=2.5\Units]{feynman/feyn_Sigma.eps}} 
    \end{picture}
    &  
    \begin{picture}(1.0,2.5)(0,-0.25)
      \put(0,1){\makebox(1,0){$=$}} 
    \end{picture}
    &
    \begin{picture}(1.0,2.5)(0,0)
      \put(0,1)
      {\includegraphics[width=1.0\Units]{feynman/feyn_SigmaHF.eps}} 
    \end{picture}
    &  
    \begin{picture}(1.0,2.5)(0,-0.25)
      \put(0,1){\makebox(1,0){$+$}} 
    \end{picture}
    &
    \begin{picture}(4.5,2.5)(0,-0.25)
      \put(0,1){\makebox(1,0){\LARGE$\frac{1}{2}$}} 
      \put(1,0.75)
      {\includegraphics[width=3.5\Units]{feynman/feyn_Sigma2p1h0.eps}} 
    \end{picture}
  \end{array}  
\end{equation}
Consid\'erons une diffusion en avant \`a faibles impulsions 
$q\ll k_{F}$ en pr\'esence d'une interaction ind\'ependante de
l'impulsion transf\'er\'ee. La contribution du second diagramme \`a
droite varie en fonction du spin de la particule et celui de
l'excitation particule-trou.  On peut d\'emontrer que la
self-\'energie (\ref{HC:Sigma2feyn}) nous am\`ene \`a une \FdG \`a
deux p\^oles \cite{Voit}, ce qui est incompatible avec l'hypoth\`ese
du p\^ole de quasi-particule unique. 
L'interpr\'etation devient plus clair au prochain paragraphe: c'est
la {\em s\'eparation entre spin et charge} qui est \`a l'origine de
cet effet.

\subsection{La notion du liquide de Luttinger}
\label{sec:HC:FLvsLL:LL}

Une analyse plus syst\'ematique des particularit\'es d'un syst\`eme
unidimensionnel devient possible en lin\'earisant la loi de dispersion
\`a la surface de Fermi: c'est le ``{\em mod\`ele g-ologie}''. La
dispersion est dor\'enavant constitu\'ee de deux branches
ind\'ependantes, l'une contenant des particules \'evoluant vers la
droite, l'autre celles qui se d\'eplacent vers la gauche.  A basse
\'energie, les interactions dominantes proviennent des particules
pr\`es de la surface de Fermi.  Hormis le terme cin\'etique
\begin{equation}
  \label{HC:H0Luttinger}
  H_{0} \;=\; 
  \sum\limits_{k\sigma} v_{F} \, (k-k_{F}) \, a^{+}_{+,k\sigma}
  \; + \;
  \sum\limits_{k\sigma} v_{F} \, (-k-k_{F}) \, a^{+}_{-,k\sigma}
\end{equation}
l'hamiltonien g-ologie retient les processus suivants (voir
Fig.~\ref{fig:g-ology}):
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode
    \includegraphics[width=0.6\twidth]{graph/g-ology.eps}
    \figcaption{Types d'interactions \'el\'ementaires du mod\`ele
      g-ologie: $g_{2}$ et $g_{4}$ sont les interactions
      densit\'e-densit\'e du mod\`ele de Luttinger; $g_{1}$ et $g_{3}$
      sont, respectivement, des processus de diffusion en arri\`ere et
      en ``Umklapp''. (La mer de Fermi est repr\'esent\'ee par l'aire
      fonc\'ee, l'interaction par une ligne discontinue.)}
    \label{fig:g-ology}
  \end{center}
\end{figure}
\begin{enumerate}
\item[$g_{1}$:] L'interaction d'\'echange d'une particule de la
  surface de Fermi gauche avec une autre de la surface droite.  C'est
  le terme de Fock de l'\'ev\'enement $g_{2}$ ci-dessous, aussi
  d\'enomm\'e {\em diffusion en arri\`ere}
\item[$g_{2}$:] L'interaction densit\'e-densit\'e entre deux particules
  se situant l'une \`a la surface de Fermi gauche, l'autre \`a la
  droite. 
\item[$g_{3}$:] La diffusion simultan\'ee de deux particules de la
  m\^eme surface de Fermi \`a l'autre.  Cette {\em diffusion
    ``Umklapp''} ne devient importante que sur r\'eseau si $4
  k_{F}=G$, c.\`a.d. lorsque l'impulsion transf\'er\'ee est ``z\'ero''
  au sens qu'elle correspond \`a un vecteur du r\'eseau r\'eciproque.
\item[$g_{4}$:] L'interaction densit\'e-densit\'e de deux particules
  sur la m\^eme branche de dispersion.
\end{enumerate}
Evidemment, toutes ces constantes de couplage $g_{i}$ vont, en
g\'en\'eral, encore d\'ependre des spins des partenaires
d'interaction.

L'hamiltonien g-ologie se r\'eduit au {\em mod\`ele de
  Tomonaga-Luttinger} \cite{Tomonaga50,Luttinger63} en posant
$g_{1}=g_{3}=0$.  Sa solution exacte peut \^etre construite en
ajoutant une infinit\'e d'\'etats occup\'es avec des \'energies
n\'egatives (voir Fig.~\ref{fig:Schulz7}) \cite{MattisLieb65}. On
esp\`ere, bien entendu, que cette ``mer de Dirac'' n'a qu'une faible
influence sur les propri\'et\'es du mod\`ele \`a basse \'energie.
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode
    \includegraphics[width=0.5\twidth]{graph/schulz7.eps}
    \figcaption{Spectre \`a une particule du mod\`ele de Luttinger.
      Les \'etats occup\'es sont repr\'esent\'es par l'aire grise
      claire.  L'aire grise fonc\'ee illustre les \'etats ajout\'es
      afin d'obtenir un mod\`ele exactement soluble. (Figure selon
      r\'ef.~\cite{Schulz97})}
    \label{fig:Schulz7}
  \end{center}
\end{figure}
Nous d\'efinissons d'abord les op\'erateurs densit\'e pour chaque
branche $\alpha=\pm$:
\begin{equation}
  \label{HC:rhoLuttinger}
  \rho_{\alpha,\sigma}(q) \;=\; 
  \sum\limits_{k} 
  \left[
    a^{+}_{\alpha,k+q\sigma} a_{\alpha,k\sigma} 
    \,-\, \delta_{q 0} \mean{a^{+}_{\alpha,k\sigma} a_{\alpha,k\sigma}}_{0}
  \right]
\end{equation}
La soustraction de la valeur moyenne s'av\`ere n\'ecessaire pour
pouvoir compter correctement le nombre de particules sans \^etre
d\'erang\'e par l'infinit\'e de particules contenu dans la mer de
Dirac. Sans vouloir rentrer dans les d\'etails du calcul de la
solution exacte, nous rappelons les arguments principaux:
\begin{enumerate}
\item Dans un mod\`ele \`a largeur de bande infinie, les op\'erateurs
  densit\'e d\'emontrent un caract\`ere bosonique. Leurs r\`egles de
  commutation s'\'ecrivent
  \begin{eqnarray}
    \label{HC:rhoLuttingerComm}
    \comm{\rho_{\alpha,\sigma}(q)}{\rho_{\alpha',\sigma'}(-q')}
    & = & 
    \delta_{\alpha\alpha'}\delta_{\sigma\sigma'}\delta_{q q'}
    \sum\limits_{k} 
    \left[\hat{n}_{k+q\sigma}\,-\,\hat{n}_{k\sigma}\right]
    \nonumber \\
    & = &
    -\delta_{\alpha\alpha'}\delta_{\sigma\sigma'}\delta_{q q'}
    \frac{\alpha q L}{2\pi}
  \end{eqnarray}
  o\`u $L$ d\'esigne la taille du syst\`eme. Dans un syst\`eme
  ordinaire, les deux points de Fermi $\pm k_{F}$ appartiennent \`a
  une seule bande.  La premi\`ere ligne s'\'evalue alors \`a z\'ero,
  gr\^ace \`a un simple changement de la variable de somme. Cette
  op\'eration n'est pas admise dans le mod\`ele de Luttinger, et un
  calcul plus prudent nous am\`ene au r\'esultat
  (\ref{HC:rhoLuttingerComm}).
\item
  Le commutateur entre l'\'energie cin\'etique $H_{0}$ et
  l'op\'erateur densit\'e a la forme
  \begin{equation}
    \label{HC:rhoH0Luttinger}
    \comm{H_{0}}{\rho_{\alpha,\sigma}(q)} \, = \, 
    v_{F} \alpha q \, \rho_{\alpha,\sigma}(q)
    \; \mbox{.}
  \end{equation}
  Apparemment l'\'etat cr\'e\'e par $\rho_{+,\sigma}(q)$ est un \'etat
  propre de $H_{0}$ avec \'energie $v_{F} q$.  Ce r\'esultat est
  compatible avec une repr\'esentation de $H_{0}$ bilin\'eaire en
  op\'erateurs bosoniques:
  \begin{equation}
    \label{HC:H0LuttingerBoson}
    H_{0} \;=\; 
    \frac{2\pi v_{F}}{L}
    \sum\limits_{\stackrel{q>0}{\alpha=\pm,\sigma}}
    \rho_{\alpha,\sigma}(q) \rho_{\alpha,\sigma}(-q)
    \; +\rm{const.}
  \end{equation}
\end{enumerate}
En ce qui concerne l'interaction, le mod\`ele de Luttinger inclut
uniquement les contributions du type densit\'e-densit\'e $g_{2}$ et
$g_{4}$. La traduction en expressions bosoniques ne pose donc aucun
probl\`eme.

Arriv\'e \`a ce point, nous sommes capables d'exprimer le mod\`ele de
Luttinger en termes exclusivement bosoniques.  L'hamiltonien de
d\'epart \'etait constitu\'e de contribution bilin\'eaires et
quartiques en op\'erateurs de fermions, tandis que l'hamiltonien
bosonique n'est que bilin\'eaire en op\'erateurs de bosons.
Comme d'habitude, il est pr\'ef\'erable d'introduire des variables
s\'epar\'ees pour les degr\'es de libert\'e de charge et de spin:
\begin{equation}
  \label{HC:chargespinLutt}
  \begin{array}{rclcrcl}
    \rho_{\pm}(q) & = &  \frac{1}{\sqrt{2}} \, 
    \left[ \rho_{\pm,\uparrow}(q) +  \rho_{\pm,\downarrow}(q)  \right]
    & \;\mbox{,}\; &
    g^{\rho}_{i} & = &   \frac{1}{2} \,
    \left[  g^{\uparrow\uparrow}_{i} +  g^{\uparrow\downarrow}_{i} \right]
    \\
    \sigma_{\pm}(q) & = &  \frac{1}{\sqrt{2}} \, 
    \left[ \rho_{\pm,\uparrow}(q) -  \rho_{\pm,\downarrow}(q)  \right]
    & \;\mbox{,}\; &
    g^{\sigma}_{i} & = &   \frac{1}{2} \,
    \left[  g^{\uparrow\uparrow}_{i} -  g^{\uparrow\downarrow}_{i} \right]
  \end{array}
\end{equation}
L'hamiltonien est compos\'e de deux parties, dont une de charge et
l'autre de spin. Ces parties commutent entre elles. Par cons\'equent,
elles peuvent \^etre diagonalis\'ees par deux transformations de
Bogoliubov diff\'erentes. Le calcul \'etant expos\'e point par point
dans un article de revue de Voit \cite{Voit} (entre autres), nous nous
contentons d'en r\'esumer les r\'esultats:
\begin{itemize}
\item Les excitations bosoniques de charge et de spin se propagent \`a
  deux vitesses diff\'erentes qui sont fix\'ees par les constantes de
  couplages respectives: \comment{Voit (3.33)}
  \begin{equation}
    \label{HC:vnu}
    v_{\nu}(p) \,=\, 
    \sqrt{\left[ v_{F} + \frac{g^{\nu}_{4}(p)}{\pi} \right]^{2}
      - \left[\frac{g^{\nu}_{2}(p)}{\pi}\right]^{2}} 
    \qquad \mbox{avec} \qquad \nu=\rho,\sigma
  \end{equation}
  Cette s\'eparation entre d\'egr\'ees de libert\'e de charge et de spin
  a aussi lieu \`a dimensions plus \'elev\'ees. En elle m\^eme, elle
  n'a rien d'exceptionnel. La particularit\'e \`a une dimension est
  que cette s\'eparation reste apparente dans la \FdG \`a une
  particule: \`a l'encontre de l'hypoth\`ese d'un p\^ole de
  quasi-particule unique, ce propagateur poss\`ede deux singularit\'es
  distinctes \cite{Voit95,Voit98}.
\item L'absence des quasi-particules se note \'egalement dans la
  distribution des impulsions trac\'ee sur la figure~\ref{fig:LL}:
  \comment{Voit (3.86)}
  \begin{equation}
    \label{HC:nkLuttinger}
    n(k) \;\approx\; \frac{1}{2} 
    \,- C_{1}\,\sign\left(k-k_{F}\right) \abs{k-k_{F}}^{\alpha} 
    \,- C_{2} \left(k-k_{F}\right)
  \end{equation}
  \begin{figure}[htbp]
    \begin{center}
      \leavevmode 
      \includegraphics[height=0.4\twidth]{graph/LuttingerL.eps}
      \figcaption{Distribution des impulsions dans un liquide de
        Luttinger sans interactions (lignes pointill\'ees) et avec
        interactions (lignes continues).  La courbe correspond \`a
        l'\'eq.~(\ref{HC:nkLuttinger}) avec les param\`etres
        $\alpha=1/8$ et $C_{2}=1/2-C_{1}=1/50$.}
      \label{fig:LL}
    \end{center}
  \end{figure}
  Rappelons-nous que, dans un liquide de Fermi, $n_{k}$ a un saut \`a
  la surface de Fermi dont la hauteur correspond au r\'esidu de
  quasi-particule (voir Fig.~\ref{fig:FL}). Sur la
  figure~\ref{fig:LL}, ce saut a disparu en faveur d'une variation en
  loi de puissances. Cette disparition des quasi-particules est due
  au couplage de Peierls entre les deux points de Fermi.
\item Les corr\'elations \`a deux corps diminuent alg\'ebriquement
  avec la distance. Les exposants caract\'eristiques de ces lois de
  puissances se d\'eterminent \`a partir des param\`etres des
  transformations de Bogoliubov, qui, eux, ne d\'ependent que des
  constantes de couplage $g^{\nu}_{i}$ et de la vitesse de Fermi.
  Nous soulignons que les deux param\`etres nous fournissent {\em
    tous} les exposants des fonctions de corr\'elation ainsi que celui
  de la distribution des impulsions et de la densit\'e d'\'etats.
\end{itemize}

Les connaissances acquises pendant l'\'etude du mod\`ele g-ologie
peuvent \^etre appliqu\'ees aux propri\'et\'es de la cha\^{\i}ne de
Hubbard \`a basse \'energie. Restent \`a d\'eterminer les constantes
de couplage $g^{\nu}_{i}$ en fonction de $U/t$.  Pour des remplissages
autres que moiti\'e, le mod\`ele de Luttinger se r\'ev\`ele suffisant.
Ses constantes de couplage non nulles, $g^{\nu}_{2}$ et $g^{\nu}_{4}$,
se d\'eterminent en comparant les vitesses des excitations
\'el\'ementaires du \MdH, connues par l'ansatz de Bethe, \`a celles de
l'\'eq.~(\ref{HC:vnu}). Pour la cha\^{\i}ne de Hubbard \`a moiti\'e
remplie, la diffusion Umklapp ($g_{3}$) joue un r\^ole important.
C'est elle qui engendre la transformation \`a une phase isolante
d\'ej\`a \`a $U_{c}=0^{+}$.

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{L'ansatz de Bethe}
\label{sec:HC:Bethe}

La \CdH poss\`ede, comme beaucoup d'autres mod\`eles unidimensionnels
\cite{Mattis,KorepinEssler}, une solution exacte.  Sa construction est
bas\'ee sur {\em l'ansatz de Bethe} et a \'et\'e effectu\'ee par Lieb
et Wu \cite{LiebWu}.  Quoique discut\'ee amplement dans divers article
de revue \cite{Florian,Andrei,Korepin}, il est indispensable de
r\'esumer au moins les id\'ees principales de cette c\'el\`ebre
m\'ethode.

Consid\'erons d'abord une \CdH de longueur $L$ avec seulement deux
\'electrons. Nous pouvons imaginer l'interaction entre les \'electrons
comme processus de diffusion. Si les deux \'electrons sont loin l'un
de l'autre, ils se comportent comme des particules libres, car
l'interaction de Hubbard est de courte port\'ee. Notre point de
d\'epart pour la fonction d'onde des deux \'electrons consiste donc
en ondes planes,
\begin{equation}
  \label{HC:2eWF}
  \psi\left(x_{1}\le x_{2}\right)
  \; = \; 
  A\,\e^{\ic\left(k_{1} x_{1} + k_{2} x_{2}\right)}
  \;-\;
  B\,\e^{\ic\left(k_{2} x_{1} + k_{1} x_{2}\right)}
\end{equation}
o\`u $x_{1,2}$ sont les coordonn\'ees des \'electrons. Par un simple
argument de sym\'etrie, il est clair que les valeurs absolues des
amplitudes de l'onde incidente $A$ et de l'onde diffus\'ee $B$ sont
les m\^emes. L'interaction se traduit donc exclusivement par un
d\'ephasage entre l'onde incidente et l'onde diffus\'ee.  Evidemment,
ce d\'ephasage d\'epend du spin des partenaires d'interaction. Pour
deux \'electrons du m\^eme spin, le principe de Pauli interdit toute
double occupation et exclut ainsi toute interaction: la fonction
d'onde n'est autre qu'un d\'eterminant de Slater.

Si les partenaires sont de spin oppos\'e, nous pouvons facilement
r\'esoudre les \'equations de Schr\"odinger pour $x_{1}<x_{2}$ et
$x_{1}>x_{2}$.  Nous trouvons la matrice de diffusion en raccordant
les deux fonctions d'onde pour $x_{1}=x_{2}$. Nous imposons des
conditions aux limites p\'eriodiques en bouclant la cha\^{\i}ne.
Apr\`es un tour complet, le d\'ephasage totale de la fonction d'onde
est constitu\'e de $L k_{1}$ ainsi d'une contribution provenant de
l'interaction. En tenant compte de l'antisym\'etrie de la fonction de
spin, ceci nous fournit une condition aux limites pour chaque $k_{i}$.
Les $k_{i}$ ne sont donc pas des multiples de $2\pi/L$, mais fonction
de la constante de couplage $U$. Pour cette raison, ils sont
d\'enomm\'es {\em quasi}-impulsions.

L'ansatz de Bethe g\'en\'eralise cette id\'ee pour $N$ \'electrons sur
une cha\^{\i}ne de longueur $L$. Nous coupons d'abord la cha\^{\i}ne en
$N$ bouts \`a un \'electron chacune. Ensuite nous r\'esolvons
l'\'equation de Schr\"odinger pour toutes les permutations possibles.
Nous imposons de plus que les quasi-impulsions ne changent pas d'un
bout \`a l'autre. Cette hypoth\`ese peut \^etre satisfaite, car, pour
la \CdH, il existe une infinit\'e de constantes de mouvement.  Une
simplification ult\'erieure provient de l'\'equation Yang-Baxter: elle
constate que la matrice de diffusion \`a $N$ \'electrons qui lie deux
permutations diff\'erentes ne d\'epend pas de la mani\`ere dont on
passe d'une configuration \`a l'autre. Une nouvelle fois, les
conditions aux limites p\'eriodiques nous fournissent les contraintes
pour les quasi-impulsions $k_{i}$. Ces contraintes varient selon
l'arrangement des spins.

A l'encontre de la cha\^{\i}ne \`a deux \'electrons, o\`u la solution
du probl\`eme des spins est triviale, il est maintenant n\'ecessaire
d'attaquer ce probl\`eme avec un autre ansatz de Bethe. Il nous
am\`ene \`a des contraintes pour la variable de spin
$\Lambda_{\alpha}$. Les conditions aux limites pour les variables de
spin sont influenc\'ees par les quasi-impulsions, et vice versa: on
parle d'{\em ansatz de Bethe imbriqu\'e}.

Dans la limite thermodynamique, les quasi-impulsions et les variables
de spin sont distribu\'ees de mani\`ere continue. Il s'av\`ere commode
de passer aux densit\'es respectives $\rho(k)$ et $\sigma(\Lambda)$.
Les syst\`emes de contraintes se traduisent ainsi en deux \'equations
int\'egrales coupl\'ees, les {\em \'equations de Lieb et Wu}:
\comment{Florian (4.22)}
\begin{eqnarray}
  \label{HC:LiebWu}
  2\pi\,\rho(k) & = & 1\,+
  \,\cos(k)\,\int\limits_{-B_{0}}^{+B_{0}} {\rm d}\Lambda\,
  \sigma(\Lambda)\, K\left[\sin(k)-\Lambda; U/(4 t)\right]
  \nonumber \\
  2\pi\,\sigma(\Lambda)
  & = & \int\limits_{-Q_{0}}^{+Q_{0}} {\rm d}k\,
  \rho(k)\, K\left[\sin(k)-\Lambda; U/(4 t)\right] 
  \nonumber \\
  & & -\int\limits_{-B_{0}}^{+B_{0}} {\rm d}\Lambda'\,  
  \sigma(\Lambda')\, K\left[\Lambda-\Lambda'; U/(2 t)\right]
\end{eqnarray}
o\`u le noyau int\'egral est donn\'e par $K[x;y]=2y/(x^{2}+y^{2})$.
Les bornes des int\'egrales s'obtiennent \`a partir des conditions
suivantes:
\begin{eqnarray}
  \label{HC:LiebWuBound}
  \int\limits_{-Q_{0}}^{+Q_{0}} {\rm d}k\,\rho(k) & = & \frac{N}{L}
  \nonumber \\
  \int\limits_{-B_{0}}^{+B_{0}} {\rm d}\Lambda\,\sigma(\Lambda) & = &
  \frac{N_{\downarrow}}{L}
\end{eqnarray}
En absence d'un champ magn\'etique ext\'erieur, le fondamental est un
singlet, ce qui implique $B_{0}=\infty$. L'int\'egration num\'erique
des \'equations de Lieb et Wu ne pose pas de probl\`eme majeur. A
remplissage autre que moiti\'e, le syst\`eme poss\`ede un fondamental
m\'etallique pour toute interaction. En revanche, \`a remplissage
moiti\'e, le syst\`eme devient isolant pour $U>0$.

A la base de cette solution exacte, il est possible de calculer d'autres
propri\'et\'es du fondamental, par exemple la densit\'e de double
occupation et l'\'energie cin\'etique \cite{CarmeloBaeriswyl}, ainsi
que le spectre des excitations \'el\'ementaires \cite{Kluemper90} et
les exposants des corr\'e\-la\-tions \`a deux corps
\cite{Schadschneider91}. De plus, on en d\'eduit l'\'energie libre (et
avec elle la thermodynamique toute enti\`ere) \cite{Kluemper96} et les
propri\'et\'es de transport \cite{Kirchner98}.

L'esprit de l'ansatz de Bethe est \'egalement pr\'esent dans d'autres
travaux con\-sa\-cr\'es aux mod\`eles unidimensionnels exactement
solubles.  R\'ecemment, Schulz et Shastry ont d\'ecouvert toute une
classe de syst\`emes exactement solubles compos\'es de fermions qui
interagissent \`a l'aide d'un champ de gauge \cite{Schulz98}. Tout
comme dans la \CdH, les fermions se comportent essentiellement comme
s'ils \'etaient libres, et l'interaction fixe les conditions aux
limites.

L'ansatz de Bethe s'applique aussi aux cha\^{\i}nes de Hubbard
contenant des termes cin\'etiques g\'en\'eralis\'es, tels que
$t\propto\sinh\kappa/\sinh\kappa r$. A remplissage moiti\'e, ces
mod\`eles exhibent une transition m\'etal-isolant \`a $U_{c}=0^{+}$.
Cette valeur est g\'en\'erique pour tous les mod\`eles avec
embo\^{\i}tement parfait de la surface de Fermi. Uniquement le
mod\`ele avec $\kappa=0$, ne poss\'edant pas cette propri\'et\'e
d'embo\^{\i}tement, a une interaction critique finie qui est \'egale
\`a la largeur de bande. Pour $\kappa=0$ des d\'eplacements \`a longue
port\'ee $(1/r)$ sont admis et la dispersion devient lin\'eaire en $k$
dans la zone de Brillouin.  Pour ce mod\`ele, une solution exacte,
peut alternativement \^etre construite en d\'emontrant l'\'equivalence
avec un hamiltonien de bosons \`a c\oe{}ur dur \footnote{L'expression
  de bosons \`a ``c\oe{}ur dur'' (hard-core bosons) signifie que ces
  particules satisfont \`a des r\`egles de commutation bosoniques. A
  l'encontre de bosons ordinaires, il ne peuvent pas s'accumuler au
  m\^eme endroit. Les valeurs propres de l'op\'erateur nombre
  $\hat{n}_{i}$ se limitent alors \`a z\'ero et un, comme s'ils
  \'etaient des fermions.} \cite{Florian92,Florian94}. Cela se comprend
par ressemblance avec le mod\`ele de Luttinger o\`u une solution
bosonique a pu \^etre obtenue, gr\^ace \`a la lin\'earit\'e de la
dispersion.

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{R\'esultats de la th\'eorie RPA}
\label{sec:HC:RPA}

Dans ce paragraphe, nous appliquons la th\'eorie RPA aux
corr\'elations de charge et de spin longitudinal de la \CdH. Il est
clair, par la construction des propagateur RPA et par la discussion du
chapitre~\ref{sec:H:RPA}, que la RPA ne sera pas capable de d\'ecrire
les particularit\'es d'un mod\`ele \`a une dimension. L'application de
la RPA, dans ses diff\'erentes variantes, \`a la \CdH conduira 
plut\^ot \`a des propri\'et\'es g\'en\'eriques du mod\`ele, qu'on
esp\`ere retrouver \`a dimensions plus \'elev\'ees.

Nous r\'esoudrons num\'eriquement le syst\`eme d'\'equations non
lin\'eaires de la {\em RPA renormalis\'ee}, tel qu'il a \'et\'e
pr\'esent\'e au chapitre~\ref{sec:H:RPA:Charge}. Les d\'etails de la
m\'ethode num\'erique sont expos\'es dans l'annexe~\ref{chap:numeric}.
Ensuite nous comparerons les r\'esultats de la RPA renormalis\'ee \`a
ceux de la RPA pure pour diff\'erentes interactions et remplissages de
bande. Pour des raisons de simplicit\'e, nous nous limitons \`a la
cha\^{\i}ne infinie dans la phase paramagn\'etique, c.\`a.d.
$n_{k\uparrow}=n_{k\downarrow}$. Pour la cha\^{\i}ne \`a moiti\'e
remplie, la RPA renormalis\'ee poss\`ede une solution analytique dans
la limite du couplage fort.

N\'eanmoins, nous soulignons encore une fois que la RPA
renormalis\'ee peut \^etre consid\'er\'ee comme premi\`ere \'etape
pour la solution de la SCRPA (voir les chapitres~\ref{sec:DE:phGF} et
\ref{sec:H:RPA:Charge}).

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{M\'ethode num\'erique}
\label{sec:HC:RPA:numeric}

Nous r\'esumons bri\`evement la m\'ethode num\'erique utilis\'ee pour
la solution self-consistante des \'equations de la RPA renormalis\'ee.
Une description plus d\'etaill\'ee se trouve dans
l'annexe~\ref{chap:numeric}.

D'abord nous initialisons les \ndocs $n_{k\sigma}$ aux valeurs de
d\'epart.  En suivant les id\'ees expos\'ees au
chapitre~\ref{sec:H:RPA:Charge}, nous r\'esolvons le syst\`eme
d'\'equations non lin\'eaires selon le sch\'ema suivant:
\begin{itemize}
\item Nous calculons la \FdG ``libre'' renormalis\'ee \`a partir de
  (\ref{H:phGF0}):
  \begin{equation}
    \label{HC:phGF0}
    \phGF^{0}_{k\sigma}(q,\omega) \, = \,
    \frac{n_{k\sigma} - n_{k+q\sigma}}
    {\omega\,-\,\left[\varepsilon_{k+q}-\varepsilon_{k}\right]\,+\,\iz}
  \end{equation} 
\item L'\'eq.~(\ref{H:phChiZero}) nous fournit la \scs ``libre''
  renormalis\'ee par le biais d'une int\'egrale sur $k$:
  \begin{equation}
    \label{HC:phChiZero}
    \ChiZe_{\sigma}(q,\omega) \; = \; 
    \sfrac{1}{N}\sum\limits_{k} \phGF^{0}_{k\sigma}(q,\omega)
  \end{equation}
  Pour \'evaluer $\imag\ChiZe_{\sigma}(q,\omega)$ il s'av\`ere commode
  d'introduire une partie imaginaire dans le d\'enominateur de
  $\phGF^{0}_{k\sigma}(q,\omega)$, c.\`a.d. de remplacer $\iz$
  dans l'\'eq.~(\ref{HC:phGF0}) par une valeur imaginaire petite, mais
  finie. Encore une fois, le lecteur trouvera les d\'etails dans
  l'annexe~\ref{chap:numeric}.
\item Les fonctions $\phGF^{0}_{k\sigma}(q,\omega)$ et
  $\ChiZe_{\sigma}(q,\omega)$ nous servent \`a d\'eterminer la \FdG
  RPA \`a partir des \'eqs.~(\ref{H:rpaGFss}) et (\ref{H:rpaGFos}).
  Comme nous l'avons vu au chapitre~\ref{sec:H:RPA:Charge}, seuls
  les \'el\'ements diagonaux $\phGF^{\RPA}_{k\sigma\,k\sigma}(q,\omega)$
  sont indispensables dans la suite de ce calcul.  Alternativement
  nous pouvons simplifier les \'equations en effectuant la somme de
  la \FdG sur $p$.  Les \'eqs.~(\ref{H:rpaGFss}) et (\ref{H:rpaGFos})
  peuvent \^etre mises sous la forme suivante:
  \begin{eqnarray}
    \label{HC:rpaGFss}
    \sum\limits_{p} \phGF^{\RPA}_{k\sigma\,p\sigma}(q,\omega)
    & = & 
    \phGF^{0}_{k\sigma}(q,\omega) 
    \frac{1}
    {1-U\ChiZe_{\uparrow}(q,\omega)\,U\ChiZe_{\downarrow}(q,\omega)}
    \\
    \label{HC:rpaGFos}
     \sum\limits_{p} \phGF^{\RPA}_{k\sigma\,p-\sigma}(q,\omega)
    & = & 
    \phGF^{0}_{k\sigma}(q,\omega) 
    \frac{U\ChiZe_{-\sigma}(q,\omega)}
    {1-U\ChiZe_{\uparrow}(q,\omega)\,U\ChiZe_{\downarrow}(q,\omega)}
  \end{eqnarray}
\item La \FdG (\ref{HC:rpaGFss}), nous permet de d\'eterminer les
  nouvelles valeurs pour les \ndocs. A la place de
  l'\'eq.~(\ref{H:OccST}), nous utilisons
  \begin{equation}
    \label{HC:OccST}
    n_{k\sigma} \; = \;  n_{\sigma} \;
    - \frac{1}{\pi N} \sum \limits_{p q}
    \int \limits_{-\infty}^{\infty} {\rm d} \omega \;
    \imag \phGF_{k\sigma\,p\sigma}(q,\omega)
    \; \mbox{.}
  \end{equation}
  Les termes avec $k\ne p$ sont reli\'es aux \'el\'ements non
  diagonaux de la matrice norme. Lorsque la solution self-consistante
  est atteinte, ces termes s'annulent, et les \'eqs.~(\ref{H:OccST})
  et (\ref{HC:OccST}) deviennent compl\`etement \'equivalentes.
\item Ce cycle d'it\'eration doit \^etre r\'ep\'et\'e d\`es son
  d\'ebut jusqu'\`a la convergence.
\end{itemize}

Normalement nous commen\c{c}ons le calcul \`a faibles interactions,
par exemple \`a $U=1$. Nous initialisons les \ndocs \`a leurs valeurs
libres, caract\'eris\'ees par la fonction \'echelon \`a la surface de
Fermi. Pour cette valeur de $U$, nous it\'erons les \'equations de la
RPA renormalis\'ee, selon le cycle ci-dessus, jusqu'\`a la solution
self-consistante. Le r\'esultat sert ensuite comme point de d\'epart
d'un cycle d'it\'eration pour une valeur de $U$ l\'eg\`erement plus
\'elev\'ee. Nous augmentons ainsi la constante de couplage peu \`a
peu, tout en it\'erant chaque fois \`a la solution self-consistante.
Cet \'etablissement adiabatique de l'interaction jusqu'\`a la valeur
d\'esir\'ee a le grand avantage de garantir la stabilit\'e de la
r\'eponse du spin tout au long du calcul.

Dans la limite thermodynamique, les sommes sur les vecteurs d'onde
deviennent des int\'egrales: 
\begin{equation}
  \label{HC:TDlimit}
  \frac{1}{N}\sum\limits_{k} \; \to\;
  \int\limits_{-\pi}^{+\pi}\frac{{\rm d}k}{2\pi}
\end{equation}
Nous \'evaluons ces int\'egrales en divisant la premi\`ere zone de
Brillouin en grille uniforme. Le nombre de points est normalement de
$256$.  
Les int\'egrales d'\'energie se calculent \`a l'aide d'une grille
lorentzienne concentr\'ee \`a $\omega=0$. Le nombre de points contenu
dans cette grille est typiquement de $2048$, et la moiti\'e de sa
largeur \`a mi-hauteur vaut \`a peu pr\`es deux fois la largeur de
bande, c.\`a.d. $\Delta_{\rm hwhm}\approx 8$.

Comme nous l'avons d\'ej\`a constat\'e, il est commode (mais pas
strictement n\'e\-cessai\-re) de fixer ``$\iz$'' dans le
d\'enominateur de $\phGF^{0}_{k\sigma}(q,\omega)$ \`a une valeur
petite, mais finie.  Nous prenons habituellement des valeurs de
l'ordre $\ic/16$, ce qui correspond \`a $1/64$ de la largeur de bande.
Suivant la pr\'ecision de notre calcul, les r\'esultats ne sont pas
sensibles \`a des petites variations de cette valeur.

Nous rappelons au lecteur int\'eress\'e par notre m\'ethode
num\'erique qu'une discussion beaucoup plus compl\`ete se trouve dans
l'annexe~\ref{chap:numeric}.

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Les nombres d'occupation}
\label{sec:HC:RPA:nk}

\subsubsection{La bande \`a moiti\'e remplie}

La figure~\ref{fig:nk_half} montre la distribution des impulsions
\begin{equation}
  \label{HC:nk}
  n_{k} \, = \, \sfrac{1}{2} \, 
  \left(  n_{k\uparrow} +  n_{k\downarrow} \right)
\end{equation}
pour la \CdH \`a moiti\'e remplie. Les r\'esultats de la RPA
renormalis\'ee sont compar\'es aux calculs de Monte-Carlo
quantique (QMC).
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode \includegraphics[width=1\twidth]{graph/nk1_2.eps}
    \figcaption{Distribution des impulsions $n_{k}$ pour la \CdH \`a
      moiti\'e remplie. R\'esultats de Monte-Carlo quantique (QMC) de
      Sorella \cite{Sorella88}.  La ligne pointill\'ee repr\'esente la
      limite du couplage fort de la RPA renormalis\'ee (voir
      chapitre~\ref{sec:HC:RPA:largeU}).}
    \label{fig:nk_half}
  \end{center}
\end{figure}

La RPA renormalis\'ee pr\'evoit, pour des faibles interactions, une
discontinuit\'e \`a la surface de Fermi. Selon la th\'eorie des
liquides de Fermi pr\'esent\'ee au chapitre~\ref{sec:HC:FLvsLL:FL},
cette discontinuit\'e correspond au poids $z_{k}$ des
quasi-particules. A la surface de Fermi, elles se propagent presque
librement. Nous avons donc un comportement m\'etallique.

Pour des fortes interactions, la distribution des impulsions est une
fonction continue de l'impulsion, ce qui entra\^{\i}ne un fondamental
isolant. La RPA renormalis\'ee pr\'edit une transition m\'etal-isolant
avec interaction critique qui peut \^etre obtenue en augmentant le
couplage par petits pas ($\Delta U=1/4$) jusqu'\`a ce que le saut \`a
$k_{F}$ disparaisse. Suivant notre pr\'ecision num\'erique, nous
trouvons $U_{c}\approx 3$. Le couplage critique de la transition
Mott-Hubbard est alors de l'ordre de la largeur de bande ($W=4$). Au
chapitre~\ref{sec:HC:RPA:largeU} nous approfondirons cette discussion
en nous appuyant sur la densit\'e d'\'etats.

Ce sc\'enario serait assez r\'ealiste \`a dimensions plus \'elev\'ees
o\`u il est en accord avec d'autres approximations, telle que
Hubbard-III \cite{Hubbard64,Cyrot} ou la m\'ethode des Bosons Esclaves
\cite{Kotliar86,Lavagna}. A une dimension, il est, h\'elas, faux! A
remplissage moiti\'e, la solution exacte par ansatz de Bethe
\cite{LiebWu} pr\'evoit un fondamental isolant pour toute interaction
finie. La distribution des impulsions exacte, ne poss\`ede donc pas de
saut \`a la surface de Fermi. Elle peut \^etre obtenue, pour des
interactions interm\'ediaires, gr\^ace aux calculs QMC
\cite{Sorella88,Sorella90}, et pour des fortes interactions par un
d\'eveloppement en s\'erie de la solution exacte en $t/U$
\cite{CarmeloBaeriswyl,BaeriswylLinden}.

Si ces r\'esultats paraissent d\'ecevants au premier abord, il faut
tout de m\^eme rappeler que la RPA renormalis\'ee ne retient pas de
corr\'elations \`a deux corps dans son hamiltonien effectif.  Elle
n\'eglige notamment les corr\'elations d'embo\^{\i}tement $q=2 k_{F}$
qui sont \`a l'origine de l'interaction critique nulle de la
transition Mott-Hubbard. A dimension plus \'elev\'ee, il n'est
jusqu'\`a pr\'esent pas tout \`a fait clair, si le r\^ole jou\'e par
l'embo\^{\i}tement de la surface de Fermi reste aussi important. De
plus, nous avons expliqu\'e au chapitre~\ref{sec:H:RPA:Charge} que la
RPA renormalis\'ee est nettement mieux adapt\'ee aux syst\`emes \`a
dimension plus \'elev\'ee. Toujours est-il que, m\^eme \`a une
dimension, elle reproduit, \`a un facteur pr\`es, le comportement
exact des \ndocs dans la limite du couplage fort (voir
chapitre~\ref{sec:HC:RPA:largeU}).

\subsubsection{Remplissages autres que moiti\'e}

A remplissages autres que moiti\'e, les pr\'edictions de la RPA
renormalis\'ee restent en gros les m\^emes: pour de faibles
interactions, la distribution des impulsions montre une
discontinuit\'e \`a la surface de Fermi. Elle se produit exactement
\`a la m\^eme impulsion $k=k_{F}$ que dans le gaz de Fermi libre. Cela
d\'emontre que la RPA renormalis\'ee satisfait au th\'eor\`eme de
Luttinger \`a une dimension \cite{Migdal57,Luttinger60}. Le saut
dispara\^{\i}t \`a un couplage critique l\'eg\`erement plus \'elev\'e
qu'\`a remplissage moiti\'e. Par exemple, pour le mod\`ele rempli \`a
un quart, le saut persiste jusqu'\`a $U_{c}\approx 4$ (voir
Fig.~\ref{fig:nk_quarter}).
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode
    \includegraphics[width=1\twidth]{graph/nk1_4.eps}
    \figcaption{Distribution des impulsions $n_{k}$ pour la \CdH \`a
      remplissage un quart. R\'esultats de Monte-Carlo quantique (QMC)
      de Dzierzawa\cite{Dzierzawa}.}
    \label{fig:nk_quarter}
  \end{center}
\end{figure}

La RPA renormalis\'ee se r\'ev\`ele incapable de reproduire les
propri\'et\'es de liquide de Luttinger de la solution exacte. A la
surface de Fermi, la distribution des impulsions exacte pr\'esente une
variation en loi de puissances au lieu d'une discontinuit\'e. Les
exposants de ces lois de puissances caract\'eristiques pour le liquide
de Luttinger se d\'eduisent, dans la limite $U\to\infty$, \`a l'aide
de l'ansatz de Bethe. Il en r\'esulte $\alpha=1/8$ pour l'exposant
gouvernant les \ndocs dans l'\'eq.~(\ref{HC:nkLuttinger})
\cite{OgataShiba89,OgataShiba90}. Les exposants de la fonction
spectrale \cite{Penc95} et des fonctions de corr\'elation
\cite{Parola90} s'obtiennent de mani\`ere similaire.
A faible couplage, $\alpha$ est tr\`es petit. Par exemple pour
$U=1.8$, on trouve $\alpha=0.01$ \cite{BaeriswylLinden}. 
La distribution des impulsions ressemble donc toujours fortement \`a
la fonction \'echelon. 

Pour des interaction finies, on se sert des techniques QMC pour
d\'eduire ces exposants \cite{Sorella90,Dzierzawa}. C'est une
proc\'edure assez d\'elicate qui a \'echou\'ee dans les calculs
ant\'erieurs \cite{Voit}. De m\^eme, des r\'esultats QMC pour des
cha\^{\i}nes \`a longueur finie donnent un saut \`a $k_{F}$ dans la
distribution des impulsions \cite{Sorella88}. La hauteur de ce saut
d\'ecro\^{\i}t tr\`es lentement lorsqu'on augmente la longueur de la
cha\^{\i}ne. Il existe certains aspects communs entre les calculs pour
des cha\^{\i}nes \`a longueur finie et la discr\'etisation de la zone
de Brillouin, telle qu'elle se fait, par exemple, dans la solution
num\'erique de la RPA renormalis\'ee. N\'eanmoins, nous sommes
convaincus, notamment par l'allure tout \`a fait r\'eguli\`ere de
$n_{k}$ dans la limite du couplage fort, que nos r\'esultats
n'exhibent pas de comportement de liquide de Luttinger. Un autre
argument menant \`a la m\^eme conclusion vient du fait que la RPA
renormalis\'ee sous-estime les corr\'elations entre les deux surfaces
de Fermi.

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{La \scs $\ChiZe(q,\omega)$}
\label{sec:HC:RPA:Chi0}

Avant d'analyser les fonctions de r\'eponse de charge et de spin, nous
jetons un coup d'\oe{}il sur la \scs $\ChiZe(q,\omega)$, d\'efinie par
(\ref{HC:phChiZero}). Comme nous le voyons d'apr\`es les
\'eqs.~(\ref{H:ChiRPAc}) et (\ref{H:ChiRPAs}), elle est l'ingr\'edient
principal pour les \scss RPA $\ChiCh(q,\omega)$ et $\ChiSp(q,\omega)$.
Il est alors crucial de comprendre les effets de renormalisation qui
se produisent dans cette fonction lorsqu'on passe de la RPA pure \`a
la RPA renormalis\'ee.  Comme les points essentiels de ce sc\'enario
restent inchang\'es pour des remplissages autres que moiti\'e, nous
nous limitons dans cette discussion \`a la cha\^{\i}ne \`a moiti\'e
remplie.

\subsubsection{Partie imaginaire}

Discutons d'abord la susceptibilit\'e libre $\ChiFr(q,\omega)$, qui
dans la RPA pure, joue le r\^ole de $\ChiZe(q,\omega)$. Sa partie
imaginaire n'est non nulle que dans le domaine du plan $(q,\omega)$
dans lequel des excitations particule-trou sont autoris\'ees.
Autrement dit, l'\'equation de p\^ole de la \FdG libre,
\begin{equation}
  \label{HC:phGFpole}
  \omega\,=\,\varepsilon_{k+q}-\varepsilon_{k}
  \; \mbox{,}
\end{equation}
doit \^etre satisfaite pour au moins un vecteur d'onde $k$. En
faisant varier $k$, nous obtenons la condition aux limites suivante,
que nous appellerons ``sup\'erieure'':
\begin{equation}
  \label{HC:phExciteB}
  \abs{\omega} \, \le \, \abs{4\sin\frac{q}{2}}
\end{equation}

En RPA pure, les \ndocs sont les m\^emes que dans le gaz de Fermi
libre (sauf un d\'ecalage \'eventuel de la surface de Fermi, provenant
des corrections Hartree-Fock). Dans le domaine d\'esign\'e par
(\ref{HC:phExciteB}), il doit y avoir au moins un vecteur d'onde pour
lequel le num\'erateur de la \FdG libre, $n_{k\sigma}-n_{k+q\sigma}$,
reste fini. Cette restriction de l'espace de phase nous fournit la
condition aux limites ``inf\'erieure'':
\begin{equation}
  \label{HC:StepB}
  \abs{\omega} \, \ge \, 2\,\abs{\cos(k_{F})-\cos(k_{F}-\abs{q})}
\end{equation}

L'appellation sup\'erieure et inf\'erieure devient claire par la
figure~\ref{fig:phSpectrum}a: la con\-train\-te (\ref{HC:phExciteB})
d\'etermine l'\'energie maximale d'une excitation particule-trou
d'impulsion donn\'ee, tandis que (\ref{HC:StepB}) rend le spectre
creux pour de faibles \'energies et impulsions.

La figure~\ref{fig:ImChi0_U3} montre la \scs libre d'une \CdH \`a
moiti\'e remplie pour $q=\pi/2$.
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode 
    \includegraphics[width=0.8\twidth]{graph/ImChi0_U3.eps}
    \figcaption{Partie imaginaire de la \scs libre
      $\ChiFr(q=\pi/2,\omega)$ et de la \scs $\ChiZe(q=\pi/2,\omega)$
      pour la \CdH \`a moiti\'e remplie avec une interaction $U=3$.}
    \label{fig:ImChi0_U3}
  \end{center}
\end{figure}
L'expression analytique de $\imag\ChiFr(q,\omega)$ de
l'annexe~\ref{sec:Chi0:1d} est repr\'esent\'ee par une ligne
pointill\'ee. Alternativement, $\ChiFr(q,\omega)$ se calcule en
\'evaluant num\'eriquement l'int\'egrale sur
$\phGF^{0}_{k\sigma}(q,\omega)$ de l'\'eq.~(\ref{HC:phChiZero}), ce
qui fournit la ligne en \tp. Comme nous l'avons expliqu\'e au d\'ebut
de ce chapitre, cette t\^ache est facilit\'ee en utilisant une valeur
finie pour $\iz$ au d\'enominateur du propagateur particule-trou. Son
influence se manifeste par une faible diff\'erence entre la ligne en
\tp et la ligne pointill\'ee.

Que deviennent ces conditions aux limites apr\`es renormalisation?  Au
chapitre \ref{sec:H:RPA:Charge} nous avons constat\'e que les
corrections Hartree-Fock des \'energies \`a une particule s'annulent
dans le propagateur particule-trou.  La contrainte
(\ref{HC:phExciteB}) reste alors intacte, car le d\'enominateur de
$\phGF^{0}_{k\sigma}(q,\omega)$ ne subit aucun changement au cours de
la renormalisation.

La limite inf\'erieure (\ref{HC:StepB}) est tr\`es sensible \`a la
renormalisation: d\`es que les \ndocs diff\`erent de $0$ et $1$, elle
s'adoucit consid\'erablement. Cette situation est illustr\'ee sur
la figure~\ref{fig:ImChi0_U3} pour $U=3$: au-del\`a de la limite
sup\'erieure $(\omega\approx 2.7)$, la \scs $\imag\ChiZe(q,\omega)$
(ligne continue) se comporte \`a peu de choses pr\`es comme la \scs
libre (ligne en \tp). Or, \`a la limite inf\'erieure $(\omega\approx 2)$,
$\imag\ChiZe(q,\omega)$ est nettement plus \'etal\'ee que
$\imag\ChiFr(q,\omega)$.

Au chapitre~\ref{sec:HC:RPA:largeU}, nous discuterons la limite du
couplage fort de la RPA renormalis\'ee pour la bande \`a moiti\'e
remplie. Dans cette limite, la \scs $\imag\ChiZe(q,\omega)$ est
d\'ecrite par la ligne discontinue sur la figure~\ref{fig:ImChi0_U3}.
D\'ej\`a \`a $U=3$, donc pour une interaction plus petite que la
largeur de bande, $\imag\ChiZe(q,\omega)$ ressemble qualitativement
davantage \`a la \scs de la limite $U\to\infty$ qu'\`a la \scs libre.

Cette tendance se renforce \`a $U=6$, comme l'indique la
figure~\ref{fig:ImChi0_U6}.
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode 
    \includegraphics[width=0.8\twidth]{graph/ImChi0_U6.eps}
    \figcaption{Partie imaginaire de la \scs libre
      $\ChiFr(q=\pi/2,\omega)$ et de la \scs $\ChiZe(q=\pi/2,\omega)$
      pour la \CdH \`a moiti\'e remplie avec une interaction $U=6$.}
    \label{fig:ImChi0_U6}
  \end{center}
\end{figure}
L'accord entre la \scs $\imag\ChiZe(q,\omega)$ de la RPA
renormalis\'ee et sa limite en couplage fort est maintenant quasiment
parfait.  La diff\'erence restante provient presque enti\`erement du
$\iz$ fini.

\subsubsection{Partie r\'eelle et construction des modes collectifs}

Passons \`a l'examen de la partie r\'eelle de la \scs
$\ChiZe(q,\omega)$. Nous voyons \`a partir des
\'eqs.~(\ref{H:ChiRPAc}) et (\ref{H:ChiRPAs}) que c'est elle qui
gouverne l'existence et la position des modes collectifs de la RPA.
Nous commen\c{c}ons la discussion avec la \scs libre,
$\ChiFr(q,\omega)$, qui d\'etermine les fonctions de r\'eponse de la
RPA pure. Sa partie r\'eelle est trac\'ee sur la
figure~\ref{fig:ReChi0_U3} pour la cha\^{\i}ne \`a moiti\'e remplie.
Par analogie avec le dernier paragraphe, nous avons choisi une ligne
pointill\'ee pour l'expression analytique de $\real\ChiFr(q,\omega)$,
donn\'ee dans l'annexe~\ref{sec:Chi0:1d}, tandis que la ligne en \tp
repr\'esente le r\'esultat de l'int\'egration num\'erique de
(\ref{HC:phChiZero}).
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode 
    \includegraphics[width=\twidth]{graph/ReChi0_U3.eps}
    \figcaption{Partie r\'eelle de la \scs libre
      $\ChiFr(q=\pi/2,\omega)$ et de la \scs $\ChiZe(q=\pi/2,\omega)$
      pour la \CdH \`a moiti\'e remplie avec une interaction $U=3$.}
    \label{fig:ReChi0_U3}
  \end{center}
\end{figure}

En rapprochant les figures~\ref{fig:ReChi0_U3} et \ref{fig:ImChi0_U3},
nous remarquons que $\real\ChiFr(q,\omega)$ diverge aux deux limites
de $\imag\ChiFr(q,\omega)$, (\ref{HC:phExciteB}) et (\ref{HC:StepB}).
Ceci se v\'erifie ais\'ement \`a partir des expressions analytiques de
l'annexe~\ref{sec:Chi0:1d}.

Observons, sur la figure~\ref{fig:ReChi0_U3}, la ligne horizontale
\`a $+1/U$ en pointill\'es: au point d'intersection avec
$\real\ChiFr(q,\omega)$ (courbe en \tp), \`a $\omega\approx 3.3$, le
d\'enominateur de la \scs de charge, $1-U\ChiFr(q,\omega)$, s'annule.
Cela cr\'ee un p\^ole collectif de la RPA pure, le {\em plasmon}.  Sa
dur\'ee de vie est illimit\'ee, car, \`a cette fr\'equence,
$\imag\ChiFr(q,\omega)$ est nul.
%
Lorsqu'on augmente l'interaction, la ligne horizontale \`a $+1/U$ est
pouss\'ee vers le bas et le plasmon se d\'ecale \`a des \'energies
plus \'elev\'ees.

L'\'etude des p\^oles de spin se fait de mani\`ere tout \`a fait
analogue: le d\'enominateur de la \scs de spin, $1+U\ChiFr(q,\omega)$,
s'annule aux points d'intersection de la ligne horizontale \`a $-1/U$
et de $\real\ChiFr(q,\omega)$. Comme l'indique la
figure~\ref{fig:ReChi0_U3}, pour $U=3$ et $q=\pi/2$, il y a deux
candidats: $\omega\approx 1.6$ et $\omega\approx 2.8$. Nous ne
retenons que le premier, car \`a $\omega\approx 2.8$,
$\imag\ChiFr(q,\omega)$ est grand. Ce mode collectif \'evolue dans le
continu et se d\'esint\`egre rapidement en excitations de paires
particule-trou. En revanche, \`a $\omega\approx 1.6$, la partie
imaginaire est nulle, et nous trouvons un {\em magnon} non amorti.

Que se devient ce mode collectif, lorsque l'interaction devient plus
forte?  L'in\-ter\-sec\-tion de la ligne horizontale \`a $-1/U$ se
produit \`a des fr\'equences de plus en plus basses. Le magnon atteint
$\omega=0$ pour une valeur critique finie du couplage. A partir de la
figure~\ref{fig:ReChi0_U3} nous voyons que, pour $q=\pi/2$, cette
interaction critique est de l'ordre de $U\approx1/0.2=5$. Au-del\`a de
cette interaction, la fr\'equence du magnon est purement imaginaire et
la RPA devient instable.

\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode \includegraphics[width=\twidth]{graph/plasma1_2.eps}
    \figcaption{Dispersion des plasmons et des magnons pour la \CdH
      \`a moiti\'e remplie \`a $U=3$. En RPA pure, les plasmons sont
      repr\'esent\'es par des ``+'', les magnons par des ``$\times$''.
      Les plasmons de la RPA renormalis\'ee sont repr\'esent\'es par
      des ``$\odot$''.  L'aire pointill\'ee d\'esigne le continu des
      excitations de paires particule-trou sans interactions. Ses
      limites, donn\'ees par les \'eqs. (\ref{HC:phExciteB}) et
      (\ref{HC:StepB}), sont trac\'ees en lignes continues.}
    \label{fig:plasmon_half}
  \end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode 
    \includegraphics[width=\twidth]{graph/plasma1_4.eps}
    \figcaption{Dispersion des plasmons et des magnons pour la \CdH
      remplie \`a un quart avec une interaction $U=3$. Pour la
      l\'egende voir Fig.~\ref{fig:plasmon_half}.}
    \label{fig:plasmon_quarter}
  \end{center}
\end{figure}

Les figures~\ref{fig:plasmon_half} et \ref{fig:plasmon_quarter}
montrent la dispersion des plasmons et des magnons \`a $U=3$,
respectivement, pour remplissage moiti\'e et un quart. Conform\'ement
\`a nos attentes, les plasmons de la RPA pure se situent au-del\`a de
la limite sup\'erieure du continu (\ref{HC:phExciteB}), tandis que les
magnons apparaissent en dessous de sa limite inf\'erieure
(\ref{HC:StepB}). Les deux bornes poss\`edent des pentes diff\'erentes
\`a $q=0$, hormis le cas du syst\`eme rempli \`a moiti\'e.  Les
vitesses de magnon et de plasmon, donn\'ees par les pentes des
dispersions respectives \`a $q=0$, ne peuvent donc pas \^etre les
m\^emes: une s\'eparation entre spin et charge a lieu.  A remplissage
moiti\'e, elle se produit d\`es lors que l'interaction est \'etablie.
Comme d\'ej\`a discut\'e, cet effet subsiste dans la solution exacte.
Il peut \^etre mis en \'evidence par des calculs QMC \cite{Preuss94}.

La limite inf\'erieure du continu atteint l'axe des fr\'equences
lorsque la diff\'erence entre l'impulsion de la particule et celle du
trou est \'egale au vecteur de Peierls $q=2 k_{F}$. Comme la
dispersion des magnons est oblig\'e de suivre, il existe une r\'egion
de vecteurs d'onde, autour de $2 k_{F}$, dans laquelle la cr\'eation
des magnons ne demande aucune \'energie: c'est la fameuse instabilit\'e
de Peierls qui se manifeste dans la RPA pure. En augmentant
l'interaction, cette r\'egion d'instabilit\'e s'\'etale de plus en
plus. Elle couvre l'axe des impulsions entier, lorsque $U$ exc\`ede
une valeur critique donn\'ee par le crit\`ere de Stoner \cite{Stoner}.

Rappelons qu'en champ moyen, l'\'energie moyenne par site devient
\begin{eqnarray}
  \label{HC:Emf}
  E 
  & = & 
  \frac{1}{N}
  \sum \limits_{k \sigma} \varepsilon_{k}\,
  \;+\; 
  \frac{U}{N^{2}}\,\sum \limits_{k p}
  \mean{n_{k\uparrow}} \,
  \mean{n_{p\downarrow}}
  \nonumber \\
  & = &
  -\frac{4}{\pi} \, \sin\frac{\pi n}{2} \,\cos\frac{\pi m}{2}
  \; + \;
  \frac{U}{4} \, \left( n^{2}-m^{2} \right)
  \;\mbox{,}
\end{eqnarray}
avec $n=n_{\uparrow}+n_{\downarrow}$ et $m=n_{\uparrow}-n_{\downarrow}$.
En d\'erivant (\ref{HC:Emf}) par rapport \`a l'aimantation $m$, on
v\'erifie que l'\'etat paramagn\'etique (m=0) est un extremum local
pour toute interaction. L'analyse de la seconde d\'eriv\'ee montre
qu'il s'agit d'un minimum pour\footnote{Nous supposons ici le
  remplissage inf\'erieur ou \'egal \`a moiti\'e. Les autres cas
  s'obtiennent gr\^ace \`a la sym\'etrie particule-trou.}
\begin{equation}
  \label{HC:UStoner}
  U\,<\,U^{\rm Stoner}\,=\,2\pi\sin\frac{\pi n}{2}
  \;\mbox{.}
\end{equation}
Le lien avec la forme habituelle du crit\`ere de Stoner
(\ref{H:StonerCrit}) se fait facilement en utilisant la densit\'e
d'\'etats libre $D^{0}(\omega)=1/(\pi\sqrt{4-\omega^2})$ \`a la
surface de Fermi $E_{F}=\varepsilon_{k_{F}}=-2\cos(\pi n/2)$.
Nous soulignons que, m\^eme pour des interactions inf\'erieures \`a
$U^{\rm Stoner}$, l'\'etat paramagn\'etique ne correspond pas
n\'ecessairement au fondamental. Pour des valeurs du couplage situ\'es
dans l'intervalle $U^{\rm MF}<U<U^{\rm Stoner}$, avec
\begin{equation}
  \label{HC:Umf}
  U^{\rm MF} \, = \,
  \frac{16}{\pi n^{2}} \sin\frac{\pi n}{2} 
  \, \left( 1-\cos\frac{\pi n}{2} \right)
  \; \mbox{,}
\end{equation}
la phase paramagn\'etique est m\'etastable, tandis que la phase
enti\`erement magn\'etis\'ee constitue le fondamental (voir
Fig.~\ref{fig:Emf}).
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode 
    \includegraphics[width=0.7\twidth]{graph/Emf.eps}
    \figcaption{Energie fondamentale, en champ moyen, en fonction de
      l'aimantation pour la \CdH \`a moiti\'e remplie.  La ligne
      continue illustre une situation pour laquelle l'\'etat
      paramagn\'etique $(m=0)$ est m\'etastable, tandis que le
      fondamental est \ferro $(m=n)$.}
    \label{fig:Emf}
  \end{center}
\end{figure}

Cette discussion m\`ene \`a la conclusion suivante: la RPA pure ne
peut produire des r\'esultats valables qu'en  dehors de la r\'egion
instable. L'\'evaluation de quantit\'es poss\'edant une contribution
de la r\'egion instable, autour de $2 k_{F}$, peut engendrer des
r\'esultats non physiques. Si nous calculons, par exemple, les \ndocs
\`a partir de l'\'eq.~(\ref{HC:OccST}) avec la \FdG de la RPA pure,
nous obtenons parfois une fonction non monotone (voir
Fig.~\ref{fig:nk_wrong}).
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode 
    \includegraphics[width=0.7\twidth]{graph/nk_wrong.eps}
    \figcaption{Distribution des impulsions invalid\'ee par les
      instabilit\'es de la RPA pure. Cha\^{\i}ne de Hubbard \`a
      remplissage moiti\'e et \`a $U=5$.}
    \label{fig:nk_wrong}
  \end{center}
\end{figure}
En RPA renormalis\'ee ainsi qu'en SCRPA, ces d\'efauts se corrigent et
les fonctions de r\'eponse deviennent stables \`a tout $q$ et
$\omega$. Au paragraphe~\ref{sec:HC:RPA:fsum}, nous approfondirons \`a
nouveau ces arguments, \`a l'aide de la r\`egle de somme pond\'er\'ee
par l'\'energie.

Quels effets de renormalisation s'observent dans la partie r\'eelle de
la \scs ``libre'' de la RPA renormalis\'ee? En comparant, sur la
figure~\ref{fig:ReChi0_U3}, $\real\ChiZe(q,\omega)$ (ligne continue)
\`a $\real\ChiFr(q,\omega)$ (ligne en \tp), nous constatons qu'au-del\`a
de la limite sup\'erieure du continu $(\omega\approx 2.8)$, la
renormalisation reste faible. Nous trouvons le plasmon renormalis\'e
de la m\^eme fa\c{c}on que celui de la RPA pure: son \'energie se
d\'etermine en cherchant le point o\`u le d\'enominateur de la \scs de
charge (\ref{H:ChiRPAc}), $1-U\ChiZe(q,\omega)$, s'annule. La partie
imaginaire de $\ChiZe(q,\omega)$ \'etant nulle en ce point, la dur\'ee
de vie du plasmon est infinie. Seule son \'energie est l\'eg\`erement
plus petite que celle du plasmon pur.  Pour des couplages plus forts,
ce d\'ecalage en \'energie s'accentue.  Plus pr\'ecis\'ement, c'est le
plasmon de la RPA pure qui se d\'ecale vers des fr\'equences de plus
en plus \'elev\'ees, tandis que celles du plasmon renormalis\'ee
convergent vers une limite finie (voir
chapitre~\ref{sec:HC:RPA:largeU}).

En dessous de la limite sup\'erieure (\ref{HC:phExciteB}), les effets
de la renormalisation sont plus importants. Souvenons-nous que le
continu renormalis\'e n'a plus de borne inf\'erieure nette. Il
s'\'etale de $\omega\approx 2.8$ jusqu'\`a $\omega=0$.  Dans ce
continuum, $\real\ChiZe(q,\omega)$ perd presque toute structure par
rapport \`a $\real\ChiZe(q,\omega)$. Nous voyons que, m\^eme pour des
interactions relativement faibles, telles que $U=3$, la divergence \`a
$\omega=2$ s'est att\'enu\'ee et $\real\ChiZe(q,\omega)$ est une
fonction quasiment plate.
%
Ces changements modifient, m\^eme \`a faible couplage, la nature de la
r\'eponse de spin longitudinale. Essayons de construire le magnon
renormalis\'e, se produisant au point d'intersection de la ligne \`a
$-1/U$ et $\real\ChiZe(q,\omega)$: le seul candidat est $\omega\approx
2.4$, mais \`a cette fr\'equence $\imag\ChiZe(q,\omega)$ est grand
(voir Fig.~\ref{fig:ImChi0_U3}). L'oscillation collective
dispara\^{\i}tra alors dans le continu de spin, et il n'y aura pas de
``vrai'' magnon renormalis\'e.
%
Les cons\'equences sont particuli\`erement importantes dans le domaine
o\`u la RPA pure est instable. Comme on l'a d\'ej\`a discut\'e, dans
cet intervalle de vecteurs d'onde, le magnon pure a une fr\'equence
purement imaginaire. Il ne contribue donc plus au spectre de spin. En
RPA renormalis\'ee le magnon est absorb\'e par le continu, m\^eme dans
la r\'egion d'instabilit\'e de la RPA pure et m\^eme pour des
interactions au-del\`a de $U^{\rm Stoner}$. Le poids spectral du
continu de spin est alors conserv\'e. Dans la limite du couplage fort,
la position de son pic est d\'ecal\'ee vers les fr\'equences
inf\'erieures.

A faible interaction, on pourrait s'attendre \`a une r\'eapparition
des magnons purs. Nous soulignons qu'elle n'a pas lieu. La
renormalisation se r\'ev\`ele suffisamment forte pour que
$\real\ChiZe(q,\omega)$ reste au-dessus de la ligne horizontale \`a
$-1/U$. La \scs de spin renormalis\'ee est donc {\em toujours}
constitu\'ee d'un continuum \`a pic large, \`a la place d'un p\^ole de
magnon bien d\'efini.

Une comparaison qualitative avec des calculs de Monte-Carlo quantique
\cite{Preuss94} montre que la r\'eponse de spin exacte poss\`ede des
points communs avec les deux th\'eories RPA: elle ne montre, tout
comme la RPA renormalis\'ee, aucune s\'eparation entre continu et
magnon.  Par ailleurs, en dehors de la r\'egion d'instabilit\'e et
surtout pour de petites impulsions, le pic du continuum de spin exact
\'evolue selon une loi de dispersion qui ressemble davantage \`a celle
des magnons de la RPA pure qu'\`a celle du pic du continuum de la RPA
renormalis\'ee. De m\^eme, les spectres exacts restent quasiment vides
pour des petits $q$ et $\omega$, c.\`a.d. en dessous du continu
particule-trou repr\'esent\'e sur les figures~\ref{fig:plasmon_half} et
\ref{fig:plasmon_quarter}. 

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{La \scs de charge $\ChiCh(q,\omega)$}
\label{sec:HC:RPA:ChiCh}

Nous comparons, dans ce paragraphe, les \scss de charge en RPA pure et
en RPA renormalis\'ee. 

Suite \`a la discussion de la partie r\'eelle de $\ChiFr(q,\omega)$,
nous nous attendons, en RPA pure, \`a une fonction de r\'eponse de
charge compos\'ee d'un continu et d'un plasmon non amorti. Cela est
illustr\'e sur les figures~\ref{fig:ImChiC_U3} et \ref{fig:ImChiC_U6}
pour la \CdH \`a moiti\'e remplie, respectivement, \`a $U=3$ et $U=6$.
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode 
    \includegraphics[width=\twidth]{graph/ImChiC_U3.eps}
    \figcaption{Susceptibilit\'e de charge $\ChiCh(q=\pi/2,\omega)$ en
      RPA pure et en RPA renormalis\'ee pour la \CdH \`a remplissage
      moiti\'e pour une interaction $U=3$.  Les lignes verticales
      indiquent les p\^oles de plasmon.  Par pur hasard, le plasmon de
      la RPA pure (ligne en pointill\'es) et celui de la limite
      $U\to\infty$ (ligne en tirets) se produisent pratiquement \`a la
      m\^eme fr\'equence.  Le fin trait vertical continu indique
      uniquement la position pr\'ecise du plasmon en RPA
      renormalis\'ee, qui, lui-m\^eme, est repr\'esent\'e par la
      singularit\'e apparaissant sur la courbe continue.}
    \label{fig:ImChiC_U3}
  \end{center}
\end{figure}
%
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode 
    \includegraphics[width=\twidth]{graph/ImChiC_U6.eps}
    \figcaption{Susceptibilit\'e de charge $\ChiCh(q=\pi/2,\omega)$ en
      RPA pure et en RPA renormalis\'ee pour la \CdH \`a remplissage
      moiti\'e pour une interaction $U=6$.  
      Les lignes verticales indiquent les p\^oles de plasmon.  Le
      p\^ole de la RPA renormalis\'ee (trait vertical continu) ne se
      distingue presque plus de celui de sa limite $U\to\infty$
      (trait vertical discontinu), car la limite du couplage fort de
      la RPA renormalis\'ee est atteinte.}
    \label{fig:ImChiC_U6}
  \end{center}
\end{figure}
Sur les deux figures, les expressions analytiques pour la r\'eponse en
RPA pure sont trac\'ees en pointill\'es. Elles s'obtiennent en
reportant les expressions de $\ChiFr(q,\omega)$ de
l'annexe~\ref{sec:Chi0:1d} dans la \scs de charge (\ref{H:ChiRPAc}).
Nous voyons que les plasmons purs (lignes verticales en pointill\'es)
sont clairement s\'epar\'ees du continu de charge de la RPA pure
(courbe pointill\'ee).  A $U=3$, nous observons sur la
figure~\ref{fig:ImChiC_U3}, que le plasmon pur appara\^{\i}t \`a la
m\^eme \'energie que celui de la limite du couplage fort de la RPA
renormalis\'ee. Cette co\"{\i}ncidence est due au hasard du choix des
param\`etres. La s\'eparation entre plasmon et continuum de charge est
moins nette, si nous \'evaluons la \scs de charge avec la \scs libre
calcul\'ee num\'eriquement (lignes en \tp).  Encore une fois, la
diff\'erence entre les lignes pointill\'ees et celles en \tp est
uniquement due au ``$\iz$'' fini.

D'apr\`es les arguments du dernier paragraphe, en RPA renormalis\'ee,
la borne inf\'erieure du continu s'adoucit lorsque le couplage
augmente. La figure~\ref{fig:ImChiC_U3} montre que, \`a $U=3$, le
continu de charge renormalis\'e (ligne continue) s'\'etend de
$\omega=0$ jusqu'\`a la limite sup\'erieure \`a $\omega\approx 2.8$,
tandis que le continu de la RPA pure est limit\'e \`a des fr\'equences
situ\'ees entre ces deux limites, (\ref{HC:phExciteB}) et
(\ref{HC:StepB}). En dehors de ce ph\'enom\`ene, nous remarquons un
l\'eger d\'ecalage du plasmon renormalis\'e, dont la position exacte
est rep\'er\'ee par un trait vertical continu, par rapport au plasmon
pur.  L'accord qualitatif entre les fonctions de r\'eponse en RPA pure
et en RPA renormalis\'ee reste n\'eanmoins assez bon.  De m\^eme, nous
trouvons que la description fournie par la limite du couplage fort de
la RPA renormalis\'ee (courbe discontinue et plasmon correspondant)
reproduit, elle aussi, les caract\'eristiques essentielles de la RPA
renormalis\'ee.

Il est plus facile de juger les r\'esultats dans le cas $U=6$
(Fig.~\ref{fig:ImChiC_U6}): la RPA pure ne poss\`ede qu'un faible
continuum (courbe pointill\'ee entre $\omega=2$ et $\omega\approx
2.8$) et presque tout le poids spectral se trouve dans le plasmon qui
s'est d\'eplac\'e \`a $\omega\approx 3.8$.  Quant au continu de la RPA
renormalis\'ee, il reste assez prononc\'e (courbe continue). Le
plasmon renormalis\'e atteint sa position pr\'evue par la limite du
couplage fort ($\omega\approx 3.3$), et l'accord g\'en\'eral entre la
RPA renormalis\'ee (courbe continue) et sa limite du couplage fort
(courbe en tirets et ligne de plasmon correspondante) est excellent.
La diff\'erence restante provient de la valeur ``$\iz$'' suppos\'ee
finie.

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{La \scs de spin longitudinal $\ChiSp(q,\omega)$}
\label{sec:HC:RPA:ChiSp}

Examinons maintenant la \scs de spin longitudinal. D'apr\`es la
discussion de $\real\ChiFr(q,\omega)$ et $\real\ChiZe(q,\omega)$, au
paragraphe~\ref{sec:HC:RPA:Chi0}, nous nous attendons \`a des
modifications plus drastiques que dans le canal de charge.

D\'ebutons avec l'analyse de la r\'eponse de spin en RPA pure: \`a
faibles interactions et dans le r\'egime des transferts d'impulsion
$q$ pour lesquels la RPA pure est encore stable, la r\'eponse est
constitu\'ee d'un continu de spin, born\'e par les deux contraintes
(\ref{HC:phExciteB}) et (\ref{HC:StepB}). En dessous de ce continu
se forme un magnon non amorti. Ce sc\'enario est illustr\'e sur la
figure~\ref{fig:ImChiS_U3}.
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode 
    \includegraphics[width=\twidth]{graph/ImChiS_U3.eps}
    \figcaption{Susceptibilit\'e de spin longitudinal
      $\ChiSp(q=\pi/2,\omega)$ en RPA pure et en RPA renormalis\'ee
      pour la \CdH \`a remplissage moiti\'e pour une interaction
      $U=3$. La ligne verticale en pointill\'es indique le magnon de
      la RPA pure.}
    \label{fig:ImChiS_U3}
  \end{center}
\end{figure}
La \scs de spin en RPA pure est repr\'esent\'ee en pointill\'es,
lorsqu'elle est \'evalu\'ee analytiquement, tandis que la courbe en \tp
correspond aux r\'esultats num\'eriques (avec un ``$\iz$'' fini). Nous
avons vu au chapitre~\ref{sec:HC:RPA:Chi0} que, m\^eme \`a faible
couplage, le p\^ole de magnon dispara\^{\i}t en RPA renormalis\'ee. Il
est absorb\'e par le continu (ligne continue), qui s'intensifie
consid\'erablement et s'\'etale de $\omega=0$ jusqu'\`a la borne
sup\'erieure \`a $\omega\approx 2.8$. Dans la limite de fortes
interactions, le pic de ce continuum atteint $\omega=0$ (ligne en
tirets).

Consid\'erons le cas o\`u la RPA pure est instable, ce qui se
r\'ealise pour des interactions fortes ou pour des vecteurs d'onde
situ\'es dans la r\'egion autour de $2 k_{F}$
(Fig~\ref{fig:ImChiS_U6}).
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode 
    \includegraphics[width=\twidth]{graph/ImChiS_U6.eps}
    \figcaption{Susceptibilit\'e de spin longitudinal
      $\ChiSp(q=\pi/2,\omega)$ en RPA pure et en RPA renormalis\'ee
      pour la \CdH \`a remplissage moiti\'e pour une interaction
      $U=6$. Le magnon pur (voir Fig.~\ref{fig:ImChiS_U3}) a disparu
      et la RPA pure devient instable.  La courbe continue de la RPA
      renormalis\'ee ne se distingue presque plus de celle de sa
      limite du couplage fort (ligne en tirets).}
    \label{fig:ImChiS_U6}
  \end{center}
\end{figure}
Conform\'ement \`a nos arguments du chapitre~\ref{sec:HC:RPA:Chi0}, le
magnon pur se produit pour des fr\'equences purement imaginaires et
dispara\^{\i}t du spectre. L'unique r\'esidu de la r\'eponse de spin
en RPA pure est un faible continuum (ligne pointill\'ee) qui, \`a lui
tout seul, ne dispose \'evidemment pas de suffisamment de poids
spectral pour satisfaire \`a la r\`egle de somme $f$ (voir le prochain
paragraphe).

Les changements se produisant lors du passage de la RPA pure \`a la
RPA renormalis\'ee sont maintenant encore plus flagrants: \`a $U=6$,
la \scs de spin renormalis\'ee (ligne continue sur la
Fig.~\ref{fig:ImChiS_U6}) est constitu\'ee d'un continu divergeant
comme $1/\omega$ pour $\omega\to 0$. Cette fonction de r\'eponse est
en tr\`es bon accord avec la \scs de spin \`a la limite des grands
$U$, repr\'esent\'ee sur la figure~\ref{fig:ImChiS_U6} par une ligne
discontinue presque enti\`erement masqu\'ee par la courbe continue.
Dans la r\`egle de somme pond\'er\'ee par l'\'energie, la
singularit\'e \`a $\omega=0$ est contrebalanc\'ee d'un facteur
$\omega$. Comme nous l'exposerons dans le prochain paragraphe, cette
r\`egle de somme est satisfaite en RPA renormalis\'ee pour tout
couplage et toute impulsion. Malgr\'e cela, nous expliquerons au
chapitre~\ref{sec:HC:RPA:largeU}, que cette divergence infrarouge
caract\'erisant la limite $U\to\infty$ de la RPA renormalis\'ee, pose
des probl\`emes dans l'\'evaluation self-consistante des
corr\'elations \`a deux corps.

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{R\`egle de somme pond\'er\'ee par l'\'energie}
\label{sec:HC:RPA:fsum}

Au chapitre~\ref{sec:H:RPA:fsum}, nous avons d\'eriv\'e la r\`egle de
somme $f$ pour les fonctions de r\'eponse de spin longitudinal et de
charge:
\begin{eqnarray}
  \label{HC:ESumRuleCh}
  S^{\rm ch}_{1}(q) : \;
  -2\,\mean{ \hat{t} }\,\left( 1-\cos q \right)
  & = &  -\frac{1}{\pi} \int
  \limits_{-\infty}^{\infty} {\rm d}\omega \; 
  \omega \; \imag \ChiCh(q,\omega)
  \\
  \label{HC:ESumRuleSp}
  S^{\rm sp}_{1}(q) : \; 
  -\sfrac{1}{2}\,\mean{ \hat{t} }\,\left( 1-\cos q \right)
  & = &  -\frac{1}{\pi} \int
  \limits_{-\infty}^{\infty} {\rm d}\omega \; 
  \omega \; \imag \ChiSp(q,\omega)
  \; \mbox{.}
\end{eqnarray}
Elle lie, dans le \MdH \`a une dimension, la partie imaginaire des
\scss pond\'er\'ee sur l'\'energie \`a la valeur moyenne de
l'\'energie cin\'etique par site, $\mean{t}$.

Comme nous l'avons expos\'e auparavant, cette r\`egle de somme n'est
pas seulement satisfaite par les \scss exactes. Elle se v\'erifie
aussi pour les fonctions de r\'eponse en RPA renormalis\'ee et en
SCRPA, {\em si} la valeur moyenne $\mean{t}$, figurant dans les
membres de gauche des \'eqs.~(\ref{HC:ESumRuleCh}) et
(\ref{HC:ESumRuleSp}), est calcul\'ee de mani\`ere self-consistante
\`a partir des \FFdG correspondantes. De plus, il est bien connu que
m\^eme les \scss de la RPA pure satisfont \`a cette r\`egle de somme,
si $\mean{t}$ est \'evalu\'e sur le fondamental Hartree-Fock
\cite{RS,Thouless}. Ceci n'est v\'erifi\'e que si la RPA pure est
stable.

Les figures~\ref{fig:fsumCh_half} et \ref{fig:fsumSp_half} montrent,
respectivement, les r\`egles de somme (\ref{HC:ESumRuleCh}) et
(\ref{HC:ESumRuleSp}) pour la \CdH \`a remplissage moiti\'e. Les
figures~\ref{fig:fsumCh_quarter} et \ref{fig:fsumSp_quarter}
illustrent le cas de la cha\^{\i}ne remplie \`a un quart. Sur toutes
ces figures nous avons choisi une interaction de $U=3$.
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode
    \includegraphics[width=\twidth]{graph/sumrule1_2ch.eps}
    \figcaption{R\`egle de somme pond\'er\'ee par l'\'energie pour la
      \CdH \`a moiti\'e remplie \`a $U=3$, \'evalu\'ee \`a partir des
      \scss de charge de la RPA pure ainsi que de la RPA
      renormalis\'ee. La courbe continue repr\'esente le membre de
      droite de la r\`egle de somme $S^{\rm ch}_{1}(q)$ (voir
      l'\'eq.~(\ref{HC:ESumRuleCh})) \'evalu\'e avec la \scs de charge
      de la RPA renormalis\'ee. La courbe discontinue s'obtient en
      \'evaluant cette r\`egle de somme avec la \scs de la RPA pure.
      Dans les deux cas, le membre de gauche de
      l'\'eq.~(\ref{HC:ESumRuleCh}) sont trac\'ees en lignes
      pointill\'ees. La r\`egle de somme \'etant satisfaite, ces
      lignes de r\'ef\'erence se confondent avec la courbe continue
      ou discontinue correspondante.}
    \label{fig:fsumCh_half}
  \end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode
    \includegraphics[width=\twidth]{graph/sumrule1_2sp.eps}
    \figcaption{ R\`egle de somme pond\'er\'ee par l'\'energie pour la
      \CdH \`a moiti\'e remplie \`a $U=3$, \'evalu\'ee \`a partir des
      \scss de spin longitudinal de la RPA pure ainsi que de la RPA
      renormalis\'ee.  La courbe continue repr\'esente le membre de
      droite de la r\`egle de somme $S^{\rm sp}_{1}(q)$ (voir
      l'\'eq.~(\ref{HC:ESumRuleSp})) \'evalu\'e avec la \scs de spin
      de la RPA renormalis\'ee. La courbe discontinue s'obtient en
      \'evaluant cette r\`egle de somme avec la \scs de la RPA pure.
      Dans les deux cas, le membre de gauche de
      l'\'eq.~(\ref{HC:ESumRuleSp}) sont trac\'ees en lignes
      pointill\'ees. En RPA renormalis\'ee, la r\`egle de somme est
      satisfaite. Il est alors impossible de distinguer la ligne de
      r\'ef\'erence en pointill\'es de la courbe continue.  En RPA
      pure, la r\`egle de somme est viol\'ee dans un domaine de
      vecteurs d'onde situ\'es autour de $2 k_{F}=\pi$. On voit ainsi
      la ligne discontinue s'\'ecarter de sa ligne de r\'ef\'erence en
      pointill\'es.}
    \label{fig:fsumSp_half}
  \end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode
    \includegraphics[width=0.7\twidth]{graph/sumrule1_4ch.eps}
    \figcaption{R\`egle de somme pond\'er\'ee par l'\'energie pour la
      \CdH \`a remplissage un quart \`a $U=3$, \'evalu\'ee \`a partir
      des \scss de charge de la RPA pure ainsi que de la RPA
      renormalis\'ee.  Description analogue \`a la
      figure~\ref{fig:fsumCh_half}.}
    \label{fig:fsumCh_quarter}
  \end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode
    \includegraphics[width=0.7\twidth]{graph/sumrule1_4sp.eps}
    \figcaption{R\`egle de somme pond\'er\'ee par l'\'energie pour la
      \CdH \`a remplissage un quart \`a $U=3$, \'evalu\'ee \`a partir
      des \scss de spin longitudinal de la RPA pure ainsi que de la
      RPA renormalis\'ee.
      %
      Description analogue \`a la figure~\ref{fig:fsumSp_half}, mais
      avec $2 k_{F}=\pi/2$.}
    \label{fig:fsumSp_quarter}
  \end{center}
\end{figure}
Les membres de gauche des r\`egles de sommes sont trac\'ees en
pointill\'es. Leur comportement en $\left(1-\cos q\right)$ sert de
r\'ef\'erence, car il est ind\'ependant des \FFdG. Seul le
pr\'efacteur, $\mean{t}$, change d'une approximation \`a l'autre: en
RPA renormalis\'ee, les \ndocs s'adoucissent lorsque le couplage cro\^{\i}t
par rapport \`a la fonction \'echelon (voir Figs.~\ref{fig:nk_half} et
\ref{fig:nk_quarter}). Les \'electrons sont alors diffus\'es dans des
\'etats d'impulsion plus \'elev\'ees. Par cons\'equent, l'\'energie
cin\'etique moyenne augmente par rapport \`a sa valeur Hartree-Fock.
Cela se traduit sur les
figures~\ref{fig:fsumCh_half}-\ref{fig:fsumSp_quarter} par des lignes
de r\'ef\'erence (en pointill\'es) plus basses en RPA renormalis\'ee
qu'en RPA pure.

Pour les \scss de la RPA renormalis\'ee, les int\'egrales aux
c\^ot\'es gauches de (\ref{HC:ESumRuleCh}) et (\ref{HC:ESumRuleSp})
sont trac\'ees en lignes continues. Ces lignes se superposent
parfaitement \`a leurs lignes de r\'ef\'erence correspondantes. Nous
voyons ainsi que les \scss de charge et de spin de la RPA
renormalis\'ee satisfont \`a la r\`egle de somme $f$ pour toute
impulsion $q$.

Analysons maintenant les r\`egles de somme (\ref{HC:ESumRuleCh}) et
(\ref{HC:ESumRuleSp}) pour les fonctions de r\'eponse de la RPA pure.
Les int\'egrales sur ces \scss m\`enent aux courbes discontinues sur
les figures~\ref{fig:fsumCh_half}-\ref{fig:fsumSp_quarter}. Pour la
r\'eponse de charge pure, la r\`egle de somme (\ref{HC:ESumRuleCh})
est satisfaite: nous constatons en effet sur les
figures~\ref{fig:fsumCh_half} et \ref{fig:fsumCh_quarter}, qu'elle ne
se distingue pas de ses lignes de r\'ef\'erence. Consid\'erons
finalement la \scs de spin de la RPA pure, repr\'esent\'ee sur les
figures~\ref{fig:fsumSp_half} et \ref{fig:fsumSp_quarter}: la r\`egle
de somme (\ref{HC:ESumRuleSp}) est satisfaite pour tout vecteur d'onde
$q$ situ\'e en dehors d'une r\'egion autour de $2 k_{F}$. Cette
r\'egion co\"{\i}ncide avec les intervalles d'impulsion, sur les
figures~\ref{fig:plasmon_half} et \ref{fig:plasmon_quarter}, dans
lesquelles la dispersion des magnons atteint l'axe $\omega=0$. Nous en
concluons que la r\'eponse de spin pure satisfait \`a la r\`egle de
somme uniquement pour des impulsions $q$ pour lesquelles la RPA pure
est stable. D\`es que les fr\'equences auxquelles se produisent les
magnons purs deviennent imaginaires, la r\`egle de somme $f$ est
viol\'ee.

C'est le m\'erite de la RPA renormalis\'ee (ainsi que celui de la
SCRPA) de corriger ce d\'efaut, et de r\'etablir la r\`egle de somme
pond\'er\'ee par l'\'energie pour toute interaction et impulsion!

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{La limite du couplage fort}
\label{sec:HC:RPA:largeU}

\subsubsection{Distribution des impulsions}

A remplissage moiti\'e et dans la limite de fortes interactions, les
\ndocs de la RPA renormalis\'ee se d\'ecrivent, en bonne
approximation, par
\begin{equation}
  \label{HC:nk_UinfRPA}
  n_{k\sigma} \, = \, \frac{1}{2}\,
  \left( 1 \, + \, \frac{4}{U} \cos{k} \right)
  \; \mbox{.}
\end{equation}
Un d\'eveloppement en $t/U$ de la solution exacte par ansatz de
Bethe, donne \cite{CarmeloBaeriswyl,BaeriswylLinden}
\begin{equation}
  \label{HC:nk_UinfBethe}
  n_{k\sigma} \, = \, \frac{1}{2}\,
  \left( 1 \, + \, \frac{8\ln 2}{U} \cos{k} \right)
  \; + \;\order{\frac{t^{2}}{U^{2}}}
  \; \mbox{.}
\end{equation}
Comme le montre la figure~\ref{fig:nk_largeU}, l'accord entre la
distribution des impulsions de la RPA renormalis\'ee et
(\ref{HC:nk_UinfRPA}) devient tr\`es bon pour $U\ge 5$. 
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode 
    \includegraphics[width=\twidth]{graph/nk_largeU.eps}
    \figcaption{Distribution des impulsions $n_{k}$ pour la \CdH \`a
      moiti\'e remplie. Comparaison entre les r\'esultats de la RPA
      renormalis\'ee (lignes continues) et sa limite du couplage fort
      (lignes pointill\'ees), fournie par
      l'\'eq.~(\ref{HC:nk_UinfRPA}).}
    \label{fig:nk_largeU}
  \end{center}
\end{figure}
Nous d\'emontrons dans l'annexe~\ref{chap:largeUproof} que
l'\'eq.~(\ref{HC:nk_UinfRPA}), en combinaison avec les \scss que nous
pr\'esenterons par la suite, constitue une solution self-consistante
{\em exacte} de la RPA renormalis\'ee.

\subsubsection{Susceptibilit\'e $\ChiZe(q,\omega)$}

Commen\c{c}ons d'abord \`a calculer la \scs $\ChiZe(q,\omega)$ dans la
limite du couplage fort. Elle est d\'efinie par une int\'egrale sur le
propagateur particule-trou ``libre'', l'\'eq.~(\ref{HC:phChiZero}).
Pour les \ndocs (\ref{HC:nk_UinfRPA}), cet int\'egrale peut \^etre
\'evalu\'ee analytiquement. La simplification essentielle provient du
fait que la diff\'erence des \ndocs, $n_{k\sigma}-n_{k+q\sigma}$,
figurant au num\'erateur de $\phGF^{0}_{k\sigma}(q,\omega)$ est
proportionelle \`a l'\'energie d'excitation
$\varepsilon_{k+q}-\varepsilon_{k}$ du d\'enominateur. Autrement dit,
la borne inf\'erieure du continu particule-trou (\ref{HC:StepB})
n'agit plus. Le syst\`eme s'exprime en fonction d'une seule variable,
$\xi$, d\'efinie comme le rapport entre l'\'energie $\omega$ et la
limite sup\'erieure du continuum (\ref{HC:phExciteB}):
\begin{equation}
  \label{HC:xi}
  \xi \, = \, \frac{\omega}{\abs{4\sin\frac{q}{2}}}
\end{equation}
$\ChiZe(q,\omega)$ ne d\'epend alors plus de $q$ et $\omega$
s\'epar\'ement. Elle devient
\begin{equation}
  \label{HC:ChiZeroInf}
  \ChiZe(\xi) \, = \, -\frac{1}{U}
  \cases{ 
    1 + \ic\frac{\xi   }{\sqrt{1-\xi^2}} & \mbox{pour $\abs{\xi}<1$} \cr
    1 - \frac{\abs{\xi}}{\sqrt{\xi^2-1}} & \mbox{pour $\abs{\xi}>1$} }
  \mbox{.}
\end{equation}
En comparant (\ref{HC:ChiZeroInf}) aux expressions de
$\ChiFr(q,\omega)$ de l'annexe~\ref{sec:Chi0:1d}, nous remarquons que
la singularit\'e en racine carr\'ee, \`a la limite sup\'erieure du
continu ($\abs{\xi}=1$), subsiste. Evidemment, comme la borne
inf\'erieure du continu a cess\'e d'exister, la singularit\'e de
$\real\ChiFr(q,\omega)$ dispara\^{\i}t dans $\real\ChiZe(q,\omega)$:
c'est une fonction compl\`etement plate \`a l'int\'erieur du continu.

Il peut \^etre d\'emontr\'e que la \scs (\ref{HC:ChiZeroInf})
satisfait aux relations de Kra\-mers-Kronig. C'est en \'evaluant cette
\scs pour $U=3$ ou $U=6$ que s'ob\-tiennent les lignes en tirets sur les
figures~\ref{fig:ImChi0_U3}, \ref{fig:ImChi0_U6} et
\ref{fig:ReChi0_U3}.

\subsubsection{R\'eponse de charge}

Nous trouvons la \scs de charge dans la limite $U\to\infty$ en
substituant (\ref{HC:ChiZeroInf}) dans (\ref{H:ChiRPAc}). Il en
r\'esulte 
\begin{equation}
  \label{HC:ChiChInf}
  \ChiCh(\xi) \, = \, -\frac{2}{U}
  \cases{
    \frac{2-\xi^{2}\,+\,   \ic\xi\sqrt{1-\xi^2}}{4-3\xi^{2}} & 
    \mbox{pour $\abs{\xi}<1$} \cr
    \frac{2-\xi^{2}\,+\,\abs{\xi}\sqrt{\xi^2-1}}{4-3\xi^{2}} & 
    \mbox{pour $\abs{\xi}>1$}}
  \mbox{.}
\end{equation}
Cette expression est trac\'ee en courbes discontinues sur les
figures~\ref{fig:ImChiC_U3} et \ref{fig:ImChiC_U6}. Pour
$\abs{\xi}<1$, le spectre de charge, $\imag\ChiCh(\xi)$, est
constitu\'e par un continu, dont le poids spectral se r\'esume \`a 
\begin{equation}
  \label{HC:ChiChInfContW}
  -\int\limits_{0}^{1} {\rm d}\xi \, \imag \ChiCh(\xi)
  \, = \, 
  \frac{2}{3\,U} \,\left(1-\frac{\pi}{3\sqrt{3}} \right)
  \; \mbox{.}
\end{equation}
Au-del\`a de la limite du continu se produit un p\^ole collectif \`a
$\xi=2/\sqrt{3}$. Il repr\'esente un plasmon non amorti,
ob\'eissant \`a la loi de dispersion
\begin{equation}
  \label{HC:PlasmonDispInf}
  \Omega_{p} \,=\, \frac{8}{\sqrt{3}} \, \abs{\sin\frac{q}{2}}
  \; \mbox{.}
\end{equation}
Son poids spectral s'\'elevant \`a
\begin{equation}
  \label{HC:ChiChInfPlasW}
  -\int\limits_{1}^{\infty} {\rm d}\xi \, \imag \ChiCh(\xi)
  \, = \, 
  \frac{2\pi}{U\,3\sqrt{3}}
  \; \mbox{,}
\end{equation}
il contient \`a lui seul plus de $80\%$ du poids du spectre de charge.
Nous soulignons que la dispersion (\ref{HC:PlasmonDispInf}) est
ind\'ependante de $U$, par contraste avec l'\'energie du plasmon pur,
qui cro\^{\i}t proportionnellement \`a $U$ pour $U\to\infty$.

\subsubsection{R\'eponse de spin}

La \scs de spin longitudinal devient, dans la limite d'interactions
fortes, 
\begin{equation}
  \label{HC:ChiSpInf}
  \ChiSp(\xi) \, = \, -\frac{1}{2\,U}
  \cases{
    -1\,+\,\ic\frac{\sqrt{1-\xi^2}}{\xi}     & \mbox{pour $\abs{\xi}<1$} \cr
    -1\,+\,\frac{\sqrt{1-\xi^2}}{\abs{\xi}}  & \mbox{pour $\abs{\xi}<1$} }
  \mbox{.}
\end{equation}
Cette expression fournit les courbes discontinues sur les
figures~\ref{fig:ImChiS_U3} et \ref{fig:ImChiS_U6}. Sa partie
imaginaire se limite \`a un continuum pour $\abs{\xi}<=1$, car il n'y
a pas de p\^ole collectif. Le d\'enominateur de (\ref{HC:ChiSpInf})
est toujours r\'egulier, sauf pour $\omega=0$. A cet endroit, la
partie imaginaire est nulle. Cette divergence \`a $\omega=0$ a tout de
m\^eme de f\^acheuses cons\'equences que nous discuterons par la
suite.

\subsubsection{Fonctions de corr\'elation et \'energie fondamentale}

La densit\'e de double occupation s'\'ecrit
\begin{equation}
  \label{HC:DoubleOcc}
  \frac{1}{N} \sum \limits_{i} \mean{n_{i\uparrow} n_{i\downarrow}}
  \, = \, 
  \underbrace{ \mean{ n_{\uparrow} } \mean{ n_{\downarrow} } }_{D^{\HF}}
  \, + \, \frac{w^\corr}{U}
\end{equation}
o\`u $w^\corr$ d\'enote l'\'energie potentielle de corr\'elation par site
\begin{equation}
  \label{HC:wcorr}
  w^\corr \, = \, \frac{U}{N^2} \sum \limits_{k p q} 
  \mean{a^{+}_{k    \uparrow  } a_{k+q\uparrow} \,
        a^{+}_{p+q\downarrow} a_{p    \downarrow} }^\corr
  \; \mbox{.}
\end{equation}
Les \FFdG \`a la limite de fortes interactions \'etant
proportionnelles \`a $1/U$, $w^{\corr}$ est ind\'ependant de $\omega$.
Voil\`a la premi\`ere indication que des difficult\'es apparaissent:
la densit\'e de double occupation est donn\'ee par la somme de la
contribution Hartree-Fock et de $w^{\corr}/U$. La premi\`ere ne
d\'ependant pas de l'interaction, cette densit\'e ne peut que
converger vers $D^{\HF}$, pour tout $w^{\corr}$ fini, lorsque
$U\to\infty$.  D'un autre c\^ot\'e, il est clair que cette densit\'e
s'annule dans la limite du couplage fort de la solution exacte.

Nous calculons $w^{\corr}$ en injectant la \FdG de la RPA
renormalis\'ee (\ref{HC:rpaGFos}) dans le th\'eor\`eme de
fluctuation-dissipation (\ref{H:axaaxaST}). Nous arrivons \`a une
int\'egrale similaire \`a (\ref{LU:SpectralSC}). La diff\'erence
principale r\'esidant dans le fait que la borne inf\'erieure n'est pas
$-\infty$, mais z\'ero. La singularit\'e en $1/\omega$ de la \scs de
spin contamine alors la densit\'e de double occupation $w^{\corr}$ et
cr\'ee une divergence logarithmique \`a $\omega=0$. Il en r\'esulte
que la densit\'e de double occupation et l'\'energie fondamentale
deviennent \'egales \`a $-\infty$ lorsque $U\to\infty$.

Essayons de nous d\'ebarrasser de cette singularit\'e en insistant sur
le principe de Pauli. La densit\'e de double occupation
(\ref{HC:DoubleOcc}) se calcule alternativement \`a partir de
\begin{eqnarray}
  \label{HC:DoubleOccPauli}
  \frac{1}{N} \sum \limits_{i} \mean{n_{i\uparrow} n_{i\downarrow}}
  & = &
  \frac{1}{2 N} \sum \limits_{i\sigma\sigma'} \mean{n_{i\sigma} n_{i\sigma'}}
  \; - \;
  \frac{1}{2 N} \sum \limits_{i\sigma} \mean{n_{i\sigma} n_{i\sigma}}
  \nonumber \\
  & = & 
  \frac{1}{2 N^{2}} \sum \limits_{k p q}
  \mean{\sum\limits_{\sigma}  a^{+}_{k\sigma} a_{k+q\sigma} \, 
    \sum\limits_{\sigma'} a^{+}_{p+q\sigma'} a_{p\sigma'} }
  \,-\,
  \frac{1}{2 N} \sum\limits_{i\sigma} \mean{n_{i\sigma}} 
  \nonumber \\
  & = &
  -\frac{1}{U\,2\pi} \, \frac{1}{N}\sum\limits_{q}
  \int\limits_{0}^{\infty} {\rm d}\omega \,
  \imag \left[ U\,\ChiCh(q,\omega) \right]
  \, + \, \frac{n^{2}-n}{2}
  \nonumber \\
  & = &
  \frac{8}{U \pi} \, 
  \left[ 
    \frac{1}{3} \left(\frac{1}{\pi}-\frac{1}{3\sqrt{3}}\right)
    \,+\,\frac{1}{3\sqrt{3}}
  \right] \; \approx \; \frac{0.597}{U}
\end{eqnarray}
Pour passer de la premi\`ere ligne \`a la seconde, nous avons
utilis\'e le principe de Pauli
$\mean{n_{i\sigma}\,n_{i\sigma}}=\mean{n_{i\sigma}}$. Le premier terme
\`a la seconde ligne est reli\'e, par le th\'eor\`eme de
fluctuation-dissipation, aux poids spectraux (\ref{HC:ChiChInfContW})
et (\ref{HC:ChiChInfPlasW}). Sa contribution en champ moyen est
compens\'e par le second terme, car $n^{2}=n=1$. La densit\'e de
double occupation, calcul\'ee en s'appuyant sur le principe de Pauli,
dispara\^{\i}t alors suivant une loi en $1/U$ pour $U\to\infty$.

Nous obtenons ainsi, certes, qualitativement le bon comportement pour
la densit\'e de double occupation. Or, que se passe-t-il avec
l'\'energie potentielle,
$V=\sum\mean{n_{i\uparrow}\,n_{i\downarrow}}$?  Dans la limite du
couplage fort de la solution exacte, uniquement les occupations
doubles {\em virtuelles} sont admises. Elles sont \`a l'origine du
terme $J=2t^2/U$ du mod\`ele $tJ$ (cf.
chapitre~\ref{sec:H:properties}). 
%
L'\'energie potentielle de la solution exacte tend alors vers z\'ero
pour $U\to\infty$, tandis que l'\'eq.~(\ref{HC:DoubleOccPauli}) nous
donne la valeur constante $V/N\approx 0.597$.

Il existe tout de m\^eme un moyen d'am\'eliorer ces r\'esultats. Nous
\'evitons les probl\`emes provenant des densit\'es \`a deux corps en
utilisant le th\'eor\`eme Hellmann-Feynman \cite{Kittel}:
\begin{equation}
  \label{HC:HellmannFeynman}
  E(U) \, = \, U\,\int\limits_{U}^{\infty} {\rm d}y \, \frac{T(y)}{y^2}
\end{equation}
Ce th\'eor\`eme provient d'une variation du fondamental exact par
rapport \`a la con\-stan\-te de couplage. Il permet d'exprimer
l'\'energie fondamentale $E(U)$ uniquement \`a partir de l'\'energie
cin\'etique $T(U)$. En g\'en\'eral (\ref{HC:HellmannFeynman})
am\'eliore le r\'esultat en partant d'une certaine approximation pour
l'\'energie cin\'etique. Le prix \`a payer est qu'il faut
conna\^{\i}tre cette derni\`ere pour toute la gamme d'interactions.

En RPA renormalis\'ee, l'\'energie cin\'etique s'obtient ais\'ement
par les \ndocs. A grand $U$, nous obtenons \`a partir de
(\ref{HC:nk_UinfRPA})
\begin{equation}
  \label{HC:EkinUinfRPA}
  T(U) \, = \, -\frac{4}{U}
  \; \mbox{.}
\end{equation}
C'est, \`a un facteur pr\`es, aussi le comportement de la solution
exacte \cite{CarmeloBaeriswyl,BaeriswylCarmeloLuther}:
\comment{\cite{BaeriswylCarmeloLuther}, eq. (7)}
\begin{equation}
  \label{HC:EkinUinfBethe}
  T^{\rm exact}(U) \, = \, -\frac{8\ln 2}{U} 
  \; + \;\order{\frac{t^{3}}{U^{3}}}
\end{equation}

En d\'eterminant l'\'energie fondamentale de la RPA renormalis\'ee \`a
partir du th\'eo\-r\`e\-me Hellmann-Feynman (\ref{HC:HellmannFeynman}),
nous obtenons les croix sur la figure~\ref{fig:GSEnergy_half}.
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode 
    \includegraphics[width=\twidth]{graph/Egs.eps} 
    \figcaption{ Energie fondamentale (par site) pour la \CdH \`a
      moiti\'e remplie. Les d\'eveloppements en s\'erie de l'ansatz
      de Bethe ont \'et\'es effectu\'es par Baeriswyl {\sl et al}.
      \cite{CarmeloBaeriswyl,BaeriswylCarmeloLuther}.  La limite du
      couplage fort de la RPA renormalis\'ee est donn\'ee par
      l'\'eq.~(\ref{HC:EgsUinfRPA}). }
    \label{fig:GSEnergy_half}
  \end{center}
\end{figure}
De la m\^eme fa\c{c}on, l'\'eq.~(\ref{HC:EkinUinfRPA}) nous fournit le
comportement de l'\'energie fondamentale \`a grand $U$:
\begin{equation}
  \label{HC:EgsUinfRPA}
  E(U) \, = \, -\frac{2}{U} 
\end{equation}
Elle est trac\'ee en tirets sur la figure~\ref{fig:GSEnergy_half}.
Ces r\'esultats sont compar\'es \`a l'ansatz de Bethe, repr\'esent\'e
par la ligne continue, et son d\'eveloppement $-(4\ln 2)/U$ pour
$U\to\infty$, repr\'esent\'ee par la ligne en \tp. Nous constatons que
la RPA renormalis\'ee reproduit ainsi, dans les deux limites $U\to 0$
et $U\to\infty$, le comportement de la solution exacte.

L'\'energie potentielle n'est autre que la diff\'erence entre $E(U)$
et $T(U)$. Son comportement asymptotique est en $2/U$.  Cela implique
que la densit\'e de double occupation s'annule suivant $2/U^{2}$ pour
$U\to\infty$. Hormis le pr\'efacteur, ces r\'esultats sont en accord
avec la solution exacte.  Comme le montre la
figure~\ref{fig:double_half}, la RPA renormalis\'ee, illustr\'ee par
des croix, tend vers la bonne valeur dans les limites de fortes et de
faibles interactions. 
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode 
    \includegraphics[width=\twidth]{graph/double.eps}
    \figcaption{Densit\'e de double occupation pour la \CdH \`a
      moiti\'e remplie. Les d\'eveloppements en s\'erie de l'ansatz
      de Bethe ont \'et\'es effectu\'es par Baeriswyl {\sl et al}.
      \cite{CarmeloBaeriswyl,BaeriswylCarmeloLuther}.}
    \label{fig:double_half}
  \end{center}
\end{figure}

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Cons\'equences pour le propagateur \`a une particule}
\label{sec:HC:RPA:1pGF}

D'apr\`es le chapitre~\ref{sec:DE:RPA:SelfEnergy}, il est possible de
construire un propagateur \`a une particule conforme \`a la th\'eorie
RPA. En adaptant les \'eqs.~(\ref{DE:2p1h_via_ph1p}) et
(\ref{DE:Epot2p1h}), nous \'ecrivons l'\'equation de Dyson suivante:
\begin{equation}
  \label{HC:1pGFDysonEqRPA}
  \unitlength=3ex 
  \setlength{\Units}{\the\unitlength} 
  \leavevmode
  \begin{array}{ccccc}
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    % single particle Dyson Eq
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    % full propagator
    \begin{picture}(4,5)(0,-1.5)
      \put(0.0,-1.5)
      {\includegraphics[width=4\Units]{feynman/feyn_G.eps}} %height=3\Units
    \end{picture}
    &  
    \begin{picture}(1,5)(0,-1.5) \put(0,0){\makebox(1,0){$=$}} \end{picture}
    &
    % free propagator
    \begin{picture}(4,5)(0,-1.5)
      \put(0.0,-1.5)
      {\includegraphics[width=4\Units]{feynman/feyn_G0.eps}} %height=3\Units
    \end{picture}
    &
    \begin{picture}(1,5)(0,-1.5) \put(0,0){\makebox(1,0){$+$}} \end{picture}
    &
    % free propagator * Sigma * full propagator
    \begin{picture}(10,5)(0,-1.5)
      \put(0.0,-1.5)
      {\includegraphics[width=10\Units]{feynman/feyn_SigmaRRPA.eps}} 
      % height=4.5\Units
    \end{picture}
  \end{array}  
\end{equation}
Rappelons que la ligne simple ne repr\'esente pas le propagateur
libre, mais celui de l'approximation Hartree-Fock (dans l'ensemble
grand-canonique):
\begin{equation}
  \label{HC:1pGFHF}
  G^{c,0}_{k\sigma}(\omega)
  \; \equiv \;
  \GFome{a_{k\sigma}}{a^{+}_{k\sigma}}^{c,0}
  \; = \; 
  \frac{1}
  {\omega\,-\,\left(\varepsilon_{k}-\mu\right)\,-\,U n_{-\sigma}
    \,+\,\sign\omega\,\iz}
\end{equation}
Afin d'assurer une interpr\'etation correcte des diagrammes de
Feynman, il est crucial de travailler avec des propagateurs causals.

Au sens strict, le diagramme hachur\'e inclut les \scss de charge et
de spin longitudinal, ainsi que de spin transverse. Pour se faire une
premi\`ere id\'ee de la \FdG \`a une particule, il suffit de tenir
compte des deux premi\`eres contributions. Dans cette approximation,
la self-\'energie devient\footnote{Nous insistons \`a nouveau sur
  l'importance de travailler avec des \FFdG causales. A temp\'erature
  nulle, le lien entre les fonctions causales et les fonctions
  retard\'ees \'etant donn\'e par:
  \begin{displaymath}
    \chi^{c}(\omega) \, = \, 
    \cases{ 
      \chi^{\rm ret}(\omega)   & \mbox{pour $\omega>0$} \cr
      \left[ 
        \chi^{\rm ret}(\omega) 
      \right]^{\ast}      & \mbox{pour $\omega<0$} \cr}
  \end{displaymath}}:
%
\begin{eqnarray}
  \label{HC:SigmaRPA}
  \Sigma_{k\sigma}(\omega) 
  & = & 
  \Sigma^{\HF} \;\; + \;\; \Sigma_{k\sigma}^{\rm RPA}(\omega)
  \nonumber \\
  & = &
  U\,n_{-\sigma} 
  \,+\,\ic\, 
  \frac{U}{N} \sum\limits_{q} \,
  \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{{\rm d}\omega}{2\pi} \,
  G^{0,c}_{k-q\sigma}(\omega-\omega')\;
  U\chi^{c}_{-\sigma\,-\sigma}(q,\omega')
\end{eqnarray}
Pour de fortes interactions, la self-\'energie RPA devient lin\'eaire
en $U$, car $U\chi(q,\omega)$ n'en d\'epend plus. En d\'ecalant
l'\'energie z\'ero \`a la surface de Fermi, nous nous d\'ebarrassons
de la correction Hartree-Fock et obtenons la \FdG
\begin{equation}
  \label{HC:1pGFRPA}
  G_{k\sigma}
  \left(\omega=\Omega-\mu+U n_{-\sigma}\right)
  \; = \; 
  \left[
    \Omega - \varepsilon_{k}
    \, - \,
    \Sigma_{k\sigma}^{\rm RPA}(\Omega)
  \right]^{-1}
  \;\mbox{.}
\end{equation}
La position des p\^oles se d\'etermine \`a partir de la partie
r\'eelle de la self-\'energie. L'\'evaluation de la convolution, dans
l'\'eq.~(\ref{HC:SigmaRPA}), avec la \scs de la limite du couplage
fort, nous conduit \`a une self-\'energie de la forme
(cf. Fig.~\ref{fig:Sigma_half}) 
\begin{equation}
  \label{HC:SigmaRPAnum}
  \Sigma_{k\sigma}^{\rm RPA}(\Omega) \; \approx \;
  {\rm const.}\,\frac{U}{\Omega}
  \; \mbox{.}
\end{equation}
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode \includegraphics[width=\twidth]{graph/Sigma1_2.eps}
    \figcaption{Self-\'energie causale $\Sigma_{k=\pi/2,\sigma}^{\rm
        RPA}(\Omega)$ pour la \CdH \`a remplissage de bande moiti\'e,
      obtenue \`a partir de l'\'eq.~(\ref{HC:SigmaRPA}) avec les \scss
      de la limite de fortes interactions.}
    \label{fig:Sigma_half}
  \end{center}
\end{figure}
Sa d\'ependance en impulsion se r\'ev\`ele assez faible. La densit\'e
d'\'etats,
\begin{equation}
  \label{HC:DOS_RPA}
  D(\Omega)
  \, = \,
  -\frac{\sign\Omega}{\pi}\,\sum\limits_{k\sigma}\,
  \imag G^{c}_{k\sigma}\left(\Omega-\mu+U n_{-\sigma}\right)
  \; \mbox{,}
\end{equation}
est domin\'ee par deux bandes qui ressemblent \`a celle du syst\`eme
sans interaction.
Selon l'\'equation des p\^oles,
\begin{equation}
  \Omega - \varepsilon_{k}  \; \approx\; {\rm const.}\,\frac{U}{\Omega}
  \;\mbox{,}
\end{equation}
entre ces bandes appara\^{\i}t un gap s'ouvrant suivant la racine
carr\'ee de l'interaction $U$. Ce ph\'enom\`ene est illustr\'e sur la
figure~\ref{fig:dos_half}.
\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \leavevmode \includegraphics[width=\twidth]{graph/dos1_2.eps}
    \figcaption{Densit\'e d'\'etats pour la \CdH \`a moiti\'e remplie,
      obtenue \`a partir des \scss de la limite du couplage fort de la
      RPA renormalis\'ee.}
    \label{fig:dos_half}
  \end{center}
\end{figure}
Entre les deux bandes subsiste une densit\'e d'\'etats r\'esiduelle,
provenant de la partie imaginaire de la self-\'energie (voir
Fig.~\ref{fig:Sigma_half}). Cette partie imaginaire est gouvern\'ee,
d'apr\`es l'\'eq.~(\ref{HC:SigmaRPA}), par la convolution des pics
delta du propagateur Hartree-Fock et de la partie imaginaire de la
\scs. Les \'etats r\'esiduels situ\'es au milieu du gap sont pour cela
limit\'es \`a une r\'egion d'environ la largeur de bande $W=4$.

Notre approximation, bien que plut\^ot grossi\`ere, pr\'edit alors une
transition de phase quantique du type Mott-Hubbard: \`a faibles
interactions, elle retrouve la densit\'e d'\'etats libre,
$D^{0}(\omega)=1/(\pi\sqrt{4-\omega^2})$, signalant un m\'etal. Avec
un couplage croissant, un gap se creuse. Le syst\`eme devient, sinon
un isolant, ou au moins un mauvais conducteur.

Quoique la valeur du gap, montr\'e sur la figure~\ref{fig:dos_half},  
semble assez raisonnable jusqu'\`a $U\approx 10$, cette approximation
est incapable de reproduire son ouverture lin\'eaire, pr\'evue par la
solution exacte \cite{Schoenhammer95}. Ce r\'esultat para\^{\i}t moins
d\'ecevant en le comparant \`a la RPA pure: par le m\^eme formalisme,
elle nous am\`ene \`a une self-\'energie qui, pour grands $U$, devient
ind\'ependante de l'interaction.  Cela implique que le gap ``pur'',
s'il existe, poss\`ede une ouverture maximale.

Il est \'evident que notre r\'esultat demande encore beaucoup
d'am\'eliorations. Nous rappelons tout de m\^eme que notre propagateur
\`a une particule, n'inclut jusqu'\`a pr\'esent aucune contribution
self-consistante et seulement la moiti\'e des corrections de
polarisation!

