% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Dyson Equation approach
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{La m\'ethode de l'Equation de Dyson}
\label{chap:DE}

Au d\'ebut de ce chapitre, nous pr\'esentons les \'equations du
mouvement pour une \FdG g\'en\'erale. Gr\^ace \`a l'\'equation de
Dyson, nous trouvons une solution formelle pour cette \FdG dans
laquelle appara\^{\i}t un op\'erateur de masse.  La difficult\'e
consistera d\'esormais \`a en d\'eduire une expression utile pour ce
dernier. Pour surmonter ce probl\`eme, nous proposons une approche de
champ moyen g\'en\'eralis\'ee qui satisfait \`a la r\`egle de somme
pond\'er\'ee par l'\'energie.

Pour le propagateur \`a une particule, elle nous dirige vers une
th\'eorie de Hartree-Fock, tandis que nous trouvons pour les fonctions
de corr\'elation de paires de fermions une approximation des phases
al\'eatoires \'etendue. Elle nous am\`ene vers un syst\`eme
d'\'equations int\'egrales coupl\'ees que nous chercherons \`a
r\'esoudre de fa\c{c}on self-consistante, d'o\`u le nom SCRPA.
Pour le propagateur particule-trou nous insistons sur les points
communs et les diff\'erences entre la SCRPA et d'autres th\'eories du 
type RPA. 
A la fin du chapitre, nous utiliserons l'exp\'erience acquise lors de
l'\'etude des \FFdG particule-trou pour perfectionner la th\'eorie du
propagateur \`a une particule. Nous d\'eriverons une expression pour
la self-\'energie qui tient compte des corr\'elations particule-trou
tout en restant conforme \`a notre RPA am\'elior\'ee.

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Les \'equations du mouvement et l'Equation de Dyson}
\label{sec:DE:DysonEq}

Dans le chapitre~\ref{chap:formal}, nous avons vu qu'une \FdG 
$\GF{A(t)}{B(t')}$ est coupl\'ee, par son \'equation du mouvement, 
\`a une autre fonction de Green d'ordre sup\'erieur: 
\begin{equation}
  \label{DE:EqOfMotionTime}
  \ic \frac{\partial}{\partial t} \GF{A(t)}{B(t')}
  = \delta(t-t') \, \mean{\comm{A(t)}{B(t)}_{-\epsilon}} 
  \;+\; \GF{\comm{A}{H}(t)}{B(t')} 
\end{equation}
Bien entendu, nous avons la possibilit\'e d'\'etablir une seconde
\'equation du mouvement pour la \FdG sup\'erieure
$\GF{\comm{A}{H}(t)}{B(t')}$.
Cette proc\'edure nous am\`enera \`a une s\'erie infinie d'\'equations
du mouvement que nous chercherons \`a d\'ecoupler \`a un moment
donn\'e, afin de pouvoir d\'eterminer $\GF{A(t)}{B(t')}$.
Naturellement, comme pour toute approximation, ce d\'ecouplage doit \^etre
motiv\'e par des raisons physiques. 

Par la suite, nous d\'evelopperons une m\'ethode syst\'ematique pour
d\'ecoupler cette s\'erie d'\'equations du mouvement dans le cas o\`u
$A$ et $B$ sont conjugu\'es hermitiques, c.\`a.d. $B\equiv A^{+}$.
Nous commen\c{c}ons avec la transform\'ee de Fourier de l'\'eq. du
mouvement~(\ref{DE:EqOfMotionTime}):
\begin{equation}
  \label{DE:EqOfMotionFreq}
  \omega \, \GFome{A}{B}
  \,=\, \mean{\comm{A}{B}_{-\epsilon}} 
  \;+\; \GFome{\comm{A}{H}}{B}
\end{equation}
En supposant que l'inverse de $\GFome{A}{B}$ existe, nous d\'efinissons
``l'hamiltonien'' effectif $\Heff_{A B}(\omega)$:
\begin{equation}
  \label{DE:DefHeff}
  \Heff_{A B}(\omega) \,:=\, \GFome{\comm{A}{H}}{B} \; \GFome{A}{B}^{-1}
\end{equation}
Nous introduisons la matrice norme,
\begin{equation}
  \label{DE:Norm}
  \Norm\,:=\,\mean{\comm{A}{B}_{-\epsilon}}
  \; \mbox{,}
\end{equation}
et r\'e\'ecrivons l'\'eq. du mouvement sous forme d'{\em Equation de Dyson}:
\begin{equation}
  \label{DE:DysonEq}
  \omega \, \GFome{A}{B} 
  \,=\, 
  \Norm \;+\; \Heff_{A B}(\omega) \,  \GFome{A}{B}
\end{equation}
Nous insistons encore une fois sur le fait qu'il s'agit
g\'en\'eralement de \FFdG\ {\em matricielles}. Toutes les
op\'erations, telles que les multiplications dans les membres de
droite des \'eqs.~(\ref{DE:DefHeff}) et (\ref{DE:DysonEq}), doivent
ainsi \^etre interpr\'et\'ees comme des op\'erations matricielles.
Gr\^ace \`a l'introduction de l'hamiltonien effectif, nous pouvons
r\'esoudre formellement l'\'eq. de Dyson:
\begin{equation}
  \label{DE:DysonSolution}
  \GFome{A}{B} \,=\, 
  \biggl\{ \omega \,- \, \Heff_{A B}(\omega) \biggr\}^{-1} \; \Norm 
\end{equation}
Le probl\`eme consiste d\'esormais \`a trouver une possibilit\'e pour
d\'eterminer $\Heff_{A B}(\omega)$. 
Afin de d\'eriver une expression plus explicite pour l'hamiltonien
effectif, nous reportons l'inverse de la solution
formelle~(\ref{DE:DysonSolution}) dans (\ref{DE:DefHeff}),
\begin{equation}
  \label{DE:Heff12}
  \begin{array}{rcccc}
    \Heff_{A B}(\omega) & = & \GFome{\comm{A}{H}}{B} \; 
    \Norm^{-1} \; \biggl\{ \omega  & - & \Heff_{A B}(\omega) \biggr\}
    \\
    & \equiv & \Heff_{A B}^{\rm I}(\omega) & - &  \Heff_{A B}^{\rm II}(\omega)
    \; \mbox{,}
    \\
  \end{array}
\end{equation}
o\`u nous posons
\begin{eqnarray}
  \label{DE:DefHeff12}
  \Heff_{A B}^{\rm I}(\omega) & := &  
  \GFome{\comm{A}{H}}{B} \, \Norm^{-1} \, \omega
  \; \mbox{,}
  \nonumber \\
  \Heff_{A B}^{\rm II}(\omega) & := &  
  \GFome{\comm{A}{H}}{B} \, \Norm^{-1} \, \Heff_{A B}(\omega)
  \; \mbox{.}
\end{eqnarray}
La premi\`ere partie, $\Heff_{A B}^{\rm I}(\omega)$, peut \^etre
calcul\'ee \`a l'aide de l'\'equation du mouvement pour la \FdG
sup\'erieure $\GFome{\comm{A}{H}}{B}$. 
Cette fois, nous \'etablissons l'\'equation du mouvement 
``par la droite'', 
c.\`a.d. nous d\'erivons $\GF{\comm{A}{H}(t)}{B(t')}$
par rapport \`a $t'$ au lieu de $t$:
\begin{eqnarray}
  \label{DE:EOM2Time}
  \lefteqn{
    \GFome{\comm{A}{H}(t)}{B(t')} 
    \left( 
      -\ic \frac{\stackrel{\leftarrow}{\partial}}{\partial t'}
    \right)}
  \nonumber \\
  &&  = \; 
  \delta(t-t') \,\mean{\comm{\comm{A}{H}(t)}{B(t)}_{-\epsilon}} 
  \;+\; \GFome{\comm{A}{H}(t)}{\comm{H}{B}(t')}
\end{eqnarray}
Apr\`es transformation de Fourier, on obtient:
\begin{equation}
  \label{DE:EOM2Freq}
  \GFome{\comm{A}{H}}{B} \, \omega \; = \; 
  \mean{\doco{A}{H}{B}_{-\epsilon}} \;+\; \GFome{\comm{A}{H}}{\comm{H}{B}}
\end{equation}

C'est \`a ce moment que notre hypoth\`ese $B\equiv A^{+}$ devient
importante.   
La seconde partie de l'hamiltonien effectif, 
$\Heff_{A B}^{\rm II}(\omega)$, ne contient que des contributions
{\em r\'eductibles}. 
Ceci signifie que le diagramme de Feynman de 
$\Heff_{A B}^{\rm II}(\omega)$ peut \^etre d\'e\-com\-po\-s\'e en deux 
parties ind\'ependantes en coupant un ``propagateur libre''.
Ce dernier est constitu\'e de $N$ lignes de fermions (bosons), 
o\`u $N$ correspond au nombre d'op\'erateurs de cr\'eation ou
annihilation pr\'esents dans $A$.
De plus, on peut d\'emontrer que l'unique fonction de 
$\Heff_{A B}^{\rm II}(\omega)$ est d'annuler {\em toutes} les
contribution r\'eductibles de $\Heff_{A B}^{\rm I}(\omega)$
(pour plus de d\'etails voir r\'ef.~\cite{RS}).
Puisque le double commutateur $\mean{\doco{A}{H}{B}_{-\epsilon}}$ n'est
constitu\'e que de contributions r\'eductibles, nous nous contentons
de mettre l'indice ``irr\'eductible'' \`a la \FdG \`a la droite de
(\ref{DE:EOM2Freq}), et \'ecrivons l'expression finale pour
l'hamiltonien effectif: 
\begin{equation}
  \label{DE:Heff} 
  \begin{array}{rcccc}
    \Heff_{A B}(\omega) & = &
    \biggl\{ 
    \mean{\doco{A}{H}{B}_{-\epsilon}} & + &
    \GFome{\comm{A}{H}}{\comm{H}{B}}^{\rm irr}
    \biggr\}
    \; \Norm^{-1}
    \\
    & \equiv & \Hgmf_{A B} & + & \Heff_{A B}^{\rm res}(\omega)
    \\
  \end{array}
\end{equation}

L'\'eq.~(\ref{DE:Heff}) montre que l'hamiltonien effectif
(\ref{DE:Heff}) est compos\'e d'une partie instantan\'ee et d'une
partie dynamique ou r\'esonnante.
Cette derni\`ere est \`a l'origine des potentiels imaginaires ou
d\'ependants en fr\'equence qui interviennent dans les processus de
diffusion. 

Une mani\`ere alternative pour acc\'eder \`a l'hamiltonien effectif
est de reporter l'\'equation du mouvement pour la \FdG sup\'erieure,
(\ref{DE:EOM2Freq}), directement dans l'\'eq. du mouvement pour la
premi\`ere \FdG, (\ref{DE:EqOfMotionFreq}).
Apr\`es division par $\omega$, nous obtenons:
\begin{eqnarray}
  \label{DE:TmatrixEqH}
  \lefteqn{ \GFome{A}{B} \, = \, \frac{\Norm}{\omega} }
  \nonumber \\
  && +\frac{\Norm}{\omega} \; 
  \underbrace{
    \Norm^{-1} 
    \biggl\{ 
    \mean{\doco{A}{H}{B}_{-\epsilon}}  \; + \;
    \GFome{\comm{A}{H}}{\comm{H}{B}}
    \biggr\} 
    \,\Norm^{-1} 
    }_{\Tmatrix_{A B}(\omega)} \;
  \frac{\Norm}{\omega} 
\end{eqnarray}
En interpr\'etant $\Norm/\omega$ comme propagateur ``libre'', nous 
reconnaissons en (\ref{DE:TmatrixEqH}) 
l'{\em \'equation de la matrice $\Tmatrix$} pour la \FdG $\GFome{A}{B}$. 
Nous avons ainsi imm\'ediatement acc\`es \`a l'op\'erateur de masse
du syst\`eme, qui n'est autre que la partie irr\'eductible de
la matrice $T_{A B}(\omega)$.
Nous terminons cette analyse avec une petite rectification: 
Le commutateur $\comm{A}{H}$ contient g\'en\'eralement une partie
proportionelle \`a l'op\'erateur $A$ lui-m\^eme provenant de
l'hamiltonien sans interaction, $H_{0}$:
\begin{equation}
  \label{DE:commAH0}
  \comm{A}{H_{0}} \, = \, \Omega_{0} \, A
\end{equation}
Lorsqu'on parle de propagateur libre, on pense normalement \`a une
expression dans laquelle $\Omega_{0}$ est d\'ej\`a inclu:
\begin{equation}
  \label{DE:G0}
  \GFome{A}{B}^{0} \, = \, \left\{ \omega - \Omega_{0} \right\}^{-1}\, \Norm
\end{equation}
Ceci nous permet de r\'e\'ecrire l'\'eq. de Dyson (\ref{DE:DysonEq}),
\begin{equation}
  \label{DE:DysonEq2}
  \GFome{A}{B} 
  \,=\, 
  \GFome{A}{B}^{0} \; + \;
  \GFome{A}{B}^{0} \, \Kern_{A B}(\omega) \, \GFome{A}{B}
  \; \mbox{,}
\end{equation}
dont le noyau int\'egral $\Kern_{A B}(\omega)$  peut \^etre
consid\'er\'e comme l'op\'erateur de masse.  
En rapprochant les \'eqs.~(\ref{DE:DysonEq}) et (\ref{DE:DysonEq2}),
nous voyons que l'hamiltonien effectif est constitu\'e d'une partie
libre et de l'op\'erateur de masse, 
\begin{equation}
  \label{DE:HeffThruMass}
  \Heff_{A B}(\omega) \; = \;  
  \Omega_{0} \, + \, \Norm\,\Kern_{A B}(\omega) 
\end{equation}
En suivant un cheminement compl\`etement analogue aux 
\'eqs.~(\ref{DE:DysonEq}-\ref{DE:TmatrixEqH}), nous adaptons
l'\'equation de la matrice $\Tmatrix$: 
\begin{equation}
  \label{DE:TmatrixEqV}
  \GFome{A}{B} \, = \,
  \GFome{A}{B}^{0} \; + \;
  \GFome{A}{B}^{0} \, \Tmatrix_{A B}(\omega) \, \GFome{A}{B}^{0}
\end{equation}
Dans la nouvelle matrice $\Tmatrix$, l'interaction $V$ prend la place
de l'hamiltonien $H$:
\begin{equation}
  \label{DE:TmatrixV}
  \Tmatrix_{A B}(\omega) \, = \,
  \Norm^{-1} 
  \biggl\{ 
  \mean{\doco{A}{V}{B}_{-\epsilon}}  \; + \;
  \GFome{\comm{A}{V}}{\comm{V}{B}}
  \biggr\} 
  \,\Norm^{-1} 
\end{equation}
Finalement, la partie irr\'eductible de la matrice $\Tmatrix$ 
peut \^etre identifi\'e \`a l'op\'erateur de masse:
\begin{equation}
  \label{DE:KeqTirr}
  \Kern_{A B}(\omega) \, \equiv \,  \Tmatrix^{\rm irr}_{A B}(\omega)
\end{equation}

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Le propagateur \`a une particule}
\label{sec:DE:1pGF}

Dans ce paragraphe, nous traitons \`a titre d'exemple, le propagateur
\`a une particule afin d'approfondir les arguments du paragraphe
pr\'ec\'edant. 

Consid\'erons un syst\`eme de fermions non relativistes avec une
interaction \`a deux particules, dont le hamiltonien est donn\'e par:
\begin{equation}
  \label{DE:HFermion}
  H \,=\, \sum \limits_{1 2} t_{1 2} \, a^{+}_{1} a_{2}
  \;+\; \frac{1}{4} \sum \limits_{1 2 3 4} \bar{v}_{1 2 3 4} \,
  a^{+}_{1} a^{+}_{2} a_{4} a_{3}
\end{equation}
Les op\'erateurs $a_{1}$ et $a^{+}_{1}$, respectivement, cr\'eent et
annihilent un fermion. Ils ob\'eissent aux r\`egles d'anticommutation
habituelles, 
\begin{equation}
  \label{DE:anticomm}
  \comm{ a_{1} }{ a^{+}_{1'} } \, = \, \delta_{1 1'}
  \; \mbox{,}
\end{equation}
o\`u les indices ``$1$''  et ``$1'$'' r\'esument l'ensemble des
nombres quantiques. 

L'\'energie cin\'etique, dont les \'el\'ements de matrice sont
design\'es par $t_{1 2}$, peut \^etre assimil\'ee \`a l'hamiltonien
libre, $H_{0}$. 
Les \'el\'ements de la matrice d'interaction ont \'et\'e
antisym\'etris\'es, ce que nous indiquons par une ligne de vertex
ramen\'ee \`a un point:
\begin{equation}
  \label{DE:vbar}
  \unitlength=3ex 
  \setlength{\Units}{\the\unitlength} 
  \leavevmode
  \begin{array}{ccccc}
    \bar{v}_{1 2 3 4}  & = &  v_{1 2 3 4} & - & v_{1 2 4 3}
    \\
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    % antisymmetric potential
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \begin{picture}(4,4)(0,-2)
      \put(0,-1){\makebox(0,0)[l]{\scriptsize $1$}}
      \put(0,+1){\makebox(0,0)[l]{\scriptsize $2$}}
      \put(4,-1){\makebox(0,0)[r]{\scriptsize $3$}}
      \put(4,+1){\makebox(0,0)[r]{\scriptsize $4$}}
      \put(0.0,-2)
      {\includegraphics[width=4\Units]{feynman/feyn_vanti.eps}} %height=4\Units
    \end{picture}
    &  
    % = symbol (boxheight=5 to separe equations) 
    \begin{picture}(1,5)(0,-2)
      \put(0,0){\makebox(1,0){$=$}}
    \end{picture}
    &
    % Hartree potential
    \begin{picture}(4,4)(0,-2)
      \put(0,-1){\makebox(0,0)[l]{\scriptsize $1$}}
      \put(0,+1){\makebox(0,0)[l]{\scriptsize $2$}}
      \put(4,-1){\makebox(0,0)[r]{\scriptsize $3$}}
      \put(4,+1){\makebox(0,0)[r]{\scriptsize $4$}}
      \put(0.0,-2)
      {\includegraphics[width=4\Units]{feynman/feyn_v1234.eps}} %height=4\Units
    \end{picture}
    &  
    \begin{picture}(1,4)(0,-2)
      \put(0,0){\makebox(1,0){$-$}}
    \end{picture}
    &
    % Hartree potential
    \begin{picture}(4,4)(0,-2)
      \put(0,-1){\makebox(0,0)[l]{\scriptsize $1$}}
      \put(0,+1){\makebox(0,0)[l]{\scriptsize $2$}}
      \put(4,-1){\makebox(0,0)[r]{\scriptsize $4$}}
      \put(4,+1){\makebox(0,0)[r]{\scriptsize $3$}}
      \put(0.0,-2)
      {\includegraphics[width=4\Units]{feynman/feyn_v1234.eps}} %height=4\Units
    \end{picture}
    %
  \end{array}
\end{equation}
Cette notation facilite le traitement des termes d'\'echange, car
elle contient en m\^eme temps les termes de Hartree et de Fock.
Dans un syst\`eme homog\`ene, l'\'energie cin\'etique est diagonale
en impulsion
\begin{equation}
  \label{DE:tdiag}
  t_{k k'} \; = \; \delta_{k k'} \, \varepsilon_{k} 
  \; \mbox{,}
\end{equation}
o\`u $k$ est une abr\'eviation pour l'impulsion $\vect{k}$ et d'autres
nombres quantiques, par exemple le spin.

Passons \`a l'examen du propagateur \`a une particule,
$\GFome{a_{k}}{a^{+}_{k'}}$. 
Les op\'erateurs $a_{k}$ et $a^{+}_{k}$ couplent l'espace de Hilbert
\`a $N$ particules \`a celui \`a $N-1$ ou $N+1$ particules. 
Par le d\'eveloppement de Lehmann (\ref{form:GSpectralOm}) on voit
qu'il faut faire la diff\'erence entre ces deux cas:
\comment{Nozieres, III 1d}
\begin{equation}
  \label{DE:omega_n0}
  \omega_{n0} \; = \;
  \cases{
    \xi_{n0}^{N+1} \, + \, \left( E_{0}^{N+1}-E_{0}^{N} \right) &
    pour $\ket{n} \in {\mathcal H}^{N+1}$ \cr
    \xi_{n0}^{N-1} \, - \, \left( E_{0}^{N}-E_{0}^{N-1} \right) &
    pour $\ket{n} \in {\mathcal H}^{N-1}$ \cr}
\end{equation}
$\xi_{n0}^{N}=E_{n}^{N}-E_{0}^{N}$ d\'esigne l'\'energie d'excitation
par rapport au fondamental ayant le m\^eme nombre de particules.
En supposant que l'\'energie du fondamental cro\^{\i}t de fa\c{c}on
lin\'eaire avec le nombre de particules $N$, nous d\'efinissons le
potentiel chimique:
\begin{equation}
  \label{DE:mu}
  E_{0}^{N+1}-E_{0}^{N} \; = \;  E_{0}^{N}-E_{0}^{N-1} \; = \; \mu
\end{equation}
Cette relation est juste \`a l'ordre $1/N$. 
Comme nous avons vu au chapitre~\ref{sec:form:Green:Tfin}, cela nous 
incite \`a traiter la \FdG \`a une particule dans l'ensemble
grand-canonique. 
En rempla\c{c}ant l'hamiltonien $H$ par 
$\Hgce=H-\mu\sum_{k} a^{+}_{k} a_{k}$, 
l'\'eq. du mouvement~(\ref{DE:EqOfMotionFreq}) se traduit par:
\begin{equation}
  \label{DE:1pGFEOM}
  \left[ \omega - \left(\varepsilon_{k}-\mu\right) \right]
  \,\GFome{a_{k}}{a^{+}_{k'}}
  \; = \; \delta_{k k'}
  \, + \frac{1}{2} \, \bar{v}_{k q_{2} q_{3} q_{4}} \,
  \GFome{a^{+}_{q_{2}}\,a_{q_{4}}\,a_{q_{3}}}{a^{+}_{k'}}
\end{equation}
Travaillant avec des op\'erateurs fermioniques (cf.
l'\'eq.~(\ref{DE:anticomm})), nous avons choisi la \FdG
d'anticommutateur, $\epsilon=-1$.  Comme d'habitude, la convention
d'Einstein implique une sommation sur tous les indices $q_{i}$.

En analogie avec l'\'eq.~(\ref{DE:DefHeff}), nous supposons une
factorisation de la \FdG sup\'erieure:
\begin{equation}
  \label{DE:SigmaDef}
  \frac{1}{2} \, \bar{v}_{p q_{2} q_{3} q_{4}} \,
  \GFome{a^{+}_{q_{2}}\,a_{q_{4}}\,a_{q_{3}}}{a^{+}_{k'}}
  \; = \;
  \Sigma_{p p'}(\omega) \, \GFome{a_{p'}}{a^{+}_{k'}}
\end{equation}
{\em La self-\'energie} $\Sigma_{p p'}(\omega)$ ainsi introduite joue
le r\^ole du noyau int\'egral $\Kern(\omega)$. 
Elle nous permet d'\'ecrire l'\'eq. du mouvement sous forme d'\'eq. de
Dyson
\comment{Mattuck (10.12), Nolting (5.124)}
\begin{equation}
  \label{DE:1pGFDysonEq}
  \unitlength=3ex 
  \setlength{\Units}{\the\unitlength} 
  \leavevmode
  \begin{array}{ccccc}
    \GFome{a_{k}}{a^{+}_{k'}}
    & = &
    \GFome{a_{k}}{a^{+}_{k'}}^{0}
    & + &
    \GFome{a_{k}}{a^{+}_{p}}^{0} \, 
    \Sigma_{p p'}(\omega) \, \GFome{a_{p'}}{a^{+}_{k'}}
    \\
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    % single particle Dyson Eq
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    % full propagator
    \begin{picture}(4,3)(0,-1.5)
      \put(0,-0.5){\makebox(0,0)[lt]{\scriptsize $k$}}
      \put(4,-0.5){\makebox(0,0)[rt]{\scriptsize $k'$}}
      \put(0.0,-1.5)
      {\includegraphics[width=4\Units]{feynman/feyn_G.eps}} %height=3\Units
    \end{picture}
    &  
    \begin{picture}(1,4)(0,-1.5) \put(0,0){\makebox(1,0){$=$}} \end{picture}
    &
    % free propagator
    \begin{picture}(4,3)(0,-1.5)
      \put(0,-0.5){\makebox(0,0)[lt]{\scriptsize $k$}}
      \put(4,-0.5){\makebox(0,0)[rt]{\scriptsize $k'$}}
      \put(0.0,-1.5)
      {\includegraphics[width=4\Units]{feynman/feyn_G0.eps}} %height=3\Units
    \end{picture}
    &
    \begin{picture}(1,4)(0,-1.5) \put(0,0){\makebox(1,0){$+$}} \end{picture}
    &
    % free propagator * Sigma * full propagator
    \begin{picture}(11,3)(0,-1.5)
      \put(0  ,-0.5){\makebox(0,0)[lt]{\scriptsize $k$}}
      \put(3.5,-0.5){\makebox(0,0)[rt]{\scriptsize $p$}}
      %\put(5.5, 0  ){\makebox(0,0){$\Sigma$}}
      \put(7.5,-0.5){\makebox(0,0)[lt]{\scriptsize $p'$}}
      \put(11 ,-0.5){\makebox(0,0)[rt]{\scriptsize $k'$}}
      \put(0.0,-1.5)
      {\includegraphics[width=11\Units]{feynman/feyn_G0SigmaG.eps}} 
      % height=3\Units
    \end{picture}
  \end{array}  
\end{equation}
o\`u 
\begin{equation}
  \label{DE:1pGF0}
  \GFome{a_{k}}{a^{+}_{k'}}^{0}
  \; = \; 
  \frac{\delta_{k k'}}{\omega\,-\,\left(\varepsilon_{k}-\mu\right)\pm\iz}
\end{equation}
d\'esigne le propagateur libre. Le signe de la partie imaginaire
infinit\'esimale est d\'etermin\'e par les conditions aux limites de
la \FdG. Il est positif pour le propagateur retard\'e. Pour le
propagateur causal, il est positif au-dessus de la surface de Fermi
($\varepsilon_{k}>\mu=E_{F}$) et negatif en dessous
($\varepsilon_{k}<\mu$). \comment{Nolting (3.183), (3.192), (5.123)}

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{L'approximation Hartree-Fock}
\label{sec:DE:singlePP:HF} 

Pour nous faire une premi\`ere id\'ee des termes contribuant \`a la
self-\'energie, nous appliquons l'approximation suivante dans le membre
de gauche de la \FdG sup\'erieure,
$\GFome{a^{+}_{q_{2}}\,a_{q_{4}}\,a_{q_{3}}}{a^{+}_{k'}}$:
\begin{eqnarray}
  \label{DE:HFdecouple}
  a^{+}_{q_{2}}\,a_{q_{4}}\,a_{q_{3}}
  & \approx &
  \mean{ a^{+}_{q_{2}}\,a_{q_{4}} } \, a_{q_{3}}
  \; - \; 
  \mean{ a^{+}_{q_{2}}\,a_{q_{3}} } \, a_{q_{4}}
  \nonumber \\
  & = & 
  n_{q_{2}} \, 
  \left(\, 
    \delta_{q_{2} q_{4}} a_{q_{3}} \;-\;
    \delta_{q_{2} q_{3}} a_{q_{4}} 
  \,\right)
\end{eqnarray}
Ce d\'ecouplage est connu sous le nom d'{\em approximation Hartree-Fock}.
Dans la seconde ligne nous avons utilis\'e la conservation d'impulsion
et introduit le nombre d'occupation $n_{k}=\mean{a^{+}_{k}\,a_{k}}$.

Gr\^ace \`a cette approximation, l'\'eq. du mouvement (\ref{DE:1pGFEOM}) 
se transforme imm\'e\-di\-ate\-ment en \'eq. de Dyson:
\begin{equation}
  \label{DE:1pGFDysonEqHF}
  \GFome{a_{k}}{a^{+}_{k'}}^{\HF}
  \; = \;
  \GFome{a_{k}}{a^{+}_{k'}}^{0}
  \; + \;
  \GFome{a_{k}}{a^{+}_{p}}^{0} \, 
  \bar{v}_{p q p q} \, n_{q} \,
  \GFome{a_{p'}}{a^{+}_{k'}}^{\HF}
\end{equation}
En comparant (\ref{DE:1pGFDysonEqHF}) et (\ref{DE:1pGFDysonEq}), nous 
identifions la self-\'energie en approximation Hartree-Fock:
\begin{equation}
  \label{DE:SigmaHF}
  \Sigma_{p p'}^{\HF} \; = \;
  \delta_{p p'} \, \sum_{q} \bar{v}_{p q p q} \, n_{q} 
\end{equation}
Son graphe de Feynman est une simple boucle comprenant le terme
classique (``de Hartree'') et celui d'\'echange (``de Fock''):
\comment{Nolting, Afg. 5.4.4 + 5.4.5, Lsg. p585}
\begin{equation}
  \label{DE:SigmaHFfeyn}
  \leavevmode
  \unitlength=4ex 
  \setlength{\Units}{\the\unitlength} 
  \leavevmode
  \begin{array}{ccccc}
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    % Hartree Fock Self-Energy
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \begin{picture}(2.5,2.5)(0,-1.25)
      \put(0,-1)
      {\includegraphics[width=2.5\Units]{feynman/feyn_Sigma.eps}} 
      % width=2.5, height=2, mid=1.25
    \end{picture}
    &  
    \begin{picture}(1.0,2.5)(0,-1.25)
      \put(0,0){\makebox(1,0){$=$}} 
    \end{picture}
    &
    % Hartree Fock bubble
    \begin{picture}(1.0,2.5)(0,-1.25)
      \put(0,-0.25)
      {\includegraphics[width=1.0\Units]{feynman/feyn_SigmaHF.eps}} 
      % width=1, height=1.5, bot=0.25
    \end{picture}
    & &
    \\
    &  
    \begin{picture}(1,2)(0,-1)
      \put(0,0){\makebox(1,0){$=$}} 
    \end{picture}
    &
    % Hartree term
    \begin{picture}(1,2)(0,-1)
      \put(0,-0.75)
      {\includegraphics[width=1\Units]{feynman/feyn_SigmaH.eps}} 
      % width=1, height=2, bot=0.25
    \end{picture}
    &  
    \begin{picture}(1,2)(0,-1)
      \put(0,0){\makebox(1,0){$+$}} 
    \end{picture}
    &
    % Fock term
    \begin{picture}(1,2)(0,-1)
      \put(0,-0.75)
      {\includegraphics[width=1.0\Units]{feynman/feyn_SigmaF.eps}} 
      % width=1, height=1.5, bot=0.25
    \end{picture}
  \end{array}  
\end{equation}

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{La self-\'energie exacte}
\label{sec:DE:singlePP:EOM} 

Nous analysons maintenant l'expression exacte pour la self-\'energie 
que nous avons d\'eriv\'ee au chapitre~\ref{sec:DE:DysonEq}. 
Pour le propagateur \`a une particule, la matrice norme est la matrice
identit\'e:   
\begin{equation}
  \label{DE:1pGFNorm}
  \Norm_{k k'} \, = \, \mean{\comm{a_{k}}{a^{+}_{k'}}_{+}} 
  \, = \, \delta_{k k'} 
\end{equation}
Avec cette information, nous adaptons les \'eqs.~(\ref{DE:TmatrixV})
et (\ref{DE:KeqTirr}):
\begin{equation}
  \label{DE:SigmaEOM}
  \begin{array}{rcccl}
    \Sigma_{p p'}(\omega) 
    & = &
    \mean{\doco{a_{p}}{V}{a^{+}_{p'}}_{+}}  
    & + &
    \GFome{\comm{a_{p}}{V}}{\comm{V}{a^{+}_{p'}}}^{\rm irr}
    \\
    & = &
    \delta_{p p'} \, \sum\limits_{q} \bar{v}_{p q p q} \, n_{q} 
    & + &
    \frac{1}{4} \, 
    %\sum \limits_{q_{2} q_{3} q_{4} \atop r_{2} r_{3} r_{4}} 
    \bar{v}_{p q_{2} q_{3} q_{4}} \; 
    \GFome{a^{+}_{q_{2}}\,a_{q_{4}}    \,a_{q_{3}}}
    {      a^{+}_{r_{3}}\,a^{+}_{r_{4}}\,a_{r_{2}}}^{\rm irr}
    \; \bar{v}_{r_{4} r_{3} r_{2} p'} 
  \end{array}
\end{equation}
La premi\`ere contribution, venant du double commutateur
$\mean{\doco{a_{p}}{V}{a^{+}_{p'}}_{+}}$, nous fournit la self-\'energie
en approximation Hartree-Fock. Le second terme contient la partie
irr\'eductible d'une \FdG \`a deux particules et un trou, dont 
le diagramme est repr\'esent\'e par un rectangle hachur\'e: 
\begin{equation}
  \label{DE:SigmaEOMfeyn}
  \unitlength=4ex 
  \setlength{\Units}{\the\unitlength} 
  \leavevmode
  \begin{array}{ccccc}
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    % exact Self-Energy
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \begin{picture}(2.5,2.5)(0,-0.25)
      \put(0,0)
      {\includegraphics[width=2.5\Units]{feynman/feyn_Sigma.eps}} 
    \end{picture}
    &  
    \begin{picture}(1.0,2.5)(0,-0.25)
      \put(0,1){\makebox(1,0){$=$}} 
    \end{picture}
    &
    \begin{picture}(1.0,2.5)(0,0)
      \put(0,1)
      {\includegraphics[width=1.0\Units]{feynman/feyn_SigmaHF.eps}} 
    \end{picture}
    &  
    \begin{picture}(1.0,2.5)(0,-0.25)
      \put(0,1){\makebox(1,0){$+$}} 
    \end{picture}
    &
    \begin{picture}(5.5,2.5)(0,-0.25)
      \put(0,1){\makebox(1,0){\LARGE$\frac{1}{4}$}} 
      \put(1,0)
      {\includegraphics[width=4.5\Units]{feynman/feyn_Sigma2p1h.eps}} 
    \end{picture}
  \end{array}  
\end{equation}

C'est en appliquant ce sch\'ema \`a des \FFdG de plusieurs particules
que nous d\'ecouvrirons une approximation statique pour l'op\'erateur
de masse $\Kern$ qui sera une g\'en\'eralisation directe de
la self-\'energie Hartree-Fock.

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section[La RPA self-consistante]
{\sloppy L'approximation des phases al\'eatoires self-consistante (SCRPA)}
\label{sec:DE:SCRPA}

Nous avons vu au chapitre~\ref{sec:DE:DysonEq} que l'hamiltonien
effectif d'une \FdG compl\`etement g\'en\'erale est compos\'e d'une
partie instantan\'ee, ind\'ependante de l'\'ener\-gie, et d'une
partie dynamique, qui, elle, d\'epend de l'\'energie. Dans le
paragraphe pr\'ec\'edent, nous nous sommes convaincus que, en analysant
cette partie instantan\'ee pour la \FdG \`a une particule, nous
retrouvons bien le propagateur Hartree-Fock.

Ce sch\'ema se transporte ais\'ement aux \FFdG g\'en\'erales: En
n\'e\-gli\-geant la partie r\'esonnante de l'hamiltonien effectif dans
un premier temps, nous pouvons r\'esoudre le probl\`eme au niveau
d'une approximation Hartree-Fock g\'en\'eralis\'ee. Celle-ci nous
fournit une premi\`ere id\'ee de la \FdG.

Nous pouvons ensuite am\'eliorer cette approximation en \'etablissant
une \'equation de Dyson pour la \FdG exacte, dans laquelle la \FdG \`a
l'approximation instantan\'ee jouera le r\^ole d'un ``propagateur
libre''. Elle contient toutes les contributions statiques. Le noyau
int\'egral de cette \'equation de Dyson se limitera alors aux
contributions exclusivement dynamiques.  Nous aurons ainsi la
possibilit\'e de trouver le propagateur exact en deux \'etapes:
d'abord, nous calculerons le propagateur \`a l'approximation
instantan\'ee, ce qui, ensuite, nous servira \`a attaquer le
probl\`eme dynamique du propagateur exact.

Pour l'instant, limitons-nous aux contributions instantan\'ees. Les
bases de cette approximation ont d\'ej\`a \'et\'e d\'ecrites dans les
articles de Rowe \cite{Rowe} et, plus tard, de Roth \cite{Roth69}.
Dans un pass\'e plus r\'ecent, elle a \'et\'e perfectionn\'ee et
mise en \oe{}uvre ind\'ependamment par diff\'erents groupes
\cite{Dukelsky90,Roepke94,Dukelsky96,DRS98,Krueger}.  
%
Cette approximation est connue dans la litt\'erature anglophone sous
le nom de ``{\em Cluster Mean Field}'' (CMF) \cite{Roepke94}
ou ``{\em Self-Consistent Random Phase Approximation}'' (SCRPA)
\cite{Dukelsky90,Dukelsky96}. Ce dernier nom tire son origine de
l'application du formalisme aux \FFdG \`a deux particules, qui, comme
nous le verrons par la suite, nous conduira \`a une approximation des
phases al\'eatoires self-consistante.  Pour cela, nous fixons
``SCRPA'' comme abr\'eviation pour notre m\'ethode quels que soient
les op\'erateurs constituant la \FdG.

Par analogie avec la \FdG \`a une particule, nous d\'efinissons
une approximation de champ moyen g\'en\'eralis\'ee pour le propagateur
\`a $N$ particules en reportant la partie instantan\'ee de
l'hamiltonien effectif, $\Hgmf_{A B}$, dans la solution formelle de  
l'\'eq. de Dyson~(\ref{DE:DysonSolution}):
\begin{eqnarray}
  \label{DE:docoGF}
  \GFome{A}{B}^{\GMF} 
  & = & \biggl\{ \omega - \Hgmf_{A B} \biggr\}^{-1} \, \Norm
  \nonumber \\
  & = & \biggl\{ \omega - 
  \mean{\doco{A}{H}{B}_{-\epsilon}}\,\Norm^{-1} \biggr\}^{-1} \, \Norm
\end{eqnarray}
La \FdG SCRPA, d\'efinie par (\ref{DE:docoGF}), d\'epend de plusieurs
valeurs moyen\-nes, qu'on cherchera \`a calculer de mani\`ere
self-consistante. 
Cette t\^ache est possible, gr\^ace au th\'eor\`eme spectral.
Nous rappelons sa forme \`a temp\'erature nulle, d\'ecrite par les
\'eqs.~(\ref{form:CommRetSpecTheo}) et (\ref{form:CorrRetSpecTheo}):
\comment{Nolting (Chap. 3.2.3: (3.151) and (3.152) with (3.173))}
\begin{eqnarray}
  \label{DE:RetSpecTheo}
  \mean{ A\,B }^\corr & \equiv & 
  \mean{ A\,B } \; - \; \mean{A}  \, \mean{B} 
  \nonumber \\ 
  & = &
  -\frac{1}{\pi} 
  \int \limits_{0}^{\infty} {\rm d} \omega \; \imag \GFome{A}{B}^{\rm ret} 
  \nonumber \\ 
  %
  \mean{ \comm{A}{B}_{-\epsilon} } 
  & = & -\frac{1}{\pi} 
  \int \limits_{-\infty}^{\infty} {\rm d} \omega \;
  \imag \GFome{A}{B}^{\rm ret} 
\end{eqnarray}

Analysons le nombre maximal d'op\'erateurs figurant dans un terme du
double commutateur $\doco{A}{H}{B}_{-\epsilon}$: pour une \FdG \`a $N$
particules, $A$ et $B$ sont compos\'es de $N$ op\'erateurs chacun. Il
faut ajouter $4$ op\'erateurs provenant de l'interaction \`a deux
particules. Pour chaque commutateur, il y a au moins deux op\'erateurs
qui disparaissent. En tout, \c{c}a fait au maximum
$2\,N+4-2\cdot2=2\,N$ op\'erateurs par terme. Toutes ces valeurs
moyennes se calculent alors par le th\'eor\`eme de
fluctuation-dissipation (\ref{DE:RetSpecTheo}). La matrice norme
s'obtient par la seconde de ces \'equations. L'hamiltonien effectif
entier se d\'etermine ainsi \`a partir de la \FdG SCRPA.  Le syst\`eme
des \'eqs.~(\ref{DE:docoGF}) et (\ref{DE:RetSpecTheo}) est ferm\'e et
peut \^etre r\'esolu de mani\`ere self-consistante.

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{R\`egle de somme pond\'er\'ee par l'\'energie}
\label{sec:DE:SCRPA:fsumrule}
\comment{Negele/Orland (Prob. 5.13; (5.139))}

La r\`egle de somme $f$ exprime la valeur moyenne
$\mean{\doco{A}{H}{B}_{-\epsilon}}$ par le biais d'une int\'egrale de
la partie imaginaire de la \FdG $\GFome{A}{B}$ pond\'er\'ee sur toutes
les \'energies.

Consid\'erons le th\'eor\`eme de fluctuation-dissipation pour la \FdG
su\-p\'e\-rieure $\GFome{\comm{A}{H}}{B}$:
\begin{equation}
  \label{DE:ESumRuleST}
  \mean{\doco{A}{H}{B}_{-\epsilon}} \; = \;
  -\frac{1}{\pi} \int \limits_{-\infty}^{\infty} {\rm d} \omega \; 
  \imag \GFome{\comm{A}{H}}{B}^{\rm ret} 
\end{equation}
La \FdG sous l'int\'egrale, dans le membre de droite de cette
\'equation, peut \^etre remplac\'ee, gr\^ace \`a l'\'eq. du mouvement
(\ref{DE:EqOfMotionFreq}).  Si nous supposons la matrice norme
r\'eelle, nous obtenons directement la {\em r\`egle de somme
  pond\'er\'ee par l'\'energie}
\cite{NozieresPines,Orland,RS,Nozieres58}:
\begin{equation}
  \label{DE:ESumRule}
  \mean{\doco{A}{H}{B}_{-\epsilon}} \;=\; -\frac{1}{\pi} \int
  \limits_{-\infty}^{\infty} {\rm d} \omega \; \omega \; \imag
  \GFome{A}{B}^{\rm ret}
\end{equation}
Parfois, la structure des op\'erateurs $A$ et $B$ permet une
\'evaluation analytique de la valeur moyenne
$\mean{\doco{A}{H}{B}_{-\epsilon}}$. 
Dans ce cas, l'\'eq.~(\ref{DE:ESumRule}) pose une condition rigoureuse
\`a la \FdG. 

Nous montrons par la suite que la \FdG SCRPA correspond \`a cette
exigence. Il r\'esulte de l'\'eq.~(\ref{DE:docoGF}) qu'elle satisfait
\`a l'\'eq. du mouvement   
\begin{equation}
  \label{DE:GMFEqOfMotion}
  \omega \, \GFome{A}{B}^{\GMF} = \Norm \;+\;
  \mean{\doco{A}{H}{B}_{-\epsilon}} \, \Norm^{-1} \,
  \GFome{A}{B}^{\GMF}
\end{equation}
au lieu de (\ref{DE:EqOfMotionFreq}). 
Reportons (\ref{DE:GMFEqOfMotion}) dans (\ref{DE:ESumRule}): comme
d'habitude, la matrice norme et le double commutateur sont r\'eels et
ne d\'ependent pas de $\omega$. 
Reste \`a calculer l'int\'egrale de $\imag\GFome{A}{B}^{\GMF}$ qui,
par le th\'eor\`eme spectral~(\ref{DE:RetSpecTheo}), donne la
matrice norme: 
\begin{equation}
  \label{DE:GMFESumRule}
  -\frac{1}{\pi} \int
  \limits_{-\infty}^{\infty} {\rm d} \omega \; \omega \; \imag
  \GFome{A}{B}^{\GMF,\rm ret}
  \; = \; 
  \mean{\doco{A}{H}{B}_{-\epsilon}} \, \Norm^{-1} \, \Norm
\end{equation}
En rapprochant (\ref{DE:GMFESumRule}) \`a (\ref{DE:ESumRule}) nous
constatons que la \FdG SCRPA satisfait \`a la r\`egle de somme
pond\'er\'ee par l'\'energie, gr\^ace au double commutateur qui
appara\^{\i}t dans son hamiltonien effectif.   

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Le propagateur particule-trou}
\label{sec:DE:phGF}

Dans ce chapitre, nous appliquons la SCRPA \`a un exemple non trivial:
le propagateur particule-trou dans un syst\`eme fermionique avec une
interaction \`a deux particules. 
Nous verrons que la \FdG ainsi obtenue sera une g\'en\'eralisation
directe de celle de l'approximation des phases al\'eatoires. 

Nous consid\'erons la \FdG particule-trou
$\GFome{a^{+}_{p}\,a_{k}}{a^{+}_{k'}\,a_{p'}}^{\rm ret}$ dans un
syst\`eme fermionique dont l'hamiltonien est d\'efini par
l'\'eq.~(\ref{DE:HFermion}). Cette fois, les op\'erateurs $A$ et $B$
sont des paires de fermions; pour cela, nous posons $\epsilon=+1$,
c.\`a.d. la \FdG de commutateurs. Dans un syst\`eme homog\`ene, la
matrice norme est diagonale
\begin{eqnarray}
  \label{DE:phNorm}
  \Norm_{k p k' p'} \; & \equiv & \; 
  \mean{ \comm{a^{+}_{p}\,a_{k}}{a^{+}_{k'}\,a_{p'}}_{-} }
  \nonumber \\
  & = & \; \delta_{k k'} \, \delta_{p p'} \, \left( n_{p}\,-\,n_{k} \right)
  \qquad \mbox{,}
\end{eqnarray}
Evaluons l'hamiltonien effectif de la SCRPA, d\'efini par
l'\'eq.~(\ref{DE:Heff}), en nous servant de la convention d'Einstein: 
\begin{equation}
  \label{DE:phHgmf}
  \begin{array}{rclll}
    \Hgmf_{k p k' p'} \; & \equiv &  
    \multicolumn{3}{l}
    { \; \mean{ \doco{a^{+}_{p}\,a_{k}}{H}{a^{+}_{k'}\,a_{p'}}_{-} }
      \,\cdot\,\left( n_{p'}\,-\,n_{k'} \right)^{-1} }
    \\
    & = & 
    \multicolumn{3}{l}{
      \; \delta_{k k'} \, \delta_{p p'} \; 
      \left( \epsHF_{k} - \epsHF_{p} \right)
      \;+\; \left( n_{p}\,-\,n_{k} \right) \, \bar{v}_{p' k k' p}
      }
    \\
    & & + \biggl[ &
    \frac{1}{2}  \, \delta_{p p'} \, \bar{v}_{k q_{2} q_{3} q_{4}} 
    \mean{ a^{+}_{k'} a^{+}_{q_{2}} a_{q_{3}} a_{q_{4}} }^\corr
    &
    +\frac{1}{2} \, \delta_{k k'} \, \bar{v}_{q_{1} q_{2} q_{3} p} 
    \mean{ a^{+}_{q_{1}} a^{+}_{q_{2}} a_{q_{3}} a_{p'} }^\corr
    \\
    & & &
    +\frac{1}{2} \, \bar{v}_{p' k q_{3} q_{4}} 
    \mean{ a^{+}_{k'} a^{+}_{p} a_{q_{3}} a_{q_{4}} }^\corr
    &
    +\frac{1}{2} \, \bar{v}_{q_{1} q_{2} p k'} 
    \mean{ a^{+}_{q_{1}} a^{+}_{q_{2}} a_{k} a_{p'} }^\corr
    \\
    & & &
    - \bar{v}_{k q_{2} q_{3} k'} 
    \mean{ a^{+}_{p} a^{+}_{q_{2}} a_{q_{3}} a_{p'} }^\corr
    &
    - \bar{v}_{p' q_{2} q_{3} p} 
    \mean{ a^{+}_{k'} a^{+}_{q_{2}} a_{q_{3}} a_{k} }^\corr
    \biggr] 
    \\
    & &
    \multicolumn{3}{l}{ 
      \cdot \, \left( n_{p'}\,-\,n_{k'} \right)^{-1} 
      \; \mbox{,}
      }
    \\
  \end{array}
\end{equation}
Dans cette expression, nous avons introduit de nouvelles \'energies
\`a une particule qui incluent les corrections Hartree-Fock pour
la self-\'energie (\ref{DE:SigmaHF}): 
\begin{equation}
  \label{DE:HFeps}
  \epsHF_{k} \; = \; \varepsilon_{k} \,+\, \bar{v}_{k q k q} \, n_{q}  
  \; \mbox{,}
\end{equation}
Nous verrons plus loin que le second terme dans l'\'eq.~(\ref{DE:phHgmf}),  
$\left( n_{p}\,-\,n_{k} \right) \, \bar{v}_{p' k k' p}$, 
nous m\`enera vers une th\'eorie qui ressemble \`a une approximation
des phases al\'eatoires. En revanche, le terme entre crochets est
constitu\'e exclusivement de fonctions de corr\'elation dont on ne 
tient pas compte dans les th\'eories RPA habituelles:
\begin{equation}
  \label{DE:axaxaa_corr}
  \mean{ a^{+}_{q_{1}} a^{+}_{q_{2}} a_{q_{3}} a_{q_{4}} }^\corr
  \equiv   
  \mean{ a^{+}_{q_{1}} a^{+}_{q_{2}} a_{q_{3}} a_{q_{4}} } -
  \left[ 
    \mean{ a^{+}_{q_{1}} a_{q_{4}} } \mean{ a^{+}_{q_{2}} a_{q_{3}} }
    -\mean{ a^{+}_{q_{1}} a_{q_{3}} } \mean{ a^{+}_{q_{2}} a_{q_{4}} }
  \right]
\end{equation}
L'importance de ces fonctions de corr\'elation a \'et\'e soulign\'ee
par Kubo \cite{Kubo} qui les appela ``{\em cumulants}'' ou ``moyennes
connect\'ees''. Cette derni\`ere expression tire son origine des
diagrammes de Feynman, comme nous allons le voir par la suite.

D'apr\`es la d\'efinition (\ref{DE:docoGF}), nous obtenons la \FdG
SCRPA 
\begin{eqnarray}
  \label{DE:GF}
  \phGF_{k p k' p'}^{\GMF}(\omega) 
  & \equiv &
  \GFome{a^{+}_{p}\,a_{k}}{a^{+}_{k'}\,a_{p'}}^{\GMF}
\end{eqnarray}
en inversant la matrice
\begin{equation}
  \label{DE:omega_Hinv}
  \left[\omega-\Hgmf_{k p k' p'}\right]
  \; \mbox{,}
\end{equation}
o\`u nous comprenons par {\em inversion} d'une ``matrice'' \`a quatre
indices:
\begin{equation}
  \label{DE:InvDef}
  A_{k p k'' p''} \, \left(A^{-1}\right)_{k'' p'' k' p'}
  \; = \; \delta_{k k'} \delta_{p p'}
\end{equation}
D\`es que nous avons d\'etermin\'e la \FdG nous pouvons \'evaluer
toutes les valeurs moyennes dans l'hamiltonien effectif
(\ref{DE:phHgmf}) et dans la matrice norme (\ref{DE:phNorm}), gr\^ace
au th\'eor\`eme spectral~(\ref{DE:RetSpecTheo}). 

Remarquons que les fonctions de corr\'elation 
$\mean{ a^{+}_{q_{1}} a^{+}_{q_{2}} a_{q_{3}} a_{q_{4}} }^\corr$
paraissant dans l'hamiltonien effectif (\ref{DE:phHgmf}) ne sont pas
tout \`a fait les m\^emes que celles que nous sommes capables de
calculer par le th\'eor\`eme de fluctuation-dissipation.
Un coup d'\oe{}il \`a l'\'eq.~(\ref{DE:RetSpecTheo}) montre que
ces derni\`eres sont d\'efinies par
\begin{equation}
  \label{DE:axaaxa_corr}
  \mean{ (a^{+}_{q_{1}} a_{q_{4}}) \cdot (a^{+}_{q_{2}} a_{q_{3}}) }^\corr
  \equiv 
  \mean{ a^{+}_{q_{1}} a_{q_{4}} a^{+}_{q_{2}} a_{q_{3}} }
  - \mean{ a^{+}_{q_{1}} a_{q_{4}} } \mean{ a^{+}_{q_{2}} a_{q_{3}} }
  \; \mbox{,}
\end{equation}
tandis que les premi\`eres ont \'et\'e introduites par
(\ref{DE:axaxaa_corr}). 
Avec les r\`egles d'anti\-com\-mu\-ta\-tion, on v\'erifie facilement que 
\begin{equation}
  \label{DE:axaxaa_axaaxa}
  \mean{ a^{+}_{q_{1}} a^{+}_{q_{2}} a_{q_{3}} a_{q_{4}} }^\corr
  \; = \; 
  \mean{ (a^{+}_{q_{1}} a_{q_{4}}) \cdot (a^{+}_{q_{2}} a_{q_{3}}) }^\corr
  \,-\,\mean{ a^{+}_{q_{1}} a_{q_{3}} } 
  \left[ \delta_{q_{2} q_{4}} - \mean{ a^{+}_{q_{2}} a_{q_{4}} }\right]
  \; \mbox{,}
\end{equation}
o\`u, pour un syst\`eme homog\`ene, le second terme dans le membre de
droite est li\'e aux \ndocs.
Nous obtenons finalement l'\'equation spectrale pour les fonctions de
corr\'elation d\'esir\'ees:
\begin{eqnarray}
  \label{DE:axaxaaST}
  \mean{ a^{+}_{q_{1}} a^{+}_{q_{2}} a_{q_{3}} a_{q_{4}} }^\corr
  & = & 
  -\frac{1}{\pi} 
  \int \limits_{0}^{\infty} {\rm d} \omega \;
  \imag \GFome{a^{+}_{q_{1}}\,a_{q_{4}}}{a^{+}_{q_{2}}\,a_{q_{3}}}^{\rm ret}
  \nonumber \\
  & & -\, \delta_{q_{1} q_{3}} \delta_{q_{2} q_{4}}
  \, n_{q_{1}} \left( \,1 - n_{q_{2}}\, \right)
\end{eqnarray}

Le th\'eor\`eme spectral pour les commutateurs nous fournit non
seulement les \'el\'ements de la matrice norme, mais nous permet en
outre de d\'eterminer directement les nombres d'occupation.  Pour
cela, calculons la somme pond\'er\'ee de tous les \'el\'ements
diagonaux de la matrice norme:
\begin{equation}
  \label{DE:OccST1}
  \sum\limits_{k} g(k)\, \left( \, n_{p} \,-\, n_{k} \,\right)
  \; = \; 
  - \frac{1}{\pi}
  \sum\limits_{k} g(k)\, 
  \int \limits_{-\infty}^{\infty} {\rm d} \omega \;
  \imag \GFome{a^{+}_{p}\,a_{_{k}}}{a^{+}_{_{k}}\,a_{p}}^{\rm ret} 
\end{equation}
Dans un syst\`eme homog\`ene, la fonction poids $g(k)$ emp\^eche le
volume de l'espace des impulsions de diverger:
\begin{equation}
  \label{DE:kVol}
  \Vol \, \equiv \, \sum\limits_{k} g(k)
\end{equation}
Au chapitre~\ref{sec:H:RPA} nous verrons que nous n'avons pas besoin
de cette coupure dans des syst\`emes sur r\'eseau puisque la somme sur
$k$ est limit\'ee \`a la premi\`ere zone de Brillouin.

Finalement, nous divisons (\ref{DE:OccST1}) par $\Vol$ et \'ecrivons
pour les \ndocs:
\begin{equation}
  \label{DE:OccST}
  n_{p}  \, = \, \frac{1}{\Vol} \sum\limits_{k} n_{k} 
  - \frac{1}{\pi\Vol}
  \sum\limits_{k} 
  \int \limits_{-\infty}^{\infty} {\rm d} \omega \;
  \imag \GFome{a^{+}_{p}\,a_{_{k}}}{a^{+}_{_{k}}\,a_{p}}^{\rm ret}
\end{equation}
Dans cette \'equation, nous avons omis la fonction poids, et
nous consid\'erons les sommes sur $k$ comme moyennes pond\'er\'ees
quand cela s'av\`ere n\'ecessaire.

Nous avons maintenant un syst\`eme d'\'equations ferm\'e pour la \FdG
SCRPA. Pour r\'esoudre ce syst\`eme de mani\`ere self-consistante,
nous commen\c{c}ons avec une premi\`ere hypoth\`ese pour la \FdG. 
Ensuite, nous \'evaluons les \'el\'ements de la matrice norme et de
l'hamiltonien effectif, \`a l'aide des \'eqs.~(\ref{DE:OccST}) et
(\ref{DE:axaxaaST}). Nous calculons ensuite la nouvelle approximation
de la \FdG SCRPA par inversion de la matrice (\ref{DE:omega_Hinv}). 
A la convergence de ce cycle d'it\'eration nous obtiendrons la \FdG
de l'approximation des phases al\'eatoires {\em self-consistante}.

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection[Comparaison entre la RPA et la RPA self-consistante]
{Point communs et diff\'erences entre la RPA et la RPA self-consistante}
\label{sec:DE:SCRPA:RPAvsSCRPA}

Une \FdG g\'en\'erale satisfait \`a l'\'equation de
Dyson~(\ref{DE:DysonEq2}); pour le propagateur particule-trou, elle se
traduit par
\comment{linearized Bethe--Salpeter equation, see Ring/Schuck (8.131)} 
\begin{equation}
  \label{DE:phBethe}
  \phGF_{k p k' p'}^{\GMF}(\omega)
  \; = \;
  \phGF_{k p k' p'}^{0}(\omega) \,
  + \, \sum\limits_{ k_{1} p_{1} \atop k_{2} p_{2} }
  \phGF_{k p k_{1} p_{1}}^{0}(\omega) \, 
  \Kgmf_{k_{1} p_{1} k_{2} p_{2}} \, 
  \phGF_{k_{2} p_{2} k' p'}^{\GMF}(\omega)
  \; \mbox{,}
\end{equation}
o\`u  $\phGF_{k p k' p'}^{0}(\omega)$ joue le r\^ole d'une \FdG
particule-trou libre:
\begin{equation}
  \label{DE:phG0}
  \phGF_{k p k' p'}^{0}(\omega) 
  \; = \; \delta_{k k'} \, \delta_{p p'} \; 
  \frac{ n_{p}\,-\,n_{k} }
  {\omega \,-\, \left(\epsHF_{k}-\epsHF_{p}\right) \,+\iz} 
\end{equation}
Malgr\'e cette structure de propagateur particule-trou libre 
(voir annexe~\ref{chap:Chi0}), nous insistons sur les diff\'erences:
\begin{itemize}
\item 
  Pour un propagateur libre, les nombres d'occupation $n_{k}$ 
  sont fix\'es par la th\'eorie de Hartree-Fock. 
  Par cons\'equent, ils valent $1$ en dessous de la surface de Fermi
  et $0$ au-dessus:
  \begin{equation}
    \label{DE:OccHF}
    n_{k}^{\rm HF} \, = \, \Theta(E_{\rm F}-\epsHF_{k}) 
  \end{equation}
  Leur unique but est de restreindre l'espace des impulsions au
  domaine dans lequel existent des excitations particule-trou pour des
  vecteurs d'onde $k$ et $k+q$ donn\'es. Il en r\'esulte que le
  propagateur particule-trou {\em libre} n'est non nul que si $k$ et
  $k+q$ d\'esignent deux points de part et d'autre de la surface de
  Fermi.

  Les nombres d'occupation dans notre th\'eorie, en revanche, vont
  \^etre diff\'erents de z\'ero ou un. Comme l'interaction est \`a
  l'origine de cet effet, ceci se produira m\^eme \`a temp\'erature
  nulle. 
\item
  Contrairement aux \'energies \`a une particule $\varepsilon_{k}$, 
  les \'energies $\epsHF_{k}$ tiennent d\'ej\`a compte des
  corrections Hartree-Fock. 
  En reportant leur d\'efinition (\ref{DE:HFeps}) dans
  (\ref{DE:phG0}), nous voyons que $\phGF^{0}(\omega)$ d\'epend
  explicitement du potentiel $\bar{v}$.
\end{itemize}

Par analogie compl\`ete avec (\ref{DE:HeffThruMass}), le noyau
int\'egral $\Kgmf_{k_{1} p_{1} k_{2} p_{2}}$ peut \^etre assimil\'e \`a
la partie de l'hamiltonien effectif (\ref{DE:phHgmf}) contenant
l'interaction:
\begin{equation}
  \label{DE:phKgmf}
  \begin{array}{rclll}
    \Kgmf_{k p k' p'} \; & \equiv &  
    \multicolumn{3}{l}{%
      \left( n_{p}\,-\,n_{k} \right)^{-1} \;
      \left[
        \, 
        \Hgmf_{k p k' p'} 
        \,-\, \delta_{k k'} \, \delta_{p p'}
        \left(\epsHF_{k}-\epsHF_{p}\right) 
        \,
      \right]}
    \\
    & = & 
    \multicolumn{3}{l}{ \bar{v}_{p' k k' p} }
    \\
    & & + \biggl[ &
    \frac{1}{2}  \, \delta_{p p'} \, \bar{v}_{k q_{2} q_{3} q_{4}} 
    \mean{ a^{+}_{k'} a^{+}_{q_{2}} a_{q_{3}} a_{q_{4}} }^\corr
    &
    +\frac{1}{2} \, \delta_{k k'} \, \bar{v}_{q_{1} q_{2} q_{3} p} 
    \mean{ a^{+}_{q_{1}} a^{+}_{q_{2}} a_{q_{3}} a_{p'} }^\corr
    \\
    & & &
    +\frac{1}{2} \, \bar{v}_{p' k q_{3} q_{4}} 
    \mean{ a^{+}_{k'} a^{+}_{p} a_{q_{3}} a_{q_{4}} }^\corr
    &
    +\frac{1}{2} \, \bar{v}_{q_{1} q_{2} p k'} 
    \mean{ a^{+}_{q_{1}} a^{+}_{q_{2}} a_{k} a_{p'} }^\corr
    \\
    & & &
    - \bar{v}_{k q_{2} q_{3} k'} 
    \mean{ a^{+}_{p} a^{+}_{q_{2}} a_{q_{3}} a_{p'} }^\corr
    &
    - \bar{v}_{p' q_{2} q_{3} p} 
    \mean{ a^{+}_{k'} a^{+}_{q_{2}} a_{q_{3}} a_{k} }^\corr
    \biggr] 
    \\
   & &
   \multicolumn{3}{l}{ 
     \cdot \, 
     \left[
       \left( n_{p}\,-\,n_{k} \right) \, \left( n_{p'}\,-\,n_{k'} \right)
     \right]^{-1}
     }
    \\
  \end{array}
\end{equation}
Il se d\'ecompose de mani\`ere naturelle en deux parties.
La premi\`ere partie repr\'esente l'interaction RPA
\begin{equation}
  \label{DE:phKrpa}
  \Krpa_{k p k' p'} \, \equiv \,  \bar{v}_{p' k k' p}
  \; \mbox{,}
\end{equation}
tandis que la seconde partie, $\Kern^\corr$, comprend
exclusivement des densit\'es corr\'el\'ees \`a deux corps. 
Ceci nous encourage \`a r\'e\'ecrire l'\'equation int\'egrale
(\ref{DE:phBethe}) en utilisant une notation matricielle:
\begin{eqnarray}
  \label{DE:phBethe2}
  \phGF^{\GMF} &  = & \phGF^{\RPA}  \; + \;
  \phGF^{\RPA}\,\Kern^\corr\,\phGF^{\GMF} 
  \\
  \label{DE:phBethe1}
  \phGF^{\RPA} & = & \phGF^{0}      \quad + \;
  \phGF^{0}\,\Krpa\,\phGF^{\RPA} 
\end{eqnarray}
La structure de l'\'eq.~(\ref{DE:phBethe1}) est identique \`a celle
des \'equations RPA habituelles. Comme nous l'avons d\'ej\`a
mentionn\'e, le propagateur $\phGF^{0}$ n'est pas forc\'ement
compos\'e des nombres d'occupation du syst\`eme libre. 
Malgr\'e cela, nous consid\'erons (\ref{DE:phBethe1}) comme
l'\'equation {\em g\'en\'erique} pour la RPA quels que soient
les \ndocs $n_{k}$.
%
Nous appelons {\em RPA pure} une th\'eorie dans laquelle les nombres
d'occupation sont fix\'es \`a leurs valeurs
Hartree-Fock~(\ref{DE:OccHF}). Par contre, lorsque les \ndocs sont
d\'etermin\'es de mani\`ere self-consistante \`a partir de la \FdG
RPA, ou lorsqu'ils incluent des corr\'elations d'une autre fa\c{c}on,
nous parlerons de {\em RPA renormalis\'ee}.

La RPA (\ref{DE:phBethe1}) peut \^etre am\'elior\'ee en ajoutant
l'\'eq.~(\ref{DE:phBethe2}). Ces \'equations coupl\'ees d\'efinissent la
{\em RPA self-consistante} (SCRPA). 
En comparant (\ref{DE:phBethe}) et (\ref{DE:phBethe1}), on voit tout
de suite que la structure RPA de la solution sera pr\'eserv\'ee,
malgr\'e ces changements:
\begin{eqnarray}
  \label{DE:phSolution}
  \phGF^{\GMF} (\omega)
  & = & 
  \left[ 1 \,-\,\phGF^{0}(\omega)\,\Kern^{\GMF} \right]^{-1}\,
  \phGF^{0}(\omega)
  \nonumber \\
  \phGF^{\RPA} (\omega)
  & = & 
  \left[ 1 \,-\,\phGF^{0}(\omega)\,\Kern^{\RPA} \right]^{-1}\,
  \phGF^{0}(\omega)
\end{eqnarray}

La diff\'erence entre la RPA et la SCRPA provient des corr\'elations
contenues dans le noyau int\'egral $\Kern^\corr$.
En utilisant la repr\'esentation diagrammatique de Feynman, ces
corr\'elations peuvent \^etre interpr\'et\'es de la fa\c{c}on suivante:
\begin{equation}
  \label{fig:DE:phKcorr_a}
  %
  \leavevmode
  \unitlength=7ex 
  \setlength{\Units}{\the\unitlength}  
  %
  \begin{picture}(8,2.5)(0,-0.25)
    \put(0,0.5){\makebox(3,0)[r]{$
        \delta_{k k'} \, \bar{v}_{q_{1} q_{2} q_{3} p}
        \mean{ a^{+}_{q_{1}} a^{+}_{q_{2}} a_{q_{3}} a_{p'} }^\corr$}}
    \put(3,0.5){\makebox(1,0){$\Rightarrow$}} 
    \put(4,-0.25)
    {\includegraphics[width=4\Units]{feynman/feyn_ph1a.eps}} %height=2.5\Units
    \put(4,+0.75){\makebox(0,0)[lb]{\scriptsize $p$}}
    \put(4,-0.25){\makebox(0,0)[lb]{\scriptsize $k$}}
    \put(8,+0.75){\makebox(0,0)[lb]{\scriptsize $p'$}}
    \put(8,-0.25){\makebox(0,0)[lb]{\scriptsize $k'$}}
  \end{picture}
\end{equation}
\begin{equation}
  \label{fig:DE:phKcorr_c}
  %
  \leavevmode
  \unitlength=7ex 
  \setlength{\Units}{\the\unitlength}  
  %
  \begin{picture}(8,2.5)(0,-0.25)
    \put(0,0.5){\makebox(3,0)[r]{$
        \bar{v}_{q_{1} q_{2} p k'} 
        \mean{ a^{+}_{q_{1}} a^{+}_{q_{2}} a_{k} a_{p'} }^\corr$}}
    \put(3,0.5){\makebox(1,0){$\Rightarrow$}} 
    \put(4,-0.25)
    {\includegraphics[width=4\Units]{feynman/feyn_ph1c.eps}} %height=2.5\Units
    \put(4,+0.75){\makebox(0,0)[lb]{\scriptsize $p$}}
    \put(4,-0.25){\makebox(0,0)[lb]{\scriptsize $k$}}
    \put(8,+0.75){\makebox(0,0)[lb]{\scriptsize $k'$}}
    \put(8,-0.25){\makebox(0,0)[lb]{\scriptsize $p'$}}
  \end{picture}
\end{equation}
\begin{equation}
  \label{fig:DE:phKcorr_b}
  %
  \leavevmode
  \unitlength=7ex 
  \setlength{\Units}{\the\unitlength}  
  %
  \begin{picture}(8,2.5)(0,-0.25)
    \put(0,0.5){\makebox(3,0)[r]{$
        \bar{v}_{p' q_{2} q_{3} p} 
        \mean{ a^{+}_{k'} a^{+}_{q_{2}} a_{q_{3}} a_{k} }^\corr$}}
    \put(3,0.5){\makebox(1,0){$\Rightarrow$}} 
    \put(4,-0.25)
    {\includegraphics[width=4\Units]{feynman/feyn_ph1b.eps}} %height=2.5\Units
    \put(4,+0.75){\makebox(0,0)[lb]{\scriptsize $p$}}
    \put(4,-0.25){\makebox(0,0)[lb]{\scriptsize $k$}}
    \put(8,+0.75){\makebox(0,0)[lb]{\scriptsize $p'$}}
    \put(8,-0.25){\makebox(0,0)[lb]{\scriptsize $k'$}}
  \end{picture}
\end{equation}
Le cercle hachur\'e symbolise un propagateur particule-trou
corr\'el\'e, et le point d\'esigne l'interaction antisym\'etris\'e
introduite par l'\'eq.~(\ref{DE:vbar}).  
Les croix indiquent que les fonctions de corr\'elation sont
instantan\'ees. Ils repr\'esentent donc des fonctions $\delta$ en
temps. 
Le cas \'ech\'eant, ils assurent \'egalement la conservation des
impulsions et des autres nombres quantiques compris dans $k$ ou $p$. 

Le premier graphe (\ref{fig:DE:phKcorr_a}) illustre l'influence des
fluctuations de densit\'e sur la propagation \`a une particule: il
s'agit d'une correction de self-\'energie. 
Les deux autres graphes montrent que l'interaction est affaiblie par
les fluctuations de densit\'e: c'est {\em l'effet d'\'ecran}. 
Dans le seconde graphe (\ref{fig:DE:phKcorr_c}), le cercle hachur\'e
est un propagateur particule-particule. 
%
L'approximation instantan\'ee nous autorise \`a calculer les fonctions
de corr\'elation de ce graphe par le th\'eor\`eme de
fluctuation-dissipation soit pour le propagateur particule-particule,
soit pour le propagateur particule-trou (\ref{DE:axaxaaST}).  Bien
entendu, il existe aussi des diagrammes analogues pour lesquels
l'interaction appara\^{\i}t sur la ligne du ``trou''.

On obtient les contributions du second ordre en ramenant les cercles
\`a un seul point. 
Les graphes (\ref{fig:DE:phKcorr_a}-\ref{fig:DE:phKcorr_b}) se
ram\`enent \`a:
\begin{equation}
  \label{fig:DE:phKcorr2ord}
  \leavevmode
  \setlength{\Units}{5ex}
  \includegraphics[width=4\Units]{feynman/feyn_ph2a.eps} %height=2.5\Units
  \hspace{1\Units}
  \includegraphics[width=4\Units]{feynman/feyn_ph2c.eps} %height=2.5\Units
  \hspace{1\Units}
  \includegraphics[width=4\Units]{feynman/feyn_ph2b.eps} %height=2.5\Units
\end{equation}
Dans chacun des cas, les deux interactions se produisent \`a des temps
infinit\'esi\-ma\-le\-ment proches.
Si nous coupons en deux les graphes entres les points d'interaction,
nous voyons le couplage instantan\'e entre les propagateurs \`a une 
particule et un trou ($1p1h$) d'un c\^ot\'e, et \`a deux particules et
deux trous ($2p2h$) de l'autre c\^ot\'e.
Par cons\'equent, la solution self-consistante des
\'eqs.~(\ref{DE:phBethe2}) et (\ref{DE:phBethe1}) correspond \`a une 
renormalisation de l'interaction comprenant des graphes d'ordres tr\`es
\'elev\'es.

Il est connu qu'on trouve la self-\'energie Hartree-Fock en attachant
deux lignes, dont une sortant et l'autre rentrant, dans un graphe
d'interaction:  
\begin{equation}
  \label{fig:DE:selfenergy}
  \leavevmode
  \setlength{\Units}{5ex}
  \includegraphics[width=11\Units]{feynman/feyn_self.eps} %height=2.1\Units
\end{equation}
Cela nous incite \`a interpr\'eter les graphes
(\ref{fig:DE:phKcorr_a}-\ref{fig:DE:phKcorr_b}) comme champ
Hartree-Fock pour les fluctuations de densit\'e. C'est un point de vue
qui a \'et\'e adopt\'e dans les r\'efs.~\cite{Roepke94,Schuck73}.
Par analogie avec (\ref{fig:DE:selfenergy}), les termes
(\ref{fig:DE:phKcorr_a}-\ref{fig:DE:phKcorr_b}) se construisent en
formant une boucle avec deux propagateurs particule-trou dans un des
graphes suivants:
\begin{equation}
  \label{fig:DE:2p2hinteraction}
  %
  \leavevmode
  \unitlength=7ex 
  \setlength{\Units}{\the\unitlength}  
  %
  \begin{picture}(11,5)(0,0)
    \put(2.75,3)
    {\includegraphics[width=4.5\Units]{feynman/feyn_2p2h1a.eps}} 
    %height=2\Units
    \put(0,0)
    {\includegraphics[width=4.5\Units]{feynman/feyn_2p2h1c.eps}} 
    %height=2\Units
    \put(6,0)
    {\includegraphics[width=4.5\Units]{feynman/feyn_2p2h1b.eps}} 
    %height=2\Units
  \end{picture}
\end{equation}
Ces graphes du premier ordre en interaction se calculent
ind\'ependamment avec la th\'eorie de perturbation.
En comptabilisant toutes les contributions d'\'echange, nous
retrouvons ainsi exactement l'op\'erateur de masse (\ref{DE:phKgmf}). 
Ce dernier repr\'esente donc le champ moyen pour un gaz de fluctuations
quantiques qui existent dans tout syst\`eme de fermions.

Cette analyse d\'etaill\'ee des propagateurs particule-trou renforce
les arguments pour la conception de la SCRPA comme g\'en\'eralisation
directe de la th\'eorie de Hartree-Fock.
Contrairement \`a la RPA, la SCRPA contient des termes corr\'el\'es qui
affaiblissent l'interaction par effet d'\'ecran. Malgr\'e ces
contributions suppl\'ementaires, la structure RPA est conserv\'ee ce
qui justifie a posteriori l'appellation RPA Self-Consistante.

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection[D\'erivation \`a partir d'un principe variationnel]
{D\'erivation de la SCRPA \`a partir d'un principe variationnel}
\label{sec:DE:RPA:Variational}

La SCRPA est intimement li\'ee \`a un principe variationnel. 
Pour le propagateur \`a une particule, ceci est \'evident: nous avons
vu au chapitre~\ref{sec:DE:1pGF} que la SCRPA \`a une particule est
\'equivalente \`a l'approximation Hartree-Fock. 
Il est bien connu que cette derni\`ere peut \^etre obtenue \`a
partir d'un principe variationnel pour l'\'energie du fondamental \cite{RS}.

Pour la SCRPA \`a deux particules ainsi que pour la SCRPA \`a une
particule et un trou, il est plus commode de choisir une approche
variationnelle qui minimise l'\'energie moyenne des {\em excitations}. 
Cette variante \`a \'et\'e d\'evelopp\'ee par Baranger
\cite{Baranger} et appliqu\'e au probl\`eme \`a une particule \cite{Weigel}. 

En suivant ref.~\cite{DRS98}, nous introduisons une \FdG
$\GFome{X}{X^{+}}$ pour les op\'erateurs d'excitation particule-trou 
donn\'es par
\begin{equation}
  \label{DE:phExcitOp}
  X^{+} \; = \; \sum\limits_{k p} \, x_{k p} \, a^{+}_{k} a_{p}
  \; \mbox{.}
\end{equation}
L'\'energie moyenne des excitations cr\'e\'ees par $X^{+}$ est
donn\'ee par l'expression suivante:
\begin{eqnarray}
  \label{DE:VarSumRule}
  S_{1} & = &  
  \frac{ \sum\limits_{n} \, \omega_{n 0} \,
    \left( 
      \abs{\expect{n}{X^{+}}{0}}^{2} \,-\, \abs{\expect{n}{X}{0}}^{2} 
    \right) }
  { \sum\limits_{n} 
    \left( 
      \abs{\expect{n}{X^{+}}{0}}^{2} \,-\, \abs{\expect{n}{X}{0}}^{2} 
    \right) }
  \nonumber \\
  & = &
  \frac{ \int \limits_{-\infty}^{\infty} {\rm d}\omega \; 
    \omega \, \imag \GFome{X}{X^{+}}^{\rm ret} }
  {      \int \limits_{-\infty}^{\infty} {\rm d}\omega \; 
    \imag \GFome{X}{X^{+}}^{\rm ret} }
\end{eqnarray}
Comme il est d'usage, $\ket{n}$ sont les \'etats excit\'es exacts.
Leurs \'energies par rapport au fondamental $\ket{0}$ sont donn\'ees
par $\omega_{n 0}$.  L'\'equivalence entre la premi\`ere ligne et la
seconde peut facilement \^etre v\'erifi\'ee en utilisant la
repr\'esentation spectrale de la \FdG, l'\'eq.~(\ref{form:GSpectralOm}).
A la seconde ligne, le num\'erateur est reli\'e au double commutateur
$\expect{0}{\doco{X}{H}{X^{+}}}{0}$, suite \`a la r\`egle de somme $f$
(\ref{DE:ESumRule}). Au d\'enominateur, nous retrouvons la norme
$\expect{0}{\comm{X}{X^{+}}}{0}$. Elle vaudrait $1$, si $X^{+}$
cr\'eait un {\em vrai} boson.

Pour trouver les op\'erateurs qui engendrent les excitations avec
l'\'energie moyenne la plus basse, il suffit de faire varier les
amplitudes $x_{k p}$. Nous obtenons les conditions minimales:
\begin{equation}
  \label{DE:VarXmin}
  \frac{\partial S_{1}}{\partial x_{k p}} \; = \; 0
\end{equation}
On v\'erifie sans probl\`eme qu'elles nous am\`enent aux \'equations
SCRPA du d\'ebut de ce chapitre.

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{La self-\'energie RPA}
\label{sec:DE:RPA:SelfEnergy}

Nous d\'erivons maintenant une expression pour la self-\'energie qui
est en accord avec l'approximation des phases al\'eatoires en ce
sens que l'\'energie du fondamental est la m\^eme dans les deux
approches. 

Comme nous ne voulons pas trop rentrer dans les d\'etails du calcul,
il est commode de se servir des techniques de diagrammes de Feynman.
N\'eanmoins il s'av\`ere n\'ecessaire de respecter les r\`egles
de traduction pour ces graphes de fa\c{c}on plus stricte qu'aux
paragraphes pr\'ec\'edents: par exemple, dans
l'\'eq.~(\ref{DE:1pGFDysonEq}) nous pouvions nous permettre d'associer
les diagrammes directement avec les \FFdG car les divers facteurs
$\ic$ et $-\ic$ se compensaient.  Par la suite, ceci ne va plus \^etre
le cas.  Nous sommes alors forc\'es d'appliquer les r\`egles au pied
de la lettre. Nous traduisons $\ic \GFome{a_{k}}{a^{+}_{k}}^{c}$ par
une ligne \`a une particule et, surtout, comptons un facteur $-1$ pour
chaque boucle de fermions.

D\'efinissons d'abord un propagateur \`a une particule ``libre'': 
\begin{equation}
  \label{DE:1pGFc0}
  \GFome{a_{k}}{a^{+}_{k'}}^{0} \; = \; \delta_{k k'}
  \left[
    \frac{1-n_{k}}{\omega-\left(\epsHF_{k}-\mu\right)+\iz}
    \, + \,
    \frac{n_{k}}{\omega-\left(\epsHF_{k}-\mu\right)-\iz}
  \right]
  \mbox{,}
\end{equation}
Ce propagateur a, en effet, la structure d'un propagateur causal libre. 
D'autre part, d'apr\`es (\ref{DE:HFeps}), il prend d\'ej\`a en
consid\'eration les corrections Hartree-Fock pour les \'energies \`a
une particule. 
Par ailleurs, nous permettrons aux nombres d'occupation, $n_{k}$,
d'adopter des valeurs qui diff\`erent de $0$ ou $1$.
Nous pla\c{c}ons cette \FdG donc au m\^eme niveau que le propagateur
particule-trou libre d\'efini par (\ref{DE:phG0}). 

Si nous supposons les nombres d'occupation $n_{k}$ \'egaux dans les
deux cas, (\ref{DE:phG0}) et (\ref{DE:1pGFc0}), il est \'evident qu'il
en r\'esulte la m\^eme \'energie cin\'etique 
$\sum_{k} \varepsilon_{k} n_{k}$.

Il nous reste \`a analyser l'\'energie potentielle. Elle se calcule de
la fa\c{c}on suivante:
\begin{eqnarray}
  \label{DE:Epot}
  E_{\rm pot} & = &  
  \frac{1}{4} \, \bar{v}_{q_{1} q_{2} q_{3} q_{4}} \,
  \mean{a^{+}_{q_{1}}\,a^{+}_{q_{2}}\,a_{q_{4}}\,a_{q_{3}}}
  \nonumber \\
  & = & 
  \frac{1}{4} \, \bar{v}_{q_{1} q_{2} q_{3} q_{4}} \,
  \lim_{t-t'\to 0^{-}} (-\ic)
  \GF{\left(a^{+}_{q_{2}}\,a_{q_{4}}\,a_{q_{3}}\right)_{t}}{%
    \left(a^{+}_{q_{1}}\right)_{t'}}^{c}
  \nonumber \\
  & = &
  \frac{1}{4} \, \bar{v}_{q_{1} q_{2} q_{3} q_{4}} \,
  \frac{-\ic}{2\pi} \intCupper {\rm d}\omega \,
  \GFome{a^{+}_{q_{2}}\,a_{q_{4}}\,a_{q_{3}}}{a^{+}_{q_{1}}}^{c}
\end{eqnarray}
La \FdG impliqu\'ee est reli\'ee au propagateur \`a une particule
par l'\'equa\-tion du mouvement (\ref{DE:1pGFEOM}). La seconde ligne de
(\ref{DE:Epot}) provient directement de la d\'efinition de la \FdG
causale pour $\epsilon=-1$. La limite $t-t'\to 0^{-}$ ainsi que la
sommation sur $q_{1}$ nous invite \`a boucler les deux bouts du
diagramme correspondant. Pour arriver \`a la derni\`ere ligne, nous
avons utilis\'e l'\'eq.~(\ref{form:CorrCSpecTheo}).

Comme d'habitude, nous d\'ecomposons la \FdG sup\'erieure en
introduisant la self-\'energie (\ref{DE:SigmaDef}). 
Apr\`es avoir ferm\'e la boucle, nous \'ecrivons:
\begin{equation}
  \label{DE:EpotSigma}
  \unitlength=4ex 
  \setlength{\Units}{\the\unitlength} 
  \leavevmode
  \begin{array}{ccc}
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    % potential energy via Sigma
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \begin{picture}(1.0,3.0)(0,-1.5)
      \put(0,0){\makebox(1,0){$E_{\rm pot}$}} 
    \end{picture}
    &  
    \begin{picture}(1.0,3.0)(0,-1.5)
      \put(0,0){\makebox(1,0){$=$}} 
    \end{picture}
    &
    \begin{picture}(4.5,3.0)(0,-1.5)
      \put(0, 0  ){\makebox(1,0){\LARGE$\frac{1}{2}$}} 
      \put(1,-1.5)
      {\includegraphics[width=3.5\Units]{feynman/feyn_EpotSigma.eps}} 
      % width=3.5, height=3.0, mid=1.5
    \end{picture}
  \end{array}  
\end{equation}
Reportons la self-\'energie (\ref{DE:SigmaEOMfeyn}) dans
(\ref{DE:EpotSigma}). On v\'erifie facilement que la partie
Hartree-Fock de la self-\'energie donne l'\'energie potentielle en
approximation Hartree-Fock:
\begin{equation}
  \label{DE:EpotHF}
  E^{\HF}_{\rm pot} \; = \; \frac{1}{2} \bar{v}_{p q p q} \, n_{p}\,n_{q} 
\end{equation}
L'autre terme contient la partie irr\'eductible d'une \FdG \`a deux
particules et un trou que nous d\'ecomposons de mani\`ere
approximative: 
\begin{equation}
  \label{DE:2p1h_via_ph1p}
  \unitlength=5ex 
  \setlength{\Units}{\the\unitlength} 
  \leavevmode
  \begin{array}{ccc}
    % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    % 2p1h decomposition
    % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \begin{picture}(5.5,2.5)(0,-1.25)
      \put(0, 0){\makebox(1,0){\LARGE$\frac{1}{4}$}} 
      \put(1,-1)
      {\includegraphics[width=4.5\Units]{feynman/feyn_Sigma2p1h.eps}} 
      % width=4.5, height=2, mid=1
    \end{picture}
    &
    \begin{picture}(1.0,2.5)(0,-1.25)
      \put(0,0){\makebox(1,0){$\approx$}} 
    \end{picture}
    &
    \begin{picture}(5.0,2.5)(0,-1.25)
      \put(0,0){\makebox(1,0){\LARGE$\frac{1}{2}$}} 
      \put(1,-0.25)
      {\includegraphics[width=4\Units]{feynman/feyn_SigmaRPA.eps}} 
      % width=4, height=1.5, bot=0.25
    \end{picture}
  \end{array}  
\end{equation}
Un calcul au premier ordre, revenant \`a remplacer toutes les
\FFdG par des propagateurs libres, montre que le facteur $2$ provient
des termes d'\'echange.  
A partir de (\ref{DE:2p1h_via_ph1p}), nous pouvons exprimer
l'\'energie potentielle uniquement avec des \FFdG particule-trou 
\begin{equation}
  \label{DE:Epot2p1h}
  \unitlength=5ex 
  \setlength{\Units}{\the\unitlength} 
  \leavevmode
  \begin{array}{ccccc}
    % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    % potential energy via 2p1h
    % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    \begin{picture}(1.0,2.5)(0,-1.25)
      \put(0,0){\makebox(1,0){$E_{\rm pot}$}}
    \end{picture}
    &
    \begin{picture}(1.0,2.5)(0,-1.25)
      \put(0,0){\makebox(1,0){$=$}} 
    \end{picture}
    &
    \begin{picture}(1.0,2.5)(0,-1.25)
      \put(0,0){\makebox(1,0){$E^{\HF}_{\rm pot}$}}
    \end{picture}
    &
    \begin{picture}(1.0,2.5)(0,-1.25)
      \put(0,0){\makebox(1,0){$+$}}
    \end{picture}
    &
    \begin{picture}(4.5,2.5)(0,-1.25)
      \put(0, 0   ){\makebox(1,0){\LARGE$\frac{1}{4}$}}
      \put(1,-1.25)
      {\includegraphics[width=3.5\Units]{feynman/feyn_Epot2p1h.eps}} 
      % width=3.5, height=2.5, mid=1.25
    \end{picture}
    \\
    &
    \begin{picture}(1.0,2.5)(0,-1.25)
      \put(0,0){\makebox(1,0){$\approx$}} 
    \end{picture}
    &
    \begin{picture}(1.0,2.5)(0,-1.25)
      \put(0,0){\makebox(1,0){$E^{\HF}_{\rm pot}$}}
    \end{picture}
    &
    \begin{picture}(1.0,2.5)(0,-1.25)
      \put(0,0){\makebox(1,0){$+$}}
    \end{picture}
    &
    \begin{picture}(4.5,2.5)(0,-1.25)
      \put(0, 0   ){\makebox(1,0){\LARGE$\frac{1}{4}$}}
      \put(1,-1.25)
      {\includegraphics[width=3.5\Units]{feynman/feyn_Epot2p1h0.eps}} 
      % width=3.5, height=2.5, mid=1.25
    \end{picture}
  \end{array}  
\end{equation}
En examinant le dernier diagramme, il est utile de se rappeler que la
\FdG RPA satisfait \`a une \'equation Bethe-Salpeter lin\'earis\'ee,
l'\'eq.~(\ref{DE:phBethe1}):
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% RPA Bethe-Salpeter equation
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{equation}
  \label{DE:phBethe1Feyn}
  \unitlength=3.3ex 
  \setlength{\Units}{\the\unitlength} 
  \begin{picture}(23,4)(0,-1.5)
    %
    \put( 0,+1.2){\makebox(0,0)[b]{$r_{3}$}}
    \put( 0,-1.2){\makebox(0,0)[t]{$r_{1}$}}
    \put( 6,+1.2){\makebox(0,0)[b]{$r_{2}$}}
    \put( 6,-1.2){\makebox(0,0)[t]{$r_{4}$}}
    \put( 0,-1.1){\includegraphics[width=6\Units]{feynman/feyn_ph.eps}}
    %
    \put( 7, 0.0){\makebox(0,0)[c]{$=$}}
    %
    \put(10,+1.2){\makebox(0,0)[b]{$\delta_{r_{3} r_{2}}$}}
    \put(10,-1.2){\makebox(0,0)[t]{$\delta_{r_{1} r_{4}}$}}
    \put( 8,-1.1){\includegraphics[width=4\Units]{feynman/feyn_ph0.eps}}
    %
    \put(13, 0.0){\makebox(0,0)[c]{$+$}}
    %
    \put(14,+1.2){\makebox(0,0)[b]{$\delta_{r_{3} q_{3}}$}}
    \put(14,-1.2){\makebox(0,0)[t]{$\delta_{r_{1} q_{1}}$}}
    \put(14,-1.1){\includegraphics[width=9\Units]{feynman/feyn_rpa.eps}}  
    \put(16.5, 0){\makebox(0,0)[l]{$\bar{v}_{q_{1} q_{2} q_{3} q_{4}}$}}
    \put(18,+1.2){\makebox(0,0)[b]{$q_{2}$}}
    \put(18,-1.2){\makebox(0,0)[t]{$q_{4}$}}
    \put(23,+1.2){\makebox(0,0)[b]{$r_{2}$}}
    \put(23,-1.2){\makebox(0,0)[t]{$r_{4}$}}
  \end{picture}
\end{equation}
Gr\^ace \`a elle, nous substituons le n\oe{}ud gauche du dernier
diagramme dans (\ref{DE:Epot2p1h}) par un propagateur particule-trou
corr\'el\'ee:
\begin{displaymath}
  \unitlength=5ex 
  \setlength{\Units}{\the\unitlength} 
  \leavevmode
  % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  % potential energy via RPA
  % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \begin{picture}(11.5,2.5)(0,-1.25)
    \put(0,0){\makebox(1,0){$E_{\rm pot} \; = \; E^{\HF}_{\rm pot} \;+\;$}}
    \put(2.0, 0   ){\makebox(1,0){\LARGE$\frac{1}{4}\,\Bigg[$}}
    \put(3.0,-1.25)
    {\includegraphics[width=2.5\Units]{feynman/feyn_EpotRPA.eps}} 
    % width=2.5, height=2.5, mid=1.25
    \put(5.5,0){\makebox(1,0){$-$}}
    \put(6.5,-1.25)
    {\includegraphics[width=2.5\Units]{feynman/feyn_EpotRPA0.eps}} 
    % width=2.5, height=2.5, mid=1.25
    \put(9.0,0    ){\makebox(1,0){\LARGE$\Bigg]$}}
  \end{picture}
\end{displaymath}
\begin{equation}
  \label{DE:EpotRPA}
  \qquad = \;  E^{\HF}_{\rm pot}  \; + \;
  \frac{1}{4} \, \bar{v}_{r_{4} r_{3} r_{2} r_{1}} \,
  \frac{\ic}{2\pi} \intCupper {\rm d}\omega \,
  \left[
    \phGF^{c}(\omega) \, - \phGF^{c,0}(\omega)
  \right]_{r_{1} r_{3} r_{4} r_{2}}
\end{equation}
C'est exactement la m\^eme expression que nous aurions obtenue en
\'evaluant l'\'energie potentielle avec la \FdG RPA. 
Les \'energies fondamentales sont alors les m\^emes dans les deux
approches, car nous avons vu plus haut que l'\'energie cin\'etique 
est identique.
De plus, il est possible de pousser ce raisonnement un cran plus loin
afin de d\'eriver une expression pour la self-\'energie qui soit en
accord avec la SCRPA.
Une autre fa\c{c}on d'am\'eliorer ces r\'esultats consiste \`a tenir
compte des termes \`a deux particules dans le d\'ecouplage
(\ref{DE:2p1h_via_ph1p}). Ceci introduit des propagateurs de la RPA
\`a deux particules dans la self-\'energie. Au premier ordre cette
id\'ee \`a \'et\'e poursuivie dans la r\'ef.~\cite{EthoferSchuck}.
